Как найти ребро тетрайдера

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Введите данные:

Достаточно ввести только одно значение, остальное калькулятор посчитает сам.

Округление:

* — обязательно заполнить

Зная ребро тетраэдра, нужно в первую очередь найти площадь одной его грани, а также радиус вписанной и описанной окружностей грани. Периметр тетраэдра равен стороне, умноженной на их количество, а площадь одной грани тетраэдра – произведению квадрата стороны на корень из трех, деленный на четыре. Соответственно площадь полной поверхности будет представлять собой четыре площади одной грани – по их количеству.
P=6a
S_1=(√3 a^2)/4
S_(п.п.)=4S_1=√3 a^2

Чтобы найти радиусы вписанной и описанной в грань окружностей для тетраэдра, необходимо взять стандартные формулы для равностороннего треугольника и подставить в них значение ребра тетраэдра.
r=a/(2√3)
R=a/√3

Вычислив все параметры одной грани, можно перейти к объемным показателям тетраэдра, таким как высота и апофема. И для высоты, и для апофемы тетраэдра можно вывести индивидуальные формулы из теоремы Пифагора в прямоугольных треугольниках с радиусами вписанных и описанных окружностей грани, являющейся основанием тетраэдра. (рис. 60.1)
h=√(2/3) a
l=(√3 a)/2

Объем тетраэдра вычисляется через ребро тетраэдра по преобразованной формуле для простой пирамиды.
V=a^3/(6√2)

Поскольку тетраэдр является правильной пирамидой, у которой все ребра равны, в него можно вписать сферу, а также описать сферу около него. Радиус вписанной в тетраэдр сферы будет равен ребру тетраэдра, деленному на два корня из шести, а радиус сферы, описанной около тетраэдра, — боковому ребру тетраэдра, умноженному на коэффициент корень из трех, деленный на два корня из двух. (рис.60.2, 60.3)
r_1=a/(2√6)
R_1=(√3 a)/(2√2)

Материал урока.

В начале изучения
курса «Стереометрии» мы говорили, что все геометрические тела делятся на тела
вращения и многогранники. В процессе изучения геометрии в десятом классе, мы
будем подробно рассматривать с вами свойства тех или иных фигур.

Сегодня мы
познакомимся с такой фигурой как тетраэдр. Прежде чем приступить к изучению
пространственной фигуры, давайте вернемся в планиметрию и вспомним такую фигуру
как многоугольник.

Напомню, что многоугольником
называется либо замкнутая линия без самопересечений либо часть плоскости, ограниченная
этой линией, включая ее саму.

Для стереометрии
нам естественно подходит второе определение. Это определение показывает, что
каждый многоугольник представляет собой плоскую поверхность.

Напомним, что простейшим
многоугольником является треугольник. Возьмем треугольник ABC
и точку D, которая не лежит в плоскости треугольника ABC. Соединим точку D с каждой
вершиной треугольника ABC. Таким образом, мы получим
три новых треугольника DAB, DBC,
DCA. Тогда фигуру, которая состоит из четырех
треугольников ABC, DAB, DBC, DCA, называют тетраэдром и
обозначают так: DABC.

Треугольники, из
которых состоит тетраэдр, называются гранями, стороны этих треугольников
называют ребрами, вершины этих треугольников называются вершинами
тетраэдра.

 Нетрудно посчитать,
что тетраэдр имеет четыре грани, 6 ребер и четыре вершины. Два ребра тетраэдра,
которые не имеют общих вершин, называются противоположными. Давайте
запишем пары противоположных ребер тетраэдра, который изображен на рисунке.

Это будут ребра AD и BC, BDи AC, CD и AB.
Иногда одну из граней тетраэдра называют основанием, а три другие – боковыми
гранями.

Слово тетраэдр
произошло от древнегреческих слов теторес – четыре и эдра –
основание или грань.

Если все грани
тетраэдра – равносторонние треугольники, то такой тетраэдр называется правильным.
Правильный тетраэдр является одним из пяти правильных многогранников. Они еще
называются телами Платона. Это — тетраэдр, гранями которого
являются четыре правильных треугольника, куб с шестью квадратными гранями, октаэдр,
имеющий восемь треугольных граней, додекаэдр, гранями которого являются
двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр с двадцатью
треугольными гранями.

Последователи
Пифагорейской философской школы форму тетраэдра придавали стихии огня.

Тетраэдр, все грани
которого равные между собой треугольники, называется равногранным тетраэдром.

Если ребра
тетраэдра, которые прилегают к одной вершине, перпендикулярны между собой, то
такой тетраэдр называется прямоугольным.

Тетраэдры обычно
изображаются в виде выпуклого или невыпуклого четырехугольника с диагоналями. При
этом штриховыми линиями изображаются невидимые ребра.

На этом рисунке
невидимым является только ребро AC.

А на этом рисунке
невидимыми являются ребра ЕК, KF, KL.

Тетраэдр образует
жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней,
часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций
пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм, мостов.

Ярким примером
тетраэдра является разработанное для Нового Орлеана «здание-город», которое
возвышается на 360 метров, включает в себя 20000 квартир, суммарная жилая
площадь которых 2040000 квадратных метров. Здание использует экологичное
энергоснабжение — энергию ветра, воды и солнца. Кроме квартир в тетраэдре
помещаются коммерческие организации, три отеля, культурные объекты, школа,
больницы и казино. И, учитывая место, под которое создавался проект, его
немаловажная особенность — способность держаться на плаву.

Решим насколько
задач.

Задача. Назовите
все пары скрещивающихся рёбер тетраэдра . Сколько таких пар рёбер имеет тетраэдр?

Решение.

Напомним, что две
прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Нетрудно увидеть,
что скрещивающимися будут ребра AB и СD,
АC и BD, АD
и BC. То есть в тетраэдре есть три пары скрещивающихся
ребер.

Задача. В
тетраэдре  , , , , , . Найти рёбра основания  данного
тетраэдра.

Решение.

Задача. Пусть
точки  и  – середины рёбер  и  тетраэдра . Доказать, что прямая  параллельна плоскости .

Доказательство.

Что и
требовалось доказать.

Подведем итоги
урока. Сегодня на уроке мы познакомились с пространственным многогранником
– тетраэдром. Познакомились с элементами тетраэдра, решили несколько задач по
данной теме.