Как найти равенство векторов

Определение. Вектора a и b называются равными, если они имеют одинаковую длину, лежат на параллельных прямых или на одной прямой, и направлены в одном направлении. (рис. 1).

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

a = b, если a↑↑b и |a| = |b|.

Условие равенства векторов.Вектора равны, если их координаты равны.

Примеры задач на равенство векторов

Примеры плоских задач на равенство векторов

Пример 1. Определить какие из векторов равны a = {1; 2}, b = {1; 2}, c = {3; 2}.

Решение:

a = b — так как их координаты равны,
ac — так как их координаты не равны,
bc — так как их координаты не равны.

Пример 2. При каком значении параметра n вектора a = {1; 8;} и b = {1; 2n} равны.

Решение:

Проверим равенство компонентов векторов
ax = bx = 1
ay = by => 8 = 2n => n = 8/2 = 4

Ответ: при n = 4 вектора a и b равны.

Примеры пространственных задач на равенство векторов

Пример 3. Определить какие из векторов равны a = {1; 2; 4}, b = {1; 2; 2}, c = {1; 2; 4}.

Решение:

a = c — так как их координаты равны,
ab — так как их координаты не равны,
bc — так как их координаты не равны.

Пример 4. При каком значении параметра n вектора a = {1; 2; 4} и b = {1; 2; 2n} равны.

Решение:

Проверим равенство компонентов векторов
ax = bx = 1
ay = by = 2
az = bz => 4 = 2n => n = 4/2 = 2

Ответ: при n = 2 вектора a и b равны.

Некоторые физические величины, например, сила или скорость характеризуются не только числовым значением, но и направлением. Такие величины называются векторными: F ⃗ – сила, v ⃗ – скорость.
Дадим геометрическое определение вектора.
Вектором называется отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом.
На чертежах вектор изображается отрезком со стрелкой, указывающей конец вектора. Вектор обозначают двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними. Первая буква обозначает начало вектора, вторая – конец.

Вектор можно обозначить и одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней.

Длиной вектора называется длина отрезка, который изображает этот вектор. Для обозначения длины вектора используют вертикальные скобки.
Вектор, у которого конец совпадает с началом, называется нулевым вектором. Нулевой вектор изображается точкой и обозначается двумя одинаковыми буквами или нулём со стрелкой над ним. Длина нулевого вектора равна нулю: |0 ⃗|= 0.

Введём понятие коллинеарных векторов. Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считают коллинеарным любому вектору.

Если ненулевые коллинеарные векторы имеют одинаковое направление, то такие векторы будут сонаправленными. Если их направления противоположны – они называются противоположно направленными.
Для обозначения сонаправленных и противоположно направленных векторов существуют специальные обозначения:
m ⃗ ↑↑ р ⃗, если векторы m ⃗ и р ⃗ сонаправлены;
m ⃗ ↑↓ n ⃗ , если векторы m ⃗ и n ⃗ противоположно направлены.
Рассмотрим движение автомобиля. Скорость каждой его точки является векторной величиной и изображается направленным отрезком. Так как все точки автомобиля движутся с одинаковой скоростью, то все направленные отрезки, изображающие скорости разных точек, имеют одинаковое направление и их длины равны. Этот пример даёт нам подсказку, как определить равенство векторов.
Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. Равенство векторов можно записать с помощью знака равно: a ⃗ = b ⃗, KH ⃗ = OE
Если точка Р начало вектора р ⃗, то считают, что вектор р ⃗ отложен от точки Р.

Докажем, что от любой точки О можно отложить вектор, равный данному вектору р ⃗, и притом только один.

Доказательство:
1) Если р ⃗ – нулевой вектор, то ОО ⃗ = р ⃗.
2) Если вектор р ⃗ ненулевой, точка Р – начало этого вектора, а точка Т – конец.
Проведём через точку О прямую, параллельную РТ. На построенной прямой отложим отрезки ОА1 и ОА2, равные отрезку РТ.

Выберем из векторов ОА1 и ОА2 вектор, который сонаправлен с вектором р ⃗. На нашем чертеже это вектор ОА1. Этот вектор будет равен вектору р ⃗. Из построения следует, что такой вектор единственный.

План урока:

Понятие вектора

Равенство векторов

Сложение векторов

Свойства сложения

Вычитание векторов

Умножение вектора на число

Решение задач с помощью векторов

Понятие вектора

Рассмотрим простейшую задачу. Корабль, двигатель которого развивает скорость 20 км/ч, плывет по течению реки, при этом скорость течения составляет 2 км/ч. Какова скорость корабля относительно берега? Очевидно, в данном случае надо сложить скорость течения и собственную скорость корабля:

20 км/ч + 2 км/ч = 22 км/ч

Теперь посмотрим на почти такую же задачу, которая отличается лишь тем, что корабль плывет уже против течения. Для ее решения скорости уже придется вычитать:

20 км/ч — 2 км/ч = 18 км/ч

Получается, что ответ задачи во многом зависит не только от величин скоростей, но и от их направления. Возможны и более сложные случаи, когда корабль двигается на воде перпендикулярно течению или, например, под углом в 60°. Величины, при операции с которыми необходимо учитывать их направление, называют векторными величинами, или просто векторами.

Помимо скорости к ним относят ускорение, силу, импульс, напряженность магнитного и электрического поля и многие другие величины. Те же величины, для которых нельзя указать направление, называют скалярными величинами. Это масса, температура, плотность и т. п. Для выполнения действий с векторами необходимо разработать общие правила их сложения, вычитания, умножения, которые будут справедливы независимо от физической природы векторных величин. И разработать эти правила помогает как раз геометрия.

Для начала введем понятие вектора. Любой отрезок имеет два конца, которые обычно не отличают друг от друга. Однако если одну из этих точек считать началом отрезка, а другую – собственно концом, то у отрезка появится направление. В таком случае его можно считать вектором.

1 vectory

Часто вектора называют направленными отрезками. Обозначают их с помощью стрелок.

2 vectory

На этом рисунке показан вектор, начало которого находится в точке А, а конец – в точке В. При записи в формулах сначала пишут букву, означающую начало вектора, потом обозначение его конца, а над этими двумя буквами ставят стрелочку:

3 vectory

С практической точки зрения приходится вводить в рассмотрение особый нулевой вектор. У него начало и конец совпадают, то есть он представляет собой всего лишь одну точку:

4 vectory

Нулевой вектор необходим, так как нам необходимо научиться выполнять действия над векторами. Мы знаем, что в обычной алгебре используется число ноль. В векторной же алгебре аналогом нуля является как раз нулевой вектор.

Каждый вектор имеет свою длину, которая равна расстоянию между его началом и концом. То есть, если его начало находится в точке А, а конец в точке В, то длина вектора будет совпадать с длиной отрезка АВ. Обозначают длину с помощью вертикальных скобок:

5 vectory

Естественно, что длина нулевого вектора равна нулю.

Задание. Найдите модуль вектора, изображенного на рисунке:

6 vectory

Решение. Легко выполнить построение, при котором вектор окажется гипотенузой в прямоугольном треугольнике

7 vectory

Тогда длину вектора можно найти по теореме Пифагора:

8 vectory

Равенство векторов

Через начало и конец векторов можно провести прямую. В связи с этим можно ввести понятие коллинеарных векторов.

9 vectory

На рисунке коллинеарны вектора а и b, так как они лежат на одной прямой. Также коллинеарны с и d, так как они лежат на параллельных прямых. А вот вектора и неколлинеарны, так как они лежат на пересекающихся прямых.

Для пары коллинеарных векторов можно определить, являются ли они сонаправленными или противоположно направленными.

10 vectory

Для обозначения сонаправленных векторов используется символ «⇈», а для противоположно направленных «⇅». Можно сформулировать две очевидных теоремы о коллинеарных векторах.

11 vectory

Проиллюстрируем эти правила с помощью рисунка:

12 vectory

Особняком стоит нулевой вектор. Он представляет собой точку, а потому не имеет определенного направления. Поэтому условно его считают сонаправленным с любым другим вектором.

Теперь мы можем дать определение равенству векторов.

13 vectory

Задание. Найдите на картинке равные вектора.

14 vectory

Решение. Здесь равны вектора а, и e. Они сонаправлены и имеют длину 6. Вектор с сонаправлен с ними, но его длина составляет только 5 клеток. Длина вектора d составляет 6 клеток, но он не сонаправлен с другими векторами. Наконец, вектор m также не сонаправлен с другими векторами и даже не коллинеарен им.

Ответ: a, и e.

Если началом вектора является некоторая точка А, то можно сказать, что вектор отложен от точки А. Докажем важное утверждение:

15 vectory

Доказать его можно построением. Пусть есть вектор а и точка М. Проведем через М прямую p, параллельную вектору а. Такая прямая будет единственной. Если точка М и вектор лежат на одной прямой, то в качестве прямой p возьмем именно эту прямую. Далее от точки М можно отложить отрезки МN и МN’, длина которых будет совпадать с длиной вектора а. В результате получится два вектора,MN и MN’, один из которых будет сонаправлен с а, а другой – противоположно направленный.

16 vectory

Часто равные вектора, отложенные от разных точек, обозначают одной буквой. Можно считать, что это один и тот же вектор, просто приложенный к разным точкам.

17 vectory

Задание. АВСD – параллелограмм, диагонали которого пересекаются в точке О. Определите, равны ли вектора:

18 vectory

Решение.

а) Отрезки АВ и DC равны, ведь это противоположные стороны параллелограмма, по той же причине эти отрезки параллельны. Видно, что они сонаправлены, значит, вектора равны.

б) Отрезки ВС и DA параллельны и равны, но эти вектора противоположно направлены, поэтому вектора НЕ равны друг другу.

в) Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам, поэтому длины отрезков АО и ОС одинаковы. Вектора АО и ОС лежат на одной прямой, то есть они коллинеарны. При этом они ещё и сонаправлены, поэтому АО и ОС – равные векторы.

г) Вектора АС и BD лежат на пересекающихся прямых, то есть они не коллинеарны. Этого уже достаточно, чтобы считать их НЕ равными друг другу.

Ответ: а) д; б) нет; в) да; г) нет.

Сложение векторов

Пусть некоторый объект сначала находился в точке А, а потом переместился в точку В. Тогда его перемещение удобно обозначить с помощью вектора АВ. Далее пусть этот объект из точки В переместился в другую точку С.

19 vectory

С одной точки зрения, объект совершил сразу два перемещения, из А в В и из В в С, которые можно представить векторами:

20 vectory

Этот пример подсказывает нам универсальное правило, с помощью которого можно складывать вектора. Его называют правилом треугольника.

21 vectory

С помощью правила треугольника удобно складывать вектора, если конец одного из них совпадает с началом другого. Но что делать, если это не так? В этом случае достаточно от конца одного вектора отложить вектор, равный второму:

22 vectory

Задание. На рисунке показаны два вектора. Постройте в тетради их сумму и найдите длину получившегося вектора.

23 vectory

Решение. Перенесем вектор b к концу вектора а. Далее по правилу треугольника на удастся найти их сумму (обозначим этот вектор буквой с):

24 vectory

Теперь найдем длину получившегося вектора. Он является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, причем длины катетов в этом треугольнике можно определить по рисунку, они составляют 4 и 6. Тогда длину гипотенузы можно найти по теореме Пифагора:

25 vectory

Отдельно рассмотрим случаи, когда складываются коллинеарные вектора. В этом случае получающаяся сумма окажется коллинеарной каждому слагаемому. Если вектора сонаправлены, то их длина итогового вектора окажется равной сумме длин складываемых векторов:

26 vectory

Если складываются противоположно направленные вектора, то длина их суммы окажется разностью длин складываемых векторов.

27 vectory

Именно по этой причине при решении простейших задач на движение корабля по реке скорость корабля и скорость течения либо складывают, либо вычитают. Дело в том, что в этих задачах складываются вектора скоростей корабля и течения. Когда судно плывет по течению, эти векторы сонаправлены, а когда плавание идет против течения, векторы оказываются противоположно направленными.

Задание. Корабль развивает в неподвижной воде скорость 12 км/ч. Он плывет по реке, скорость воды в которой составляет 5 км/ч. Найдите скорость корабля относительно берега, если:

а) судно плывет по течению;

б) судно плывет против течения;

в) судно плывет перпендикулярно течению.

Решение. Во всех случаях итоговая скорость судна является векторной суммой собственной скорости судна и течения реки:

28 vectory

Однако направления этих векторов различны. Найдем решение графически, с помощью построений. В первом случае вектора по условию сонаправлены:

29 vectory

Приложив другу к другу отрезки длиной 12 и 5, получим отрезок длиной 17. Это значит, что в первом случае скорость корабля относительно берега составит 17 км/ч.

Во втором случае вектора уже окажутся противоположно направленными:

30 vectory

Отрезок, соответствующий итоговой скорости, здесь уже равен 7 клеткам, значит, итоговая скорость составляет 7 км/ч.

В третьем случае вектора скоростей перпендикулярны:

31 vectory

При построении получился прямоугольный треугольник, вектор итоговой скорости в нем оказался в роли гипотенузы. Найти его длину можно по теореме Пифагора, ведь катеты нам известны:

32 vectory

Свойства сложения

Действия с векторами во многом подобны действиям с обычными числами. Напомним, что в алгебре при прибавлении к числу нуля оно не менялось:

a + 0 = a

Аналогично и при прибавлении к вектору нулевого вектора он не изменится:

33 vectory

Работает ли это правило с векторами? Оказывается, что да. Убедиться в этом можно, построив параллелограмм, сторонами которого являются складываемые векторы:

34 vectory

Видно, что диагональ параллелограмма является суммой векторов, которые соответствуют нижней и крайней правой его стороне. Они обозначены как векторы и b, причем в данном случае к а прибавляется b. Но одновременно эта же диагональ – это сумма векторов, которые соответствуют крайней левой и его верхней стороне. Напомним, что противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, поэтому они и обозначены одним вектором. В этом случае уже к прибавляется a. Результат при этом получается одинаковый, поэтому можно записать, что

35 vectory

На этом примере мы увидели, как работает ещё одно правило сложения векторов, который называется правилом параллелограмма. Если есть два вектора, которые необходимо сложить, то можно отложить их от одной точки, а потом достроить получившуюся фигуру до параллелограмма.

Задание. Сложите с помощью правила параллелограмма вектора, изображенные на рисунке:

36 vectory

Решение. Надо всего лишь построить параллелограмм, как показано на рисунке. Его диагональ и окажется искомым вектором:

37 vectory

Ещё один закон, использующийся в алгебре, называется сочетательным законом, записывается он так:

38 vectory

Оказывается, что и при действиях с векторами он также работает, то есть справедливо соотношение:

39 vectory

Здесь оранжевый вектор – это сумма красного (а) и синего (b) вектора. Если к оранжевому вектору добавить зеленый (с), то получится фиолетовый вектор, который, таким образом, является суммой

40 vectory

Желтый вектор – это сумма синего и зеленого вектора. Видно, что фиолетовый вектор представляет собой сумму красного и желтого, то есть он представляет сумму

41 vectory

Складывать можно любое количество векторов. В этом случае надо последовательно прикладывать эти вектора друг к другу, выстраивая «цепочку» векторов. Например, сложение 4 векторов, показанных на рисунке, будет осуществляться следующим образом:

42 vectory

Этот способ сложения векторов именуют правилом многоугольника. Естественно, в силу переместительного закона вектора можно прикладывать друг к другу в разной последовательности, при этом результат будет получаться один и тот же.

Задание. Сложите, используя правило многоугольника, вектора, изображенные на рисунке. Выполните сложение двумя разными способами:

43 vectory

В первом случае последовательно сложим вектора a, b, c и d. Во втором случае изменим последовательность сложения. Например, сложим их в порядке d, b, c, a:

44 vectory

Видно, что каждый из двух способов дал один и тот же результат, что ещё раз подтверждает справедливость переместительного закона сложения векторов.

Вычитание векторов

Напомним, что в алгебре операция вычитания вводится как операция обратная сложению. То есть если для трех чисел верно соотношение

a + b = c

то разностью чисел с и a как раз окажется b:

c — a = b

Аналогично вычитание понимается и в векторной алгебре. Пусть построены вектора а, b и c так, что

45 vectory

Этот пример показывает, как строить разность двух векторов. На рисунке вектора с и отложены от одной точки, а вектор b, являющийся их разницей, проведен от конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого вектора.

46 vectory

В данном случае под уменьшаемым вектором понимается тот, который в разнице стоит перед знаком минус, а вычитаемый вектор – тот, который находится уже после этого знака. Например, в записи

47 vectory

Вектор а – уменьшаемый, а вектор b – вычитаемый.

Задание. Постройте в тетради разность векторов, изображенных на рисунке:

48 vectory

Решение. Заметим, что в условии не сказано, какой вектор из какого надо вычитать. Поэтому можно построить сразу два ответа:

49 vectory

Несложно заметить, две получившиеся разности представляют собой противоположно направленные векторы одной длины. Такие векторы называются противоположными.

50 vectory

Очевидно, что если сложить друг с другом два противоположных вектора, то получится нулевой вектор:

51 vectory

Противоположные вектора играют в векторной алгебре такую же роль, как и противоположные числа. С их помощью удобно выполнять вычитание векторов. Напомним, что для обычных чисел справедливо соотношение:

52 vectory

Поэтому операцию вычитания можно заменить операцией сложения, если вместо вычитаемого вектора взять вектор, противоположный ему. Рассмотрим этот способ на примере. Пусть из надо вычесть b:

53 vectory

На первом шаге надо построить вектор, противоположный b:

54 vectory

Теперь надо просто сложить a и (– b):

55 vectory

В итоге нам удалось построить разность векторов а и b.

Умножение вектора на число

Предположим, что нам надо сложить два равных вектора. В результате мы получим новый вектор, который будет сонаправлен с исходным, но его длина будет вдвое больше. Логично считать, что получившийся вектор вдвое больше исходного, то есть он получился при умножении вектора на число 2:

56 vectory

Аналогично можно построить вектора, которые больше исходного не в 2, а в 3,4 и т. д. раз:

57 vectory

Итак, чтобы умножить вектор на положительное число k, надо построить сонаправленный с ним вектор, длина которого в k раз больше.А как умножать вектор на отрицательное число? Здесь нужно использовать противоположный вектор. Логично считать, что он получается при умножении (– 1) на вектор. Зная это, легко умножать вектор и на другие отрицательные числа:

58 vectory

Естественно, что если вектор умножается на ноль, то в результате получается нулевой вектор.

Задание. На рисунке показаны вектора а и b. Найдите вектора

59 vectory

Решение. Для построения снам надо сначала умножить исходные вектора на 4 и 2, а далее полученные результаты сложить:

60 vectory

Для нахождения вектора d надо построить вектор, противоположный вектору 2b, и уже его складывать с 4a:

61 vectory

Наконец, для нахождения вектора е необходимо построить противоположный вектор уже для :

62 vectory

Некоторые правила обычной алгебры, касающиеся операции умножения, справедливы и для векторов. Первый такое правило – это сочетательный закон:

63 vectory

Видно, что мы можем либо сразу умножить вектор а на число 12, либо сначала его умножить на 4, а потом на 3. Результат операции при этом не изменится.

Также в отношении операции умножения векторов на число справедлив распределительный закона, которые позволяют раскрывать скобки:

64 vectory

Например, пусть нам надо сложить вектора и . Распределительный закон говорит, что мы можем поступить двумя способами. В первом случае мы просто строим вектора 2а и 3а и складываем их. Во втором случае мы складываем только числа 2 и 3 (получаем 5), и далее уже умножаем вектор а на число 5:

65 vectory

Есть ещё один распределительный закон, в котором в скобках находится уже сумма векторов, а не чисел:

66 vectory

Этот закон можно применить в случае, когда нам необходимо, например, сложить вектора и 4b. Конечно, можно просто построить их и сложить, однако закон говорит, что мы можем сначала сложить aи b, и уже потом эту сумму умножить на 4:

67 vectory

Сформулированные нами законы сложения и умножения векторов позволяют выполнять действия с векторами так же, как с числами. В том числе можно упрощать выражения, содержащие векторные величины. Например, пусть известны вектора а, b и с, и надо найти вектор

68 vectory

Видно, что выражение значительно упростилось.

Решение задач с помощью векторов

Вектора активно используются в физике при решении многих задач, однако они также помогают доказывать геометрические теоремы. Рассмотрим несколько примеров, и начнем со вспомогательной задачи.

Задание. Известно, что С – это середина отрезка АВ. Докажите, что для любой точки О выполняется равенство:

69 vectory

Используя правило треугольника, вектор ОС можно представить в виде двух различных сумм:

70 vectory

Проанализируем выражение в скобках. Вектора АС и ВС коллинеарны, ведь они лежат на одной прямой АВ. При этом они противоположно направлены. Длина у них одинакова, ведь С – середина АВ. Тогда по определению АС и ВС – противоположные вектора, и их сумма равна нулю:

71 vectory

Задание. Докажите, что если в трапеции провести прямую, проходящую через середины ее оснований, то она также пройдет через точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон трапеции.

Решение. Построим трапецию, обозначим ее вершины и середины оснований:

72 vectory

Здесь ABCD – трапеция, основаниями которой являются отрезки ВС и AD. M и N – их середины. Прямые АВ и CD пересекаются в точке O. Необходимо доказать, что прямая MN также проходит через О.

Заметим, что ∆ОВС и ∆ОАD подобны. Действительно, у них есть общий ∠ВОС, а ∠ОВС и ∠ОАD одинаковы как односторонние углы при секущей АВ, поэтому треугольники подобны по 1-ому признаку. Обозначим коэффициент подобия буквой k, тогда можно записать, что

73 vectory

Так как отрезки ОА и АВ лежат на одной прямой, то вектора ОА и АВ коллинеарны и притом сонаправлены, поэтому в (1) отрезки можно заменить векторами:

74 vectory

(это соотношение мы доказали в предыдущей, вспомогательной задаче).

Аналогичную формулу можно составить и для второго основания и его середины N:

75 vectory

Полученное нами равенство означает, что вектора ON и ОМ коллинеарны, а значит, лежат на одной прямой (эти вектора не могут лежать на параллельных прямых, так как имеют общую точку О). Тогда получается, что О, M и N лежат на одной прямой, ч. т. д.

Примеры решения задач[править]

Определение равенства векторов[править]

Это класс задач, которые сводятся к вопросу «равны ли данные векторы».
Большинство данных задач являются учебными, направленными на закрепление понимания темы.
Как правило, на практике такие задачи в чистом виде не встречаются.

Чтобы доказать, что два вектора равны необходимо доказать, что они параллельны, одинаково направленны и их длины равны.

Пример 1[править]

Рассмотрим параллелограмм {displaystyle ABCD}.
Середины его сторон — точки {displaystyle O,P,Q,R}.

Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, то векторы, лежащие на этих сторонах равны.
При этом
{displaystyle {overrightarrow {AB}}={overrightarrow {DC}}neq {overrightarrow {BA}}={overrightarrow {CD}}},
{displaystyle {overrightarrow {BC}}={overrightarrow {AD}}neq {overrightarrow {CB}}={overrightarrow {DA}}}

Поскольку точки {displaystyle O} и {displaystyle Q} делят стороны {displaystyle AB} и {displaystyle CD} пополам, то равны длины отрезков {displaystyle |AO|=|OB|=|CQ|=|QD|}.
Также эти отрезки лежат на параллельных прямых.
Учитывая направление отрезков можно написать

{displaystyle {overrightarrow {AO}}={overrightarrow {OB}}={overrightarrow {DQ}}={overrightarrow {QC}}}

{displaystyle {overrightarrow {OA}}={overrightarrow {BO}}={overrightarrow {QD}}={overrightarrow {CQ}}}

Поскольку равны и параллельны отрезки {displaystyle OB} и {displaystyle QD}, a также {displaystyle BP} и {displaystyle RD}, то треугольники {displaystyle triangle OBP} и {displaystyle triangle QDR} равны, а стороны {displaystyle OP} и {displaystyle QR} равны и параллельны.
Следовательно {displaystyle {overrightarrow {OP}}={overrightarrow {RQ}}neq {overrightarrow {PO}}={overrightarrow {QR}}}.

Свойства равенства векторов[править]

Это задачи на доказательства каких-либо свойств равенства векторов.

Пример 2[править]

Доказать рефлексивность и симметричность равенства векторов.
Рефлексивность. Очевидно, что любой направленный отрезок параллелен самому себе, одинаково направлен и имеет одну длину. Это значит, что он равен самому себе.

Симметричность. Если {displaystyle {overrightarrow {AB}}={overrightarrow {CD}}}, то направленный отрезок {displaystyle {overrightarrow {AB}}} параллелен отрезку {displaystyle {overrightarrow {CD}}}, одинаково с ним направлен и имеет такую же длину.
Очевидно, что отрезок {displaystyle {overrightarrow {CD}}} также параллелен отрезку {displaystyle {overrightarrow {AB}}}, одинаково с ним направлен и имеет такую же длину, что равносильно {displaystyle {overrightarrow {CD}}={overrightarrow {AB}}}.

Пример 3[править]


Пусть направленные отрезки {displaystyle {overrightarrow {AB}}} и {displaystyle {overrightarrow {DC}}} равны и не лежат на одной прямой.

Доказать, что {displaystyle ABCD} — параллелограмм.

В четырёхугольнике {displaystyle ABCD} стороны {displaystyle AB} и {displaystyle CD} равны и параллельны, так как {displaystyle {overrightarrow {AB}}={overrightarrow {DC}}}.

Углы {displaystyle angle BAC=angle ACD} по свойству параллельных прямых.

Треугольники {displaystyle triangle ABC=triangle ACD}, так как {displaystyle AB=CD}, {displaystyle angle BAC=angle ACD}, сторона {displaystyle AC} — общая.

Из равенства треугольников следует, что равны углы {displaystyle angle ACB=angle CAD}.
По свойству параллельных это значит, что {displaystyle AD|BC}.

В четырёхугольнике {displaystyle ABCD} противоположные стороны параллельны, значит этот четырёхугольник — параллелограмм.

Задачи для самостоятельного решения[править]

Если вы хотите, чтобы ваше решение проверил преподаватель факультета математики, пожалуйста, оформите решение в своём личном пространстве и дайте ссылку на него на странице обсуждения.

Равенство векторов[править]

Дан параллелепипед {displaystyle ABCDA'B'C'D'} и точки {displaystyle E}, {displaystyle F}, {displaystyle G}, {displaystyle H}, {displaystyle I}, {displaystyle J}, {displaystyle K}, {displaystyle L}, {displaystyle M}, {displaystyle N}, делящие пополам стороны {displaystyle AB}, {displaystyle BC}, {displaystyle CD}, {displaystyle DA}, {displaystyle AA'}, {displaystyle CC'}, {displaystyle A'B'}, {displaystyle B'C'}, {displaystyle C'D'}, {displaystyle D'A'} соответственно (см. рисунок).

Какие равенства из перечисленных ниже верны?

  • {displaystyle {overrightarrow {AB}}={overrightarrow {CD}}}
  • {displaystyle {overrightarrow {HE}}={overrightarrow {D'C'}}}
  • {displaystyle {overrightarrow {ID'}}={overrightarrow {BJ}}}
  • {displaystyle {overrightarrow {ID}}={overrightarrow {BJ}}}
  • {displaystyle {overrightarrow {FG}}={overrightarrow {LM}}}
  • {displaystyle {overrightarrow {EC}}={overrightarrow {MA'}}}
  • {displaystyle {overrightarrow {NI}}={overrightarrow {JF}}}
  • {displaystyle {overrightarrow {KB'}}={overrightarrow {DG}}}
  • {displaystyle {overrightarrow {BC}}={overrightarrow {A'D'}}}
  • {displaystyle {overrightarrow {AF}}={overrightarrow {A'L}}}
  • {displaystyle {overrightarrow {DB}}={overrightarrow {ML}}}
  • {displaystyle {overrightarrow {DC'}}={overrightarrow {AB'}}}

Свойства равенства векторов[править]

  1. Доказать транзитивность равенства векторов.
  2. Доказать, что для любых трёх точек {displaystyle A}, {displaystyle B}, {displaystyle C} существует единственная точка {displaystyle D} такая, что {displaystyle {overrightarrow {AB}}={overrightarrow {CD}}}.
  3. Доказать, что если {displaystyle {overrightarrow {AB}}={overrightarrow {CD}}}, то середины отрезков {displaystyle AD} и {displaystyle BC} совпадают.

Содержание

Равенство векторов

Определение

Векторы называются равными, если их длины равны и они сонаправлены.

Теорема

  1. Каждый вектор равен самому себе.

  2. Если вектор $vec{a}$ равен вектору $vec{b}$, то вектор $vec{b}$ равен вектору $vec{a}$.

  3. Два вектора равные третьему вектору, равны.

Доказательство

Первые два свойства очевидно вытекают из определения равенства
векторов.

Докажем третье свойство.

Пусть $vec{a}=vec{b}$ и $vec{c}=vec{b}$.

Тогда $|vec{a}|=|vec{b}|$ и $vec{a}upuparrows vec{b}$, а также $|vec{c}|=|vec{b}|$ и $vec{c}upuparrows
vec{b}$.

Из равенства модулей следует, что $|vec{a}|=|vec{c}|$.

А из теоремы ref{130} вытекает, что $vec{a}upuparrows vec{c}$.

Поэтому $vec{a}=vec{c}$.

Теорема

Если четырехугольник $ABCD$ – параллелограмм, то $overrightarrow{AB}=overrightarrow{DC}$.

Доказательство

Из того, что $ABCD$ параллелограмм следует, что $AB=CD$ и
$ABparallel CD$.

Кроме того лучи $AB$ и $DC$ лежат по одну сторону от прямой $AD$, следовательно вектора
$overrightarrow{AB}$ и $overrightarrow{DC}$ сонаправлены и равны по модулю.

Таким образом $overrightarrow{AB}=overrightarrow{DC}$.

Теорема

Если $overrightarrow{AB}=overrightarrow{CD}$, то $overrightarrow{AC}=overrightarrow{BD}$.

Доказательство

Из равенства векторов $overrightarrow{AB}$ и $overrightarrow{CD}$
следует, что $AB=CD$ и либо $ABparallel CD$, либо точки $A, B, C, D$ лежат на одной прямой.

В первом случае, по признаку, четырехугольник $ABDC$ будет являться параллелограммом.

Следовательно, по теореме $overrightarrow{AC}=overrightarrow{BD}$.

Во втором случае введем на прямой $AB$ координату $x$. Пусть числа $x_A, x_B, x_C, x_D$ – координаты точек $A,B,C,D$ соответственно. Тогда условие $overrightarrow{AB}=overrightarrow{CD}$ означает, что выполнено равенство $x_B-x_A=x_D-x_C$.

Здесь равенство модулей чисел $x_B-x_A$ и $x_D-x_C$ означает, что $AB=CD$, а совпадение их знаков – что $overrightarrow{AB}upuparrowsoverrightarrow{CD}$.

Но тогда $x_C-x_A=x_D-x_B$, что и означает $overrightarrow{AC}upuparrowsoverrightarrow{BD}$.

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Как правильно составить цели на жизнь
  • Пуск уехал в бок как исправить
  • Потеряли наушники ксяоми как найти
  • Как найти правописание приставки неполнота действия
  • Как найти топовую музыку в reels

  • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии