§1. Прямоугольный треугольник. Метрические соотношения.
Основные метрические сооьтношения в прямоугольном треугольнике
Пусть `ABC` прямоугольный треугольник с прямым углом `C` и острым углом при вершине `A`, равным `alpha` (рис. 1).
Используем обычные обозначения:
`c` — гипотенуза `AB`;
`a` и `b` – катеты `BC` и `AC` (по-гречески «kathetos — катет» означает отвес, поэтому такое изображение прямоугольного треугольника нам представляется естественным);
`a_c` и `b_c` – проекции `BD` и `AD` катетов на гипотенузу;
`h` – высота `CD`, опущенная на гипотенузу;
`m_c` – медиана `CM`, проведённая к гипотенузе;
`R` – радиус описанной окружности;
`r` – радиус вписанной окружности.
Напомним, что если `alpha` — величина острого угла `A` прямоугольного треугольника `ABC` (см. рис. 1), то
`sin alpha = a/c`, `cos alpha = b/c` и `»tg»alpha = a/b`.
Значения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника зависят только от меры угла и не зависят от размеров и расположения треугольника.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
`c^2 = a^2 + b^2`
Доказательство теоремы повторите по учебнику.
Выведем ряд соотношений между элементами прямоугольного треугольника.
Квадрат катета равен произведению гипотенузы и его проекции на гипотенузу
`a^2 = c * a_c`
`b^2 = c * b_c`
Если `/_ A = alpha` (см. рис. 1), то `/_ CBD = 90^@ — alpha` и `/_ BCD = alpha`. Из треугольника `ABC` `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треугольника `BCD` `sin alpha = (BD)/(BC)`.
Значит, `(BC)/(AB) = (BD)/(BC)`, откуда `BC^2 = AB * BD`, т. е. `a^2 = c * a_c`. Аналогично доказывается второе равенство.
Квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению проекции катетов на гипотенузу
`h^2 = a_c * b_c`
Из треугольника `ACD` (рис. 1) имеем `»tg»alpha = (CD)/(AD)`, а из треугольника `BCD` `»tg»alpha = (BD)/(CD)`.
Значит `(BD)/(CD) = (CD)/(AD)`, откуда `CD^2 = AD * BD`, т. е. `h^2 = a_c * b_c`.
Произведение катетов равно произведению гипотенузы и высоты, опущенной на гипотенузу
`a * b = c * h`
Из треугольника `ABC` имеем `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треуольника `ACD` `sin alpha = (CD)/(AC)`.
Таким образом, `(BC)/(AB) = (CD)/(AC)`, откуда `BC * AC = AB * CD`, т. е. `a * b = c * h`.
Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, т. е.
`m_c = 1/2 c`
Пусть `AM = BM`. Проведём $$ MKVert BC$$ (рис. 2), тогда по теореме Фалеса `AK = CK`
.
Кроме того, из того, что `BC _|_ AC` и $$ MKVert BC$$ следует `MK _|_ AC`. В прямоугольных треугольниках `CMK` и `AMK` катет `MK` общий, катеты `CK` и `AK` равны. Эти треугольники равны и `CM = AM`, т. е. `CM = 1/2 AB`.
Полезно также запомнить, что медиана к гипотенузе разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника.
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы
`R = m_c = 1/2 c`
Это следует из Свойства 4, действительно, `MA = MB = MC`, следовательно, окружность с центром в точке `M` и радиуса `c/2` проходит через три вершины.
Сумма катетов равна удвоенной сумме радиусов описанной и вписанной окружностей
`a + b = 2(R + r)` или `a + b = c + 2r`
Пусть `O` — центр вписанной окружности и `F`, `N` и `S` — точки касания сторон треугольника `ABC` (рис. 3), тогда `OF_|_ BC`, `ON _|_ AC`, `OS _|_ AB` и `OF = ON = OS = r`. Далее, `OFCN` — квадрат со стороной `r`, поэтому `BF = BC — FC`, `AN = AC — CN`, т. е. `BF = a — r` и `AN = b — r`.
Прямоугольные треугольники `AON` и `AOS` равны (гипотенуза `AO` — общая, катеты `ON` и `OS` равны), следовательно, `AS = AN`, т. е. `AS = b — r`.
Аналогично доказывается, что `BS = a — r`, поэтому из `AB = AS + BS` следует `c = (b — r) + (a — r)`, т. е. `a + b = c + 2r`. Зная, что `c = 2R`, окончательно получаем `a + b = 2(R + r)`.
Равенства, доказанные в Свойствах 1 и 2, записываются также как:
`a = sqrt(c * a_c)`
`b = sqrt(c * b_c)`
`h = sqrt(a_c * b_c)`
и, соответственно, формулируются утверждения
Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.
Высота, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
Приведём примеры применения доказанных метрических соотношений в прямоугольном треугольнике.
Проекции катетов прямоугольного треугольника на гипотенузу равны `9` и `16` . Найти радиус вписанной окружности.
1. Пусть `a_c = 9`, `b_c = 16` (рис. 4), тогда `c = a_c + b_c = 25`.
2. По Свойству 1: `a = sqrt(c * a_c) = 15`, `b = sqrt(c * b_c) = 20`.
3. По Свойству 6: находим радиус `r = 1/2 (a + b — c) = 5`.
В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведены медиана и высота (рис. 5), расстояние между их основаниями равно `1`. Найти катеты, если известно, что один из них в два раза больше другого.
1. Заметим, что `a_c = c/2 — 1`, a `b_c = c/2 + 1` (рис. 5), откуда `a^2 = c * a_c = c(c/2 — 1)` и `b^2 = c * b_c = c(c/2 + 1)`.
2. По условию `b = 2a`, значит `b^2 = 4a^2`, т. е. `c(c/2 + 1) = 4c(c/2 — 1)`.
Находим `c = (10)/3`, и `a = sqrt(c(c/2 — 1)) = 2/3 sqrt5` и `b = 2a = 4/3 sqrt5`.
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы.
a , b — катеты прямоугольного треугольника
c — гипотенуза
Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):
Калькулятор — вычислить, найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника
Гипотенуза и радиус окружности
Основные метрические сооьтношения в прямоугольном треугольнике
§1. Прямоугольный треугольник. Метрические соотношения.
Основные метрические сооьтношения в прямоугольном треугольнике
Пусть `ABC` прямоугольный треугольник с прямым углом `C` и острым углом при вершине `A`, равным `alpha` (рис. 1).
Используем обычные обозначения:
`c` — гипотенуза `AB`;
`a` и `b` – катеты `BC` и `AC` (по-гречески «kathetos — катет» означает отвес, поэтому такое изображение прямоугольного треугольника нам представляется естественным);
`a_c` и `b_c` – проекции `BD` и `AD` катетов на гипотенузу;
`h` – высота `CD`, опущенная на гипотенузу;
`m_c` – медиана `CM`, проведённая к гипотенузе;
`R` – радиус описанной окружности;
`r` – радиус вписанной окружности.
Напомним, что если `alpha` — величина острого угла `A` прямоугольного треугольника `ABC` (см. рис. 1), то
`sin alpha = a/c`, `cos alpha = b/c` и `»tg»alpha = a/b`.
Значения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника зависят только от меры угла и не зависят от размеров и расположения треугольника.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
`c^2 = a^2 + b^2`
Доказательство теоремы повторите по учебнику.
Выведем ряд соотношений между элементами прямоугольного треугольника.
Квадрат катета равен произведению гипотенузы и его проекции на гипотенузу
Если `/_ A = alpha` (см. рис. 1), то `/_ CBD = 90^@ — alpha` и `/_ BCD = alpha`. Из треугольника `ABC` `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треугольника `BCD` `sin alpha = (BD)/(BC)`.
Значит, `(BC)/(AB) = (BD)/(BC)`, откуда `BC^2 = AB * BD`, т. е. `a^2 = c * a_c` . Аналогично доказывается второе равенство.
Квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению проекции катетов на гипотенузу
Из треугольника `ACD` (рис. 1) имеем `»tg»alpha = (CD)/(AD)`, а из треугольника `BCD` `»tg»alpha = (BD)/(CD)`.
Значит `(BD)/(CD) = (CD)/(AD)`, откуда `CD^2 = AD * BD`, т. е. `h^2 = a_c * b_c`.
Произведение катетов равно произведению гипотенузы и высоты, опущенной на гипотенузу
Из треугольника `ABC` имеем `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треуольника `ACD` `sin alpha = (CD)/(AC)`.
Таким образом, `(BC)/(AB) = (CD)/(AC)`, откуда `BC * AC = AB * CD`, т. е. `a * b = c * h`.
Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, т. е.
Пусть `AM = BM`. Проведём $$ MKVert BC$$ (рис. 2), тогда по теореме Фалеса `AK = CK`
.
Кроме того, из того, что `BC _|_ AC` и $$ MKVert BC$$ следует `MK _|_ AC`. В прямоугольных треугольниках `CMK` и `AMK` катет `MK` общий, катеты `CK` и `AK` равны. Эти треугольники равны и `CM = AM`, т. е. `CM = 1/2 AB`.
Полезно также запомнить, что медиана к гипотенузе разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника.
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы
Это следует из Свойства 4, действительно, `MA = MB = MC`, следовательно, окружность с центром в точке `M` и радиуса `c/2` проходит через три вершины.
Сумма катетов равна удвоенной сумме радиусов описанной и вписанной окружностей
`a + b = 2(R + r)` или `a + b = c + 2r`
Пусть `O` — центр вписанной окружности и `F`, `N` и `S` — точки касания сторон треугольника `ABC` (рис. 3), тогда `OF_|_ BC`, `ON _|_ AC`, `OS _|_ AB` и `OF = ON = OS = r`. Далее, `OFCN` — квадрат со стороной `r`, поэтому `BF = BC — FC`, `AN = AC — CN`, т. е. `BF = a — r` и `AN = b — r`.
Прямоугольные треугольники `AON` и `AOS` равны (гипотенуза `AO` — общая, катеты `ON` и `OS` равны), следовательно, `AS = AN`, т. е. `AS = b — r`.
Аналогично доказывается, что `BS = a — r`, поэтому из `AB = AS + BS` следует `c = (b — r) + (a — r)`, т. е. `a + b = c + 2r`. Зная, что `c = 2R`, окончательно получаем `a + b = 2(R + r)`.
Равенства, доказанные в Свойствах 1 и 2, записываются также как:
Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус описанной окружности около любого треугольника, в том числе радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Открыть онлайн калькулятор
1. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известна гипотенуза треугольника
Пусть известна гипотенуза c прямоугольного треугольника (Рис.1). Найдем радиус описанной окружности около треугольника.
На странице Радиус окружности описанной около треугольника формула радиуса описанной окружности около треугольника по стороне и противолежащему углу имеет вид:
( small R=frac<large c> <large 2 sin C>)
где C − угол противолежащий гипотенузе прямоугольного треугольника. Поскольку угол, противолежащий гипотенузе − прямой, то получим:
( small R=frac<large c><large 2 sin 90°>=frac<large c><large 2>, )
| ( small R=frac<large c><large 2>. ) | (1) |
Пример 1. Известна гипотенуза ( small с=frac<9> <2>) прямоугольного треугольника. Найти радиус окружности описанной около треугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (1).
Подставим значение ( small c=frac<9> <2>) в (1):
Ответ:
2. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катеты треугольника
Пусть известны катеты a и b прямоугольного треугольника. Найдем радиус описанной окружности около треугольника (Рис.2).
Из теоремы Пифагора запишем формулу гипотенузы, выраженная через катеты:
| ( small c=sqrt. ) | (2) |
Подставляя (2) в (1), получим:
| ( small R=frac<large sqrt><large 2>. ) | (3) |
Пример 2. Катеты прямоугольного треугольника равны: ( small a=15 , ; b=3.) Найти радиус окружности описанной около треугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника воспользуемся формулой (3). Подставим значения ( small a=15 , ; b=3) в (3):
Ответ:
3. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника
Формула для вычисления радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника аналогична формуле вычисления радиуса описанной окружности около произвольного треугольника (см. статью на странице Радиус описанной окружности около треугольника онлайн):
4. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и прилежащий острый угол треугольника
Пусть известны катет a и прилежащий острый угол B прямоугольного треугольника (Рис.4). Найдем радиус описанной окружности около треугольника.
Так как треугольник прямоугольный, то сумма острых углов треугольника равна 90°:
( small angle A+angle B=90°. )
| ( small angle A=90°-angle B. ) | (5) |
Подставляя (5) в (4), получим:
( small R=frac<large a><large 2 sin A>=frac<large a><large 2 sin(90°-B)>) ( small =frac<large a> <large 2 cos B>)
| ( small R=frac<large a><large 2 cos B>. ) | (6) |
Пример 3. Катет прямоугольного треугольника равен: ( small a=15 ,) а прилежащий угол равен ( small angle B=25°. ) Найти радиус окружности описанной около треугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника воспользуемся формулой (6). Подставим значения ( small a=15 , ; angle B=25° ) в (6):
Ответ:
http://zftsh.online/articles/5597
http://matworld.ru/geometry/radius-opisannoj-okruzhnosti-pryamougolnogo-treugolnika.php
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника, формула
Если хорошенько приглядеться и построить еще один прямоугольный треугольник, равный первому и симметричный относительно гипотенузы, то мы увидим, что получился прямоугольник. Центр описанной окружности лежит на пересечении диагоналей этого прямоугольника. Отсюда следует, что гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром окружности. Соотвественно радиус описанной окружности прямоугольного треугольника вычисляется по формуле Пифагора:
[ R = frac{1}{2} sqrt{a^2+b^2}]
(a, b — стороны прямоугольного треугольника; R — радиус описанной окружности прямоугольного треугольника)
Вычислить, найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника по формуле (1)
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника |
стр. 247 |
|---|
Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус описанной окружности около любого треугольника, в том числе радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Содержание
- Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известна гипотенуза треугольника
- Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катеты треугольника
- Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника
- Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и прилежащий острый угол треугольника
1. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известна гипотенуза треугольника
Пусть известна гипотенуза c прямоугольного треугольника (Рис.1). Найдем радиус описанной окружности около треугольника.
На странице Радиус окружности описанной около треугольника формула радиуса описанной окружности около треугольника по стороне и противолежащему углу имеет вид:
где C − угол противолежащий гипотенузе прямоугольного треугольника. Поскольку угол, противолежащий гипотенузе − прямой, то получим:
то есть
Пример 1. Известна гипотенуза ( small с=frac{9}{2} ) прямоугольного треугольника. Найти радиус окружности описанной около треугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (1).
Подставим значение ( small c=frac{9}{2} ) в (1):
Ответ: 
2. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катеты треугольника
Пусть известны катеты a и b прямоугольного треугольника. Найдем радиус описанной окружности около треугольника (Рис.2).
Из теоремы Пифагора запишем формулу гипотенузы, выраженная через катеты:
Подставляя (2) в (1), получим:
или
Пример 2. Катеты прямоугольного треугольника равны: ( small a=15 , ; b=3.) Найти радиус окружности описанной около треугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника воспользуемся формулой (3). Подставим значения ( small a=15 , ; b=3) в (3):
Ответ: 
3. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника
Формула для вычисления радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника аналогична формуле вычисления радиуса описанной окружности около произвольного треугольника (см. статью на странице Радиус описанной окружности около треугольника онлайн):
4. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и прилежащий острый угол треугольника
Пусть известны катет a и прилежащий острый угол B прямоугольного треугольника (Рис.4). Найдем радиус описанной окружности около треугольника.
Так как треугольник прямоугольный, то сумма острых углов треугольника равна 90°:
Откуда:
Подставляя (5) в (4), получим:
или
Пример 3. Катет прямоугольного треугольника равен: ( small a=15 ,) а прилежащий угол равен ( small angle B=25°. ) Найти радиус окружности описанной около треугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника воспользуемся формулой (6). Подставим значения ( small a=15 , ; angle B=25° ) в (6):
Ответ: 
Смотрите также:
- Радиус описанной окружности около треугольника онлайн
- Радиус описанной окружности около равностороннего треугольника онлайн
- Радиус описанной окружности около равнобедренного треугольника онлайн
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника
Радиус описанной окружности
Если у треугольника имеется прямой угол, он называется прямоугольным треугольником. Вокруг него возможно описать окружность. При этом, все вершины прямоугольного треугольника будут расположены на этой окружности, а ее центр будет расположен на середине гипотенузы. Диаметром окружности является гипотенуза треугольника, а половина диаметра — ее радиусом. Отсюда, радиус R описанной окружности рассчитывается как половина квадратного корня, извлеченная из суммы квадратов катетов или половина гипотенузы.
R — радиус;
a, b — величина катетов;
c — величина гипотенузы.
Чтобы быстро и правильно определить R описанной окружности, воспользуйтесь онлайн калькулятором.