Как найти радиус ромба на клетчатой бумаге

Нахождение радиуса вписанной в ромб окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в ромб. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Формулы вычисления радиуса вписанной в ромб окружности

Через диагонали и сторону

Радиус r вписанной в ромб окружности равняется произведению его диагоналей, деленному на сторону, умноженную на 4.

  • d1 и d2 – диагонали ромба;
  • a – сторона ромба.

Через диагонали

Радиус r вписанной в ромб окружности можно найти, зная только длины его обеих диагоналей:

Эту формулу можно получить, если сторону a в формуле выше выразить через диагонали (согласно одному из свойств ромба):

Через сторону и угол

Радиус окружности r, вписанной в ромб, равняется половине произведения его стороны и синуса любого угла.

Через высоту

Радиус вписанного в ромб круга равняется половине его высоты.

Примеры задач

Задание 1
Известно, что диагонали ромба равны 6 и 8 см. Найдите радиус окружности, вписанной в него.

Решение
Применим соответствующую формулу, подставив в нее известные значения:

Задание 2
Вычислите радиус вписанного в ромб круга, если его сторона равна 11 см, а один из углов – 30°.

Решение
В данном случае мы можем воспользоваться последней из рассмотренных выше формул:

Радиус вписанной окружности в ромб

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: диагональ, стороны и угол

a — сторона ромба

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α — острый угол

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагонали ( r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через сторону и угол ( r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и угол ( r ) :

Формула радиуса вписанной окружности в ромб через диагональ и сторону ( r ) :

2. Радиус вписанной окружности ромба, равен половине его высоты

a — сторона ромба

h — высота

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в ромб ( r ) :

Найти радиус вписанной окружности ромба изображенного на клетчатой бумаге

Сторона ромба равна 20, острый угол равен Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.

Радиус r вписанной в ромб окружности вдвое меньше его высоты d. Поэтому

Сторона ромба равна 58, острый угол равен Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Сторона ромба равна 1, острый угол равен Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.

Радиус r вписанной в ромб окружности вдвое меньше его высоты d. Поэтому

Сторона ромба равна 100, острый угол равен Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.

Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.

Сторона ромба равна 1, острый угол равен Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.

Радиус r вписанной в ромб окружности вдвое меньше его высоты d. Поэтому

источники:

http://www-formula.ru/2011-09-22-03-32-52

http://math-ege.sdamgia.ru/test?likes=27913

Источник

СИСТЕМА СКИДОК

При покупке 2 и более курсов разом действуют скидки. Добавьте несколько курсов в корзину и оплатите из неё по скидочной цене.
Подробнее о системе скидок тут.

Источник

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в ромб. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

  • Формулы вычисления радиуса вписанной в ромб окружности

    • Через диагонали и сторону

    • Через диагонали

    • Через сторону и угол

    • Через высоту

  • Примеры задач

Формулы вычисления радиуса вписанной в ромб окружности

Вписанная в ромб окружность

Через диагонали и сторону

Радиус r вписанной в ромб окружности равняется произведению его диагоналей, деленному на сторону, умноженную на 4.

Формула нахождения радиуса вписанной в ромб окружности через его диагонали и сторону

  • d1 и d2 – диагонали ромба;
  • a – сторона ромба.

Через диагонали

Радиус r вписанной в ромб окружности можно найти, зная только длины его обеих диагоналей:

Формула нахождения радиуса вписанной в ромб окружности через его диагонали

Эту формулу можно получить, если сторону a в формуле выше выразить через диагонали (согласно одному из свойств ромба):

Формула нахождения стороны ромба через его диагонали

Через сторону и угол

Радиус вписанного в ромб круга

Радиус окружности r, вписанной в ромб, равняется половине произведения его стороны и синуса любого угла.

Формула нахождения радиуса вписанного в ромб круга через его сторону и синус угла

Через высоту

Нахождение радиуса вписанной в ромб окружности

Радиус вписанного в ромб круга равняется половине его высоты.

  • h (или GF) – высота ромба;
  • h = 2r.

Примеры задач

Задание 1
Известно, что диагонали ромба равны 6 и 8 см. Найдите радиус окружности, вписанной в него.

Решение
Применим соответствующую формулу, подставив в нее известные значения:

Пример нахождения радиуса вписанной в ромб окружности через его диагонали

Задание 2
Вычислите радиус вписанного в ромб круга, если его сторона равна 11 см, а один из углов – 30°.

Решение
В данном случае мы можем воспользоваться последней из рассмотренных выше формул:

Пример нахождения радиуса вписанной в ромб окружности через его сторону и синус угла

Источник

Как найти радиус вписанной окружности в ромб на клетчатой бумаге: шаг за шагом решение задачи

В этой статье мы расскажем, как найти радиус вписанной окружности в ромб на клетчатой бумаге. Решение данной задачи может пригодиться при изучении геометрии или при выполнении задач на олимпиадах.

Шаг 1: Нарисовать ромб

Сначала нарисуйте ромб на клетчатой бумаге. Ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны. Чтобы убедиться, что вы правильно нарисовали ромб, измерьте диагонали вашей фигуры. Они должны быть равны между собой.

Шаг 2: Найти длину стороны ромба

Чтобы найти радиус вписанной окружности, нам нужно знать длину стороны ромба. Для этого измерьте одну сторону вашего ромба с помощью линейки или другого измерительного инструмента.

Шаг 3: Найти полупериметр ромба

Чтобы найти полупериметр ромба, нужно сложить длины всех его сторон и разделить полученную сумму на 2:

$$
S=frac{a+a+a+a}{2} = 2a
$$

Здесь $a$ — длина стороны ромба.

Шаг 4: Найти площадь ромба

Чтобы найти площадь ромба, нужно умножить длину одной диагонали на другую и разделить полученное произведение на 2:

$$
S=frac{d_1cdot d_2}{2}
$$

Здесь $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей ромба.

Шаг 5: Найти радиус вписанной окружности

Чтобы найти радиус вписанной окружности, нужно воспользоваться формулой:

$$
r=frac{S}{2P}=frac{d_1}{2}=frac{d_2}{2}
$$

Здесь $S$ — площадь ромба, $P$ — его периметр.

Итак, мы нашли радиус вписанной окружности в ромб на клетчатой бумаге!

Заключение

На этом мы завершаем наше руководство по поиску радиуса вписанной окружности в ромб на клетчатой бумаге. Надеемся, оно поможет вам в решении задач и изучении геометрии.

Источник

Чтобы уверенно решать задачи по геометрии — даже такие простые — необходимо выучить основные понятия и формулы.

Это формулы площадей фигур — треугольника (5 формул), параллелограмма, ромба, прямоугольника, произвольного четырехугольника, а также круга. Формулы для длины окружности, длины дуги и площади сектора. Для средней линии треугольника и средней линии трапеции.

Надо знать, что такое центральный и вписанный угол. Знать основные тригонометрические соотношения. В общем, учите основы планиметрии.

Больше полезных формул — в нашем ЕГЭ-Справочнике.

Смотри также материал: Как быстро выучить формулы

В этой статье — основные типы заданий №1 Базового ЕГЭ по математике. Задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

Вычисление длин отрезков, величин углов и площадей фигур по формулам 

1. На клетчатой бумаге с размером клетки  изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.

Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований: frac{AD+BC}{2}=frac{4+2}{2}=3.

Ответ: 3.

2. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Величина вписанного угла alpha равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Соединим точки А и С с центром окружности и проведем диаметры через точки А и С. Видим, что величина центрального угла АОС равна {90}^{circ}. Тогда angle alpha =frac{{90}^{circ}}{2}={45}^{circ}.

Ответ: 45.

3. Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на frac{sqrt{5}}{2}.

Решение:

Проведем из точки В перпендикуляр к прямой ОА. Из прямоугольного треугольника ОВС по теореме Пифагора:

OB=sqrt{16+4}=sqrt{20}=2sqrt{5}

{sin alpha }={sin angle AOB}=frac{4}{2sqrt{5}}=frac{2}{sqrt{5}}. Осталось умножить найденное значение синуса на frac{sqrt{5}}{2}.

frac{2}{sqrt{5}}cdot frac{sqrt{5}}{2}=1

Ответ: 1.

4. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки  Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Самый простой способ — воспользоваться формулой площади ромба, выраженной через его диагонали:

 , где d_1 и d_2 — диагонали.

Получим: 

Ответ: 12.

5. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки  Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

Основания нашей трапеции равны 4 и 8, а высота равна боковой стороне (поскольку трапеция прямоугольная), то есть 3 см. Площадь трапеции

Ответ: 18.

Нахождение площадей многоугольников сложной формы

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ и на авторских задачах.

6. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным 5. Высоты этих треугольников равны 2 и 3. Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: S = 5 + 7,5 = 12,5.

Ответ: 12,5.

7. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной 5 и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: S=25-5-5-4,5=10,5.

Ответ: 10,5.

Многие репетиторы рекомендуют в таких задачах пользоваться формулой Пика. В ней нет необходимости, однако эта формула довольно интересна.

Согласно формуле Пика, площадь многоугольника равна В+Г/2-1

где В — количество узлов внутри многоугольника, а Г — количество узлов на границе многоугольника.

Узлами здесь названы точки, в которых пересекаются линии нашей клетчатой бумаги.

Посмотрим, как решается задача 7 с помощью формулы Пика:

Синим на рисунке отмечены узлы внутри треугольника. Зеленым — узлы на границе.

Аккуратно посчитав те и другие, получим, что В = 9, Г = 5, и площадь фигуры равна S = 9 + 5/2 — 1 = 10,5.

Выбирайте — какой способ вам больше нравится.

8. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки  

Такой четырехугольник получится, если от квадрата размером 4times 4 отрезать 2 прямоугольника и 4 треугольника. Найдите их на рисунке.

Площадь каждого из больших треугольников равна frac{1}{2}cdot 3cdot 2=3.

Площадь каждого из маленьких треугольников равна frac{1}{2}cdot 1cdot 2=1.

Тогда площадь четырехугольника S= 16 - 2 - 2 - 1 - 1 - 3 - 3 = 4.

9. Авторская задача.  Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 

Решение:

На рисунке изображен ромб с вырезанным из него квадратом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Площадь вырезанного квадрата равна 4.

Площадь фигуры равна 36 — 4 = 32.

Ответ: 32.

Площадь круга, длина окружности, площадь части круга 

Длина дуги во столько раз меньше длины окружности, во сколько раз ее градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

Площадь сектора во столько раз меньше площади всего круга, во сколько раз его градусная мера меньше, чем полный круг, то есть 360 градусов.

10. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого равна 2.

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна pi R^2=pi, так как R=1. Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна 2pi R=2pi (так как R=1), а длина дуги данного сектора равна 2, следовательно, длина дуги в pi раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в pi раз меньше, чем полный круг (то есть 360 градусов). Значит, и площадь сектора будет в pi раз меньше, чем площадь всего круга.

Ответ: 1.

11. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 2,8. Найдите площадь закрашенного сектора.

На рисунке изображен сектор, то есть часть круга. Но какая же это часть? Это четверть круга и еще frac{1}{8} круга, то есть frac{3}{8} круга.

Значит, нам надо умножить площадь круга на frac{3}{8}. Получим:

frac{3}{8}cdot 2,8 =1,05

Ответ: 1,05.

12. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Площадь фигуры равна разности площадей двух кругов, один из которых расположен внутри другого. По условию, площадь внутреннего круга равна 9. Радиус внешнего круга относится к радиусу внутреннего как 4 к 3. Площадь круга равна pi R^2, то есть пропорциональна квадрату радиуса. Значит, площадь внешнего круга в {frac{4}{3}}^2 = frac{16}{9} раза больше площади внутреннего и равна 16. Тогда площадь фигуры равна 16 — 9 = 7.

Ответ: 7.

Задачи на координатной плоскости 

13. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (4;2), (8;4), (6;8), (2;6).

Заметим, что этот четырехугольник — квадрат. Сторона квадрата a является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными 2 и 4. Тогда a^2=S=20.

Ответ: 20

14. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты left(1;7right),left(9;2right),left(9;4right),left(1;9right).

На рисунке изображен параллелограмм (четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон). Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту. Основание равно 2, высота 8, площадь равна 16.

Ответ: 16.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Геометрия. Применение формул. Задача 1 Базового ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Как найти по русскому языку стихи
  • Spn 157 fmi 1 что за ошибка как исправить
  • Как найти свой индекс номер
  • Как найти точку давления на человека
  • Как найти работу косметолога без опыта

    • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии