Как найти равные потенциалы

В литературе описано несколько методов преобразования электрических цепей [1; 2; 3]. В этих статьях описаны и методы упрощения схем, имеющих точки равного потенциала. Но при решении подобных задач авторы обычно пишут так: «Из симметрии ветвей цепи видно, что точки В и D имеют равные потенциалы» [2], хотя эта видимость не совсем очевидна.

Рассмотрим способы нахождения точек одинакового потенциала более подробно. Пусть нам дана электрическая цепь, состоящая из сопротивлений R₁, R₂, …, R₈ (рис. 1 а). Проведем через точки подключения цепи прямую АВ (рис. 1 б).

1 способ. Если схема содержит проводники с одинаковым сопротивлением, расположенные симметрично относительно определенной оси или плоскости, то концы этих проводников имеют одинаковый потенциал. При этом точки будут симметричными относительно прямой АВ, если равны сопротивления участков цепи между данными точками и любыми точками этой прямой.

Используя этой признак, можно сделать вывод, что точки С₁ и С₂ (рис. 1 б) будут симметричны относительно прямой АВ, если R₁ = R₂ (сопротивления между точкой А и С₁ и между точкой А и С₂ равны) и R₅ = R₆ (сопротивления между точкой В и С₁ и между точкой В и С₂ равны). Аналогично, точки С₃ и С₄ будут симметричны относительно прямой АВ, если R₃ = R₄ и R₇ = R₈.

а.

б.
Рис. 1.

2 способ. Точки имеют одинаковый потенциал, если равны отношения сопротивлений между данными точками и точками подключения.

Например, точки С₁ и С₂ (рис. 1 а) имеют одинаковый потенциал, если . Аналогично, точки С₃ и С₄ имеют одинаковый потенциал, если .

Покажем на примерах, как можно использовать эти способы для преобразования электрических цепей.

Метод объединения равнопотенциальных узлов:точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы.

Пример 1. Определите сопротивление электрической цепи (рис. 2), если: а) R₁ = R₃ = 2R, R₂ = R₄ = R, R₅ = 3R; б) R₁ = R₄ = 2R, R₂ = 4R, R₃ = R, R₅ = 5R.

Рис. 2.

а) Если провести через точки подключения прямую АВ (рис. 3 а), то равны сопротивления участков АС₁ и АС₂ (R₁ = R₃), и равны сопротивления участков ВС₁ и ВС₂ (R₂ = R₄). Следовательно, точки С₁ и С₂ симметричны относительно прямой АВ и имеют равные потенциалы.

Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 3, б). Резисторы R₁ и R₃ соединены параллельно, и резисторы R₂ и R₄ – параллельно, участки 1/3 и 2/4 последовательно. Следовательно,

б) Если провести прямую АВ (рис. 3 а), то сопротивления участков АС₁ и АС₂ не равны , следовательно, точки С₁ и С₂ не симметричны относительно прямой АВ. НО точки С₁ и С₂имеют равные потенциалы, т.к. .

Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 3 б). Резисторы R₁ и R₃ соединены параллельно, и резисторы R₂ и R₄ – параллельно, участки 1/3 и 2/4 последовательно. Следовательно,

а

б
Рис. 3.

Пример 2. Найдите сопротивление проволочного куба между точками А₁ и В₃ (рис. 4). Сопротивление каждого ребра R₀.

Рис. 4.

Рис. 5.

Проведем через точки подключения прямую А₁В₃ (рис. 5). Равны сопротивления (равны длины – ребра) участков А₁В₁, А₁А₂ и А₁А₄, и равны сопротивления (равны длины – диагонали) участков В₃В₁, В₃А₂ и В₃А₄. Следовательно точки В₁, А₂ и А₄ симметричны относительно прямой А₁В₃ и имеют равные потенциалы. Равны сопротивления участков А₁А₃, А₁В₂ и А₁В₄, и равны сопротивления участков В₃А₃, В₃В₂ и В₃В₄. Следовательно точки А₃, В₂ и В₄ симметричны относительно прямой А₁В₃ и имеют равные потенциалы.

Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 6). Три резистора R₀ соединены параллельно между точками А₁ и А₂ (В₁, А₄), шесть резисторов R₀ – параллельно между точками А₂ (В₁, А₄) и А₃ (В₂, В₄), три резистора R₀ – параллельно между точками А₃ (В₂, В₄) и В₃, участки между этими точками соединены последовательно. Следовательно,

.

Рис. 6.

Пример 3. Найдите сопротивление проволочного куба между точками А₁ и В₂ (рис. 4). Сопротивление каждого ребра R₀.

Проведем через точки подключения прямую А₁В₂ (рис. 7 а). Равны сопротивления (равны длины – ребра) участков А₁В₁, А₁А₂, и равны сопротивления (равны длины – ребра) участков В₂В₁, В₂А₂. Следовательно точки В₁ и А₂ симметричны относительно прямой А₁В₂ и имеют равные потенциалы. Равны сопротивления участков А₁А₃ и А₁В₄, и равны сопротивления участков В₂А₃ и В₂В₄. Следовательно, точки А₃ и В₄А₁  симметричны относительно прямой В₂ и имеют равные потенциалы.

Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 7 б). Используя рекуррентный метод, схему можно упростить (рис. 7 в или г).

Точки А₂ и В₄имеют равные потенциалы, т.к. . Точки с одинаковыми потенциалами можно соединять в узлы (рис. 7 д). Резисторы на участке А₁А₂ соединены параллельно, и резисторы на участке А₂В₂ – параллельно, а эти участки соединены последовательно. Следовательно,

а

б

в

г

д
Рис. 7.

Если возможно объединение двух равнопотенциальных узлов, то возможен и обратный переход.

Метод разделения узлов: узел схемы можно разделить на два или несколько узлов, если получившиеся при этом узлы имеют одинаковые потенциалы.

Обязательным условием при этом является проверка получившихся при разделении узлов на равенство потенциалов (симметричность или пропорциональность сопротивлений).

Пример 4. Найдите сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис. сопротивлением R₀ каждый.

Рис. 8.

Разделим узел в середине каркаса на два узла О₁ и О₂ так, как показано на рис. 9 а. Это можно сделать, так как точки О₁ и О₂ имеют равные потенциалы: равны сопротивления участков AO₁, AO₂, и равны сопротивления участков BO₁, BO₂. Перерисуем схему в стандартный вид (рис. 9 б). Используя рекуррентный метод, схему можно упростить (рис. 9 в), т.к. сопротивление участка C₁F₁ равно , аналогично . Тогда общее сопротивление цепи равно .

Обратите внимание. С точки зрения геометрии точки О₃ и О₄ симметричны относительно прямой а (рис. 9 г), но потенциалы этих точек не равны, т.к. сопротивления участков АО₃ и АО₄ не равны, а отношения сопротивлений участков АО₃ и АО₄ не равны отношению сопротивлений участков ВО₃ и ВО₄.

а

б

в

г
Рис. 9.

Пример 5. Найти сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис. 10) сопротивлением R₀ каждый.

Разделим узел в середине каркаса на три узла О₁, О₂ и О₃ так, как показано на рис. 11 а. Это можно сделать, так как точки О₁, О₂ и О₃ имеют равные потенциалы: равны сопротивления участков AO₁ и BO₁, участков AO₂ и BO₂, и участков AO₃ и BO₃, следовательно, отношения сопротивления этих участков равны.

Перерисуем схему в стандартный вид (рис. 11, б). Используя рекуррентный метод, схему можно упростить (рис. 11 в), т.к. сопротивление участка C₁F₁ равно , аналогично , сопротивление . Тогда общее сопротивление цепи равно

а

б

в
Рис. 11.

Литература

1. Зильберман А. Расчет электрических цепей // Квант. – 1988. – № 8. – С. 30-34.
2. Петросян В.Г., Долгополова Л.В., Лихицкая И.В. Методы расчета резисторных схем постоянного тока // Физика. – 2002. – № 14, 18, 22.
3. Хацет А. Методы расчета эквивалентных сопротивлений // Квант. – 1972. – № 2. – С. 54-59.

Введение

Решение задач — неотъемлемая часть обучения
физике, поскольку в процессе решения задач
происходит формирование и обогащение физических
понятий, развивается физическое мышление
учащихся и совершенствуется их навыки
применения знаний на практике.

В ходе решения задач могут быть поставлены и
успешно реализованы следующие дидактические
цели:

• Выдвижение проблемы и создание проблемной
  ситуации;
• Обобщение новых сведений;
• Формирование практических умений и навыков;
• Проверка глубины и прочности знаний;
• Закрепление, обобщение и повторение материала;
• Реализация принципа политехнизма;
• Развитие творческих способностей учащихся.

Наряду с этим при решении задач у школьников
воспитываются трудолюбие, пытливость ума,
смекалка, самостоятельность в суждениях, интерес
к учению, воля и характер, упорство в достижении
поставленной цели. Для реализации перечисленных
целей особенно удобно использовать
нетрадиционные задачи.

По школьной программе на рассмотрение данной
темы очень мало отводится времени, поэтому
учащиеся более или менее успешно овладевают
методами решения задач данного типа. Но часто
такие типы задач встречаются олимпиадных
заданиях, но базируются они на школьном курсе.

К таким, нестандартным задачам по расчету
электрических цепей постоянного тока можно
отнести задачи, схемы которых:

1) содержат большое число элементов –
резисторов или конденсаторов;

2) симметричны;

3) состоят из сложных смешанных соединений
элементов.

В общем случае всякую цепь можно рассчитать,
используя законы Кирхгофа. Однако эти законы не
входят в школьную программу. К тому же, правильно
решить систему из большого числа уравнений со
многими неизвестными под силу не многим учащимся
и этот путь не является лучшим способом тратить
время. Поэтому нужно уметь пользоваться
методами, позволяющими быстро найти
сопротивления и емкости контуров.

§2. Метод эквивалентных схем

Метод эквивалентных схем заключается в том, что
исходную схему надо представить в виде
последовательных участков, на каждом из которых
соединение элементов схемы либо
последовательно, либо параллельно. Для такого
представления схему необходимо упростить. Под
упрощением схемы будем понимать соединение или
разъединение каких-либо узлов схемы, удаление
или добавление резисторов, конденсаторов,
добиваясь того, чтобы новая схема из
последовательно и параллельно соединенных
элементов была эквивалентна исходной.

Эквивалентная схема – это такая схема, что при
подаче одинаковых напряжений на исходную и
преобразованную схемы, ток в обеих цепях будет
одинаков на соответствующих участках. В этом
случае все расчеты производятся с
преобразованной схемой.

Чтобы начертить эквивалентную схему для цепи
со сложным смешанным соединением резисторов
можно воспользоваться несколькими приемами. Мы
ограничимся рассмотрением в подробностях лишь
одного из них – способа эквипотенциальных узлов.

Этот способ заключается в том, что в
симметричных схемах отыскиваются точки с
равными потенциалами. Эти узлы соединяются между
собой, причем, если между этими точками был
включен какой-то участок схемы, то его
отбрасывают, так как из-за равенства потенциалов
на концах ток по нему не течет и этот участок
никак не влияет на общее сопротивление схемы.

Таким образом, замена нескольких узлов равных
потенциалов приводит к более простой
эквивалентной схеме. Но иногда бывает
целесообразнее обратная замена одного узла

несколькими узлами с равными потенциалами, что
не нарушает электрических условий в остальной
части.

Рассмотрим примеры решения задач эти методом.

З а д а ч а №1

Рассчитать сопротивление между точками А и В
данного участка цепи. Все резисторы одинаковы и
их сопротивления равны r.

Решение:

В силу симметричности ветвей цепи точки С И Д
являются эквипотенциальными. Поэтому резистор
между ними мы можем исключить. Эквипотенциальные
точки С и Д соединяем в один узел. Получаем очень
простую эквивалентную схему:

Сопротивление которой равно:

RАВ=Rac+Rcd=r*r/r*r+r*r/r+r=r.

З а д а ч а № 2

Решение:

В точках F и F` потенциалы равны, значит
сопротивление между ними можно отбросить.
Эквивалентная схема выглядит так:

Сопротивления участков DNB;F`C`D`; D`, N`, B`; FCD равны
между собой и равны R1:

1/R1=1/2r+1/r=3/2r

R1=2/3*r

С учетом этого получается новая эквивалентная
схема:

Ее сопротивление и сопротивление исходной цепи
RАВ равно:

1/RАВ=1/r+R1+R1+1/r+R1+R1=6/7r

RАВ=(7/6)*r.

З а д а ч а № 3.

Решение:

Точки С и Д имеют равные потенциалы.
Исключением сопротивление между ними. Получаем
эквивалентную схему:

Искомое сопротивление RАВ равно:

1/RАВ=1/2r+1/2r+1/r=2/r

RАВ=r/2.

З а д а ч а № 4.

Решение:

Как видно из схемы узлы 1,2,3 имеют равные
потенциалы. Соединим их в узел 1. Узлы 4,5,6 имеют
тоже равные потенциалы- соединим их в узел 2.
Получим такую эквивалентную схему:

Сопротивление на участке А-1, R 1-равно
сопротивлению на участке 2-В,R3 и равно:

R1=R3=r/3

Сопротивление на участке 1-2 равно: R2=r/6.

Теперь получается эквивалентная схема:

Общее сопротивление RАВ равно:

RАВ= R1+ R2+ R3=(5/6)*r.

З а д а ч а № 5.

Решение:

Точки C и F-эквивалентные. Соединим их в один
узел. Тогда эквивалентная схема будет иметь
следующий вид:

Сопротивление на участке АС:

Rас=r/2

Сопротивление на участке FN:

R_FN =

Сопротивление на участке DB:

R_DB =r/2

Получается эквивалентная схема:

Искомое общее сопротивление равно:

R_AB= r.

Задача №6

Решение:

Заменим общий узел О тремя узлами с равными
потенциалами О, О₁ , О₂. Получим
эквивалентную систему:

Сопротивление на участке ABCD:

R₁=(3/2)*r

Сопротивление на участке A`B`C`D`:

R₂= (8/3)*r

Сопротивление на участке ACВ

R₃ = 2r.

Получаем эквивалентную схему:

Искомое общее сопротивление цепи R_AB
равно:

R_AB= (8/10)*r.

Задача №7.

Решение:

“Разделим” узел О на два эквипотенциальных
угла О₁ и О₂. Теперь схему можно
представить, как параллельные соединение двух
одинаковых цепей. Поэтому достаточно подробно
рассмотреть одну из них:

Сопротивление этой схемы R₁ равно:

R₁ = 3r

Тогда сопротивление всей цепи будет равно:

R_AB = (3/2)*r

З а д а ч а №8

Решение:

Узлы 1 и 2 – эквипотенциальные, поэтому соединим
их в один узел I. Узлы 3 и 4 также эквипотенциальные
– соединимих в другой узел II. Эквивалентная
схема имеет вид:

Сопротивление на участке A- I равно
сопротивлению на участке B- II и равно:

R_I =

Сопротивление участка I-5-6- II равно:

R_II = 2r

Cопротивление участка I- II равно:

R_III =

Получаем окончательную эквивалентную схему:

Искомое общее сопротивление цепи R_AB=(7/12)*r.

З а д а ч а №9

В ветви ОС заменим сопротивление на два
параллельно соединенных сопротивления по 2r.
Теперь узел С можно разделить на 2
эквипотенциальных узла С₁ и С₂.
Эквивалентная схема в этом случае выглядит так:

Сопротивление на участках ОС_IB и DC_IIB
одинаковы и равны, как легко подсчитать 2r. Опять
чертим соответствующую эквивалентную схему:

Сопротивление на участке AOB равно
сопротивлению на участке ADB и равно (7/4)*r. Таким
образом получаем окончательную эквивалентную
схему из трех параллельно соединенных
сопротивлений:

Ее общее сопротивление равно R_AB= (7/15)*r

З а д а ч а № 10

Точки СОD имеют равные потенциалы – соединим их
в один узел О^I .Эквивалентная схема
изображена на рисунке :

Сопротивление на участке А О^I равно . На участке
О^IВ сопротивление равно .Получаем совсем
простую эквивалентную схему:

ЕЕ сопротивление равно искомому общему
сопротивлению

R_AB=(5/6)*r

Задачи № 11 и № 12 решаются несколько иным
способом, чем предыдущие. В задаче №11 для ее
решения используется особое свойство
бесконечных цепей, а в задаче № 12 применяется
способ упрощения цепи.

Задача № 11

Решение

Выделим в этой цепи бесконечно повторяющееся
звено, оно состоит в данном случае из трех первых
сопротивлений. Если мы отбросим это звено, то
полное сопротивление бесконечной цепи R не
измениться от этого , так как получится точно
такая же бесконечная цепь. Так же ничего не
измениться, если мы выделенное звено подключим
обратно к бесконечному сопротивлению R, но при
этом следует обратить внимание , что часть звена
и бесконечная цепь сопротивлением R соединены
параллельно. Таким образом получаем
эквивалентную схему :

Получается уравнения

R_AB=2ч +

R_AB = R

Решая систему этих уравнений, получаем:

R=ч (1+ ).

§3. Обучение решению задач по расчету
электрических цепей способом эквипотенциальных
узлов

Задача – это проблема, для разрешения которой
ученику потребуются логические рассуждения и
выводы. Строящиеся на основе законов и методов
физики. Таким образом, с помощью задач происходит
активизация целенаправленного мышления
учащихся.

В то же время. Теоретические знания можно
считать усвоенными только тогда, когда они
удачно применяются на практике. Задачи по физике
описывают часто встречающиеся в жизни и на
производстве проблемы, которые могут быть решены
с помощью законов физики и, если ученик успешно
решает задачи, то можно сказать, что он хорошо
знает физику.

Для того, чтобы ученики успешно решали задачи,
недостаточно иметь набор методов и способов
решения задач, необходимо еще специально учить
школьников применению этих способов.

Рассмотрим план решения задач по расчету
электрических цепей постоянного тока методом
эквипотенциальных узлов.

1. Чтение условия.
2. Краткая запись условия.
3. Перевод в единицы СИ.
4. Анализ схемы:
1. установить, является ли схема симметричной;
2. установить точки равного потенциала;
3. выбрать, что целесообразнее сделать –
   соединить точки равных потенциалов или же,
   наоборот, разделить одну точку на несколько
   точек равных потенциалов;
4. начертить эквивалентную схему;
5. найти участки только с последовательным или
   только с параллельным соединением и рассчитать
   общее сопротивление на каждом участке по законам
   последовательного и параллельного соединения;
6. начертить эквивалентную схему, заменяя участки
   соответствующими им расчетными сопротивлениями;
7. пункты 5 и 6 повторять до тех пор, пока не
   останется одно сопротивление, величина которого
   и будет решением задачи.
5. Анализ реальности ответа.

Подробнее об анализе схемы

а) установить, является ли схема симметричной.

Определение. Схема симметрична, если одна ее
половина является зеркальным отражением другой.
Причем симметрия должна быть не только
геометрической, но должны быть симметричны и
численные значения сопротивлений или
конденсаторов.

Примеры:

1)

Схема симметричная, так как ветви АСВ и АДВ
симметричны геометрически и отношение
сопротивления на одном участке АС:АД=1:1 такое же,
как и на другом участке СД:ДВ=1:1.

2)

Схема симметричная, так как отношение
сопротивлений на участке АС:АД=1:1 такое же, как и
на другом участке СВ:ДВ=3:3=1:1

3)

Схема не симметрична, так как отношения
сопротивлений численно

не симметричны -1:2 и 1:1.

б) установить точки равных потенциалов.

Пример:

Из соображений симметрии делаем вывод, что в
симметричных точках потенциалы равны. В данном
случае симметричными точками являются точки С и
Д. Таким образом, точки С и Д – эквипотенциальные
точки.

в) выбрать, что целесообразно сделать –
соединить точки равных потенциалов или же,
наоборот, разделить одну точку на несколько
точек равных потенциалов.

Мы видим в этом примере, что между точками
равных потенциалов С и Д включено сопротивление,
по которому ток не будет течь. Следовательно, мы
можем отбросить это сопротивление, а точки С и Д
соединить в один узел.

г) начертить эквивалентную схему.

Чертим эквивалентную схему. При этом получаем
схему с соединенными в одну точку точками С и Д.

д) найти участки только с последовательным или
только с параллельным соединением и рассчитать
общее сопротивление на каждом таком участке по
законам последовательного и параллельного
соединения.

Из полученной эквивалентной схемы видно, что на
участке АС мы имеем два параллельно соединенных
резистора. Их общее сопротивление находится по
закону параллельного соединения:

1/ Rобщ=1/R1+1/R2+1/R3+…

Таким образом 1/RAC=1/r+1/r=2/r,откуда RAC= r/2.

На участке СВ картина аналогичная:

1/RCB= 1/r+1/r =2/r, откуда RCB=r/2.

е)начертить эквивалентную схему, заменяя
участки соответствующими им расчетными
сопротивлениями.

Чертим эквивалентную схему подставляя в нее
рассчитанные сопротивления участков RAC и RCB:

ж)пункты д) и е) повторять до тех пор, пока
останется одно сопротивление, величина которого
и будет решением задачи.

Повторяем пункт д): на участке АВ имеем два
последовательно соединенных сопротивления. Их
общее сопротивление находим по закону
последовательного соединения:

Rобщ= R1+R2+R3+… то есть, RAB=RAC+RCB = r/2+r/2 =2r/2 = r.

Повторяем пункт е): чертим эквивалентную
схему:

Мы получили схему с одним сопротивлением,
величина которого равна сопротивлению исходной
схемы. Таким образом, мы получили ответ RAB = r.

Далее, для проверки усвоения данного материала
можно учащимся предложить задания для
самостоятельной работы, взятые из
дидактического материала. (см. приложение)

1. Балаш. В.А. задачи по физике и методы их решения. —
   М: Просвещение,1983.
2. Лукашик В.И. Физическая олимпиада.- М:
   Просвещение, 2007
3. Усова А.В., Бобров А.А. Формирование учебных
   умений и навыков учащихся на уроках физики.- М:
   Просвещение,1988
4. Хацет А. Методы расчета эквивалентных схем
   //Квант.
5. Чертов А. Г. Задачник по физике. – М.: Высшая
   школа,1983
6. Зиятдинов Ш.Г., Соловьянюк С.Г. (методические
   рекомендации) г. Бирск,1994г
7. Марон А.Е., Марон Е.А. Физика. Дидактические
   материалы. Москва, “Дрофа”, 2004г

Методы расчета резисторных схем постоянного тока

1.3.2. Метод объединения равнопотенциальных узлов

Задача 9. Найти сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис. а) сопротивлением R каждый.

Решение. Точки 2, 3, 5 совершенно равнозначны и имеют одинаковые потенциалы, т.к. расположены симметрично относительно оси АВ, так что токи, идущие по ветвям 1-2, 1-3, 1-5 равны. Аналогично точки 4, 6 и 7 также имеют одинаковые потенциалы. Объединим точки с равными потенциалами и получим простую схему (рис. б)

из трех последовательных звеньев с параллельными резисторами. Общее сопротивление цепи равно 5R/6.

Задача 10. Найти сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис. а) сопротивлением R каждый.

Решение. Преобразуем схему (рис. б).

Из ее симметрии следует, что потенциалы точек 4 и 6; 3 и 5 попарно равны, что позволяет объединить попарно узлы 4 и 6, 3 и 5 и получить сначала схему, изображенную на рис. в, а затем изображенную на рис. г.

Легко видеть, что общее сопротивление цепи АВ равно 7R/12.

1.1. Шаговый (рекуррентный) метод

1.2. Метод преобразования

1.3. Метод равнопотенциальных узлов

1.3.1. Метод исключения «пассивных» участков цепи

1.3.2. Метод объединения равнопотенциальных узлов

1.3.3. Метод разделения узлов

1.3.4. Метод расщепления ветвей

1.4.1 Расчет эквивалентных сопротивлений линейных бесконечных цепей

1.4.2. Расчет эквивалентных сопротивлений плоскостных бесконечных цепей

1.4.3. Расчет эквивалентных сопротивлений объемных бесконечных цепей

2. Расчет цепей по правилам Кирхгофа

3. Преобразование и расчет цепей с помощью перехода «звезда» — «треугольник»

Уравнением линии
равного потенциала является уравнение
окружности с радиусом:

.

И координатами
центра окружности

;

;

.

— расстояние от электрической оси,
расположенной справа от оси OY
до произвольной точки на линии равного
потенциала;

— то же для оси слева от OY
.

Таким образом,
если найдено К, то для каждой линии
равного потенциала могут быть вычислены

и радиус
,

- порядковый номер линии.

Расчёт

производится следующим образом, пусть
U_o
заданная разность потенциала между
электрическими осями, тогда:

где
;

При
условии, что ΔU
= const,
имеем В = const,
т.е. число К при возрастании порядкового
номера линий изменяются в геометрической
прогрессии:

В
нашем случае:

;

Если счет линий
выполнять слева направо, из рис.1 следует:

м;

м;

;

м;

м;

;

Определим В, имея
ввиду, что по условию n-1=10

.

Дальнейший расчет,
связанный с определением радиусов и
координат центра эквивалентных
окружностей, сводим в таблицу.

Таблица 1.1 Расчет
линий равного потенциала

Радиусы первой и
последней линии равны радиусам цилиндров.

1. Построение линий равного потенциала

По данным таблицы
1 и с учетом результатов расчета по
пункту 1.1 производится построение линий
равного потенциала. Построение
производится на миллиметровой бумаге
формата А3 (297*420 мм) для первой схемы в
масштабе 1:1, для второй в масштабе 1:2. На
чертеже должны быть нанесены все основные
величины, полученные при расчете.

1.4 Расчет линий напряжённости е поля

Уравнение любой
линии Е поля является уравнением дуги
окружности, пересекающейся с электрическими
осями с координатами центра:

;

,

где β – угол между
линиями соединяющими точку пересечения
κ-той линии напряженности Е с плоскостью
нулевого потенциала с электрическими
центрами цилиндров.

Линии Е поля должны
быть построены так, чтобы весь поток Е
был поделён ими на равное целое число
трубок. Для этого, при переходе от любой
линии Е к соседней необходимо изменить
угол β на постоянную величину
.

Вычисление

:

За начальную линию
Е принимают линию, соединяющую
электрические оси. Угол для неё равен:

.

Вторую линию строят
(от руки) таким образом, чтобы в результате
пересечения обеих линий с эквипотенциальной
линией получался квадрат.

Соединяя любую
точку отрезка второй линии, являющегося
верхней стороной квадрата, с электрическими
осями находят угол β₂
и вычисляют
:

Поскольку
диапазон изменения
,
то число линий Е поля:

Полученный
результат округляется до ближайшего
целого чётного
.

После
этого уточняется
:

;;.

Округляем
до ближайшего чётного числа;

;

Расчет координат

сведен в таблицу
1.2.

Таблица 1.2 Расчет
линий напряженности поля

Начиная с 180⁰
значения

будут повторяться
по величине и знаку.

1.5 Построение
линий напряжённости

Построение
выполняется в соответствии с таблицей
1.2 и пунктом 1.3. Линии Е проводятся в виде
дуг окружностей, пересекающихся с
электрическими осями. В результате
получаем полную картину поля в форме
ортогональной сетки.

2 Определение
точки с максимальной Е

2.1 Аналитический
расчет:

в той точке, где

,
исследуя картину поля можно показать,
что точка с максимальной Е принадлежит
линии соединяющей оси и имеет координаты

;

т.е. находится на поверхности левого
(меньшего) цилиндра:

В/м.

2.2 Расчет Е_max
по картине поля:

При известной
величине приращения

потенциала, максимальное значение Е
поля:

,

будет в точке
.

Этому значению
соответствует отрезок линии, соединяющий
электрические оси, ограниченный с одной
стороны следом поверхности меньшего
цилиндра, с другой – соседней линией
равного потенциала:

В/м.

3 Расчет и
построение кривой распределения заряда
по периметру.

3.1 Аналитический
расчет

Граничное условие
для поля в диэлектрике на поверхности
проводника может быть записано:

здесь
.

- плотность электрического заряда на
поверхности проводника;

— угол, отсчитываемый по периметру
цилиндра от оси ОХ в направлении против
часовой стрелки.

Величина
приращения

выбирается из условия:

— целое число.

В
данном случае

(таблица 3.1)

3.2 Расчет по
картине поля

ΔU=U₀/10


– определяется
длиной средней нормали, проведённой
между линиями Е поля к поверхности
цилиндра. Данные расчёта сводятся в
таблицу 3.1.

По
данным пунктов 3.1, 3.2. строятся кривые
(рис. 3.) распределения заряда по периметру
цилиндра. После построения кривых

необходимо провести их анализ и сделать
вывод.

Таблица 3.1

Рис.3
— Кривые распределения заряда по периметру
цилиндра

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #