Загрузить PDF
Загрузить PDF
Центр тяжести – это точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести, действующих на систему, равен нулю. То есть это такая точка, в которой система находится в идеальном равновесии независимо от того, как система повернута или вращается вокруг этой точки. Чтобы найти центр тяжести системы, необходимо определить массу основного объекта и массу тел, входящих в систему, найти точку отсчета и подставить эти значения в формулу.
-
1
Определите вес основного объекта. Чтобы найти центр тяжести, сначала необходимо определить вес основного объекта. Например, рассмотрим качели-доску (качели-балансир) массой 12 кг. Таким образом, вес качелей равен 120 Н (Р=mg, где P – вес, m – масса, g – ускорение свободного падения, приблизительно равное 10 м/с2). Так как такие качели представляют собой симметричный объект, его центр тяжести находится точно по центру (когда на качелях никого нет). Но если на качелях сидят дети разной массы тела, задача усложняется.[1]
-
2
Определите дополнительные веса. Чтобы найти центр тяжести качелей с двумя детьми, необходимо определить вес каждого ребенка. Предположим, что масса тела первого ребенка равна 16 кг, а второго – 24 кг. Таким образом, вес первого ребенка равен 160 Н, а второго – 240 Н.
Реклама
-
1
Выберите точку отсчета. Точкой отсчета является любая точка, которая находится на одном (любом) конце доски. Предположим, что длина доски равна 5 м. Поместите точку отсчета на левой стороне доски возле первого ребенка.
-
2
Измерьте расстояние от точки отсчета до центра основного объекта и до дополнительных тел. Допустим, дети сидят на расстоянии 50 см от каждого конца доски. До центра доски 2,5 м (5/2=2,5). Вот расстояния от точки отсчета до центра основного объекта и двух дополнительных тел:
- Центр доски находится на расстоянии 2,5 м от точки отсчета.
- Первый ребенок находится на расстоянии 0,5 м от точки отсчета.
- Второй ребенок находится на расстоянии 4,5 м от точки отсчета.
Реклама
-
1
Перемножьте вес каждого тела и его расстояние до точки отсчета. Так вы найдете момент силы для каждого тела. Вот как умножить расстояние до каждого тела на его вес:
- Доска: 120 Н х 5 м = 600 Н х м.
- Первый ребенок: 160 Н x 0,5 м = 80 Н х м.
- Второй ребенок: 240 Н x 4,5 м = 1080 Н x м.
-
2
Сложите найденные значения. Сложение: 600 + 80 + 1080 = 1760 Н х м. Суммарный момент равен 1760 Н x м.
-
3
Сложите веса всех объектов. Найдите сумму веса качелей, веса первого ребенка и веса второго ребенка. Сумма: 120 Н + 160 Н + 240 Н = 520 Н.
-
4
Разделите суммарный момент на суммарный вес. Так вы найдете расстояние от точки отсчета до центра тяжести системы. В нашем примере разделите 1760 Н х м на 520 Н.
- 1760 Н х м / 520 Н = 3,4 м
- Центр тяжести находится на расстоянии 3,4 м от точки отсчета или на расстоянии 3,4 м от левого конца доски, где находится точка отсчета.
Реклама
-
1
Нарисуйте схему системы и отметьте на ней центр тяжести. Если найденный центр тяжести находится вне системы объектов, вы получили неверный ответ. Возможно, вы измерили расстояния от разных точек отсчета. Повторите измерения.
- Например, если на качелях сидят дети, центр тяжести будет где-то между детьми, а не справа или слева от качелей. Также центр тяжести никогда не совпадет с точкой, где сидит ребенок.
- Эти рассуждения верны в двумерном пространстве. Нарисуйте квадрат, в котором поместятся все объекты системы. Центр тяжести должен находиться внутри этого квадрата.
-
2
Проверьте математические вычисления, если вы получили маленький результат. Если точка отсчета находится на одном конце системы, маленький результат помещает центр тяжести возле конца системы. Возможно, это правильный ответ, но в подавляющем большинстве случаев такой результат указывает на ошибку. Когда вы вычисляли моменты, вы перемножали соответствующие веса и расстояния? Если вместо умножения вы сложили веса и расстояния, вы получите гораздо меньший результат.
-
3
Исправьте ошибку, если вы нашли несколько центров тяжести. Каждая система имеет только один центр тяжести. Если вы нашли несколько центров тяжести, скорее всего, вы не сложили все моменты. Центр тяжести равен отношению «суммарного» момента к «суммарному» весу. Не нужно делить «каждый» момент на «каждый» вес: так вы найдете положение каждого объекта.
-
4
Проверьте точку отсчета, если ответ отличается на некоторое целое значение. В нашем примере ответ равен 3,4 м. Допустим, вы получили ответ 0,4 м или 1,4 м, или другое число, оканчивающееся на «,4». Это потому, что в качестве точки отсчета вы выбрали не левый конец доски, а точку, которая расположена правее на целую величину. На самом деле, ваш ответ верен, независимо от того, какую точку отсчета вы выбрали! Просто запомните: точка отсчета всегда находится в положении x = 0. Вот пример:
- В нашем примере точка отсчета находилась на левом конце доски и мы нашли, что центр тяжести находится на расстоянии 3,4 м от этой точки отсчета.
- Если в качестве точки отсчета выбрать точку, которая расположена на расстоянии 1 м вправо от левого конца доски, вы получите ответ 2,4 м. То есть центр тяжести находится на расстоянии 2,4 м от новой точки отсчета, которая, в свою очередь, находится на расстоянии 1 м от левого конца доски. Таким образом, центр тяжести находится на расстоянии 2,4 + 1 = 3,4 м от левого конца доски. Получился старый ответ!
- Примечание: при измерении расстояния помните, что расстояния до «левой» точки отсчета отрицательные, а до «правой» – положительные.
-
5
Расстояния измеряйте по прямым линиям. Предположим, на качелях два ребенка, но один ребенок намного выше другого, или один ребенок висит под доской, а не сидит на ней. Проигнорируйте такую разницу и измерьте расстояния по прямой линии доски. Измерение расстояний под углами приведет к близким, но не совсем точным результатам.
- В случае задачи с качелями-доской помните, что центр тяжести находится между правым и левым концами доски. Позже вы научитесь вычислять центр тяжести более сложных двумерных систем.
Реклама
Советы
- Чтобы найти расстояние, на которое должен переместиться ребенок, чтобы сбалансировать качели-доску относительно точки опоры, используйте формулу: (перемещаемый вес)/(общий вес) = (расстояние движения центра тяжести)/(расстояние движения веса). Эту формулу можно переписать так: расстояние, на которое должен переместиться ребенок = (расстояние между центром тяжести и точкой опоры х вес ребенка)/(общий вес). Поэтому первому ребенку нужно переместиться на -0,9*160/520 = -0,28 м или -28 см (к концу доски), а второму ребенку нужно переместиться на -0,9*520/240 = -1,95 м или -195 см (к концу доски).
- Если нужно найти центр тяжести двумерного объекта, используйте формулу Xcg = ΣxW/W, чтобы найти центр тяжести вдоль оси X, и Ycg = ΣyW/ΣW, чтобы найти центр тяжести вдоль оси Y. Точка, в которой они пересекаются, является центром тяжести.
- Определение центра тяжести общего распределения масс: (∫ r dW/∫ dW), где dW – дифференциал веса, r – радиус-вектор, а интегралы должны интерпретироваться как интегралы Стилтьеса по всему телу. Но эти интегралы могут быть выражены как более общие интегралы (по плотности) Римана или Лебега для распределений, допускающих функцию плотности. Начиная с этого определения, все свойства центра тяжести (включая те, которые описаны в этой статье) могут быть получены из свойств интегралов Стилтьеса.
Реклама
Предупреждения
- Не пытайтесь применить описанные здесь методы, не поняв теорию. В противном случае вы получите неверный результат.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 52 816 раз.
Была ли эта статья полезной?
Download Article
Download Article
The center of gravity (CG) is the center to an object’s weight distribution, where the force of gravity can be considered to act. This is the point where the object is in perfect balance, no matter how turned or rotated around that point.[1]
If you want to know how to calculate the center of gravity of an object, then you have to find the weight of the object: and any objects on it, locate the datum, and plug the known quantities into the equation for calculating the center of gravity. If you want to know how to calculate the center of gravity, just follow these steps.
Calculator
-
1
Calculate the weight of the object. When you’re calculating the center of gravity, the first thing you should do is to find the weight of the object. Let’s say that you’re calculating the weight of a see-saw that has a weight of 30 lbs. Since it’s a symmetrical object, its center of gravity will be exactly in its center if it’s empty. But if the see-saw has people of different weights sitting on it, then the problem is a bit more complicated.[2]
-
2
Calculate the additional weights. To find the center of gravity of the see-saw with two children on it, you’ll need to individually find the weight of the children on it.[3]
The first child has a weight of 40 lbs. and the second child’s is 60 lbs.
Advertisement
-
1
Choose a datum. The datum is an arbitrary starting point placed on one end of the see-saw.[4]
You can place the datum on one end of the see-saw or the other. Let’s say the see-saw is 16 feet long. Let’s place the datum on the left side of the see-saw, close to the first child. -
2
Measure the datum’s distance from the center of the main object as well as from the two additional weights. Let’s say the children are each sitting 1 foot away from each end of the see-saw.[5]
The center of the see-saw is the midpoint of the see-saw, or at 8 feet, since 16 feet divided by 2 is 8. Here are the distances from the center of the main object and the two additional weights form the datum:- Center of see-saw = 8 feet away from datum.
- Child 1 = 1 foot away from datum
- Child 2 = 15 feet away from datum
Advertisement
-
1
Multiply each object’s distance from the datum by its weight to find its moment. This gives you the moment for each object. Here’s how to multiply each object’s distance from the datum by its weight:
- The see-saw: 30 lb. x 8 ft. = 240 ft. x lb.
- Child 1 = 40 lb. x 1 ft. = 40 ft. x lb.
- Child 2 = 60 lb. x 15 ft. = 900 ft. x lb.
-
2
Add up the three moments. Simply do the math: 240 ft. x lb. + 40 ft. x lb. + 900 ft. x lb = 1180 ft. x lb. The total moment is 1180 ft. x lb.
-
3
Add the weights of all the objects. Find the sum of the weights of the seesaw, the first child, and the second child. To do this, add up the weights: 30 lbs. + 40 lbs. + 60 lbs. = 130 lbs.
-
4
Divide the total moment by the total weight. This will give you the distance from the datum to the center of gravity of the object. To do this, simply divide 1180 ft. x lb. by 130 lbs.
- 1180 ft. x lb. ÷ 130 lbs = 9.08 ft.
- The center of gravity is 9.08 feet from the datum, or measured 9.08 feet from the end of the left side of the see-saw, which is where the datum was placed.
Advertisement
-
1
Find the center of gravity in the diagram. If the center of gravity you found is outside of the system of objects, you have the wrong answer.[6]
You may have measured the distances from more than one point. Try again with just one datum.- For example, for people sitting on a seesaw, the center of gravity has to be somewhere on the seesaw, not to the left or right of the seesaw. It does not have to be directly on a person.
- This is still true with problems in two dimensions. Draw a square just large enough to fit all of the objects in your problem. The center of gravity must be inside this square.
-
2
Check your math if you get a tiny answer. If you picked one end of the system as your datum, a tiny answer puts the center of gravity right next to one end. This can be the right answer, but it’s often the sign of a mistake. When you calculated the moment, did you multiply the weight and distance together? That’s the correct way to find the moment. If you accidentally added them together instead, you’ll usually get a much smaller answer.
-
3
Troubleshoot if you have more than one center of gravity. Every system only has a single center of gravity. If you find more than one, you might have skipped the step where you add all the moments together. The center of gravity is the total moment divided by total weight. You do not need to divide each moment by each weight, which only tells you the position of each object.
-
4
Check your datum if your answer is off by a whole number. The answer to our example is 9.08 ft. Let’s say you try it and get the answer 1.08 ft., 7.08 ft, or another number ending in «.08.» This most likely happened because we chose the left end of the seesaw as the datum, while you chose the right end or some other point an integer distance from our datum. Your answer is actually correct no matter which datum you choose! You just need to remember that the datum is always at x = 0. Here’s an example:
- The way we solved it, the datum is at the left end of the seesaw. Our answer was 9.08 ft, so our center of mass is 9.08 ft from the datum at the left end.
- If you pick a new datum 1 ft from the left end, you get the answer 8.08 ft for the center of mass. The center of mass is 8.08 ft from the new datum, which is 1 ft from the left end. The center of mass is 8.08 + 1 = 9.08 ft from the left end, the same answer we got before.
- (Note: When measuring distance, remember that distances to the left of the datum are negative, while distances to the right are positive.)
-
5
Make sure all your measurements are in straight lines. Let’s say you see another «kids on the seesaw» example, but one kid is much taller than the other, or one kid is hanging underneath the seesaw instead of sitting on top. Ignore the difference and take all your measurements along the straight line of the seesaw. Measuring distances at angles will lead to answers that are close but slightly off.
- For seesaw problems, all you care about is where the center of gravity is along the left-right line of the seesaw. Later, you might learn more advanced ways to calculate the center of gravity in two dimensions.
Advertisement
Add New Question
-
Question
Why do we calculate centers of gravity?
Danoyachtcapt
Top Answerer
Center of gravity (CG) is very important, especially in aircraft and other vehicles like cars and trains. The Vehicle has to be designed so the CG is within certain limits so the vehicle will be well-balanced while in motion.
-
Question
I have to find the center of gravity for a 1310 mm length MS Steel. How can I go about doing that?
Balance it on a knife edge and record the position by marking the edge. Then, turn the object approx. 30 degrees and re-balance it on the knife edge. Record the position by marking the edge — you should now have 2 intersecting lines, and the intersection point will give you the center of gravity.
-
Question
Why is the determination of the center of gravity necessary, and where might I apply it in real life?
It’s more useful in certain sports and careers. If you are an engineer, you don’t want whatever you’re building to be off center. In sports such as gymnastics, it’s easier to do harder moves if you know where your center of balance is.
See more answers
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
-
To find the distance a person needs to move to balance the see-saw over the fulcrum, use the formula: (
weight moved
) / (
total weight
) = (
distance CG moves
) / (
distance weight is moved
). This formula can be rewritten to show that the distance the weight (person) needs to move equals the distance between the CG and the fulcrum times the weight of the person divided by the total weight. So the first kid needs to move
-1.08ft * 40lb / 130lbs =
-.33ft or -4in. (toward the edge of the see-saw). Or, the second kid needs to move
-1.08ft * 130lb / 60lbs =
-2.33ft or -28in. (toward the center of the see-saw).[7]
-
The definition for center of gravity of a general mass distribution is (∫ r dW/∫ dW) where dW is the differential of weight, r the position vector and the integrals are to be interpreted as Stieltjes integrals over the entire body. They can however be expressed as more conventional Riemann or Lebesgue volume integrals for distributions that admit a density function. Starting with this definition all properties of CG including the ones used in this article may be derived from properties of Stieltjes integrals.
-
To find the CG of a two dimensional object, use the formula Xcg = ∑xW/∑W to find the CG along the x-axis and Ycg = ∑yW/∑W to find the CG along the y-axis. The point at which they intersect is the center of gravity.
Thanks for submitting a tip for review!
Advertisement
-
Trying to blindly apply this mechanical technique without understanding the theory may result in errors. Understand the laws/theories behind it first.
Advertisement
References
About This Article
Article SummaryX
To calculate the center of gravity of 2 objects on a see-saw, first identify the weight of each separate object. Choose a starting point, or datum, on one end of the see-saw and measure its distance from the center and each object. Find each object’s moment by multiplying the distance by the object’s weight, then add up the 3 moments. Add up the weights of the objects and divide the total moment by the total weight to get the datum’s distance from the center of gravity. For examples and ways to check your answer, read on!
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 1,424,812 times.
Did this article help you?
В этой статье посмотрим, как определяются координаты центра тяжести сложной фигуры — состоящей из простых. В задачах по сопромату часто приходится находить положение центра тяжести составных сечений, для дальнейшего вычисления моментов инерции и т. д.
Также часто, при изучении теоретической механики, студентам предлагается решить подобную задачу, и найти центр тяжести какой-нибудь фигуры.
Условие задачи
Предлагаю рассмотреть следующую фигуру:
В сопромате принято заштриховывать сечения тонкими линиями, вот так:
В своих же уроках я буду использовать заливку. Так, штриховка не будет мешать наносить обозначения.
Разбивка сложной фигуры на простые
Как видишь, сечение состоит из прямоугольника, прямоугольного треугольника, четверти круга, а также имеет круглый вырез:
Отметим центры тяжести (С1, С2, С3, С4) каждой отдельной фигуры, с учётом справочной информации.
Открой эту страничку, и пока не закрывай, она нам ещё понадобится!
Покажем вспомогательные оси (x0, y0) для всего сечения, которые будем использовать для нахождения положения центра тяжести (C):
Как определить положение центра тяжести?
Чтобы определить координату центра тяжести сечения, например, вертикальное расстояние от оси x0 до центра тяжести сечения (yc):
Нужно статический момент сечения относительно этой вспомогательной оси (x0) разделить на площадь всего сечения (A):
Площадь всего сечения (A) найти просто – это алгебраическая сумма площадей всех фигур:
Статический момент сечения, относительно вспомогательной оси будет равен алгебраической сумме статических моментов каждой фигуры (с учётом знака):
где Ai – площадь отдельной фигуры;
yi – расстояние от центра тяжести отдельной фигуры до вспомогательной оси (x0).
Координата центра тяжести (xc), находится аналогично:
Определение площади сечения
Для начала предлагаю сделать самое простое, используя формулы, указанные на этой странице, найти площадь всего сечения (A):
Как видишь, круглый вырез, нужно учесть с «минусом», что очевидно.
Определение расстояний от вспомогательных осей до центров тяжести отдельных фигур
Найдём расстояния от вспомогательных осей (x0, y0) до центров тяжести отдельных фигур, опять же, используя нашу шпаргалку:
Определение статических моментов
Определяем статические моменты сечения относительно вспомогательных осей (x0, y0):
Важно! Статические моменты могут быть и отрицательными.
Определение координат центра тяжести
И, наконец, определяем положение центра тяжести всего сечения (C):
Покажем центр тяжести всего сечения (C):
Если остались какие-то вопросы по данному уроку, можешь смело задавать их в комментариях. Также, другие уроки, на сайте – ssopromat.ru, по определению геометрических характеристик, можешь найти здесь.
Исходя из полученных выше общих формул, можно указать конкретные способы определения координат центров тяжести тел.
1. Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии (рис.7), то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
Рис.7
2. Разбиение. Тело разбивается на конечное число частей (рис.8), для каждой из которых положение центра тяжести и площадь известны.
Рис.8
3.Метод отрицательных площадей.Частный случай способа разбиения (рис.9). Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Тело в виде пластинки с вырезом представляют комбинацией сплошной пластинки (без выреза) с площадью S1 и площади вырезанной части S2 .
Рис.9
4.Метод группировки.Является хорошим дополнением двух последних методов. После разбиения фигуры на составные элементы часть их бывает удобно объединить вновь, чтобы затем упростить решение путем учета симметрии этой группы.
Центры тяжести некоторых однородных тел.
1) Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу АВ радиуса R с центральным углом . В силу симметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ox (рис. 10).
Рис.10
Найдем координату по формуле
. Для этого выделим на дуге АВ элемент ММ’ длиною
, положение которого определяется углом
. Координата х элемента ММ’ будет
. Подставляя эти значения х и dl и имея в виду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим:
где L — длина дуги АВ, равная .
Отсюда окончательно находим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О, равном
где угол измеряется в радианах.
2) Центр тяжести площади треугольника. Рассмотрим треугольник, лежащий в плоскости Oxy, координаты вершин которого известны: Ai (xi,yi), (i = 1,2,3). Разбивая треугольник на узкие полоски, параллельные стороне А1А2 , придем к выводу, что центр тяжести треугольника должен принадлежать медиане А3 М3 (рис.11).
Рис.11
Разбивая треугольник на полоски, параллельные стороне А2А3, можно убедиться, что он должен лежать на медиане А1М1. Таким образом, центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения его медиан, которая, как известно, отделяет от каждой медианы третью часть, считая от соответствующей стороны.
В частности, для медианы А1М1 получим, учитывая, что координаты точки М1 — это среднее арифметическое координат вершин А2 и А3 :
Таким образом, координаты центра тяжести треугольника представляют собой среднее арифметическое из координат его вершин:
3) Центр тяжести площади кругового сектора. Рассмотрим сектор круга радиуса R с центральным углом 2α, расположенный симметрично относительно оси Ox (рис.12) .
Очевидно, что yc = 0, а расстояние от центра круга, из которого вырезан этот сектор, до его центра тяжести можно определить по формуле:
Рис.12
Проще всего этот интеграл вычислить, разбивая область интегрирования на элементарные секторы с углом dφ. С точностью до бесконечно малых первого порядка такой сектор можно заменить треугольником с основанием, равным R×dφ и высотой R. Площадь такого треугольника dF=(1/2)R 2 ∙dφ, а его центр тяжести находится на расстоянии 2/3R от вершины, поэтому в (5) положим x = (2/3)R∙cosφ. Подставляя в (5) F = αR 2 , получим:
С помощью последней формулы вычислим, в частности, расстояние до центра тяжести полукруга.
Подставляя в (2) α = π/2, получим: xc = (4R)/(3π) ≅ 0,4R .
Пример 1. Определим центр тяжести однородного тела, изображённого на рис. 13.
Рис.13
Тело однородное, состоящее из двух частей, имеющих симметричную форму. Координаты центров тяжести их:
Объёмы их:
Поэтому координаты центра тяжести тела
Пример 2. Найдем центр тяжести пластины, согнутой под прямым углом. Размеры – на чертеже (рис.14).
Рис.14
Координаты центров тяжести:
0.
Площади:
Пример 3. У квадратного листа см вырезано квадратное отверстие
см (рис.15). Найдем центр тяжести листа.
Рис.15
В этой задаче удобнее разделить тело на две части: большой квадрат и квадратное отверстие. Только площадь отверстия надо считать отрицательной. Тогда координаты центра тяжести листа с отверстием:
координата так как тело имеет ось симметрии (диагональ).
Пример 4. Проволочная скобка (рис.16) состоит из трёх участков одинаковой длины l.
Рис.16
Координаты центров тяжести участков:
Поэтому координаты центра тяжести всей скобки:
Пример 5. Определить положение центра тяжести фермы, все стержни которой имеют одинаковую погонную плотность (рис.17).
Напомним, что в физике плотность тела ρ и его удельный вес g связаны соотношением: γ= ρg , где g — ускорение свободного падения. Чтобы найти массу такого однородного тела, нужно плотность умножить на его объем.
Рис.17
Термин «линейная» или «погонная» плотность означает, что для определения массы стержня фермы нужно погонную плотность умножить на длину этого стержня.
Для решения задачи можно воспользоваться методом разбиения. Представив заданную ферму в виде суммы 6 отдельных стержней, получим:
где Li длина i-го стержня фермы, а xi, yi — координаты его центра тяжести.
Решение этой задачи можно упростить, если сгруппировать 5 последних стержней фермы. Нетрудно видеть, что они образуют фигуру, имеющую центр симметрии, расположенный посредине четвертого стержня, где и находится центр тяжести этой группы стержней.
Таким образом, заданную ферму можно представить комбинацией всего двух групп стержней.
Первая группа состоит из первого стержня, для нее L1 = 4 м, x1 = 0 м, y1= 2 м. Вторая группа стержней состоит из пяти стержней, для нее L2 = 20 м, x2= 3 м, y2= 2 м.
Координаты центра тяжести фермы находим по формуле:
Вопросы для самопроверки
— Что называется центром параллельных сил?
— Как определяются координаты центра параллельных сил?
— Как определить центр параллельных сил, равнодействующая которых равна нулю?
— Каким свойством обладает центр параллельных сил?
— По каким формулам вычисляются координаты центра параллельных сил?
— Что называется центром тяжести тела?
— Почему силы притяжения Земле, действующие на точку тела, можно принять за систему параллельных сил?
— Запишите формулу для определения положения центра тяжести неоднородных и однородных тел, формулу для определения положения центра тяжести плоских сечений?
— Запишите формулу для определения положения центра тяжести простых геометрических фигур: прямоугольника, треугольника, трапеции и половины круга?
— Что называют статическим моментом площади?
— Приведите пример тела, центр тяжести которого расположен вне тела.
— Как используются свойства симметрии при определении центров тяжести тел?
— В чем состоит сущность способа отрицательных весов?
— Где расположен центр тяжести дуги окружности?
— Каким графическим построением можно найти центр тяжести треугольника?
— Запишите формулу, определяющую центр тяжести кругового сектора.
— Используя формулы, определяющие центры тяжести треугольника и кругового сектора, выведите аналогичную формулу для кругового сегмента.
— По каким формулам вычисляются координаты центров тяжести однородных тел, плоских фигур и линий?
— Что называется статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси, как он вычисляется и какую размерность имеет?
— Как определить положение центра тяжести площади, если известно положение центров тяжести отдельных ее частей?
— Какими вспомогательными теоремами пользуются при определении положения центра тяжести?
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10070 — | 7511 —
или читать все.
78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Центр масс, центр ине́рции, барице́нтр (от др.-греч. βαρύς — тяжёлый + κέντρον — центр) — (в механике) — геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого [1] . В общем случае центр масс не совпадает с центром тяжести, совпадение происходит только у систем материальных точек и тел с однородной по объёму плотностью в однородном гравитационном поле.
Введение понятия центра тяжести удобно во многих приложениях механики и упрощает расчеты при использовании системы координат, связанной с центром масс. Если на механическую систему не действуют внешние силы, то центр масс такой системы движется с постоянной по величине и направлению скоростью.
Джованни Чева применял рассмотрения центров масс к решению геометрических задач, таких как теоремы Менелая и теоремы Чевы. [2]
Содержание
Определение [ править | править код ]
Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом [3] :
r → c = ∑ i m i r → i ∑ i m i , <displaystyle <vec >_=<frac <sum limits _m_<vec >_><sum limits _m_>>,>
где r → c <displaystyle <vec >_> — радиус-вектор центра масс, r → i <displaystyle <vec >_>
— радиус-вектор i -й точки системы, m i <displaystyle m_>
— масса i -й точки.
Для случая непрерывного распределения масс:
r → c = 1 M ∫ V ρ ( r → ) r → d V , <displaystyle <vec >_=<1 over M>int limits _
ho (<vec >)<vec >dV,> M = ∫ V ρ ( r → ) d V , <displaystyle M=int limits _
ho (<vec >)dV,>
где M <displaystyle M> — суммарная масса системы, V <displaystyle V>
— объём, ρ <displaystyle
ho > — плотность. Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.
Если система состоит не из материальных точек, а из протяжённых тел с массами M i <displaystyle M_> , то радиус-вектор центра масс такой системы R c <displaystyle R_>
связан с радиус-векторами центров масс тел R c i <displaystyle R_>
соотношением [4] :
R → c = ∑ i M i R → c i ∑ i M i . <displaystyle <vec >_=<frac <sum limits _M_<vec >_><sum limits _M_>>.>
Действительно, пусть даны несколько систем материальных точек с массами M 1 , M 2 , . . . M N . <displaystyle M_<1>,M_<2>. M_.> Радиус-вектор R → c n <displaystyle <vec >_>>
n <displaystyle n>
-ной системы:
R → c n = ∑ i n m i n r → i n ∑ i n m i n = ∑ i n m i n r → i n M n , n = 1 , 2 , . . . N . <displaystyle <vec >_>=<frac <sum limits _>m_><vec >_>><sum limits _>m_>>>=<frac <sum limits _>m_><vec >_>>>>, n=1,2. N.> R → c = ∑ n ( ∑ i n m i n r → i n M n ⋅ M n ) ∑ n M n = ∑ i M i R → c i ∑ i M i . <displaystyle <vec >_=<frac <sum limits _left(<frac <sum limits _>m_><vec >_>>>>cdot M_
ight)><sum limits _M_>>=<frac <sum limits _M_<vec >_><sum limits _M_>>.>
При переходе к протяженным телам с непрерывным распределением плотности в формулах будут интегралы вместо сумм, что даст тот же результат.
Иначе говоря, в случае протяжённых тел справедлива формула, по своей структуре совпадающая с той, что используется для материальных точек.
Центры масс плоских однородных фигур [ править | править код ]
- У отрезка — середина.
- У многоугольников :
- У параллелограмма — точка пересечения диагоналей.
- У треугольника — точка пересечения медиан (центроид).
Координаты центра масс однородной плоской фигуры можно вычислить по формулам (следствие из теорем Паппа — Гульдина):
x s = V y 2 π S <displaystyle x_=<frac ><2pi S>>> и y s = V x 2 π S <displaystyle y_
=<frac ><2pi S>>> , где V x , V y <displaystyle V_,V_>
— объём тела, полученного вращением фигуры вокруг соответствующей оси, S <displaystyle S>
— площадь фигуры.
Центры масс периметров однородных фигур [ править | править код ]
- Центр масс сторон треугольника находится в центре вписанной окружностидополнительного треугольника (треугольника с вершинами, расположенными в серединах сторон данного треугольника). Эту точку называют центром Шпикера. Это означает то, что если стороны треугольника сделать из тонкой проволоки одинакового сечения, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центром вписанной окружностидополнительного треугольника или с центром Шпикера.
В механике [ править | править код ]
Понятие центра масс широко используется в физике, в частности, в механике.
Движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию движения центра масс и вращательного движения тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами (материальная точка). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все законы Ньютона. Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.
Часто бывает удобно рассматривать движение замкнутой системы в системе отсчёта, связанной с центром масс. Такая система отсчёта называется системой центра масс (Ц-система), или системой центра инерции. В ней полный импульс замкнутой системы всегда остаётся равным нулю, что позволяет упростить уравнения её движения.
Центр масс в релятивистской механике [ править | править код ]
В случае высоких скоростей (порядка скорости света) (например, в физике элементарных частиц) для описания динамики системы применяется аппарат СТО. В релятивистской механике (СТО) понятия центра масс и системы центра масс также являются важнейшими понятиями, однако, определение понятия меняется:
r → c = ∑ i r → i E i ∑ i E i , <displaystyle <vec >_=<frac <sum limits _<vec >_E_><sum limits _E_>>,>
где r → c <displaystyle <vec >_> — радиус-вектор центра масс, r → i <displaystyle <vec >_>
— радиус-вектор i -й частицы системы, E i <displaystyle E_>
— полная энергия i -й частицы.
Данное определение относится только к системам невзаимодействующих частиц. В случае взаимодействующих частиц в определении должны в явном виде учитываться импульс и энергия поля, создаваемого частицами [5] .
Во избежание ошибок следует понимать, что в СТО центр масс характеризуется не распределением массы, а распределением энергии. В курсе теоретической физики Ландау и Лифшица предпочтение отдается термину «центр инерции». В западной литературе по элементарным частицам применяется термин «центр масс» (англ. center-of-mass ): оба термина эквивалентны.
Скорость центра масс в релятивистской механике можно найти по формуле:
v → c = c 2 ∑ i E i ⋅ ∑ i p → i . <displaystyle <vec >_=<frac <2>><sum limits _E_>>cdot sum limits _<vec
>_.>
Центр тяжести [ править | править код ]
Центр масс тела не следует путать с центром тяжести.
Центром тяжести механической системы называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести (действующих на систему) равен нулю. Например, в системе, состоящей из двух одинаковых масс, соединённых несгибаемым стержнем, и помещённой в неоднородное гравитационное поле (например, планеты), центр масс будет находиться в середине стержня, в то время как центр тяжести системы будет смещён к тому концу стержня, который находится ближе к планете (ибо вес массы P = m·g зависит от параметра гравитационного поля g ), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.
В однородном гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. В некосмических задачах гравитационное поле обычно может считаться постоянным в пределах объёма тела, поэтому на практике эти два центра почти совпадают.
По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (поскольку реального гравитационного поля нет, то и учёт его неоднородности не имеет смысла). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый.
Сущность понятия «центр масс»
Понятие «центр масс» широко используется в физике для решения задач, связанных с движением тел. Например, математический маятник удобно представить себе как подвешенное на нити тело, вся масса которого сконцентрирована в единой точке. В законе всемирного тяготения тоже речь идет о расстоянии не между телами, а между центрами тел, под каковыми подразумеваются именно центры масс, а не геометрические центры.
Центр масс — точка, характеризующая размещение и движение исследуемой системы как единого целого.
Признаком центра масс является то, что если тело подвесить, закрепив за эту точку, оно останется в покое, т.е. не будет раскачиваться или вращаться относительно этого центра. В простейшем случае, если речь идет о симметричном теле с равномерной плотностью, центр масс находится на пересечении осей симметрии рассматриваемого тела. Например, если взять линейку длиной 30 см, то ее центр масс будет расположен на отметке «15 см». Подложив карандаш под эту отметку, легко привести линейку в положение равновесия.
Попробуй обратиться за помощью к преподавателям
На практике далеко не все тела, центр масс которых нужно найти, являются симметричными и однородными по плотности. Более того, многие исследуемые объекты представляют собой системы из нескольких тел с различными геометрическими и химическими характеристиками. Для расчетов их разбивают на элементарные фрагменты и производят вычисления поэтапно.
Нахождение координат центра масс
Центр масс двух тел с точечными массами $m_1$ и $m_2$ и координатами на координатной прямой $x_1$ и $x_2$ находится в точке, делящей расстояние между этими телами на отрезки с длинами обратно пропорциональными массам рассматриваемых тел.
Отсюда следует, что чем массивнее тело в такой элементарной системе, тем ближе оно к общему центру масс.
Расстояние между точечными телами равно:
$Delta x = x_2 — x_1$
Пропорция между массами и расстояниями, согласно определению:
Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!
где $l_1$, $l_2$ — расстояния от соответствующих тел до центра масс.
Выразив, длины через координаты
$l_1 = x_c — x_1; l_2 = x_2 — x_c$,
центр масс можно определить как
где $x_c$ — координата центра тяжести.
Разложив любую сложную систему на множество элементарных тел с точечными массами, можно обобщить изложенный принцип в виде формулы (для оси абсцисс):
В большинстве случаев центр масс требуется найти не на координатной прямой, а в двух- или трехмерной системе координат. Для дополнительных осей координаты центра масс ($y_c$, $z_c$) находят по аналогичному принципу.
Центр тяжести системы тел представляет собой точку, подобную центру масс, но рассчитывается не для масс, а для весов (обусловленных гравитацией сил), действующих на точечные тела, входящие в систему. Центр тяжести определяется так же, как и центр масс, если размеры системы малы в сравнении с радиусом планеты Земля. Он в большинстве случаев с достаточной для практики точностью совпадает с центром масс рассматриваемой системы.
Найти центр масс двух линеек, изготовленных из одинакового материала, одинаковой толщины и ширины, левые концы линеек совмещены. Длины линеек — 10 и 30 см. Толщиной линеек можно пренебречь.
Поскольку толщиной можно пренебречь, найти нужно лишь координату центра масс по оси $x$.
Разобьем мысленно систему на два отрезка. Первый — где толщина линеек складывается. Его координаты — $[0, 10]$. Второй отрезок — где длинная линейка продолжается одна. Его координаты — $[10, 30]$. Примем за единицу измерения массу одного погонного сантиметра линейки. Тогда масса второго фрагмента:
$m_2 = 30 — 10 = 20$
На каждый сантиметр первого фрагмента приходится вдвое больше массы, поскольку там сложены две линейки:
$m_1 = 10 cdot 2 = 20$
Центры масс отрезков находятся на их осях симметрии, т.е. на середине длины каждого:
Подставим значения в формулу:
Ответ: центр масс находится на расстоянии 12,5 см от левого конца системы линеек.
Так и не нашли ответ
на свой вопрос?
Просто напиши с чем тебе
нужна помощь
Содержание:
Центр тяжести:
При рассмотрении движения тел, особенно таких, как самолеты, ракеты, космические корабли, важное значение имеет понятие центра тяжести.
Определения и формулы для вычисления центров тяжести
Для введения понятия центра тяжести разобьем мысленно рассматриваемое тело на достаточно большое число малых по сравнению с телом или элементарных его частей произвольной формы. Силу тяжести элементарной частицы тела с индексом
Радиус-вектор центра тяжести тела вычисляем как радиус-вектор центра параллельных сил (рис. 88) по формуле
где — радиус-вектор точки приложения силы тяжести элементарной части тела, принятой за точку;
— сила тяжести элементарной частицы;
— сила тяжести всего тела;
— число частей, на которое мысленно разбито все тело. Центр тяжести является точкой приложения равнодействующей силы тяжести, если силы тяжести отдельных его частей считать системой параллельных сил.
Рис. 88
Если в (1) перейти к пределу, увеличивая число элементарных частей до бесконечности, то после замены
дифференциалом
, а суммы — интегралом получим
где — радиус-вектор элементарной части тела, принятой за точку. В проекциях на оси координат из (1) и (1′) получаем:
где — координаты центра тяжести;
— координаты точки приложения силы тяжести
.
Используя понятие центра тяжести тела, введем понятие его центра масс. Силы тяжести элементарных частей тела и всего тела можно выразить через их массы и
и ускорение силы тяжести
с помощью формул
Подставляя эти значения сил тяжести в (1) и (1′) после сокращения на , которое принимаем одинаковым для всех частей тела, имеем
и соответственно
По формулам (2) и (2′) определяют радиус-вектор центра масс тела. Центр масс обычно определяют независимо от центра тяжести как геометрическую точку, радиус-вектор, которой вычисляется по формулам (2) или (2′). В проекциях на оси координат из (2) и (2′) получаем:
и
где — координаты центра масс тела.
Для однородного тела силу тяжести элементарной частицы тела и ее массу можно вычислить по формулам
где — объем элементарной частицы тела;
и
— соответственно удельный вес и плотность тела. Сила тяжести и масса всего тела
где — объем тела. Подставляя эти значения в (2) и (2′), после сокращения на
и
соответственно получим формулы
по которым определяют центр тяжести объема тела.
Если тело имеет форму поверхности, т. е. один из размеров мал по сравнению с двумя другими, как, например, у тонкого листа железа, то имеем
где — удельный вес;
— площадь элементарной частицы поверхности;
— площадь всей поверхности. После сокращения на
для однородной поверхности получим следующие формулы для определения центра тяжести ее площади:
Для однородных тел типа проволоки, у которых два размера малы по сравнению с третьим, можно определить радиус-вектор центра тяжести длины линии по формулам
где — длина элемента линии;
—общая длина линии, центр тяжести которой определяется.
Методы определения центров тяжести (Центров масс)
Метод симметрии
При определении центров тяжести широко используется симметрия тел. Докажем, что для однородного тела, имеющего плоскость симметрии, центр тяжести находится в плоскости симметрии. Для доказательства выберем начало координат в плоскости симметрии тела и одну из осей координат, ось направим перпендикулярно плоскости симметрии, а две других оси расположатся в плоскости симметрии (рис. 89). Каждая частица массой
, находясь по одну сторону плоскости симметрии, имеет симметричную частицу такой же массы по другую сторону этой плоскости. Координаты
у симметричных частиц одинаковы при сделанном выборе осей координат, а координаты по оси
отличаются только знаком. Для координаты центра масс
имеем следующее выражение:
Разбивая сумму в числителе на две по симметричным частям тела, получаем, что
так как симметричные части тела 1 и 2 одинаковы.
Таким образом, центр масс расположен в плоскости симметрии и для его определения достаточно вычислить только две его координаты и
в этой плоскости.
Аналогично доказывается, что для однородного тела, имеющего ось или центр симметрии, центр масс находится соответственно на оси симметрии или в центре симметрии.
Рис. 89
Метод разбиения на части (метод группировки)
Некоторые тела сложной формы можно разбить на части, центры тяжести которых известны или предварительно могут быть определены. В таких случаях центры тяжести сложных тел вычисляются по общим формулам, определяющим центр тяжести, только вместо элементарных частиц тела берутся его конечные части, на которые оно разбито. Покажем это на частном примере плоской фигуры, изображенной на рис. 90. Плоскую фигуру можно разбить на три части, центры тяжести которых ,
и
известны. Они находятся на пересечении диагоналей прямоугольников. Их радиусы-векторы обозначим
и площади
. Общая площадь сложной фигуры будет
.
Используя определение центра тяжести и производя группировку слагаемых под знаком суммы по частям фигуры, на которые она разбита, получим
Радиусы-векторы центров тяжести частей тела выразятся в такой форме:
или
Используя эти формулы для радиуса-вектора всей фигуры, имеем
Полученная формула имеет ту же структуру, что и формула, определяющая радиус-вектор центра тяжести тела при разбиении его на элементарные частицы, только в нее входят величины для конечных частей тела.
Рис. 90
Метод отрицательных масс
Видоизменением метода разбиения на части является метод отрицательных масс. Проиллюстрируем его тоже на примере плоской фигуры (рис. 91). Для определения центра тяжести этой фигуры ее можно разбить на три части. Можно поступить по-другому. Для этого дополним нашу фигуру до прямоугольника и примем, что этот прямоугольник с площадью и центром масс
полностью заполнен массой (имеет положительную площадь). На той части фигуры, которую добавили, следует распределить отрицательную массу (отрицательную площадь) той же плотности. Площадь этой фигуры с отрицательной массой обозначим
, а ее центр масс —
. Применяя метод разбиения на части, радиус-вектор заданной фигуры определим по формуле
В отличие от обычного метода разбиения на части в формуле (4) массы и, следовательно, площади входят со знаком минус.
Метод отрицательных масс особенно удобен при вычислении положения центров тяжести тел, имеющих отверстия.
Рис. 91
Центры тяжести простейших тел
Для определения центров тяжести тел сложной формы методом разбиения на части или методом отрицательных масс необходимо уметь вычислять центры тяжести простейших тел, на которые разбивается тело сложной формы. Рассмотрим некоторые из тел, для определения центров тяжести которых известны простые способы их нахождения или вычисления по формулам.
Прямолинейный отрезок
Центр тяжести прямолинейного однородного отрезка располагается на его середине, а неоднородного— на самом отрезке и не может находиться вне отрезка.
Площадь треугольника
Для определения центра тяжести площади треугольника разобьем его прямыми линиями, параллельными одной из его сторон , на полоски, которые в пределе можно принять за прямолинейные отрезки (рис. 92). Центры тяжести отрезков и, следовательно, полосок находятся посередине полоски. Все они расположатся на медиане
. В пределе центры тяжести полосок непрерывно покроют медиану, но не равномерно, так как площади полосок разные. В каждом центре масс полоски следует считать сосредоточенной массу или площадь этой полоски, пропорциональную длине полоски, если ширину полосок выбирать одинаковой.
Затем разобьем треугольник на полоски прямыми линиями, параллельными другой стороне треугольника. Центры их тяжести в пределе покроют неравномерно медиану
. Центры тяжести неоднородных прямолинейных отрезков
и
должны располагаться на этих отрезках, а следовательно, в точке их пересечения
, являющейся точкой пересечения медиан треугольника. Эта точка делит медианы в отношении 1 к 2, т. е. если длина медианы
равна
, то
,
.
Рис. 92
Дуга окружности
Дуга окружности определяется радиусом
и стягиваемым ею центральным углом
(рис. 93). Она имеет ось симметрии, делящую угол пополам. Центр тяжести находится на оси симметрии дуги, которую примем за ось координат
. Координату центра тяжести дуги
вычисляем по формуле
Рис. 93
В рассматриваемом случае
Подставляя эти значения в формулу для , получим
Таким образом,
Для полуокружности . Приняв
, получим:
Площадь кругового сектора
Центр тяжести площади кругового сектора с радиусом и центральным углом
находится на оси симметрии, принимаемой за ось
(рис. 94). Разобьем сектор на элементарные треугольники одинаковой величины. Центры тяжести треугольников в пределе при увеличении их числа до бесконечности равномерно покроют дугу окружности радиусом
.
Рис. 94
Используя формулу для центра тяжести дуги окружности, получим
или
Для площади полукруга ,
. При
получим
Объем пирамиды и конуса
Определим положение центра тяжести объема конуса (рис. 95). Для простоты рассмотрим прямой конус, у которого высота является осью симметрии. Высотой конуса является отрезок, соединяющий его вершину с центром тяжести площади основания
. Выберем начало координат в вершине конуса, а ось
направим по оси симметрии конуса. Тогда центр тяжести объема конуса расположится на оси
.
Разобьем конус плоскостями, перпендикулярными оси , на элементарные тонкие диски толщиной
и площадью
. Все полученные сечения (диски) конуса подобны его основанию. Координату
центра тяжести объема конуса вычислим по формуле
Отношения линейных размеров сечений к соответствующим размерам основания конуса пропорциональны их расстояниям до вершины конуса. Отношения площадей пропорциональны квадратам расстояний. Приняв , получим
Учитывая, что
имеем
или
Таким образом, центр тяжести прямого конуса находится на расстоянии от вершины или
от основания.
Рис. 95
Это справедливо для объема любого конуса и любой пирамиды, как прямых, так и наклонных, т. е. центр тяжести объема пирамиды или конуса находится на расстоянии расстояния от центра тяжести площади основания до вершины.
Объем полушара
Полушар имеет ось симметрии, которую примем за координатную ось (рис. 96). Разобьем объем полушара на элементарные диски толщиной dx и радиусом у, который является координатой точки окружности, которая получилась от пересечения полушара с координатной плоскостью
. Уравнение этой окружности
где — радиус полушара. Для координаты центра тяжести объема полушара имеем
где — координата центра тяжести элементарного диска. Объем полушара
Объем элементарного диска
так как радиус диска . Выполняя интегрирование в пределах от
до
, получим
Таким образом, центр тяжести объема полушара находится от его центра на расстоянии
Это расстояние меньше половины радиуса полушара.
Рис. 96
Задача №1
Определить координаты центра тяжести площади плоской фигуры, имеющей размеры, указанные на рис. 97.
Рис.97
Рис. 98
Решение. Присоединим к заданной фигуре дополнительно полукруг 3 и разобьем полученную фигуру на прямоугольник 1 и треугольник 2. Получили три фигуры, две из которых имеют положительные площади (прямоугольник 1 и треугольник 2) и одна — отрицательную (полукруг 3). В выбранной системе координат для координат центра тяжести заданной фигуры имеем
где — координаты центров тяжести отдельных фигур;
— площади этих фигур.
Вычислим площади и координаты центров тяжести отдельных фигур, учитывая рис. 98 Имеем:
так как .
Подставляя полученные значения в (а), получим:
Центр тяжести плоской фигуры
постановка задачи. Найти площадь и координаты центра тяжести плоской фигуры.
План решения:
1. Разбиваем фигуру на простые отдельные части, положение центров тяжести которых известны.
2. Выбираем систему координат. Вычисляем площади и координаты центров тяжести отдельных частей. Площади вырезанных частей берем со знаком минус.
3. Находим общую площадь фигуры по формуле
4. Определяем координаты центра тяжести фигуры:
Задача №2
Найти площадь и координаты центра тяжести плоской фигуры. Криволинейный участок контура является половиной окружности с центром на оси Ох (рис. 74). Размеры на рисунке даны
Решение
1. Разбиваем фигуру на простые отдельные части, положение центров тяжести которых известны.
Центр тяжести прямоугольника находится в его геометрическом центре, положение центра тяжести других фигур, встречающихся в задачах, изображено на рис. 75
Представляем фигуру в виде двух треугольников 1,2, прямоугольника 3 и выреза 4 в виде полукруга (рис. 76).
2. Вычисляем площадь (в ) и координаты центра тяжести (в м) каждого элемента:
Площадь выреза берем со знаком минус.
3.Площадь фигуры
4. Находим координаты центра тяжести всей фигуры:
Вычисления удобно свести в таблицу:
Сначала заполняем столбцы затем вычисляем статические моменты
Внизу записываем суммы столбцов, необходимые для вычисления координат центра тяжести. Таким образом
Замечание 1. Большинство задач на определение центра тяжести допускает несколько способов разбиения фигуры. Это можно использовать для проверки решения. Второй вариант разбиения фигуры в данном примере состоит из прямоугольника 3 с размерами и вырезанных из него полукруга 4 и двух треугольников 1 и 2 (рис. 77).
Замечание 2. Решение задачи в системе Maple V методом контурного интегрирования.
- Заказать решение задач по теоретической механике
Пространственная стержневая система
Постановка Задачи. Найти координаты центра тяжести пространственной фигуры, состоящей из N однородных стержней.
План решения:
1. Разбиваем фигуру на отдельные стержни.
2. Выбираем систему координат. Вычисляем длины и координаты центров тяжести отдельных стержней. Координаты центра прямолинейного однородного стержня вычисляем как полусумму координат его концов.
3. Находим суммарную длину стержней системы
4. Определяем координаты центра тяжести тела по формулам
Задача №3
Найти координаты центра тяжести пространственной фигуры, состоящей из шести однородных стержней (рис. 78). Даны размеры:
Решение
1. Разбиваем фигуру на шесть стержней.
2. Выбираем систему координат (рис. 78). Вычисляем длины и координаты центров тяжести отдельных стержней.
3. Находим суммарную длину стержней системы:
Промежуточные результаты удобно занести в таблицу:
4. Определяем координаты центра тяжести тела по формулам
Постановка задачи. Найти координаты центра тяжести однородного объемного тела.
План решения:
1. Разбиваем тело на простые части, положение центров тяжести которых известно.
2. Выбираем систему координат. Вычисляем объемы и координаты
центров тяжести отдельных частей. Объемы вырезанных частей берем со знаком минус.
3. Находим общий объем тела по формуле
4. Определяем координаты центра тяжести тела:
Задача №4
Найти координаты центра тяжести однородного объемного тела (рис.79);
Решение
1. Разбиваем тело на пирамиду 1, параллелепипед 2 и половину цилиндра 3 (рис. 80).
2. Выбираем систему координат. Вычисляем объемы и координаты
центров тяжестей отдельных частей. Центр тяжести пирамиды 1 лежит в точке
Центр тяжести параллелепипеда 2 совпадает с его геометрическим центром:
Объем половины цилиндра 3 берем со знаком минус:
где — расстояние по оси у от оси цилиндра до его центра тяжести
.
3. Находим общий объем тела:
В общем случае объем тела, лежащего в области
можно найти, вычисляя тройной интеграл по области
а координаты центра тяжести, например,
однородного тела можно определить по формуле
см.
4. Определяем координаты центра тяжести тела:
Центр тяжести
Центр тяжести — точка, через которую проходит линия действия равнодействующей элементарных сил тяжести. Он обладает свойством центра параллельных сил. Поэтому формулы для определения положения центра тяжести различных тел имеют вид:
Если тело, центр тяжести которого нужно определить, можно отождествить с фигурой, составленной из линий (например, замкнутый или незамкнутый контур, изготовленный из проволоки, как на рис. 173), то вес каждого отрезка
можно представить в виде произведения
где d — постоянный для всей фигуры вес единицы длины материала.
После подстановки в формулы (1) вместо их значений
постоянный множитель d в каждом слагаемом числителя и знаменателя можно вынести за скобки (за знак суммы) и сократить. Таким образом, формулы для определения координат центра тяжести фигуры, составленной из отрезков линий, примут вид:
Если тело имеет вид фигуры, составленной из расположенных различным образом плоскостей или кривых поверхностей (рис. 174),
то вес каждой плоскости (поверхности) можно представить так:
где — площади каждой поверхности, ар — вес единицы площади фигуры.
После подстановки этого значения в формулы (1) получаем формулы координат центра тяжести фигуры, составленной из площадей:
Если же однородное тело можно разделить на простые части определенной геометрической формы (рис. 175), то вес каждой части
где — объем каждой части, а у — вес единицы объема тела.
После подстановки значений в формулы (I) получаем формулы для определения координат центра тяжести тела, составленного из однородных объемов;
При решении некоторых задач на определение положения центра тяжести тел иногда необходимо знать, где расположен центр тяжести дуги окружности, кругового сектора или треугольника.
Если известен радиус дуги г и центральный угол 2а, стягиваемый дугой и выраженный в радианах, то положение центра тяжести С (рис. 176, а) относительно центра дуги О определится формулой
Если же задана хорда дуги, то в формуле (5) можно произвести замену
и тогда
В частном случае для полуокружности обе формулы примут вид (рис. 176, б)
Положение центра тяжести кругового сектора, если задан его радиус r (рис. 176, в), определяется при помощи формулы
Если же задана хорда сектора, то
В частном случае для полукруга обе последние формулы примут вид (рис. 176, г)
Центр тяжести площади любого треугольника расположен от любой стороны на расстоянии, равном одной трети соответствующей высоты.
У прямоугольного треугольника центр тяжести находится на пересечении перпендикуляров, восставленных к катетам из точек, расположенных на расстоянии одной трети длины катетов, считая от вершины прямого угла (рис. 177).
При решении задач на определение положения центра тяжести любого однородного тела, й составленного либо из тонких стержней (линий), либо из пластинок (площадей), либо из объемов, целесообразно придерживаться следующего порядка:
- выполнить рисунок тела, положение центра тяжести которого нужно определить. Так как все размеры тела обычно известны, при этом следует соблюдать масштаб;
- разбить тело на составные части (отрезки линий или площади, или объемы), положение центров тяжести которых определяется исходя из размеров тела;
- определить или длины, или площади, или объемы составных частей;
- выбрать расположение осей координат;
- определить координаты центров тяжести составных частей;
- найденные значения длин или площадей, или объемов отдельных частей, а также координат их центров тяжести подставить в соответствующие формулы и вычислить координаты центра тяжести всего тела;
- по найденным координатам указать на рисунке положение центра тяжести тела.
- Кинематика точки
- Плоское движение твердого тела
- Мгновенный центр скоростей
- Мгновенный центр ускорений
- Условия равновесия системы сил
- Плоская система сил
- Трение
- Пространственная система сил