Как найти разность площадей по рисунку

Сообщения без ответов | Активные темы

Автор	Сообщение
	Заголовок сообщения: Найти разницу площадей двух треугольников Добавлено: 14 окт 2021, 07:17
Beautiful Mind Зарегистрирован: 05 апр 2021, 04:44 Сообщений: 1535 Cпасибо сказано: 217 Спасибо получено: 521 раз в 469 сообщениях Очков репутации: 148	Вот, придумалась несложная задача, по-моему, симпатичная. Визуально даже великолепная. Годится для повышения самооценки учеников 8 класса. Я намеренно её упростил дабы увеличить долю удовольствия благодарным решателям. Условие продублировано на рисунке. [math]|AD| = |AC| = |BC| = a[/math] [math]|DB| = sqrt{2}·a[/math] [math]∠DAC = 60°[/math] Надо найти разницу площадей зелёного и синего треугольников, выразив через [math]a[/math]. П.С. Если кто сочтёт эту задачу слишком простой, предлагаю решить её версию для произвольного допустимого [math]|DB| = b[/math]; [math]frac{ sqrt{3} }{ 2 } a[/math] [math]<[/math] [math]b[/math] [math]< 2a[/math]
Вернуться к началу
	За это сообщение пользователю ferma-T «Спасибо» сказали: Glotov1

Rams	Заголовок сообщения: Re: Найти разницу площадей двух треугольников Добавлено: 14 окт 2021, 08:15
	ferma-T писал(а): П.С. Если кто сочтёт эту задачу слишком простой, предлагаю решить её версию для произвольного допустимого [math]|DB| = b[/math]; [math]frac{ sqrt{3} }{ 2 } a[/math] [math]<[/math] [math]b[/math] [math]< 2a[/math] ferma-T При [math]frac{ sqrt{3} }{ 2 } a[/math] [math]<[/math] [math]b[/math] [math]< a[/math] точка [math]B[/math] будет в другом положении. Вы это учитывали?
Вернуться к началу
	За это сообщение пользователю Rams «Спасибо» сказали: ferma-T

ferma-T	Заголовок сообщения: Re: Найти разницу площадей двух треугольников Добавлено: 14 окт 2021, 09:55
	Rams писал(а): Можно дать точное значение, но некрасиво, трехэтажные дроби под корнем Судя по вашему ответу с пятью синусами, вы явно решали не оптимальным способом. У меня ответ вовсе не «трехэтажные дроби под корнем«, а вполне компактный красивый ответ с одним маааааленьким корешочком. Rams писал(а): При [math]frac{sqrt{3}}{2}a < b < a[/math] точка B будет в другом положении. Я не так писал. Я писал [math]frac{sqrt{3}}{2}a < b < 2a[/math] . Но окей, не возражаю, пусть будет [math]a < b < 2a[/math] (я так и хотел сначала, но почему-то неправильно захотелось добавить возможность точке В быть прямо под точкой D но ниже [AC]). Тогда точка В уже точно будет примерно там же (в том же квадранте), что и на рисунке. Короче, поправляю условие для версии с произвольным |DB|: [math]|DB| = b; a < b < 2a[/math] Спасибо за замечание. Подождём других соискателей-энтузиастов. Последний раз редактировалось ferma-T 14 окт 2021, 10:18, всего редактировалось 4 раз(а).
Вернуться к началу
	За это сообщение пользователю ferma-T «Спасибо» сказали: Rams

Glotov1	Заголовок сообщения: Re: Найти разницу площадей двух треугольников Добавлено: 14 окт 2021, 11:22
	MihailM писал(а): А maple с вольфрамами зачем? [math]{frac{1}{2}}-{frac {sqrt {3}}{4}}[/math] Да, здесь можно увидеть, что искомая разница равна разнице между равнобедренным прямоугольным треугольником и равносторонним треугольником со стороной равной катету первого треугольника. А для b не равной а*sqrt2 ответ будет (1/2)*b*sqrt(a^2-(b/2)^2) — a*(sqrt3)/4 .
Вернуться к началу
	За это сообщение пользователю Glotov1 «Спасибо» сказали: ferma-T, Rams

Glotov1	Заголовок сообщения: Re: Найти разницу площадей двух треугольников Добавлено: 14 окт 2021, 18:25
	ferma-T писал(а): Glotov1 писал(а): А для b не равной а*sqrt2 ответ будет (1/2)*b*sqrt(a^2-(b/2)^2) — a*(sqrt3)/4 . … Только квадрат у [math]a[/math] равностороннего [math]Delta[/math] у вас зажилился.
Вернуться к началу

chebo	Заголовок сообщения: Re: Найти разницу площадей двух треугольников Добавлено: 14 окт 2021, 19:22
	[math]frac{ 2 — sqrt{3} }{ 4}a^{2}[/math] (а, написали уже… только у меня без мэпла и вольфрама, без всяких ГМО, продукт чистого разума ))
Вернуться к началу

ferma-T	Заголовок сообщения: Re: Найти разницу площадей двух треугольников Добавлено: 14 окт 2021, 21:27
	Rams писал(а): Разница площадей зелёного и синего треугольников: [math]frac{ a^{2} }{ 2 } cdot frac{ sin45^{circ} sin30^{circ}-sin15^{circ} sin60^{circ}}{ sin105^{circ} } approx 0,06699a^{2}[/math] Можно дать точное значение, но некрасиво, трехэтажные дроби под корнем. Итак, большинство соискателей нашли правильный ответ в простой форме. Но меня всё-таки раздирает любопытство, как Rams решал, how did he/she end up getting such a stunning trigonometric expression? Я сам не пробовал, но, как я понимаю, если не идти простым путём, а в лоб через тригонометрию, то там вовсе не тривиально получается. И почему у него не упростилось?
Вернуться к началу

Площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге

Рассмотрим задачи,в которых требуется найти площадь треугольника изображённого на клетчатой бумаге.

Начнем с прямоугольных треугольников.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен прямоугольный треугольник.

Найти его площадь.

Площадь прямоугольного треугольника будем искать с помощью формулы

где a и b — катеты.

Длину катетов считаем по клеточкам.

1) a=2, b=5,

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найти его площадь.

Чаще всего площадь произвольного треугольника, изображённого на клетчатой бумаге, ищут по формуле

где a — сторона треугольника, h_a — высота, проведённая к этой стороне.

a и h_a вычисляем по клеточкам (одна из этих величин должна лежать на горизонтальной линии, другая — на вертикальной).

А как найти площадь, если ни одна из сторон треугольника не лежит на горизонтальной или вертикальной линии клеток?

Иногда площадь треугольника можно найти как разность площадей других фигур.

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник.

Найдите его площадь.

Обозначим вершины треугольника, площадь которого мы ищем, через A, B и C.

Площадь треугольника ABC можно найти как разность площадей прямоугольника AMNK и треугольников AKC, AMB и CBN:

Площади прямоугольных треугольников найдём по формуле

Найдите площадь треугольника по рисунку

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь треугольника равна разности площади большого квадрата, маленького квадрата и трех прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного треугольника. Поэтому

см 2 .

Приведём другое решение:

Воспользуемся формулой для нахождения площади треугольника

Одна из сторон данного треугольника является диагональю квадрата со стороной 6, а высота, проведённая к этой стороне, является диагональю квадрата со стороной 2. Тогда

Найдите площадь треугольника изображённого

Здравствуйте! В этой статье мы разберём задачи на нахождение площади треугольника построенного на листке в клетку (масштаб клетки 1×1). Фигуры на листе в клетку с вычислением их площади — это целая группа типов задач входящая в экзамен по математике. Кроме треугольника рассматриваются следующие фигуры — трапеция, параллелограмм, ромб, квадрат.

Решение заданий с треугольником труда не представляет, относятся они к простейшим. Для решения необходимо знать формулу площади треугольника и знать один приём, о котором я вам расскажу ниже.

Вообще, способов нахождения площади любой фигуры, построенной на листе в клетку существует более пяти. Все здесь рассматривать не будем, в интернете вы без труда найдёте их описание. Уверен, что тех рекомендаций, которые представлены будет вполне достаточно для решения.

Итак! Вам необходимо знать и понимать одну из основных формул площади треугольника, она наиболее часто используется при решении:

Длину основания и высоту считаем по клеткам. В задаче 27545 это наглядно показано. То есть, если перед вами задача, где треугольник построен именно таким образом, то считаем оговоренным способом. Например, рассмотрим треугольники:

У всех этих треугольников можно по клеткам установить длину основания и высоту. У первого основание равно 3, высота 5; у второго основание 6, высота 2; у третьего основание 6, высота 2; у четвертого основание равно 3, высота 8; у пятого основание равно 6, высота 2. Подставив их в формулу, остаётся только вычислить площадь (без ошибки).

Есть задачи, в которых треугольники расположены так, что по клеткам длину основания и высоту посчитать неудобно (но можно), вот примеры:

В задачах, где будут даны подобные треугольники, используйте способ, который по моему мнению универсален, его достоинство объясню в одной из следующих статей: «заключите» такой треугольник в прямоугольник, вычислите площадь прямоугольника, затем из его площади вычтите площади треугольников. Пример:

Найти площадь треугольника, изображённого на рисунке:

Заключим данный треугольник в прямоугольник:

Теперь вычислим площадь прямоугольника. Уверен, всем известно, что она равна произведению его соседних сторон:

Далее из его площади вычитаем площади трёх треугольников:

Есть ещё подобные задачи, но в них иначе представлено условие. Также нужно найти площадь треугольника, он построен на координатной плоскости, например:

Решения аналогичны: если можем установить длину основания и высоту треугольника по координатам, то далее площадь вычисляем просто по формуле:

В треугольнике на рисунке 1 этого сделать нельзя, поэтому советую построить данный треугольник по координатам на листе в клетку, и использовать уже рассмотренный нами метод, а именно описать около треугольника прямоугольник.

В будущем мы рассмотрим нахождения площадей параллелограммов, трапеций, четырёхугольников, элементов круга, а так же «сложных» фигур, не пропустите!

Спасибо за внимание, учитесь с удовольствием!

Внимательно изучите по учебнику Г. М. Фихтенгольца главу XII, п° 193—196. Разберите примеры, приведенные в п° 196. При решении задач с геометрическим содержанием всегда старайтесь сопроводить решение чертежом.

I. Уравнения кривых заданы в декартовой системе координат.

443. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугой параболы, прямыми X=I9 х — А и отрезком

оси абсцисс.

Решение. В теоретическом курсе показано, что площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу

В данном случае (рис. 5) криволинейная трапеция ABDC9 площадь которой мы вычисляем, ограничена параллельными прямыми AB и CD, отрезком прямой AC и отрезком кривой линии BD.

Искомая площадь равна:

444. Вычислить площадь трапеции, ограниченной дугой параболы и отрезком прямой х = 2.

Решение. Из рисунка 6 видно, что искомая площадь расположена симметрично относительно оси абсцисс и, следовательно,

445. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми;

Решение. На рисунке 7 изображена фигура, площадь которой мы должны вычислить. Как видно из рисунка, площадь фигуры OBMAO можно представить как разность двух площадей (пл. OBMPO и OAMPU1 где MP — перпендикуляр, опущенный из точки M на ось Ох).

Найдем координаты точки Al. Решая систему уравнений

получимСледов ат ельн о,

Легко видеть, что данную задачу можно решить и другим путем. Искомую площадь можно представить в виде разности двух площадей—пл. OAMNO и пл. OBMNO (MN — перпендикуляр, опущенный из точки M на ось Oy):

Тогда

Ясно, что значение площади OBMAO не зависит от способа ее вычисления.

446. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей кривой:

Решение. Из уравнений кривой видно, что она расположена симметрично относительно оси Ох. Следовательно, можно легко вычислить половину искомой площади (см. рис. 8).

Рекомендуем провести самостоятельно подробное исследование кривой.

Записав уравнение кривой в виде легко найдем точки пересечения кривой с осью Ох, положив у = 0. Мы получим.Учитывая все сказанное, окончательно найдем:

447. Вычислить площадь фигуры, ограниченной синусоидой wИ осью Ох, если

Вся площадь петли равна:

Решение. Из рисунка 9 видно, что искомая площадь на сегментеРасположена над осью Ох, а на сегменте

Под осью Ох. Следовательно, достаточно вычислить площадь, ограниченную полуволной синусоиды на отрезке|, и удвоить полученный результат:

448. Найти всю площадь фигуры, ограниченной кривыми, прямыми X = 3, X = —2 и осью Ох.

Решение. Из рисунка 10 видно, что искомая площадь может быть представлена как сумма площадей:

где BA и MN—перпендикуляры, опущенные из точек В и Al на ось Ох.

Определим координаты точек В, С, М, Р. Для этого решим следующие системы уравнений:

Решая систему (I) уравнений, найдем координаты точек В и M : В (I, 2), M {— I, 2).

Решая систему (2) уравнений, найдем координаты точки С : С (3, К».

Решая систему (3) уравнений, найдем координаты точки P : Р(— 2, 5).

Найдем теперь значения промежуточных площадей:

Отсюда

449. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

450. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

451. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами:

452. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

453. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

454. Найти площадь «Ьигуоы. огоаниченной линиями:

455. Найти площадь круга:

456. Найти площадь эллипса

457. Найти площадь, заключенную между кривыми

458. Найти площадь фигуры, ограниченной гипоци-лоидой

459. Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой

И прямой

460. Вычислить площадь фигуры, заключенной между параболой, осями координат и прямой х=3,5.

461. Найти площадь фигуры, заключенной между кривыми:

462. Найти площадь частей эллипса отсеченных гиперболой

463. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой

464. Найти площадь фигуры, заключенной между кривыми

2. Кривые заданы параметрическими уравнениями. Если кривая, ограничивающая площадь плоской фигуры, задана параметрическими уравнениями:

где функцииНепрерывны вместе со своими про

изводными наТо для вычисления площади

плоской фигуры следует в определенном интеграле произвести замену переменной:

465. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом!

Решение. Эллипс расположен симметрично относительно обеих осей (рис. Последовательно, можно вычислить сначала• часть площади данной фигуры. Вычислим площадь той части плоской фигуры, которая расположена в первом квадранте:

Найдем пределы интегрирования для переменной t из условий:

Имеем:

466. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой:

PsP ш е н и е. Искомая площадь изображена на рисунке 12. Вычислим сначала площадь тсй части плоской фигуры, которая расположена в первом квадранте, это будет

Рис. 12.

часть всей искомой площади. Найдем пределы интегрирования для переменной / из условий:

Следовательно,

467. Вычислить площадь, ограниченную одной аркой циклоиды:И осью Ох.

Решение. Из рисунка 13 видно, что при изменении параметра t от 0 до 2л точка (ху у) обегает всю арку циклоиды, причем х изменяется в промежутках от 0 до 2т. Следовательно,

Вся площадь, ограниченная астроидой, равна:

о

468. Вычислить площадь четверти круга: x = 2cos t, y = 2sint.

469. Найти площадь, ограниченную эволютой эллипса:

(.Эволютой кривой называется геометрическое место её центров кривизны. Эволютой эллипса является деформированная астроида.)

470. Найти площадь, ограниченную кардиоидой:

х = a(2cost — cos 21), у = a (2sin/— sin 2/).

3. Кривые заданы в полярной системе координат. Из

теоретического курса известно, что площадь S1 ограниченная неподвижным полярным радиусом г0, подвижным полярным радиусом г и кривой г — /(ф), может быть вычислена по следующей формуле:

<Р> Ч, г

S = — j J/-2 Лр = J — j /(<р)]2<*Ф.

90

471. Вычислить площадь, ограниченную первым витком спирали Архимеда г — а<р (рис. 14).

Решение. Найдем пределы интегрирования. Первый виток спирали образуется при изменении параметра t от О до 2зх. Следовательно,

,12*

D3 Д

472. Найти площадь, ограниченную одним лепестком кривой г = a sin 2<р.

Решение. Пределы интегрирования для <р найдем из условий:

О < 2<р<я.

Отсюда

и, следовательно,

473. Вычислить площадь, ограниченную кривой г = = a cos ф.

Решение. Данная кривая—окружность радиуса у,

проходящая через полюс, расположенная симметрично относительно полярной оси. Эго легко увидеть, если перейти к декартовым координатам. (Проделайте это самостоя-

а2 I

тельно.) Тогда S = я — — = —я;а2.

7 4 4

Можно было найти искомую площадь, используя полярное уравнение данной кривой. Пределы для q> найдут* ся из условия cos ф> 0, следовательно,

1C

T

S = J a® cos2 ф dq> =

TC TC

—< ф < —.

2 Y 2

Таким образом, имеем:

474. Вычислить площадь OAB (см. рис. 15), ограниченную полярными радиусамиг, = OA и r2 = OB и дугой логарифмической спирали

Решение. Будем считать, что полярному радиусу г, соответствует полярный угол фг, а полярному радиусу г2 соответствует полярный угол ф2. Тогда

475. Найти площадь петли листа Декарта:

Решение. Перейдем к полярным координатам с помощью известных соотношений:

Уравнение данной кривой в полярных координатах примет вид:

откуда

На получим

откуда

, в этом промежутке изменения полярного

углаф кривая опишет петлю. ПриИли

знаменатель стремится к нулю и, следовательно, р —» оо. Это значит, что существует асипмтота данной кривой. Найдем ее, пользуясь исходным уравнением кривой в лекап-товых координатах. Разделив обе части равенства

Из полученного уравнения кривой видно, чтоПри

HO

и, следовательно, таким образом,

Уравнение асимптоты:

Подставляя вместо k и b найденные значения, получим искомое уравнение асимптоты данной кривой:

Для построения данной кривой совместим полюс с началом декартовых координат и будем считать положительное направление оси Ox совпадающим с направлением полярной оси. Составим таблицу значений

Соединяя теперь плавной кривой полученные точки, получим петлю данной кривой (рис. 16).

Найдем площадь, ограниченную петлей листа Декарта. Из геометрических соображений видно, что полярный угол <р

изменяется от 0 до.Tаким образом, находим:

476. Вычислить площадь круга

477. Найти площадь, ограниченную петлей лемнискаты>

Построив предварительно данную кривую.

478. Найти площадь, ограниченную кривой:

P = a cos 4<р.

479. Найти площадь, ограниченную одним лепестком кривой:

P = a cos 2ф.

480. Найти площадь фигуры, ограниченной вторым витком спирали Архимеда р = аф и отрезком полярной оси, соединяющим концы первого и второго витков (см. рис. 14).

481. Найти площадь, ограниченную улиткой Паскаля:

P = 2а (2 cos ф).

482. Вычислить площадь, ограниченную кардиоидой:

P = а (I — cos ф).

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

Смотри также материал: Как быстро выучить формулы

В этой статье — основные типы заданий №1 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам 

1. На клетчатой бумаге с размером клетки  изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований: 

Ответ: 3.

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна Тогда

Ответ: 45.

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на

Решение:

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

Осталось умножить найденное значение синуса на

Ответ: 1.

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки  Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

 , где и — диагонали.

Получим: 

Ответ: 12.

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки  Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

Ответ: 18.

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

Ответ: .

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Ответ: .

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки  

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна

Площадь каждого из маленьких треугольников равна

Тогда площадь четырехугольника

9. Авторская задача.  Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 

Решение:

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.

Ответ: 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга 

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в  раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в  раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: .

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще круга, то есть круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на . Получим:

Ответ: 1,05.

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна , то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.

Ответ: 7.

Задачи на координатной плоскости 

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда

Ответ: 20

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.

Ответ: 16.