Как найти реакции опор составной конструкции

Расчет составной конструкции:

Постановка задачи. Плоская рама состоит из двух частей, соединенных одним шарниром. На раму действует момент и силы. Учитывая погонный вес, найти реакции опор.

План решения:

Составная конструкция, состоящая из двух тел, соединенных шарниром содержит четыре неизвестные реакции опор. Так как для одного тела под действием плоской системы сил можно составить только три независимых уравнения равновесия, то для определения реакций необходимо рассматривать равновесие каждой части составной конструкции в отдельности.

1-й  способ:

1. Разбиваем систему на два тела по сочленяющему шарниру. В месте разбиения прикладываем реакции отброшенной части. Внешние связи заменяем их реакциями.

2. Для каждого тела, образованного при разбиении, составляем по три уравнения равновесия.

3. Решаем систему шести уравнений. Определяем реакции опор.

4. Делаем проверку решения, составляя уравнения равновесия целой (нерасчлененной) системы.

2-й способ:

1. Разбиваем систему на два тела по сочленяющему шарниру. В месте разбиения прикладываем реакции отброшенной части. Внешние связи заменяем их реакциями.

2. Для каждого тела, образованного при разбиении, составляем уравнения моментов относительно точки сочленения. Полученные уравнения дополняем двумя уравнениями равновесия для всей конструкции в целом.

3. Решаем систему четырех уравнений. Определяем реакции опор.

4. Делаем проверку решения, составляя уравнения равновесия целой (нерасчлененной) системы.

Задача №1

Плоская рама состоит из двух частей, соединенных в точке С шарниром. На раму действует момент М = 100 кНм, горизонтальная сила Р = 20 кН и наклонная сила Q = 10 кН. Учитывая погонный вес р = 4 кН/м, найти реакции опор (рис. 40). Дано:

2.4. Расчет составной конструкции

Решение

1-й способ

1. Разбиваем конструкцию на два тела по сочленяющему шарниру С. Получаем две части (рис. 41-42). Внешние связи конструкции заменяем реакциями.

В точке А прикладываем реакции в точке Е — реакции и К каждому телу в точке С прикладываем реакции отброшенной части. Согласно 3-му закону Ньютона, реакции для разных частей равны по величине и направлены в противоположные стороны.

Система уравнений равновесия двух тел, образованных при разбиении, замыкается — имеем шесть уравнений равновесия (по три уравнения на каждую часть) и шесть неизвестных

2. Для каждой отдельной части составляем по три уравнения равновесия:

3. Решаем систему (1-6) относительно неизвестных Можно использовать любой способ решения системы линейных уравнений  Рекомендуем наиболее эффективный для таких систем метод исключения Гаусса.

Если для решения использовать компьютер, систему лучше записать в матричном виде, предварительно вычислив правые части системы (1-6) и коэффициенты при неизвестных. Величины сил тяжести участков вычисляем через погонный вес по формуле где L — длина соответствующего участка. В нашем случае

Система (1-6) имеет следующий матричный вид:

2.4.Расчет составной конструкции

Результаты расчетов в кН заносим в таблицу:
 

4. Делаем проверку решения, составляя уравнения равновесия для целой (нерасчлененной) системы (рис. 43):

2-й способ:

1. Разбиваем конструкцию на два тела по сочленяющему шарниру С. Получаем две части (рис. 41-42). Внешние связи конструкции заменяем реакциями.

2. Относительно шарнира С для каждой части конструкции составляем уравнения моментов (3) и (6). Для всей системы в целом составляем уравнения моментов (7,8) относительно опор А и Е.

3. Решаем систему четырех уравнений (3,6,7,8) относительно четырех неизвестных, замечая, что система распадается на две: уравнения (3) и (7) для и уравнения (6) и (8) для

4. Делаем проверку решения, составляя уравнения равновесия целой (нерасчлененной) системы (рис. 43):

2.5. Конструкция с распределенными нагрузками

Конструкция с распределенными нагрузками

постановка задачи. Найти реакции опор плоской составной рамы, находящейся под действием линейно распределенной нагрузки и нагрузки, равномерно распределенной по дуге окружности.

План решения:

1. Внешние связи заменяем реакциями. Разбиваем систему на два тела по сочленяющему шарниру. К каждой из образовавшихся частей прикладываем реакции шарнира, помня о том, что части взаимодействуют с силами равными по величине и противоположными по направлению.

2. Линейную нагрузку с максимальным значением распределенную по треугольнику, заменяем на сосредоточенную в центре тяжести треугольника (1/3 длины участка L нагрузки, считая от прямого угла). Значение нагрузки вычисляем по формуле площади треугольника

3. Нагрузку q, равномерно распределенную по дуге окружности радиусом R с центральным углом заменим ее равнодействующейнаправленной по биссектрисе центрального угла ([19], §21).

4. Для каждого тела составляем по три уравнения равновесия.

5. Решаем систему шести уравнений. Определяем реакции опор.

6. Делаем проверку решения, составляя уравнения равновесия для целой (нерасчлененной) системы.

Задача №2

Найти реакции опор плоской составной рамы, находящейся под действием линейно распределенной нагрузки с максимальной интенсивностью на вертикальном участке рамы АВ

и нагрузки с интенсивностью равномерно распределенной по дуге СК окружности с центром в точке О (рис. 44). АВ = 3 м, ВС = 6 м, DE = 4 м, R = 5 м,

Решение

1. Внешние связи заменяем реакциями Число неизвестных реакций больше трех. Следовательно, для решения задачи необходимо разбить конструкцию на две и рассмотреть равновесие каждой образовавшейся части(рис.45-46)

При разбиении по шарниру к каждой из частей прикладываем реакции шарнира, помня о том, что части взаимодействуют с силами, равными по величине и противоположными по направлению.

2. Нагрузку, распределенную по линейному закону, заменяем сосредоточенной приложенной к раме на расстоянии АВ/3 от максимального значения в том же направлении (рис. 45). Величина равнодействующей вычисляется по формуле площади прямоугольного треугольника с катетами

3. Нагрузку с интенсивностью равномерно распределенную по дуге СК, заменяем ее равнодействующей

направленной по биссектрисе угла (рис. 47). Так как , то величина совпадает со значением равнодействующей нагрузки, равномерно распределенной по хорде СК, той же интенсивности . Воспользуемся тем, что вектор силы в теоретической механике является скользящим. Для удобства вычисления  момента силы переносим точку ее приложения вдоль линии действия силы в центр окружности О. То, что точка О не принадлежит раме, и сила как-бы «зависает» в воздухе, не должно смущать. Твердое тело CDE можно мысленно расширить до точки О, давая, таким образом, силе реальную точку приложения.

4. Составляем уравнения равновесия частей рамы:

5. Решаем систему (1) шести уравнений с шестью неизвестными. Результаты расчетов в кН заносим в таблицу:

Гл.2.Произвольная плоская система сил

6. Выполняем проверку решения — составляем уравнения моментов для всей системы в целом (рис. 48):

Замечание. Можно предложить второй способ решения задачи, рассмотренный в предыдущем параграфе (с. 54). Для каждого тела, образованного при разбиении, составляем уравнения моментов относительно точки сочленения С. Полученные уравнения дополняем двумя уравнениями равновесия для всей конструкции в целом (рис. 48).

Для данного примера это уравнения моментов относительно опорных шарниров А и Е.

Расчет системы трех тел, соединенных шарниром

Постановка задачи. Определить реакции опор конструкции, состоящей из трех тел, соединенных в одной точке шарниром.

План решения:

1. Расчленяем конструкцию на три отдельных тела и сочленяющий шарнир в качестве четвертого тела. Считая, что каждое из трех тел в точке сочленения взаимодействует только с осью шарнира, действие оси шарнира на тело заменяем ее реакциями.

2. Записываем по три уравнения равновесия для каждого из тел и два уравнения равновесия в проекциях для системы сил, приложенных к оси шарнира.

3. Решаем систему 11 уравнений с 11 неизвестными.

4. Выполняем проверку решения, составляя дополнительное уравнение равновесия для нерасчлененной конструкции.

Задача №3

Определить реакции опор конструкции, состоящей из трех тел, соединенных в точке С шарниром. В точке В конструкция опирается на неподвижный шарнир, в точках D и Е — подвижные шарниры, в точке А — горизонтальный опорный стержень. На конструкцию действуют силы F — 40 кН, Р — 20 кН, Q — 10 кН и сосредоточенные моменты (рис. 49); Размеры на рисунке указаны в метрах.

Решение

1. Расчленяем конструкцию на три отдельных тела ADC, СВ, СЕ и сочленяющий шарнир С в качестве четвертого тела. Считая, что каждое из трех тел в точке сочленения взаимодействует только с осью шарнира С, действие оси шарнира на тело заменяем ее реакциями (рис. 50).

2. Для каждого из тел (АС, ВС, ЕС) записываем по три уравнения равновесия — два уравнения проекций и уравнение моментов относительно точки С . Для системы сил, сходящихся в шарнире С, составляем два уравнения равновесия в проекциях (рис. 50). Получаем следующую систему уравнений:

4. Решаем систему 11 уравнений с 11 неизвестными четов в кН записываем в таблицу:

5. Выполняем проверку решения, составляя дополнительное уравнение равновесия для нерасчлененной системы (рис. 51). Моментную точку К выбираем так, чтобы в уравнения вошли все проверяемые величины

В качестве моментной точки можно выбирать любую, в том числе и не принадлежащую телу.

Замечание. Предложенный способ расчета не является единственным. Например, если из трех частей, соединенных в одном шарнире, можно отделить одну, имеющую в качестве опоры подвижный шарнир (часть СЕ, рис. 50), то получится система двух тел, одно из которых (СЕ) имеет три неизвестные реакции. Определить эти реакции можно из системы трех уравнений равновесия этой части.

Затем следует рассмотреть оставшуюся часть, состоящую их двух еще нерасчлененных тел. В качестве дополнительной нагрузки к ним будет приложены (в противоположную сторону) две реакции отброшенной третьей части.

Статически
определимые задачи
– задачи, в которых реакции внешних
связей находятся из уравнений равновесия.

В

Рис. 1.60

таких задачах число
неизвестных реакций равно числу уравнений
равновесия, которые могут быть составлены
для механической системы (рис. 1.60).

Дано:
Р, М, q.
Определить реакции внешних связей в
точках А и В.

Порядок
решения таких задач рассмотрен ранее,
поэтому сразу же записывают уравнения
равновесия для плоской произвольной
системы сил:

∑ F_ix
= 0 = X_А
– R_Bsinα
= 0; (1)

∑ F_iY
= 0 = Y_A
– Q
– P
+ R_Bcosα
= 0; (2)

∑ M_iA
= 0 = – Q·1
– P·4
– M
+ R_Bsinα·3,5tgα
+ R_Bcosα·7,5
= 0. (3)

Очевидно,
что из трех уравнений равновесия легко
находятся реакции внешних связей X_A,
Y_A,
R_B.

Статически
неопределимые задачи
– задачи, в которых реакции внешних
связей не могут быть найдены из уравнений
статического равновесия, составленных
для данной механической системы.

Для
балки (рис. 1.61) можно составить только
три уравнения равновесия, в которые
входят четыре неизвестные реакции X_A,
Y_A,
X_B,
Y_B.

Рис. 1.61

Дано:
Р, М, q.
Определить реакции внешних связей в
точках А и В.

Подробное
решение такой задачи (статически
неопределимой) рассматривается в курсе
сопротивления материалов.

1.23. Алгоритм решения задач на определение реакций внешних связей для составных конструкций

Существует
целый класс задач на равновесие составной
конструкции, которые могут быть решены
методами статики твердого тела. Решение
таких задач проводится по следующему
алгоритму.

1. Выбирается
   система отсчета.

2. Выделяется
   механическая система (составная
   конструкция), равновесие которой
   рассматривается.

3. К
   механической системе прикладываются
   активные нагрузки. Если задана
   распределенная нагрузка, то она
   приводится к сосредоточенной силе.

4. Согласно
   аксиоме связей внешние связи, наложенные
   на механическую систему, отбрасывают,
   и действие их заменяют соответствующими
   реакциями.

5. Записываются
   уравнения равновесия, соответствующие
   системе сил, действующей на составную
   конструкцию (система активных сил и
   реакций внешних связей).

6. Установив,
   что число неизвестных реакций внешних
   связей превышает число уравнений
   равновесия, составную конструкцию
   расчленяют по внутренним связям.

7. Рассматривают
   равновесие каждого из тел составной
   конструкции, которое находится в покое
   под действием активных сил, реакций
   внешних связей и реакций внутренних
   связей.

8. Для
   каждого из тел конструкции записывают
   соответствующие уравнения равновесия.

9. Полученную
   систему уравнений решают в наиболее
   удобной последовательности и находят
   неизвестные реакции внешних и внутренних
   связей.

Обычно
при расчете используются не все уравнения
равновесия, составленные для механической
системы и для каждого из тел в отдельности.
Поэтому оставшиеся уравнения используют
для проверки полученных результатов.

1.24. Варианты курсового задания с 3 «Определение реакций опор составной конструкции (система двух тел)»

Методологию
расчета реакций внешних связей, наложенных
на составную конструкцию, рассмотрим
на примере выполнения курсового задания
С 3, которое входит в контрольную работу
обучающегося.

Конструкция
состоит из двух тел. Определить реакции
внешних связей, наложенных на составную
конструкцию. Варианты расчетных схем
конструкций и приложенные к ним нагрузки
приведены в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Продолжение табл. 1.3

Продолжение табл. 1.3

Продолжение табл. 1.3

Продолжение табл. 1.3

Продолжение табл. 1.3

Продолжение табл. 1.3

Продолжение табл. 1.3

Окончание табл. 1.3

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Задачи статики

Рассмотрим примеры с системой двух и более тел. Реакции, возникающие от наложенных связей, являются для нас неизвестной величиной. Их количество зависит от наложенных связей. Если количество реакций, которые являются неизвестными, меньше числа независимых уравнений статики, то система может быть решена.

Соответственно мы можем разделить все конструкции на:

• статически определенные. Примерами подобных систем могут служить арки, фермы, балки, многопролетные балки;
• статически неопределенные, в которых тела являются неопределимыми. Образцом подобной конструкции может быть груз, закрепленный на 3 нитях, которые располагаются в одной области. При рассмотрении точки равновесия составляются 2 независимых уравнения, а неизвестных реакций будет 3 (от силы натяжения каждой из нитей).

Рассчитывая примеры из статики, определяют реакции опоры сочлененной системы, которая состоит из более чем одного тела. Частным примером такой системы является неразрезная балка. Две части системы будут соединение внутренними связями. Связи, которые называют внешними, соединяют систему из двух тел с другими телами, которые не входят в систему.

Особенность рассматриваемых конструкций заключается в том, что, убрав внешние связи система теряет жесткость, например, части могут переворачиваться вокруг шарниров.

Для решения пользуются методом расчленения, он позволяет собрать необходимое число уравнений.

Для поиска решения используют один из двух способов:

• согласно первому способу, конструкцию, которая состоит из нескольких тел освобождают от внешних связей, на схеме показывают активные силы и реакции, которые остаются после отбрасывания внешних связей. На основании схемы составляют уравнение равновесия системы сил, действующих на конструкцию. Затем отбрасываются связи внутри системы, рассматривая равновесие первой части конструкции, собираются уравнения равновесия для недостающей части. Получается, что число собранных уравнений равно числу неизвестных, соответственно, решив все уравнения, будут найдены искомые величины;
• согласно второму методу решения, конструкция освобождается от внешних и внутренних связей и разделяется на составные части. Для частей системы составляется рабочая схема, на которой показывают активные силы и реакции всех отброшенных связей. Для частей конструкции составляется уравнение равновесия и проверяется статическая определимость. После совместного решения всех уравнений будут найдены искомые величины.

Расчет реакций опор в составных конструкциях

Стандартной задачей будет определение реакции связей внутри и снаружи системы из двух тел. В качестве исходных данных выдается схема, с указанием расположения системы тел и типа опор.
Решение задачи ведется по следующему алгоритму:

• формируем упрощенную схему, указав нагрузки извне, все размеры и типы опор. Если в условиях приведена равномерно распределенная нагрузка, то заменяем ее сосредоточенной силой, которая приложена в середине элемента;
• условно отбрасываем внешние связи, на схеме показываем их реакциями;
• собираем уравнение равновесия полученной плоской системы, так как в трех уравнениях равновесия используется большее, чем количество уравнений неизвестных, то необходимо рассмотреть части конструкции по отдельности;
• отбрасываем связи внутри и рассматриваем равновесие одной из частей, с учетом активных сил и связей, которые были отброшены, составляем три уравнения равновесия, которые будут содержать два дополнительных неизвестных. Из шести полученных уравнений находим все 6 неизвестных;
• проверяем правильно полученных значений, подставляя найденные значения в уравнения.

Деля систему на две части, связи внутри нее в каждой части показывают противоположно направленными.

После определения всех неизвестных данные заносятся в таблицу. Если в результате проверки обнаружиться ошибка, то необходимо вернуться на этап составления уравнений. Все собранные уравнения равновесия должны соответствовать составленной конструкции.