Как найти ранговый коэффициент корреляции спирмена

Была ли эта статья полезной?

Коэффициент корреляции Спирмена: Определение

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена или коэффициент корреляции Спирмена — это непараметрическая мера ранговой корреляции (статистической зависимости рангов между двумя переменными).

Названный в честь Чарльза Спирмена, он часто обозначается греческой буквой ‘?’ (rho) и используется в основном для анализа данных.

Он измеряет силу и направление связи между двумя ранжированными переменными. Но прежде чем говорить о коэффициенте корреляции Спирмена, важно сначала понять, что такое корреляция Пирсона. Корреляция Пирсона — это статистическая мера силы линейной связи между парными данными.

Для расчета и проверки значимости ранговой переменной необходимо, чтобы следующие предположения о данных были верны:

• Интервал или уровень отношения
• Линейно связанные
• Бивариантно распределенные

Если ваши данные не удовлетворяют вышеуказанным предположениям, то вам понадобится коэффициент Спирмена. Для понимания коэффициента корреляции Спирмена необходимо знать, что такое монотонная функция. Монотонная функция — это функция, которая либо никогда не уменьшается, либо никогда не увеличивается по мере увеличения независимой переменной. Монотонную функцию можно объяснить с помощью изображения ниже:

Изображение объясняет три понятия в монотонной функции:

1. Монотонно возрастающая: Когда переменная ‘x’ увеличивается, а переменная ‘y’ никогда не уменьшается.
2. Монотонно убывающая: Когда переменная ‘x’ увеличивается, а переменная ‘y’ никогда не увеличивается
3. Не монотонно: Когда переменная ‘x’ увеличивается, а переменная ‘y’ иногда увеличивается, а иногда уменьшается.

Монотонная зависимость является менее ограничительной по сравнению с линейной зависимостью, которая используется в коэффициенте Пирсона. Хотя монотонность не является конечным требованием для коэффициента корреляции Спирмена, не имеет смысла добиваться корреляции Спирмена без фактического определения силы и направления монотонной связи, если уже было известно, что связь между переменными немонотонна.

Узнайте больше: Анализ газона с примерами

Коэффициент корреляции Спирмена: Формула и расчет на примере

Здесь,

n= количество точек данных двух переменных

di = разность рангов «i-го» элемента

Коэффициент Спирмена, ?может принимать значение от +1 до -1, где,

• Значение ? равное +1 означает идеальную связь рангов
• Значение ? равное 0 означает отсутствие связи рангов
• Значение ? равное -1 означает идеальную отрицательную связь между рангами.

Чем ближе значение ? к 0, тем слабее связь между двумя рангами.

Прежде чем приступить к расчету коэффициента ранговой корреляции Спирмена, мы должны уметь ранжировать данные. Важно наблюдать, если при увеличении одной переменной другая переменная следует монотонной зависимости.

На каждом уровне необходимо сравнить значения двух переменных. Вот как происходят вычисления:

Оценки 9 учеников по истории и географии приведены в таблице ниже.

Шаг 1- Создайте таблицу полученных данных.

Шаг 2- Начните с ранжирования двух наборов данных. Ранжирование данных может быть достигнуто путем присвоения рейтинга «1» самому большому числу в столбце, «2» — второму по величине числу и так далее. Наименьшее значение обычно получает самый низкий рейтинг. Это нужно сделать для обоих наборов измерений.

Шаг 3 Добавьте к набору данных третий столбец d, d здесь обозначает разницу между рангами. Например, если ранг первого студента по физике равен 3, а по математике — 5, то разница в рангах равна 3. В четвертом столбце возведите в квадрат значения d.

Шаг 4- Сложите все ваши квадратные значения d, что составляет 12 (?d квадрат)

Шаг 5- Подставьте эти значения в формулу

=1-(6*12)/(9(81-1))

=1-72/720

=1-01

=0.9

Ранговая корреляция Спирмена для этих данных равна 0,9, и, как было сказано выше, если значение ? приближается к +1, то у них идеальная ранговая связь.

Узнайте больше: Conjoint Analysis — определение, типы, пример, алгоритм и модель

Как провести коэффициент корреляции с помощью

В этом разделе вы узнаете, как можно провести коэффициент ранговой корреляции Спирмена для вашего опроса.

Шаг 1: Перейдите в раздел Мои опросы >Выберите опрос>Аналитика

Шаг 2: Нажмите на Корреляционный анализ в разделе Анализ

Шаг 3: Нажмите на кнопку Generate Spearman Coefficient, чтобы получить подробный отчет

В приведенном выше примере коэффициент корреляции Спирмена используется для выявления связи между двумя переменными — опытом работы и ежемесячным доходом. Согласно общему представлению, ежемесячный доход должен увеличиваться с ростом опыта работы, а значит, между двумя переменными должна существовать положительная связь, что подтверждается значением rs, равным 0,97

Узнайте больше: GAP-анализ — определение, метод и шаблон с примером

From Wikipedia, the free encyclopedia

In statistics, Spearman’s rank correlation coefficient or Spearman’s ρ, named after Charles Spearman and often denoted by the Greek letter (rho) or as , is a nonparametric measure of rank correlation (statistical dependence between the rankings of two variables). It assesses how well the relationship between two variables can be described using a monotonic function.

The Spearman correlation between two variables is equal to the Pearson correlation between the rank values of those two variables; while Pearson’s correlation assesses linear relationships, Spearman’s correlation assesses monotonic relationships (whether linear or not). If there are no repeated data values, a perfect Spearman correlation of +1 or −1 occurs when each of the variables is a perfect monotone function of the other.

Intuitively, the Spearman correlation between two variables will be high when observations have a similar (or identical for a correlation of 1) rank (i.e. relative position label of the observations within the variable: 1st, 2nd, 3rd, etc.) between the two variables, and low when observations have a dissimilar (or fully opposed for a correlation of −1) rank between the two variables.

Spearman’s coefficient is appropriate for both continuous and discrete ordinal variables.^[1][2] Both Spearman’s and Kendall’s can be formulated as special cases of a more general correlation coefficient.

Definition and calculation[edit]

The Spearman correlation coefficient is defined as the Pearson correlation coefficient between the rank variables.^[3]

For a sample of size n, the n raw scores are converted to ranks , and is computed as

where

denotes the usual Pearson correlation coefficient, but applied to the rank variables,

is the covariance of the rank variables,

and are the standard deviations of the rank variables.

Only if all n ranks are distinct integers, it can be computed using the popular formula

where

is the difference between the two ranks of each observation,

n is the number of observations.

Identical values are usually^[4] each assigned fractional ranks equal to the average of their positions in the ascending order of the values, which is equivalent to averaging over all possible permutations.

If ties are present in the data set, the simplified formula above yields incorrect results: Only if in both variables all ranks are distinct, then (calculated according to biased variance).
The first equation — normalizing by the standard deviation — may be used even when ranks are normalized to [0, 1] («relative ranks») because it is insensitive both to translation and linear scaling.

The simplified method should also not be used in cases where the data set is truncated; that is, when the Spearman’s correlation coefficient is desired for the top X records (whether by pre-change rank or post-change rank, or both), the user should use the Pearson correlation coefficient formula given above.^[5]

[edit]

There are several other numerical measures that quantify the extent of statistical dependence between pairs of observations. The most common of these is the Pearson product-moment correlation coefficient, which is a similar correlation method to Spearman’s rank, that measures the “linear” relationships between the raw numbers rather than between their ranks.

An alternative name for the Spearman rank correlation is the “grade correlation”;^[6] in this, the “rank” of an observation is replaced by the “grade”. In continuous distributions, the grade of an observation is, by convention, always one half less than the rank, and hence the grade and rank correlations are the same in this case. More generally, the “grade” of an observation is proportional to an estimate of the fraction of a population less than a given value, with the half-observation adjustment at observed values. Thus this corresponds to one possible treatment of tied ranks. While unusual, the term “grade correlation” is still in use.^[7]

Interpretation[edit]

The sign of the Spearman correlation indicates the direction of association between X (the independent variable) and Y (the dependent variable). If Y tends to increase when X increases, the Spearman correlation coefficient is positive. If Y tends to decrease when X increases, the Spearman correlation coefficient is negative. A Spearman correlation of zero indicates that there is no tendency for Y to either increase or decrease when X increases. The Spearman correlation increases in magnitude as X and Y become closer to being perfectly monotone functions of each other. When X and Y are perfectly monotonically related, the Spearman correlation coefficient becomes 1. A perfectly monotone increasing relationship implies that for any two pairs of data values X_i, Y_i and X_j, Y_j, that X_i − X_j and Y_i − Y_j always have the same sign. A perfectly monotone decreasing relationship implies that these differences always have opposite signs.

The Spearman correlation coefficient is often described as being «nonparametric». This can have two meanings. First, a perfect Spearman correlation results when X and Y are related by any monotonic function. Contrast this with the Pearson correlation, which only gives a perfect value when X and Y are related by a linear function. The other sense in which the Spearman correlation is nonparametric is that its exact sampling distribution can be obtained without requiring knowledge (i.e., knowing the parameters) of the joint probability distribution of X and Y.

Example[edit]

In this example, the arbitrary raw data in the table below is used to calculate the correlation between the IQ of a person with the number of hours spent in front of TV per week [fictitious values used].

IQ,	Hours of TV per week,
106	7
100	27
86	2
101	50
99	28
103	29
97	20
113	12
112	6
110	17

Firstly, evaluate . To do so use the following steps, reflected in the table below.

1. Sort the data by the first column (). Create a new column and assign it the ranked values 1, 2, 3, …, n.
2. Next, sort the data by the second column (). Create a fourth column and similarly assign it the ranked values 1, 2, 3, …, n.
3. Create a fifth column to hold the differences between the two rank columns ( and ).
4. Create one final column to hold the value of column squared.

IQ,	Hours of TV per week,	rank	rank
86	2	1	1	0	0
97	20	2	6	−4	16
99	28	3	8	−5	25
100	27	4	7	−3	9
101	50	5	10	−5	25
103	29	6	9	−3	9
106	7	7	3	4	16
110	17	8	5	3	9
112	6	9	2	7	49
113	12	10	4	6	36

With found, add them to find . The value of n is 10. These values can now be substituted back into the equation

to give

which evaluates to ρ = −29/165 = −0.175757575… with a p-value = 0.627188 (using the t-distribution).

That the value is close to zero shows that the correlation between IQ and hours spent watching TV is very low, although the negative value suggests that the longer the time spent watching television the lower the IQ. In the case of ties in the original values, this formula should not be used; instead, the Pearson correlation coefficient should be calculated on the ranks (where ties are given ranks, as described above).

Confidence intervals[edit]

Confidence intervals for Spearman’s ρ can be easily obtained using the Jackknife Euclidean likelihood approach in de Carvalho and Marques (2012).^[8] The confidence interval with level is based on a Wilks’ theorem given in the latter paper, and is given by

where is the quantile of a chi-square distribution with one degree of freedom, and the are jackknife pseudo-values. This approach is implemented in the R package spearmanCI.

Determining significance[edit]

One approach to test whether an observed value of ρ is significantly different from zero (r will always maintain −1 ≤ r ≤ 1) is to calculate the probability that it would be greater than or equal to the observed r, given the null hypothesis, by using a permutation test. An advantage of this approach is that it automatically takes into account the number of tied data values in the sample and the way they are treated in computing the rank correlation.

Another approach parallels the use of the Fisher transformation in the case of the Pearson product-moment correlation coefficient. That is, confidence intervals and hypothesis tests relating to the population value ρ can be carried out using the Fisher transformation:

If F(r) is the Fisher transformation of r, the sample Spearman rank correlation coefficient, and n is the sample size, then

is a z-score for r, which approximately follows a standard normal distribution under the null hypothesis of statistical independence (ρ = 0).^[9][10]

One can also test for significance using

which is distributed approximately as Student’s t-distribution with n − 2 degrees of freedom under the null hypothesis.^[11] A justification for this result relies on a permutation argument.^[12]

A generalization of the Spearman coefficient is useful in the situation where there are three or more conditions, a number of subjects are all observed in each of them, and it is predicted that the observations will have a particular order. For example, a number of subjects might each be given three trials at the same task, and it is predicted that performance will improve from trial to trial. A test of the significance of the trend between conditions in this situation was developed by E. B. Page^[13] and is usually referred to as Page’s trend test for ordered alternatives.

Correspondence analysis based on Spearman’s ρ[edit]

Classic correspondence analysis is a statistical method that gives a score to every value of two nominal variables. In this way the Pearson correlation coefficient between them is maximized.

There exists an equivalent of this method, called grade correspondence analysis, which maximizes Spearman’s ρ or Kendall’s τ.^[14]

Approximating Spearman’s ρ from a stream[edit]

There are two existing approaches to approximating the Spearman’s rank correlation coefficient from streaming data.^[15][16] The first approach^[15]
involves coarsening the joint distribution of . For continuous values: cutpoints are selected for and respectively, discretizing
these random variables. Default cutpoints are added at and . A count matrix of size , denoted , is then constructed where stores the number of observations that
fall into the two-dimensional cell indexed by . For streaming data, when a new observation arrives, the appropriate element is incremented. The Spearman’s rank
correlation can then be computed, based on the count matrix , using linear algebra operations (Algorithm 2^[15]). Note that for discrete random
variables, no discretization procedure is necessary. This method is applicable to stationary streaming data as well as large data sets. For non-stationary streaming data, where the Spearman’s rank correlation coefficient may change over time, the same procedure can be applied, but to a moving window of observations. When using a moving window, memory requirements grow linearly with chosen window size.

The second approach to approximating the Spearman’s rank correlation coefficient from streaming data involves the use of Hermite series based estimators.^[16] These estimators, based on Hermite polynomials,
allow sequential estimation of the probability density function and cumulative distribution function in univariate and bivariate cases. Bivariate Hermite series density
estimators and univariate Hermite series based cumulative distribution function estimators are plugged into a large sample version of the
Spearman’s rank correlation coefficient estimator, to give a sequential Spearman’s correlation estimator. This estimator is phrased in
terms of linear algebra operations for computational efficiency (equation (8) and algorithm 1 and 2^[16]). These algorithms are only applicable to continuous random variable data, but have
certain advantages over the count matrix approach in this setting. The first advantage is improved accuracy when applied to large numbers of observations. The second advantage is that the Spearman’s rank correlation coefficient can be
computed on non-stationary streams without relying on a moving window. Instead, the Hermite series based estimator uses an exponential weighting scheme to track time-varying Spearman’s rank correlation from streaming data,
which has constant memory requirements with respect to «effective» moving window size. A software implementation of these Hermite series based algorithms exists ^[17] and is discussed in Software implementations.

Software implementations[edit]

• R’s statistics base-package implements the test cor.test(x, y, method = "spearman") in its «stats» package (also cor(x, y, method = "spearman") will work. The package spearmanCI computes confidence intervals. The package hermiter^[17] computes fast batch estimates of the Spearman correlation along with sequential estimates (i.e. estimates that are updated in an online/incremental manner as new observations are incorporated).
• Stata implementation: spearman varlist calculates all pairwise correlation coefficients for all variables in varlist.
• MATLAB implementation: [r,p] = corr(x,y,'Type','Spearman') where r is the Spearman’s rank correlation coefficient, p is the p-value, and x and y are vectors.^[18]
• Python has many different implementation of the spearman correlation statistic: it can be computed with the spearmanr function of the scipy.stats module, as well as with the DataFrame.corr(method=’spearman’) method from the pandas library, and the corr(x, y, method=’spearman’) function from the statistical package pingouin.

See also[edit]

• Kendall tau rank correlation coefficient
• Chebyshev’s sum inequality, rearrangement inequality (These two articles may shed light on the mathematical properties of Spearman’s ρ.)
• Distance correlation
• Polychoric correlation

References[edit]

Further reading[edit]

• Corder, G. W. & Foreman, D. I. (2014). Nonparametric Statistics: A Step-by-Step Approach, Wiley. ISBN 978-1118840313.
• Daniel, Wayne W. (1990). «Spearman rank correlation coefficient». Applied Nonparametric Statistics (2nd ed.). Boston: PWS-Kent. pp. 358–365. ISBN 978-0-534-91976-4.
• Spearman C. (1904). «The proof and measurement of association between two things». American Journal of Psychology. 15 (1): 72–101. doi:10.2307/1412159. JSTOR 1412159.
• Bonett D. G., Wright, T. A. (2000). «Sample size requirements for Pearson, Kendall, and Spearman correlations». Psychometrika. 65: 23–28. doi:10.1007/bf02294183. S2CID 120558581.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Kendall M. G. (1970). Rank correlation methods (4th ed.). London: Griffin. ISBN 978-0-852-6419-96. OCLC 136868.
• Hollander M., Wolfe D. A. (1973). Nonparametric statistical methods. New York: Wiley. ISBN 978-0-471-40635-8. OCLC 520735.
• Caruso J. C., Cliff N. (1997). «Empirical size, coverage, and power of confidence intervals for Spearman’s Rho». Educational and Psychological Measurement. 57 (4): 637–654. doi:10.1177/0013164497057004009. S2CID 120481551.

External links[edit]

• Table of critical values of ρ for significance with small samples
• Spearman’s Rank Correlation Coefficient – Excel Guide: sample data and formulae for Excel, developed by the Royal Geographical Society.

Назначение
рангового коэффициента корреляции

Метод
ранговой корреляции Спирмена позволяет
определить тес­ноту (силу) и направление
корреляционной связи между двумя
призна­ками или
двумя
профилями {иерархиями) признаков.

Описание метода

Для подсчета
ранговой корреляции необходимо
располагать двумя рядами значений,
которые могут быть проранжированы.
Такими рядами значений могут быть:

1) два
признака, измеренные
в одной и той же группе испытуемых;

2) две
индивидуальные иерархии признаков,
выявленные
у двух испы­туемых по одному и тому
же набору признаков (например, личност­ные
профили по 16-факторному опроснику Р. Б.
Кеттелла, иерархии ценностей по методике
Р. Рокича, последовательности предпочтений
в выборе из нескольких альтернатив и
др.);

3) две
групповые иерархии признаков;

4)
индивидуальная
и групповая иерархии
признаков.

Вначале показатели
ранжируются отдельно по каждому из
признаков. Как правило, меньшему значению
признака начисляется меньший ранг.

Рассмотрим
случай 1 (два признака). Здесь
ранжируются ин­дивидуальные значения
по первому признаку, полученные разными
ис­пытуемыми, а затем индивидуальные
значения по второму признаку.

Если
два признака связаны положительно, то
испытуемые, имею­щие низкие ранги по
одному из них, будут иметь низкие ранги
и по другому, а испытуемые, имеющие
высокие ранги по одному из призна­ков,
будут иметь по другому признаку также
высокие ранги. Для под­счета r_s
необходимо
определить разности (d)
между рангами, получен­ными данным
испытуемым по обоим признакам. Затем
эти показатели d
определенным образом преобразуются и
вычитаются из 1. Чем меньше разности
между рангами, тем больше будет r_s,
тем ближе он будет к +1.

Если
корреляция отсутствует, то все ранги
будут перемешаны и между ними не будет
никакого соответствия. Формула составлена
так, что в
этом
случае r_s,
окажется близким к 0.

В случае отрицательной
корреляции низким рангам испытуемых
по одному признаку будут соответствовать
высокие ранги по другому признаку, и
наоборот.

Чем
больше несовпадение между рангами
испытуемых по двумя переменным, тем
ближе r_s
к -1.

Рассмотрим
случай 2 (два индивидуальных профиля).
Здесь
ранжируются индивидуальные значения,
полученные каждым из 2-х испытуемым по
определенному (одинаковому для них
обоих) набору признаков. Первый ранг
получит признак с самым низким значением;
второй ранг — признак с более высоким
значением и т.д. Очевидно, что все признаки
должны быть измерены в одних и тех же
единицах, иначе ранжирование невозможно.
Например, невозможно проранжировать
показатели по личностному опроснику
Кеттелла (16PF),
если они вы­ражены в «сырых»
баллах, поскольку по разным факторам
диапазоны значений различны: от 0 до 13,
от 0 до 20 и от 0 до 26. Мы не мо­жем сказать,
какой из факторов будет занимать первое
место по выра­женности, пока не приведем
все значения к единой шкале (чаще всего
это шкала стенов).

Если
индивидуальные иерархии двух испытуемых
связаны поло­жительно, то признаки,
имеющие низкие ранги у одного из них,
будут иметь низкие ранги и у другого, и
наоборот. Например, если у одного
испытуемого фактор Е (доминантность)
имеет самый низкий ранг, то и
у
другого испытуемого он должен иметь
низкий ранг, если у одного испытуемого
фактор С (эмоциональная устойчивость)
имеет высший ранг, то и другой испытуемый
должен иметь по этому фактору высокий
ранг и т.д.

Рассмотрим
случай 3 (два групповых профиля). Здесь
ранжи­руются среднегрупповые значения,
полученные в 2-х группах испытуе­мых
по определенному, одинаковому для двух
групп, набору признаков. В дальнейшем
линия рассуждений такая же, как и в
предыдущих двух случаях.

Рассмотрим
случай 4 (индивидуальный и групповой
профили). Здесь
ранжируются отдельно индивидуальные
значения испытуемого и
среднегрупповые
значения по тому же набору признаков,
которые полу­чены, как правило, при
исключении этого отдельного испытуемого
— он не участвует в среднегрупповом
профиле, с которым будет сопоставляться
его индивидуальный профиль. Ранговая
корреляция позволит проверить, насколько
согласованы индивидуальный и групповой
профили.

Во
всех четырех случаях значимость
полученного коэффициента корреляции
определяется по количеству ранжированных
значений N.
В
первом случае это количество будет
совпадать с объемом выборки п. Во втором
случае количеством наблюдений будет
количество признаков, составляющих
иерархию. В третьем и четвертом случае
N
— это
также количество сопоставляемых
признаков, а не количество испытуемых
в группах. Подробные пояснения даны в
примерах.

Если
абсолютная величина r_s
достигает критического значения или
превышает его, корреляция достоверна.

Гипотезы

Возможны два
варианта гипотез. Первый относится к
случаю 1, второй — к трем остальным
случаям.

Первый вариант
гипотез

H₀:
Корреляция
между переменными А и Б не отличается
от нуля.

H₁:
Корреляция между переменными А и Б
достоверно отличается от нуля.

Второй вариант
гипотез

H₀:
Корреляция
между иерархиями А и Б не отличается от
нуля.

H₁:
Корреляция
между иерархиями А и Б достоверно
отличается от нуля.

Графическое
представление метода ранговой корреляции

Чаще всего
корреляционную связь представляют
графически в виде облака точек или в
виде линий, отражающих общую тенденцию
размещения точек в пространстве двух
осей: оси признака А и призна­ка Б (см.
Рис. 6.2).

Попробуем
изобразить ранговую корреляцию в виде
двух рядов ранжированных значений,
которые попарно соединены линиями (Рис.
6.3). Если ранги по признаку А и по признаку
Б совпадают, то между ними оказывается
горизонтальная линия, если ранги не
совпадают, то линия становится наклонной.
Чем больше несовпадение рангов, тем
бо­лее наклонной становится линия.
Слева на Рис. 6.3 отображена макси­мально
высокая положительная корреляция
(r_в=+1,0)
— практически это «лестница». В
центре отображена нулевая корреляция
— плетенка с неправильными переплетениями.
Все ранги здесь перепутаны. Справа
отображена максимально высокая
отрицательная корреляция (r_s=-1,0)
-паутина с правильным переплетением
линий.

Рис. 6.3. Графическое
представление ранговой корреляции:

а) высокая
положительная корреляция;

б) нулевая корреляция;

в) высокая
отрицательная корреляция

Ограничения
коэффициента
ранговой корреляции

1. По
каждой переменной должно быть представлено
не менее 5 на­блюдений. Верхняя граница
выборки определяется имеющимися
таб­лицами критических значений
(Табл.XVI
Приложения 1), а именно N≤40.

2.
Коэффициент ранговой корреляции Спирмена
r_s
при большом коли­честве одинаковых
рангов по одной или обеим сопоставляемым
пе­ременным дает огрубленные значения.
В идеале оба коррелируемых ряда должны
представлять собой две последовательности
несовпа­дающих значений. В случае,
если это условие не соблюдается,
необ­ходимо вносить поправку на
одинаковые ранги. Соответствующая
формула дана в примере 4.

Пример
1 — корреляция между
двумя признаками

В
исследовании,
моделирующем деятельность авиадиспетчера
(Одерышев Б.С., Шамова Е.П., Сидоренко
Е.В., Ларченко Н.Н., 1978), группа испытуемых,
студентов физического факультета ЛГУ
проходила подготовку перед началом
работы на тренажере. Испытуе­мые
должны были решать задачи по выбору
оптимального типа взлет­но-посадочной
полосы для заданного типа самолета.
Связано ли коли­чество ошибок,
допущенных испытуемыми в тренировочной
сессии, с показателями вербального и
невербального интеллекта, измеренными
по методике Д. Векслера?

Таблица 6.1

Показатели
количества ошибок в тренировочной
сессии и показатели уровня вербального
и невербального интеллекта у
студентов-физиков (N=10)

Сначала попробуем
ответить на вопрос, связаны ли между
собой показатели количества ошибок и
вербального интеллекта.

Сформулируем
гипотезы.

H₀:
Корреляция
между показателем количества ошибок в
тренировочной сессии и уровнем вербального
интеллекта не отличается от нуля.

H₁:
Корреляция
между показателем количества ошибок в
тренировочной сессии и уровнем вербального
интеллекта статистически значимо
отличается от нуля.

Далее нам необходимо
проранжировать оба показателя, Приписы­вая
меньшему значению меньший ранг, затем
подсчитать разности меж­ду рангами,
которые получил каждый испытуемый по
двум переменным (признакам), и возвести
эти разности в квадрат. Произведем все
необ­ходимые расчеты в таблице.

В Табл.
6.2 в первой колонке слева представлены
значения по показателю количества
ошибок; в следующей колонке — их ранги.
В третьей колонке слева представлены
значения по показателю вербаль­ного
интеллекта; в следующем столбце — их
ранги. В пятом слева пред­ставлены
разности d
между
рангом по переменной А (количество
оши­бок) и переменной Б (вербальный
интеллект). В последнем столбце
представлены квадраты разностей — d².

Таблица 6.2

Расчет
d²
для
рангового коэффициента корреляции
Спирмена r_s
при сопоставлении показателей количества
ошибок и вербального интеллекта у
студентов-физиков (N=10)

Коэффициент
ранговой корреляции Спирмена подсчитывается
по формуле:

где d
— разность
между рангами по двум переменным для
каж­дого испытуемого;

N —
количество
ранжируемых значений, в. данном случае
ко­личество испытуемых.

Рассчитаем
эмпирическое значение r_s:

Полученное
эмпирическое значение г_s
близко к 0. И все же определим критические
значения r_s
при N=10
по Табл. XVI
Приложения 1:

Ответ:
H₀
принимается.
Корреляция между показателем коли­чества
ошибок в тренировочной сессии и уровнем
вербального интел­лекта не отличается
от нуля.

Теперь попробуем
ответить на вопрос, связаны ли между
собой показатели количества ошибок и
невербального интеллекта.

Сформулируем
гипотезы.

H₀:
Корреляция
между показателем количества ошибок в
тренировочной сессии и уровнем
невербального интеллекта не отличается
от 0.

H₁:
Корреляция между показателем количества
ошибок в тренировочной сессии и уровнем
невербального интеллекта статистически
значимо отличается от 0.

Результаты
ранжирования и сопоставления рангов
представлены в Табл. 6.3.

Таблица 6.3

Расчет
d²
для
рангового коэффициента корреляции
Спирмена r_s
при сопоставлении показателей количества
ошибок и невербального интеллекта у
студентов-физиков (N=10)

Мы
помним, что для определения значимости
r_s
неважно, являет­ся ли он положительным
или отрицательным, важна лишь его
абсолют­ная величина. В данном случае:

r_s
эмп<r_s
ко.

Ответ:
H₀
принимается. Корреляция между показателем
коли­чества ошибок в тренировочной
сессии и уровнем невербального интел­лекта
случайна, r_s
не отличается от 0.

Вместе
с тем, мы можем обратить внимание на
определенную тенденцию отрицательной
связи
между этими двумя переменными. Возможно,
мы смогли бы ее подтвердить на статистически
значимом уровне, если бы увеличили объем
выборки.

Пример 2 — корреляция
между индивидуальными профилями

В исследовании,
посвященном проблемам ценностной
реориента-ции, выявлялись иерархии
терминальных ценностей по методике М.
Рокича у родителей и их взрослых детей
(Сидоренко Е.В., 1996). Ранги терминальных
ценностей, полученные при обследовании
пары мать-дочь (матери — 66 лет, дочери —
42 года) представлены в Табл. 6.4. Попытаемся
определить, как эти ценностные иерархии
коррелиру­ют друг с другом.

Таблица 6.4

Ранги терминальных
ценностей по списку М.Рокича в
индивидуальных иерархиях матери и
дочери

Сформулируем
гипотезы.

H₀:
Корреляция
между иерархиями терминальных ценностей
матери и дочери не отличается от нуля.

H₁:
Корреляция между иерархиями терминальных
ценностей матери и дочери статистически
значимо отличается от нуля.

Поскольку
ранжирование ценностей предполагается
самой проце­дурой исследования, нам
остается лишь подсчитать разности между
рангами 18 ценностей в двух иерархиях .
В 3-м и 4-м столбцах Табл. 6.4 представлены
разности d
и
квадраты этих разностей d².

Определяем
эмпирическое значение r_s
по формуле:

где d
—
разности между рангами по каждой из
переменных, в данном случае по каждой
из терминальных ценностей;

N —
количество переменных, образующих
иерархию, в дан­ном случае количество
ценностей.

Для данного примера:

По
Табл. XVI
Приложения 1 определяем критические
значения:

Ответ:
H₀
отвергается.
Принимается H₁.
Корреляция между иерархиями терминальных
ценностей матери и дочери статистически
значима (р<0,01) и является положительной.

По данным Табл.
6.4 мы можем определить, что основные
рас­хождения приходятся на ценности
«Счастливая семейная жизнь»,
«Общественное признание» и
«Здоровье», ранги остальных ценностей
достаточно близки.

Пример 3 — корреляция
между двумя групповыми иерархиями

Джозеф
Вольпе в книге, написанной совместно с
сыном (Wolpe
J.,
Wolpe
D.,
1981) приводит упорядоченный перечень из
наиболее час­то встречающихся у
современного человека «бесполезных»,
по его обо­значению, страхов, которые
не несут сигнального значения и лишь
ме­шают полноценно жить и действовать.
В отечественном исследовании, проведенном
М.Э. Раховой (1994) 32 испытуемых должны
были по 10-балльной шкале оценить,
насколько актуальным для них является
тот или иной вид страха из перечня
Вольпе³.
Обследованная выборка состояла из
студентов Гидрометеорологического и
Педагогического ин­ститутов
Санкт-Петербурга: 15 юношей и 17 девушек
в возрасте от 17 до 28 лет, средний возраст
23 года.

Данные, полученные
по 10-балльной шкале, были усреднены по
32 испытуемым, и средние проранжированы.
В Табл. 6.5 представлены ранговые
показатели, полученные Дж. Вольпе и М.
Э. Раховой. Сов­падают ли ранговые
последовательности 20 видов страха?

Сформулируем
гипотезы.

H₀:
Корреляция
между упорядоченными перечнями видов
страха в аме­риканской и отечественных
выборках не отличается от нуля.

H₁:
Корреляция между упорядоченными
перечнями видов страха в аме­риканской
и отечественной выборках статистически
значимо отли­чается от нуля.

Все расчеты,
связанные с вычислением и возведением
в квадрат разностей между рангами разных
видов страха в двух выборках, пред­ставлены
в Табл. 6.5.

Таблица 6.5

Расчет
d
для
рангового коэффициента корреляции
Спирмена при со­поставлении упорядоченных
перечней видов страха в американской
и отечественной выборках

Определяем
эмпирическое значение
r_s:

По
Табл. XVI
Приложения 1 определяем критические
значения г_s
при N=20:

Ответ:
H₀
принимается. Корреляция между
упорядоченными перечнями видов страха
в американской и отечественной выборках
не достигает уровня статистической
значимости, т. е. значимо не отличает­ся
от нуля.

Пример
4 — корреляция между индивидуальным и
среднегрупповым профилями

Выборке
петербуржцев в возрасте от 20
до
78
лет
(31
мужчина, 46 женщин),
уравновешенной по возрасту таким
образом, что лица в возрасте старше 55
лет составляли в
ней
50%⁴,
предлагалось ответить на вопрос: «Какой
уровень развития каждого из перечисленных
ниже качеств необходим для депутата
Городского собрания Санкт-Петербурга?»
(Сидоренко Е.В., Дерманова И.Б., Анисимова
О.М., Витенберг Е.В., Шульга А.П., 1994).
Оценка
производилась по 10-балльной шкале.
Параллельно с этим обследовалась выборка
из депута­тов и кандидатов в депутаты
в Городское собрание Санкт-Петербурга
(n=14).
Индивидуальная диагностика политических
деятелей и претен­дентов производилась
с помощью Оксфордской системы
экспресс-видеодиагностики по тому же
набору личностных качеств, который
предъявлялся выборке избирателей.

В Табл.
6.6 представлены средние значения,
полученные для ка­ждого из качеств в
выборке
избирателей («эталонный ряд») и
индиви­дуальные значения одного из
депутатов Городского собрания.

Попытаемся
определить, насколько индивидуальный
профиль де­путата К-ва коррелирует с
эталонным профилем.

Таблица 6.6

Усредненные
эталонные оценки избирателей (п=77) и
индивидуальные показатели депутата
К-ва по 18 личностным качествам
экспресс-видеодиагностики

Таблица 6.7

Расчет
d²
для
рангового коэффициента корреляции
Спирмена между эталонным и индивидуальным
профилями личностных качеств депутата

Как
видно из Табл. 6.6, оценки избирателей и
индивидуальные показатели депутата
варьируют в разных диапазонах.
Действительно оценки избирателей были
получены по 10-балльной шкале, а
индивидуальные показатели по
экспресс-видеодиагностике измеряются
по 20-ти балльной шкале. Ранжирование
позволяет нам перевести обе шкалы
измерения в единую шкалу, где единицей
измерения будет 1 ранг, а максимальное
значение составит 18 рангов.

Ранжирование, как
мы помним, необходимо произвести отдельно
по каждому ряду значений. В данном случае
целесообразно начислять большему
значению меньший ранг, чтобы сразу можно
было увидеть, на каком месте по значимости
(для избирателей) или по выраженности
(у депутата) находится то или иное
качество.

Результаты
ранжирования представлены в Табл. 6.7.
Качества перечислены в последовательности,
отражающей эталонный профиль.

Сформулируем
гипотезы.

H₀:
Корреляция между индивидуальным профилем
депутата К-ва и эталонным профилем,
построенным по оценкам избирателей, не
от­личается от нуля.

H₁:
Корреляция между индивидуальным профилем
депутата К-ва и эталонным профилем,
построенным по оценкам избирателей,
стати­стически значимо отличается
от нуля. Поскольку в обоих сопоставляемых
ранговых рядах присутствуют

группы одинаковых
рангов, перед подсчетом коэффициента
ранговой

корреляции
необходимо внести поправки на одинаковые
ранги Т_а
и Т_b:

где а
— объем
каждой группы одинаковых рангов в
ранговом ряду А,

b
— объем
каждой группы одинаковых рангов в
ранговом ряду В.

В
данном случае, в ряду А (эталонный
профиль) присутствует одна группа
одинаковых рангов — качества «обучаемость»
и «гуманизм» имеют один и тот же
ранг 12,5; следовательно, а=2.

T_а=(2³-2)/12=0,50.

В ряду
В (индивидуальный профиль) присутствует
две группы одинаковых рангов, при этом
b₁=2
и
b₂=2.

T_a=[(2³-2)+(2³-2)]/12=1,00

Для
подсчета эмпирического значения r_s
используем формулу

В данном случае:

Заметим,
что если бы поправка на одинаковые ранги
нами не вносилась, то величина r_s
была бы лишь на (на 0,0002) выше:

При
больших количествах одинаковых рангов
изменения г₅
могут оказаться гораздо более
существенными. Наличие одинаковых
рангов означает меньшую степень
дифференцированное™ упорядоченных
переменных и, следовательно, меньшую
возможность оценить степень связи между
ними (Суходольский Г.В., 1972, с.76).

По
Табл. XVI
Приложения 1 определяем критические
значения г, при N=18:

Ответ:
Hq
отвергается.
Корреляция между индивидуальным профилем
депутата К-ва и эталонным профилем,
отвечающим требова­ниям избирателей,
статистически значима (р<0,05) и является
положи­тельной.

Из
Табл. 6.7 видно, что депутат К-в имеет
более низкий ранг по шкалам Умения
общаться с людьми и более высокие ранги
по шкалам Целеустремленности и Стойкости,
чем это предписывается избиратель­ским
эталоном. Этими расхождениями, главным
образом, и объясняется некоторое снижение
полученного r_s.

Сформулируем
общий алгоритм подсчета r_s.