Как найти решения по математике егэ - AvtoShod.ru

В данном разделе мы занимаемся подготовкой к ЕГЭ по математике как базового, профильного уровня — у нас представлены разборы задач, тесты, описание экзамена и полезные рекомендации. Пользуясь нашим ресурсом, вы как минимум разберетесь в решении задач и сможете успешно сдать ЕГЭ по математике в 2020 году. Начинаем!

ЕГЭ по математике является обязательным экзаменом любого школьника в 11 классе, поэтому информация, представленная в данном разделе актуальна для всех. Экзамен по математике делится на два вида — базовый и профильный. В данном разделе я приведен разбор каждого вида заданий с подробным объяснением для двух вариантов. Задания ЕГЭ строго тематические, поэтому для каждого номера можно дать точные рекомендации и привести теорию, необходимую именно для решения данного вида задания. Ниже вы найдете ссылки на задания, перейдя по которым можно изучить теорию и разобрать примеры. Примеры постоянно пополняются и актуализируются.

Структура базового уровня ЕГЭ по математике

Экзаменационная работа по математике базового уровня состоит из одной части, включающей 20 заданий с кратким ответом. Все задания направлены на проверку освоения базовых умений и практических навыков применения математических знаний в повседневных ситуациях.

Ответом к каждому из заданий 1–20 является целое число, конечная десятичная дробь, или последовательность цифр.

Задание с кратким ответом считается выполненным, если верный ответ записан в бланке ответов №1 в той форме, которая предусмотрена инструкцией по выполнению задания.

Разбор заданий ЕГЭ по математике (база)

Источник

Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции $displaystyle y=-{{x^2+289}over{x}}.$

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю. Получим:

$x^2=289Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=17, hfill \ x=-17. end{array} right.$

Исследуем знаки производной.

В точке x = 17 производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= 17 — точка максимума функции y(x).

Ответ: 17.

2. Найдите точку минимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю.

$4x-5+{{1}over{x}}=0Leftrightarrow 4x^2-5x+1=0Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=1, \ x={{1}over{4}}. end{array} right.$

Определим знаки производной.

В точке x = 1 производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, x= 1 — точка минимума функции y(x).

Ответ: 1.

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}.$

Перед нами сложная функция $y=2^{5-8x-x^2}.$ Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция y=2^t монотонно возрастает, точка максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}$ будет при том же x_0 , что и точка максимума функции А ее найти легко.

$t^{$

$t^{$ при x=-4 . В точке x = -4 производная ${{ t}}^{{$ меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= - 4 — точка максимума функции .

Заметим, что точку максимума функции можно найти и без производной.

Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при $x=-frac{8}{2}=-4.$

Ответ: — 4.

4. Найдите абсциссу точки максимума функции $y=sqrt{4-4x-x^2}.$

Напомним, что абсцисса — это координата по

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции $y=sqrt{4-4x-x^2}$ является и точкой максимума функции

Это вершина квадратичной параболы $tleft(xright)=4-4x-x^2;x_0=frac{-4}{2}=-2.$

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

${3x}^2+4x-4=0;$

$D=64;x=frac{-4pm 8}{6};x_1=frac{2}{3},x_2=-2.$

Найдем знаки производной.

В точке x = - 2 производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции y(x) . Поскольку при функция y(x) убывает, $y_{max}left(xright)=yleft(-2right)=12.$ В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

Ответ: 12.

6. Найдите наименьшее значение функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ на отрезке

Найдем производную функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ и приравняем ее к нулю.

при $x_1=1,x_2=frac{1}{4}.$

Найдем знаки производной.

Точка x_1=1 — точка минимума функции . Точка $x_2=frac{1}{4}$ не лежит на отрезке Поэтому

и Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается при x=1. Найдем это значение.

$y_{min}left(xright)=yleft(1right)=4-10-5=-11.$

Ответ: -11.

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке $left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].$

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

Мы применили формулу для логарифма произведения. при $x=frac{1}{9}.$

Если то Если , то

Значит, $x=frac{1}{9}$ — точка минимума функции y(x) . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке $left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].$

$y_{min}left(xright)=yleft(frac{1}{2}right)=1+3=4.$

Ответ: 4.

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].$

Найдем производную функции

Приравняем производную к нулю: $14-frac{7}{{cos}^2x}=0.$

${cos}^2x=frac{1}{2}.$

${cos}^2x=pm frac{1}{sqrt{2}}=pm frac{sqrt{2}}{2}$ . Поскольку $xin left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right], y$ если $x=pm frac{pi }{4}.$

Найдем знаки производной на отрезке $left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].$

При $x=frac{pi }{4}$ знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, $x=frac{pi }{4}$ — точка максимума функции y(x).

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при $x=-frac{pi }{3}$ и $x =frac{pi }{4}.$

$yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4;$

Мы нашли, что $y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4.$

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при $-frac{pi }{3}$ не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

Ответ: 4.

9. Найдите наименьшее значение функции $y=e^{2x}-{8e}^x+9$ на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

${{(e}^{-x})}^{$

${left(e^{cx}right)}^{$

${(e}^{x+a})$

Найдем производную функции $y=e^{2x}-{8e}^x+9.$

если e^x=4. Тогда x=ln4.

При x=ln4 знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, x=ln4 — точка минимума функции y(x).

Ответ: -7.

10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $left[0;frac{pi }{2}.right]$

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

$sinx=frac{sqrt{3}}{2}.$

По условию, $xin left[0;frac{pi }{2}right]$ . На этом отрезке условие $sinx=frac{sqrt{3}}{2}$ выполняется только для $x=frac{pi }{3}.$ Найдем знаки производной слева и справа от точки $x=frac{pi }{3}.$

В точке $x_0=frac{pi }{3}$ производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка $x_0=frac{pi }{3}$ — точка максимума функции y(x) . Других точек экстремума на отрезке $left[0;frac{pi }{2}right]$ функция не имеет, и наибольшее значение функции на отрезке $left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right]$ достигается при ${ x=}frac{pi }{{ 3}}.$

$y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{3}right)=12.$

Ответ: 12.

11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке $left[0;frac{pi }{2}right].$

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. — нет решений.

Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку , получим, что для всех , и функция монотонно возрастает при $xin left[0;frac{pi }{2}right].$

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка $left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right]$ , то есть при x=0.

$y_{min}left(xright)=yleft(0right)=6.$

Ответ: 6

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

О сайте
Карта сайта
Пользовательское соглашение
Политика конфиденциальности

© 2020-2023, ege314.ru, ОГЭ и ЕГЭ по математике | Генератор вариантов ЕГЭ 2023.
Частичное или полное копирование решений (включая графические элементы) с данного сайта для распространения на других ресурсах, в том числе и бумажных, строго запрещено. Все решения являются собственностью сайта.

Источник

Как решать задание 9 ЕГЭ по математике (профиль) правильно? Определить тип задачи: на движение, на концентрацию или на совместную работу, построить математическую модель, вывести уравнение и найти ответ.

Самое важное

Решение 9 задачи ЕГЭ по математике (профиль) проверяет умение ученика строить и исследовать простейшие математические модели. Для выпускника, который изучал предмет на профильном уровне, среднее время выполнения задания составляет семь минут. Если выпускник изучал предмет на базовом уровне, тогда – 15 минут.

Отметим, что за правильное выполнение задания можно получить максимум один балл.

Прежде чем разбираться, как делать 9 задание ЕГЭ по математике (профиль), отметим следующее: задача относится к разделу текстовых заданий. Соответственно, при выполнении девятого номера, вам нужно будет построить математическую модель – обозначить величины за переменные, составить уравнение и решить его.

Разбор 9 задания ЕГЭ по математике (профиль) обязательно должен включать в себя перечисление типов задач, с которыми вы можете встретиться:

На движение (по суше и воде);
На движение по окружности;
На работу;
На проценты;
На нахождение средней скорости;
На движение протяженных тел, встречное движение и обгон
На сплавы/смеси/растворы (концентрация).

Если совсем коротко, все эти задания можно объединить в три группы:

Задачи на работу;
Задачи на движение;
Задачи на растворы, смеси, сплавы.

От этого и станем отталкиваться, когда будем разбираться, как решать номер 9 в ЕГЭ по профильной математике.

Совместная работа

Давайте начнём с решения задания 9 ЕГЭ по математике (профильный уровень) на совместную работу. Приведем простой пример, чтобы вы могли понять алгоритм.

Условие:

Мастер выполняет заказ на детали за 4 часа. Ученику, на выполнение такого же заказа, требуется уже 5 часов. За сколько часов выполнят девять таких заказов мастер и ученик, при условии, что они работают вместе?

Теперь о том, как решить 9 задание в ЕГЭ матем профиль:

Весь заказ обозначаем как Х деталей и делаем таблицу, вносим все известные данные.

	мастер	ученик	вместе
объем работы	Х деталей	Х деталей	9Х деталей
время работы	4 часа	5 часов	?
производительность	Х/4 деталей в час	Х/5 дет./час	Х/4 + Х/5 = 9Х/20 дет./час

Теперь производим не сложные подсчеты. Так как вместе мастер и ученик должны сделать 9Х деталей, тогда делим 9Х на 9Х/20 и получаем 20 часов.

Алгоритм решения 9 задания ЕГЭ по математике (профиль) понятен? Вот что вам стоит помнить: задачи на совместную работу решаются через производительность. Производительность при совместной работе равна сумме производительности каждого из рабочих.

Сплавы, смеси и растворы

Теперь немного о том, как решать 9 номер ЕГЭ по математике (профиль), если это задачи на концентрацию химических веществ. Чтобы вам было понятно, будем объяснять все на примере.

Дано:

В банке находится 5 литров 20% раствора вещества. Сколько литров 50% раствора того же вещества надо долить в банку, чтобы получился раствор 44% концентрации?

Переходим к разбору решения 9 задания ЕГЭ по профильной математике:

Объем вещества, который нужно долить в банку, обозначаем как Х. Исходя из этого, вносим все известные данные в таблицу.

	первый раствор	второй раствор	оба раствора вместе
объем раствора	5 литров	Х литров	5 + Х литров
концентрация	20%	50%	44%
объем вещества в растворе	1 литр	0,5Х литров	1 + 0,5Х литров

Итак, первый раствор имеет концентрацию 44%, соответственно, в нем 0,44(5+Х) литров вещества, это = 1 + 0,5Х литров.

Получаем такое уравнение: 0,44(5+Х) = 1 + 0,5Х.

Из чего следует ответ: Х = 1,2/0,06 = 20.

Движение

Это самый сложный блог, потому что типов задач здесь довольно много – круговое, с длинными телами, на среднюю скорость и так далее. Разобрать все варианты попросту невозможно – поэтому мы расскажем о самой важной теории по 9 заданию для ЕГЭ по математике.

Средняя скорость – величина, равная отношению пути, пройдённого телом, ко времени, за которое этот путь был пройден;
Если транспортное средство движутся из одной точки в противоположных направлениях, расстояние между ними равно половине длины окружности;
Если транспортное средство движутся в одном направлении, необходимо узнать скорость опережения – для этого с большей скорости вычитается меньшая;
Задачу на круговое движение можно представить на прямолинейном отрезке, развернув круговую трассу в прямую;
В заданиях на движение по воде скорость по течению реки равна сумме собственной скорости транспортного средства и скорости течения реки;
Чтобы найти скорость против течения, от собственной скорости транспортного средства нужно отнять скорость течения реки.

Подсказали, как решать 9 задание в ЕГЭ по профильной математике – напомним, что это одна из самых простых задач, которые встретятся вам на экзамене. Главное, не паникуйте, вспоминайте формулы и алгоритмы построения математических моделей – тогда все получится!

Источник

Структура профильного уровня ЕГЭ по математике

Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий:

8 заданий первой части (задания 1–8) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби
4 задания второй части (задания 9–12) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби
7 заданий второй части (задания 13–19) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий)

Задания первой части направлены на проверку освоения базовых умений и практических навыков применения математических знаний в повседневных ситуациях.

Посредством заданий второй части осуществляется проверка освоения математики на профильном уровне, необходимом для применения математики в профессиональной деятельности и на творческом уровне.

По уровню сложности задания распределяются следующим образом:

задания 1–8 имеют базовый уровень
задания 9–17 – повышенный уровень
задания 18 и 19 относятся к высокому уровню сложности

При выполнении заданий с развернутым ответом части 2 экзаменационной работы в бланке ответов № 2 должны быть записаны полное обоснованное решение и ответ для каждой задачи.

Распределение заданий по частям экзаменационной работы

Части работы	Количество заданий	Максимальный первичный бал	Тип заданий
1 часть	8	8	Краткий ответ
2 часть	11	24	Развернутый ответ
Итого	19	32

Разбор заданий ЕГЭ по математике (профиль)

Источник

Структура базового уровня ЕГЭ по математике

Разбор заданий ЕГЭ по математике (база)

Самое важное

Совместная работа

Сплавы, смеси и растворы

Движение

Структура профильного уровня ЕГЭ по математике

Разбор заданий ЕГЭ по математике (профиль)

Не пропустите также: