Как найти расстояние от хорды до дуги

Сегмент круга
Сегмент круга

Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).

На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота

Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:

Формулы вычисления параметров сегмента

Площадь сегмента:
S=frac{1}{2}R^2(alpha-sin{alpha}) [1]
Длина дуги:
L={alpha}R
Длина хорды:
c=2{R}{sin{frac{alpha}{2}}}
Высота сегмента:
h={R}left(1-{cos{frac{alpha}{2}}}right)

PLANETCALC, Сегмент

Сегмент

Угол в градусах, образуемый радиусами сектора

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Однако, как справедливо заметил наш пользователь:«на практике часто случается, что как радиус дуги, так и угол неизвестны» (см. длина дуги ). Для этого случая для расчета площади сегмента и длины дуги можно использовать следующий калькулятор:

PLANETCALC, Параметры сегмента по хорде и высоте

Параметры сегмента по хорде и высоте

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Калькулятор вычисляет радиус круга по длине хорды и высоте сегмента по следующей формуле:
R=frac{h}{2}+frac{c^2}{8h}

Далее, зная радиус и длину хорды, легко найти угол сегмента по формуле:
alpha=2arcsin{ frac{c}{2R} }
Остальные параметры сегмента вычисляются аналогично первому калькулятору, по формулам, приведенным в начале статьи.

Следующий калькулятор вычисляет площадь сегмента по высоте и радиусу:

PLANETCALC, Площадь сегмента круга по радиусу и высоте

Площадь сегмента круга по радиусу и высоте

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Этот калькулятор вычисляет угол из высоты и радиуса по следующей формуле:
alpha=2arccosleft(1-frac{h}{R}right)
далее используется формула [1] для получения площади.

15 вычислений по сегменту круга в одной программе

Последний калькулятор включает в себя все оставшиеся вычисления параметров кругового сегмента:

  • длина дуги
  • угол
  • хорда
  • высота
  • радиус
  • площадь

Выберите два известных аргумента и калькулятор выдаст вам все оставшиеся.

PLANETCALC, Круговой сегмент - все варианты расчета

Круговой сегмент — все варианты расчета

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Расстояние от центра окружности до хорды

Рассмотрим, как найти расстояние от центра окружности до хорды.

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Значит, расстояние от центра окружности до хорды равно длине перпендикуляра, проведённого из центра окружности к этой хорде.

Например, расстояние от точки O — центра окружности — до хорды AB равно длине перпендикуляра OF:

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найти расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB=24, CD=10, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 5.

Дано: окружность (O; R), AB и CD — хорды,

1) Соединим центр окружности с концами хорд.

2) Треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD (AO=BO=CO=DO как радиусы).

Значит, их высоты OF и OK являются также медианами. Следовательно,

3) Рассмотрим треугольник AOF, где ∠AFO=90 º.

4) Рассмотрим треугольник COK, где ∠CKO=90 º.

Сегмент круга

Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента — по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.

Сегмент круга

Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).

На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота

Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:

Формулы вычисления параметров сегмента

Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:

Найти расстояние от хорды до окружности

Сегмент круга

Вычисляет площадь, длину дуги, длину хорды, высоту и периметр сегмента круга. Описывается несколько вариантов расчета по параметрам сегмента — по углу, по хорде, по радиусу, по высоте и длине дуги.

Сегмент круга

Круговой сегмент — часть круга ограниченная дугой и секущей (хордой).

На рисунке:
L — длина дуги сегмента
c — хорда
R — радиус
a — угол сегмента
h — высота

Первый калькулятор рассчитывает параметры сегмента, если известен радиус и угол по следующим формулам:

Формулы вычисления параметров сегмента

Площадь сегмента:
[1]
Длина дуги:

Расстояние от центра окружности до хорды

Рассмотрим, как найти расстояние от центра окружности до хорды.

Расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. Значит, расстояние от центра окружности до хорды равно длине перпендикуляра, проведённого из центра окружности к этой хорде.

Например, расстояние от точки O — центра окружности — до хорды AB равно длине перпендикуляра OF:

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найти расстояние от центра окружности до хорды CD, если AB=24, CD=10, а расстояние от центра окружности до хорды AB равно 5.

Дано: окружность (O; R), AB и CD — хорды,

1) Соединим центр окружности с концами хорд.

2) Треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD (AO=BO=CO=DO как радиусы).

Значит, их высоты OF и OK являются также медианами. Следовательно,

3) Рассмотрим треугольник AOF, где ∠AFO=90 º.

4) Рассмотрим треугольник COK, где ∠CKO=90 º.

Найти расстояние от хорды до окружности

Учебный курс Решаем задачи по геометрии

Определение хорды


Хорда — это отрезок, который соединяет две точки заданной кривой. Хорда может быть у дуги, окружности, эллипса и т.д.
На рисунке хорда обозначена как отрезок AB красного цвета . Оба его конца находятся на окружности

Часть кривой, заключенной между двумя точками хорды, называется дугой.
На рисунке дуга хорды AB обозначена зеленым цветом .

Плоская фигура, заключенная между дугой и ее хордой называется сегментом.
Сегмент на рисунке ограничен красным отрезком AB с одной стороны, и зеленой дугой — с другой стороны.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности. Диаметр окружности — самая длинная хорда окружности.

Свойства хорды к окружности

  • Если расстояния от центра окружности до хорд равны, то эти хорды равны. Верно и обратное — если хорды равны, то расстояния от центра окружности до этих хорд равны
  • Если хорда больше, то расстояние от центра окружности до этой хорды меньше. Если хорда меньше, то расстояние от центра окружности до этой хорды больше. Верно и обратное
  • Наибольшая возможная хорда является диаметром
  • Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности
  • Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр перпендикулярен этой хорде. Верно и обратное — если диаметр перпендикулярен хорде, то этот диаметр делит эту хорду пополам
  • Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр делит дуги, стягиваемые этой хордой, пополам. Верно и обратное — если диаметр делит дугу пополам, то этот диаметр делит пополам хорду, стягивающую эту дугу
  • Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус перпендикулярен этой хорде. Верно и обратное — если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит эту хорду пополам
  • Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам. Верно и обратное — если радиус делит дугу пополам, то этот радиус делит пополам хорду, стягивающую эту дугу.
  • Если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам. Верно и обратное — если радиус делит дугу пополам, то этот радиус перпендикулярен хорде, стягивающей эту дугу.

Свойства хорды и вписанного угла

Свойства хорды и центрального угла

Формулы нахождения хорды

Обозначения в формулах:
l — длина хорды
α — величина центрального угла
R — радиус окружности
d — длина перпендикуляра, проведенного от центра окружности к хорде

Длина хорды окружности равна удвоенному радиусу данной окружности, умноженному на синус половины центрального угла.
Сумма квадрата половины длины хорды и квадрата перпендикуляра, проведенного к этой хорде, равна квадрату радиуса окружности. Данная формула следует из теоремы Пифагора.

Решение задач

Примечание. Если Вы не нашли решение подходящей задачи, пишите об этом в форуме. Наверняка, курс геометрии будет дополнен.

Задача.

Хорды АВ и СD пересекаются в точке S, при чем AS:SB = 2:3, DS = 12см, SC = 5см, найти АВ.

Решение.

Поскольку соотношение AS:SB = 2:3 , то пусть длина AS = 2x, SB = 3x

Согласно свойству хорд AS x SB = CS x SD, тогда

2х * 3х = 5 * 12
6х 2 = 60
х 2 = 10
x = √10

Откуда
AB = AS + SB
AB = 2√10 + 3√10= 5√10

Окружность разделена на части, которые относятся как 3,5:5,5:3 и точки деления соединены между собой. Определить величину углов образовавшегося треугольника.

Решение.
Обозначим коэффициент пропорциональности дуг окружности, как х. Соединим центры окружности с концами дуг. Поскольку центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается, то соотношение центральных углов окружности будет равно соотношению ее частей (дуг).
Поскольку градусная мера окружности равна 360 градусам, то

3,5х + 5,5х + 3х = 360
12х = 360
х = 30

Откуда градусные величины центральных углов равны:
3 * 30 = 90
3,5 *30 = 105
5,5 *30 = 165

Углы образовавшегося треугольника являются углами, вписанными в окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.
Откуда углы треугольника равны:

90 / 2 = 45
105 / 2 = 52,5
165 / 2 = 82,5

Ответ: Величина углов треугольника равна 45 ; 52,5 ; 82,5 ;

источники:

http://planetcalc.ru/1421/

http://b4.cooksy.ru/articles/nayti-rasstoyanie-ot-hordy-do-okruzhnosti

Этот онлайн калькулятор вычисляет длину дуги кругового сегмента, где известны либо радиус и центральный угол сегмента, либо длина хорды и высота сегмента, либо радиус и высота сегмента. Самая полезная вещь, по моему мнению, это возможность находить длину дуги по длине хорды и высоте — эти переменные могут измеряться напрямую ( посмотрите на картинку — голубая часть — это круговой сегмент, его длину дуги мы ищем )

Круговой сегмент
Круговой сегмент

В калькуляторе ниже, выберите известные данные для нахождения длины дуги, введите их и получите результат. Все формулы, использованные для вычисления, перечислены под калькулятором.

PLANETCALC, Калькулятор длины дуги

Калькулятор длины дуги

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Нахождение длины дуги по радиусу и центральному углу кругового сегмента

Формула очень проста

L={alpha}R

Нахождение длины дуги по длине хорды и высоте кругового сегмента

Здесь нужно вычислить радиус и центральный угол, а затем использовать формулу выше.

Радиус находится по формуле:

R=frac{h}{2}+frac{c^2}{8h}

Центральный угол находится по формуле:

alpha=2arcsin{ frac{c}{2R} }

Нахождение длины дуги по радиусу и высоте кругового сегмента

Здесь нужно вычислить центральный угол, а затем снова использовать формулу:
L={alpha}R

Центральный угол находится по формуле:

alpha=2arccosleft(1-frac{h}{R}right)

Для других универсальных калькуляторов относительно кругового сегмента в общем, посмотрите калькулятор Сегмент круга . Этот калькулятор находит длину хорды, высоту сегмента, периметр сегмента, область сегмента и длину дуги; зависит от того, какие данные известны.

4 / 4 / 2

Регистрация: 04.05.2013

Сообщений: 62

1

Как определить расстояние (перпендикуляр) от хорды до дуги окружности в любой ее точке отличной от центра

04.03.2023, 01:57. Показов 612. Ответов 12


Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Доброго всем времени, прошу помощи. Как определить расстояние (перпендикуляр) от хорды до дуги окружности в любой ее точке отличной от центра, зная радиус окружности, длину хорды и высоту сегмента (от центра хорды до окружности). К примеру в расстоянии четверти длины хорды?



0



1765 / 969 / 180

Регистрация: 24.02.2013

Сообщений: 2,785

Записей в блоге: 12

04.03.2023, 11:09

2

Andrey72 , используйте уравнение окружности.



1



4 / 4 / 2

Регистрация: 04.05.2013

Сообщений: 62

04.03.2023, 14:42

 [ТС]

3

Очень «исчерпывающий» ответ. Скорее всего Вы не вникли в суть вопроса



0



Эксперт по математике/физике

8732 / 6326 / 3402

Регистрация: 14.01.2014

Сообщений: 14,540

04.03.2023, 14:55

4

Цитата
Сообщение от Andrey72
Посмотреть сообщение

Скорее всего Вы не вникли в суть вопроса

Действительно — суть вопроса совершенно непонятна! Как задана хорда, ещё можно понять. А как задана дуга окружности?
И как понять

Цитата
Сообщение от Andrey72
Посмотреть сообщение

расстояние (перпендикуляр) от хорды до дуги окружности в любой ее точке

?
Речь идёт о расстоянии от хорды до точки окружности? А почему тогда говорится о дуге? Приложили бы рисунок, где показано «расстояние от хорды до дуги»!



0



4 / 4 / 2

Регистрация: 04.05.2013

Сообщений: 62

04.03.2023, 15:19

 [ТС]

5

Как может быть задана дуга окружности если хорда делит окружность как раз на дугу — часть сегмента круга? Прикладываю рисунок. Известно: длина хорды, высота сегмента (перпендикуляр), радиус окружности. Нужно найти высоты линий черным цветом — для примера показал две, на разных расстояниях от центра/края хорды. Задача в том, чтобы находить высоты таких перпендикуляров до дуги, в любой точке хорды (на любой расстоянии от ее центра/краев).

Миниатюры

Как определить расстояние (перпендикуляр) от хорды до дуги окружности в любой ее точке отличной от центра
 



0



Эксперт по математике/физике

8732 / 6326 / 3402

Регистрация: 14.01.2014

Сообщений: 14,540

04.03.2023, 15:46

6

Лучший ответ Сообщение было отмечено Andrey72 как решение

Решение

Теперь всё понятно! Хорошая задача по теме: Теорема Пифагора. Ради определённости будем считать, что длина хорды равна 2а, тогда высота сегмента равна https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?H=R-sqrt{R^2-a^2}. Введём переменную х — расстояние от середины хорды до другой точки хорды, из которой проводится перпендикуляр до точки дуги. Тогда длина этого перпендикуляра равна https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?h(x)=sqrt{R^2-x^2}-sqrt{R^2-a^2}. В частном случае х=0 эта длина как раз равна высоте сегмента. В другом частном случае х=а (для конца хорды) получается нулевая длина.



1



Диссидент

Эксперт C

27474 / 17161 / 3784

Регистрация: 24.12.2010

Сообщений: 38,670

05.03.2023, 14:23

7

Andrey72, Извиняюсь, но у вас в голове чудовищная каша из элементарнейших понятий.

Цитата
Сообщение от Andrey72
Посмотреть сообщение

расстояние (перпендикуляр) от хорды до дуги окружности в любой ее точке

В этой фразе без хорошего пол-литра трудновато разобраться

Цитата
Сообщение от Andrey72
Посмотреть сообщение

хорда делит окружность как раз на дугу — часть сегмента круга?

Вы понимаете, что окружность — это линия, а сегмент — часть плоскости?

Цитата
Сообщение от Andrey72
Посмотреть сообщение

Вы не вникли в суть вопроса

Что совершенно не удивительно, если пол-литра под рукой не было

Впрочем, по картинке все понятно. А вот словесное выражение проблемы….



1



Andrey72

05.03.2023, 14:40

 [ТС]

Не по теме:

Не ясно для чего конечно Ваш ответ, не имеющий прикладной пользы, при том что ответ уже получен. Человек выше спросил что не ясно, я пояснил и он дал прекрасный развернутый ответ.

Цитата
Сообщение от Байт
Посмотреть сообщение

Вы понимаете, что окружность — это линия, а сегмент — часть плоскости?

не понимаю этого упрека. Чем плоскость мешает линии? при том что я явно уточнил это специально — что дуга — часть окружности именно та, которая является формирующей сегмент (плоскость) и до этой дуги и интересует расстояние от хорды. Если цель только упрек в моем не умении выражать мысли, то могли бы тогда предложить правильную формулировку (с пол-литрой или без), раздел все-таки не правил русского языка.



0



Байт

05.03.2023, 14:58

Не по теме:

Цитата
Сообщение от Andrey72
Посмотреть сообщение

не понимаю этого упрека.

Вы еще много чего не понимаете.:)

Цитата
Сообщение от Andrey72
Посмотреть сообщение

Не ясно для чего Ваш ответ, не имеющий прикладной пользы

Польза могла бы быть в том, чтобы вы научились внятно излагать свои мысли. Но если этот аспект вас не интересует, то не обессудьте, получая соответствующие ответы. А вообще-то, может быть не стоит задираться, а подумать над собственной математической культурой.



0



Andrey72

05.03.2023, 15:07

 [ТС]

Не по теме:

Вы написали бесполезный практически комментарий, с упреками и пол-литрами, и я еще задираюсь? когда попросил Вас тогда правильно сформулировать вопрос? Написали что у меня каша из понятий, при этом не привели ни одного аргумента. Мне только что пришло личное сообщение про таких комментаторов — попытка накрутить себе пузомерки? Тогда все понятно. Словоблудие.



0



Диссидент

Эксперт C

27474 / 17161 / 3784

Регистрация: 24.12.2010

Сообщений: 38,670

05.03.2023, 15:12

11

Andrey72, Дальнейший разговор считаю бессмысленным



0



Nacuott

05.03.2023, 15:25

Не по теме:

Байт , разговаривать с таким человеком бесполезно. Он уже 10 на форуме, а решить задачу, с которой
должен легко справиться школьник-старшеклассник не может.



0



Andrey72

05.03.2023, 15:47

 [ТС]


    Как определить расстояние (перпендикуляр) от хорды до дуги окружности в любой ее точке отличной от центра

Не по теме:

Видно зато как Вы решили. Сообщения ради сообщений, если каждому написать что «зачем вы это спрашиваете, это легко решит школьник» — и свое ЧСВ подрастет видимо. А для чего тогда форум? И надеюсь Вы в курсе, что у людей разные направления интересов и исследований? Хорошо хоть на форуме есть люди вроде mathmichel, которые пишут по делу и с целью помочь а не болтать попусту.



0



Перенесем начало координат в центр окружности. Пусть (x2,y2) — радиус вектор одного края хорды. (x0,y0) — радиус вектор точки на хорде откуда идет перпендикуляр до окружности. (x,y) — радиус вектор точки пересечения перпендикуляра с окружностью (их две), h — искомая высота, R — радиус окружности. Тогда используя теорему Пифагора для треугольника (x0,y0)-(x,y)-(x2,y2) получаем систему из трех уравнений.

(1) (x-x2)^2+(y-y2)^2=(x0-x2)^2+(y0-y2)^2+h^2;
(2) x^2+y^2=R^2;
(3) (x-x0)^2+(y-y0)^2=h^2;


3 уравнения, три неизвестные — h,x,y. Решаем и получаем достаточно громоздкие формулы. Приведу их, надеюсь не накосячил..

h^2=(p-y*t-x0)^2+(y-y0)^2;
где 
t=(y0-y2)/(x0-x2);
p=(x0^2+y0^2-x0*x2-y0*y2)/(x0-x2);
y=(p*t+-sqrt{R^2(t^2+1)-p^2})/(t^2+1);

находим два значения y, до ближайшей дуги и до дальней. До ближайшей будет меньшее значение.
Далее пусть хорда задается своим начальным (x2,y2) и конечным(x1,y1) значениями. Надо перебрать все возможные (x0,y0). Если поделить хорду на n частей то формула для (x0,y0) следующая

(x2+(k/n)*(x1-x2),y2+(k/n)*(y1-y2))

где k-целое пробегает значение от 1 до n-1. И в каждом таком (x0,y0) вычисляем h по вышеописанным формулам.

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Как найти песню необыкновенная
  • Как найти белочку в парке
  • Как исправить скол на столешнице кухонного стола
  • Как найти периметр квадрата 5 сантиметров
  • Двойное нажатие на клавиатуре как исправить

  • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии