Как найти радиус описанной окружности вокруг пирамиды - AvtoShod.ru

Пирамида, вписанная в сферу

Пирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу

Определение 1. Пирамидой, вписанной в сферу, называют такую пирамиду, все вершины которой лежат на сфере (рис. 1).

Определение 2. Если пирамида вписана в сферу, то сферу называют описанной около пирамиды.

Теорема 1. Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания пирамиды можно описать окружность.

Доказательство. Докажем сначала, что, если пирамида вписана в сферу, то около ее основания можно описать окружность. Для этого рассмотрим рисунок 2.

На рисунке 2 изображена пирамида SA₁A₂ . A_n , вписанная в сферу. Плоскость основания пирамиды пересекает сферу по окружности, в которую вписан многоугольник A₁A₂ . A_n – основание пирамиды. Доказано.

Теперь предположим, что около основания A₁A₂ . A_n пирамиды SA₁A₂ . A_n можно описать окружность. Докажем, что в этом случае около пирамиды SA₁A₂ . A_n можно описать сферу. С этой целью обозначим центр окружности, описанной около многоугольника A₁A₂ . A_n , символом O’ и проведем прямую p, проходящую через точку O’ и перпендикулярную к плоскости многоугольника A₁A₂ . A_n (рис. 3).

Рассмотрим плоскость β, проходящую через середину отрезка SA_n и перпендикулярную к этому отрезку. Если обозначить буквой O точку пересечения плоскости β с прямой p, то точка O и будет центром сферы, описанной около пирамиды SA₁A₂ . A_n . Для того, чтобы это доказать, рассмотрим следующий рисунок 4.

Итак, мы доказали, что точка O находится на одном и том же расстоянии от всех вершин пирамиды SA₁A₂ . A_n . Отсюда вытекает, что точка O является центром сферы, описанной около пирамиды SA₁A₂ . A_n .

Для завершения доказательства теоремы остается лишь доказать, что плоскость β и прямая p действительно пересекаются. Если предположить, что это не так, то из такого предположения будет следовать, что плоскость β и прямая p параллельны, а, значит, точка S лежит в плоскости A₁A₂ . A_n , что противоречит определению пирамиды.

Следствие 1. Около любой правильной пирамиды можно описать сферу.

Следствие 2. Если у пирамиды все боковые ребра равны, то около нее можно описать сферу.

Указание. Основание перпендикуляра, опущенного из вершины такой пирамиды на плоскость ее основания, является центром описанной около основания окружности. Посмотреть доказательство.

Радиус сферы, описанной около правильной n — угольной пирамиды

Задача 1. Высота правильной n — угольной пирамиды равна h , а длина ребра основания равна a . Найти радиус сферы, описанной около пирамиды.

Решение. Рассмотрим правильную n — угольную пирамиду SA₁A₂ . A_n и обозначим буквой O центр описанной около пирамиды сферы, а символом O’ – центр основания пирамиды. Проведем плоскость SO’A_n (рис. 5).

Буквой R на рисунке 5 обозначен радиус описанной около пирамиды сферы, а буквой r – радиус описанной около основания пирамиды окружности. По теореме Пифагора для треугольника O’OA_n получаем

(1)

из формулы (1) получаем соотношение

(2)

Ответ.

Следствие 3. Радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

Следствие 4. Радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром a , равен

Следствие 5. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

Следствие 6. Радиус сферы, описанной около правильной шестиугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

Отношение объемов правильной n — угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды

Задача 2. Около правильной n — угольной пирамиды с высотой h и ребром основания a описана сфера. Найти отношение объемов пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды.

Воспользовавшись формулой (2), выразим объем шара, ограниченного описанной около пирамиды сферой, через высоту и ребро основания пирамиды:

Ответ.

Следствие 7. Отношение объема правильной треугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды, равно

Следствие 8. Отношение объема правильного тетраэдр с ребром a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данного тетраэдра, равно

Следствие 9. Отношение объема правильной четырехугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Следствие 10. Отношение объема правильной шестиугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Нахождение радиуса сферы (шара), описанной около правильной пирамиды

В данной публикации представлены формулы, с помощью которых можно найти радиус сферы (шара), описанной около правильной пирамиды: треугольной, четырехугольной, шестиугольной и тетраэдра.

Формулы расчета радиуса сферы (шара)

Приведенная ниже информация применима только к правильным пирамидам. Формула для нахождения радиуса зависит от вида фигуры, рассмотрим самые распространенные варианты.

Правильная треугольная пирамида

На этом рисунке и чертежах далее:

a – ребро основания пирамиды;
h – высота фигуры.

Если эти величины даны, вычислить радиус (R) описанной вокруг пирамиды сферы/шара можно по формуле ниже:

Правильный тетраэдр является разновидностью правильной треугольной пирамиды. Формула для него:

Правильная четырехугольная пирамида

Радиус (R) описанной сферы/шара вычисляется следующим образом:

Правильная шестиугольная пирамида

Формула для нахождения радиус (R) сферы/шара выглядит так:

Радиус окружности описанной около правильной пирамиды

Нахождение радиуса сферы (шара), описанной около правильной пирамиды

Формулы расчета радиуса сферы (шара)

Правильная треугольная пирамида

На этом рисунке и чертежах далее:

a – ребро основания пирамиды;
h – высота фигуры.

Если эти величины даны, вычислить радиус (R) описанной вокруг пирамиды сферы/шара можно по формуле ниже:

Правильный тетраэдр является разновидностью правильной треугольной пирамиды. Формула для него:

Правильная четырехугольная пирамида

Радиус (R) описанной сферы/шара вычисляется следующим образом:

Правильная шестиугольная пирамида

Формула для нахождения радиус (R) сферы/шара выглядит так:

Пирамида, вписанная в сферу

Пирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу

Определение 2. Если пирамида вписана в сферу, то сферу называют описанной около пирамиды.

Следствие 1. Около любой правильной пирамиды можно описать сферу.

Следствие 2. Если у пирамиды все боковые ребра равны, то около нее можно описать сферу.

Радиус сферы, описанной около правильной n — угольной пирамиды

(1)

из формулы (1) получаем соотношение

(2)

Ответ.

Следствие 4. Радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром a , равен

Отношение объемов правильной n — угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды

Ответ.

Формула радиус окружности пирамиды

Сфера, вписанная в пирамиду

Биссекторная плоскость. Основное свойство биссекторной плоскости

Определение 1. Биссекторной плоскостью двугранного угла называют такую плоскость, которая проходит через ребро двугранного угла и делит этот угол на два равных двугранных угла (рис. 1).

Утверждение 1. Точка, расположенная внутри двугранного угла, находится на одном и том же расстоянии от граней этого угла тогда и только тогда, когда она лежит на биссекторной плоскости.

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку O, расположенную внутри двугранного угла, и проведем через эту точку плоскость δ , перпендикулярную к ребру AB двугранного угла (рис. 2).

Плоскость δ пересекает ребро AB двугранного угла в точке C, а грани двугранного угла α и β по лучам CD и CE соответственно. Угол DCE является линейным углом двугранного угла. Биссекторная плоскость γ пересекает плоскость δ по биссектрисе CF линейного угла DCE .

Таким образом, справедливость утверждения вытекает из соответствующих теорем о свойствах биссектрисы угла. Доказано.

Следствие 1. Если сфера, расположенная внутри двугранного угла, касается каждой из плоскостей граней этого угла, то центр сферы находится на биссекторной плоскости двугранного угла (рис. 3).

Сфера, вписанная в пирамиду. Свойства пирамиды, описанной около сферы

Определение 2. Сферой, вписанной в пирамиду, называют такую сферу, которая касается плоскостей всех граней пирамиды, причем точки касания лежат на гранях пирамиды (рис. 4).

Определение 3. Если сфера вписана в пирамиду, то пирамиду называют описанной около сферы.

Если сфера вписана в пирамиду, то она касается граней каждого внутреннего двугранного угла, образованного соседними гранями пирамиды. В соответствии со следствием 1 центр вписанной в пирамиду сферы должен находиться в точке пересечения биссекторных плоскостей всех внутренних двугранных углов, образованных соседними гранями пирамиды.

Если у пирамиды нет точки, в которой пересекаются биссекторные плоскости всех внутренних двугранных углов, образованных соседними гранями пирамиды, то в такую пирамиду нельзя вписать сферу.

Замечание 1. Для того, чтобы проверить, можно ли в пирамиду вписать сферу, достаточно проверить, существует ли точка пересения биссекторных плоскостей всех внутренних двугранных углов при основании пирамиды. Если такая точка существует, то она будет равноудалена как от основания пирамиды, так и от каждой из боковых граней.

Рассмотрим несколько типов пирамид, в которые можно вписать сферу.

Утверждение 2. Если у пирамиды SA₁A₂ . A_n основание O перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость основания пирамиды, лежит внутри многоугольника A₁A₂ . A_n , а все боковые грани пирамиды наклонены под одним и тем же углом к плоскости основания пирамиды, то в такую пирамиду можно вписать сферу.

Доказательство. Пусть все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом φ , а высота пирамиды равна h. Рассмотрим, например, боковую грань SA₁A₂ и проведем в ней высоту SB (рис. 5).

По теореме о трех перпендикулярах отрезок OB перпендикулярен ребру A₁A₂ . Следовательно, угол SBO является линейным углом двугранного угла между боковой гранью SA₁A₂ и плоскостью основания пирамиды и равен φ. Биссекторная плоскость этого двугранного угла пересекает высоту пирамиды в точке O’ (рис. 6).

Катет OB прямоугольного треугольника SOB выражается через высоту пирамиды h и угол φ по формуле

Катет OO’ прямоугольного треугольника OO’B выражается через высоту пирамиды h и угол φ по формуле

Поскольку длина отрезка OO’ не зависит от выбора боковой грани пирамиды, то биссекторные плоскости всех внутренних двугранных углов при основании пирамиды пересекаются в точке O’, которая и является центром вписанной в пирамиду сферы.

Доказательство утверждения 2 завершено.

Поскольку у любой правильной пирамиды все внутренние двугранные углы при основании равны, то справедливо

Следствие 2. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу, причем ее радиус R выражается через высоту пирамиды h и внутренний двугранный угол при основании пирамиды φ по формуле

(1)

Радиус сферы, вписанной в правильную n — угольную пирамиду

Решение. Рассмотрим правильную n — угольную пирамиду SA₁A₂ . A_n и обозначим символом O’ центр вписанной в пирамиду сферы, а буквой O – центр основания пирамиды. Проведем плоскость через высоту пирамиды SO и апофему SB какой-либо боковой грани (рис. 7).

Буквой R на рисунке 7 обозначен радиус вписанной в пирамиду сферы, буквой r – радиус вписанной в основание пирамиды окружности, а буквой φ – внутренний двугранный угол при основании пирамиды. Из прямоугольного треугольника OSB получаем

(2)

В силу следствия 2 из формул (1) и (2) получаем

из формулы (3) получаем соотношение

Ответ.

Следствие 3. Радиус сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду с высотой h и ребром основания a, равен

Следствие 4. Радиус сферы, вписанной в правильный тетраэдр с ребром a, равен

Следствие 5. Радиус сферы, вписанной в правильную четырехугольную пирамиду с высотой h и ребром основания a, равен

Следствие 6. Радиус сферы, вписанной в правильную шестиугольную пирамиду с высотой h и ребром основания a, равен

Сфера, вписанная в треугольную пирамиду.
Формула для радиуса вписанной сферы

Утверждение 3. В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу.

Доказательство. Доказательство этого утверждения напоминает планиметрическое доказательство возможности вписать окружность в произвольный треугольник.

Действительно, пусть SABC – произвольный тетраэдр. Биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла с ребром AC и биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла с ребром AB пересекаются по некоторой прямой, проходящей через вершину A. Биссекторная плоскость внутреннего двугранного угла в ребром BC пересекает эту прямую в единственной точке O , которая и является центром вписанной сферы (рис. 8).

Получим формулу, позволяющую вычислить радиус вписанной в тетраэдр SABC сферы. Для этого заметим, что объем пирамиды SABC равен сумме объемов пирамид OABC, OSCA, OSAB, OSCB, причем высота каждой из пирамид OABC, OSCA, OSAB, OSCB равна радиусу R вписанной в пирамиду SABC сферы. Если обозначить площади граней тетраэдра SABC символами

а объемы пирамид SABC, OABC, OSCA, OSAB, OSCB – символами

то справедливы следующие равенства:

где символом S_полн обозначена площадь полной поверхности пирамиды SABC.

Замечание 2. Если в пирамиду (необязательно треугольную) можно вписать сферу, то, рассуждая аналогично, можно получить следующую формулу для радиуса вписанной в пирамиду сферы

где символами V_пир и S_полн обозначены объем и площадь полной поверхности пирамиды соответственно.

Нахождение радиуса сферы (шара), описанной около правильной пирамиды

Формулы расчета радиуса сферы (шара)

Правильная треугольная пирамида

На этом рисунке и чертежах далее:

a – ребро основания пирамиды;
h – высота фигуры.

Если эти величины даны, вычислить радиус (R) описанной вокруг пирамиды сферы/шара можно по формуле ниже:

Правильный тетраэдр является разновидностью правильной треугольной пирамиды. Формула для него:

Правильная четырехугольная пирамида

Радиус (R) описанной сферы/шара вычисляется следующим образом:

Правильная шестиугольная пирамида

Формула для нахождения радиус (R) сферы/шара выглядит так:

Формулы и свойства правильной четырехугольной пирамиды

Что собой представляет пирамида

Под пирамидой понимают геометрическую фигуру пространственную, которая получается в результате соединения всех углов многоугольника с одной точкой пространства. Рисунок ниже демонстрирует расположение линий (ребер) для четырехугольной и пятиугольной пирамид.

Многоугольная грань фигуры называется ее основанием. Точка, где все треугольные грани соединяются, называется вершиной. Для определения высоты пирамиды отмеченные элементы являются важными.

Правильная треугольная пирамида.

Правильная треугольная пирамида – это пирамида, у которой основанием оказывается правильный треугольник, а вершина опускается в центр основания.

Элементы правильной пирамиды

Высота боковой грани, проведенная из ее вершины называется апофема. На рисунке обозначена как отрезок ON
Точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания, называется вершиной пирамиды (О)
Треугольники, имеющие общую сторону с основанием и одну из вершин, совпадающую с вершиной, называются боковыми гранями (AOD, DOC, COB, AOB)
Отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания называется высотой пирамиды (ОК)
Диагональное сечение пирамиды – это сечение, проходящее через вершину и диагональ основания (AOC, BOD)
Многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды, называется основанием пирамиды (ABCD)

Если в основании правильной пирамиды лежит треугольник, четырехугольник и т.д. то она называется правильной треугольной , четырехугольной и т.д.

Треугольная пирамида есть четырехгранник — тетраэдр .

Высота фигуры

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, который из ее вершины опущен на плоскость основания. Важно понимать, что из каждой вершины, принадлежащей основанию фигуры, тоже можно провести перпендикуляр к соответствующей треугольной грани, однако он высотой не будет являться. Высота пирамиды – это единственный перпендикуляр, который является одной из важных ее линейных характеристик.

Каждому школьнику известно, что любая плоская фигура обладает геометрическим центром (в физике ему соответствует центр масс). Например, геометрический центр для произвольного треугольника определяется точкой пересечения его медиан, для параллелограмма – точкой пересечения диагоналей. Если высота пирамиды пересекает ее основание в геометрическом центре, то фигура называется прямой. Пирамида прямая, имеющая в основании многоугольник с одинаковыми сторонами и углами, называется правильной.

Рисунок выше показывает, чем отличается неправильная пирамида от правильной. Видно, что высота неправильной фигуры лежит за пределами ее основания, в то время как у правильной шестиугольной пирамиды высота находится внутри фигуры, пересекая ее основание в центре геометрическом.

Важными свойствами всех правильных пирамид являются следующие:

все боковые грани представляют собой равнобедренные треугольники и равны друг другу;
длины боковых ребер и апофем являются одинаковыми.

Что такое пирамида в общем случае?

В геометрии под ней понимают объемную фигуру, получить которую можно, если соединить все вершины плоского многоугольника с одной единственной точкой, лежащей в другой плоскости, чем этот многоугольник. Рисунок ниже показывает 4 фигуры, которые удовлетворяют данному определению.

Мы видим что первая фигура имеет треугольное основание, вторая – четырехугольное. Две последние представлены пяти- и шестиугольным основанием. Однако боковая поверхность всех пирамид образована треугольниками. Их число точно равно количеству сторон или вершин многоугольника в основании.

Особым типом пирамид, которые от остальных представительниц класса отличаются идеальной симметрией, являются правильные пирамиды. Чтобы фигура была правильной, должны выполняться следующие два обязательных условия:

в основании должен находиться правильный многоугольник;
боковая поверхность фигуры должна состоять из равных равнобедренных треугольников.

Отметим, что второе обязательное условие можно заменить иным: перпендикуляр, проведенный к основанию из вершины пирамиды (точка пересечения боковых треугольников), должен пересекать это основание в его геометрическом центре.

Объем пирамиды

Формула для нахождения объема пирамиды через площадь основания и высоту:

S h> , где S — площадь основания, h — высота пирамиды.

Некоторые свойства пирамиды

1) Если все боковые ребра равны, то

– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

– боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

Верно и обратное.

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом , то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

Верно и обратное.

Правильная пирамида с треугольным основанием

Фигура, которая получена с использованием произвольного треугольника и точки в пространстве, будет неправильной наклонной пирамидой в общем случае. Теперь представим, что исходный треугольник имеет одинаковые стороны, а точка пространства расположена точно над его геометрическим центром на расстоянии h от плоскости треугольника. Построенная с использованием этих исходных данных пирамида будет правильной.

Очевидно, что число ребер, сторон и вершин у правильной треугольной пирамиды будет таким же, как у пирамиды, построенной из произвольного треугольника.

Однако правильная фигура обладает некоторыми отличительными чертами:

ее высота, проведенная из вершины, точно пересечет основание в геометрическом центре (точка пересечения медиан);
боковая поверхность такой пирамиды образована тремя одинаковыми треугольниками, которые являются равнобедренными или равносторонними.

Правильная треугольная пирамида является не только чисто теоретическим геометрическим объектом. Некоторые структуры в природе имеют ее форму, например кристаллическая решетка алмаза, где атом углерода соединен с четырьмя такими же атомами ковалентными связями, или молекула метана, где вершины пирамиды образованы атомами водорода.

Формулы для высоты правильной пирамиды

Существует четыре основных линейных характеристики для любой пирамиды правильной:

сторона основания;
боковое ребро;
апофема боковой грани;
высота фигуры.

Все они связаны математически друг с другом. Обозначим длину стороны основания символом a, высоту — h, апофему — hb и ребро — b. Формулы, которые эти величины связывают, имеют индивидуальный вид для соответствующей n-угольной пирамиды. Например, для правильной пирамиды четырехугольной высоту можно определить по формулам:

Эти формулы следуют из теоремы Пифагора при рассмотрении соответствующих прямоугольных треугольников внутри пирамиды.

Если рассматривается фигура с треугольным основанием, тогда справедливы следующие формулы для высоты правильной пирамиды:

источники:

Нахождение радиуса сферы (шара), описанной около правильной пирамиды

http://b4.cooksy.ru/articles/radius-okruzhnosti-opisannoy-okolo-pravilnoy-piramidy

Источник

Формулы расчета радиуса сферы (шара)
- Правильная треугольная пирамида
- Правильная четырехугольная пирамида
- Правильная шестиугольная пирамида

Формулы расчета радиуса сферы (шара)

Правильная треугольная пирамида

На этом рисунке и чертежах далее:

a – ребро основания пирамиды;
h – высота фигуры.

Если эти величины даны, вычислить радиус (R) описанной вокруг пирамиды сферы/шара можно по формуле ниже:

Правильный тетраэдр является разновидностью правильной треугольной пирамиды. Формула для него:

Правильная четырехугольная пирамида

Радиус (R) описанной сферы/шара вычисляется следующим образом:

Правильная шестиугольная пирамида

Формула для нахождения радиус (R) сферы/шара выглядит так:

Источник

3.4. Вписанные и описанные многогранники

Среди множества выпуклых многогранников выделим два важных семейства: вписанные и описанные многогранники.

Определение 22

Выпуклый многогранник называют вписанным, если все его вершины лежат на сфере. Эта сфера называется описанной для рассматриваемого многогранника.

Определение 23

Выпуклый многогранник называют описанным, если все его грани касаются сферы. Эта сфера называется вписанной для рассматриваемого многогранника.

Очевидно сходство введённых понятий с известными из курса планиметрии понятиями вписанных и описанных многоугольников, описанных и вписанных окружностей.

Не любой многогранник является вписанным или описанным, однако верны следующие две теоремы, аналогичные соответствующим теоремам про треугольник.

Теорема 3.4 (об описанной сфере треугольной пирамиды)

Треугольная пирамида имеет единственную описанную сферу.

Рис. 73

Доказательство. Рассмотрим треугольную пирамиду ABCD (рис. 73). Построим плоскости, перпендикулярные соответственно рёбрам AB, AC и AD и проходящие через их середины. (Геометрическим местом точек пространства, равноудалённых от концов некоторого отрезка, является плоскость, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину. Докажите это самостоятельно.) Обозначим через O точку пересечения этих плоскостей. (Такая точка существует, и она единственна. Докажем это. Возьмём первые две плоскости. Они пересекаются, поскольку перпендикулярны непараллельным прямым. Обозначим прямую, по которой пересекаются первые две плоскости, через l. Эта прямая l перпендикулярна плоскости ABC. Плоскость, перпендикулярная AD, не параллельна l и не содержит её, поскольку в противном случае прямая AD перпендикулярна l, т. е. лежит в плоскости ABC.) Точка O равноудалена от точек A и B, A и C, A и D, значит, она равноудалена ото всех вершин пирамиды ABCD, т. е. сфера с центром в O соответствующего радиуса является описанной сферой для пирамиды ABCD.

Итак, мы доказали существование для пирамиды ABCD описанной сферы. Осталось доказать её единственность. Центр любой сферы, проходящей через вершины пирамиды, равноудалён от этих вершин, значит, он принадлежит плоскостям, которые перпендикулярны рёбрам пирамиды и проходят через середины этих рёбер. Следовательно, центр такой сферы совпадает с точкой O.

Теорема доказана. ▼

Отметим, что при этом мы доказали, что все серединные перпендикуляры к рёбрам пирамиды пересекаются в одной точке.

Теорема 3.5 (о вписанной сфере треугольной пирамиды)

У любой треугольной пирамиды существует единственная вписанная сфера.

Рис. 74

Доказательство. Рассмотрим треугольную пирамиду ABCD (рис. 74). Проведём биссекторные плоскости её двугранных углов с рёбрами AB, AC и BC. Эти плоскости имеют единственную общую точку (подумайте почему). Обозначим её через Q. Точка Q равноудалена от всех граней пирамиды. (Она равноудалена от ABC и ABD, ABC и ADC, ABC и CBD.) Значит, сфера соответствующего радиуса с центром в точке Q является вписанной в пирамиду ABCD. Единственность этой сферы доказывается так же, как и в предыдущей теореме. ▼

Как и в предыдущем случае, мы доказали, что все шесть биссекторных плоскостей треугольной пирамиды пересекаются в одной точке.

Замечание. Понятия вписанной и описанной сферы могут относиться также к конусу и цилиндру. Любой конус имеет описанную и вписанную сферы. Если провести осевое сечение конуса, то эта плоскость пересечёт описанную и вписанную сферы по большим окружностям этих сфер, причём получившиеся окружности будут соответственно описаны или вписаны в осевое сечение конуса. Цилиндр, как и конус, всегда имеет описанную сферу. Но в отличие от конуса вписать сферу можно не во всякий цилиндр, а лишь в цилиндр с квадратным осевым сечением.

Задачи, задания, вопросы

1(в). Найдите радиусы описанного и вписанного шаров для правильного тетраэдра с ребром a.

2(в). Найдите ребро куба, вписанного в сферу радиуса R.

3(в). Докажите, что если около параллелепипеда можно описать сферу, то этот параллелепипед — прямоугольный.

4(в). Имеется правильная пирамида со стороной основания a и боковым ребром b. Найдите радиус:

а) описанной сферы;

б) вписанного шара;

в) сферы, касающейся всех рёбер пирамиды;

г) сферы, касающейся рёбер основания и продолжений боковых рёбер;

д) радиус сферы, которая касается основания и боковых рёбер.

Каждый пункт решите для пирамиды следующего вида: 1) четырёхугольной; 2) треугольной; 3) шестиугольной.

5(в). Найдите радиус описанного и вписанного шаров для конуса с радиусом основания r и высотой h.

6.Около шара описаны цилиндр и конус, осевым сечением которого является прямоугольный треугольник. Найдите отношение образующих цилиндра и конуса.

7(в). Найдите радиус сферы, описанной около правильной n-угольной призмы с высотой h и стороной основания a.

8(в). В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник со стороной 1. Найдите боковое ребро призмы, если известно, что в неё можно вписать шар.

9(т). Известно, что в заданную призму можно вписать шар. Найдите площадь её боковой поверхности, если площадь основания равна S.

10(т). Плоскость проходит на расстоянии a от центра единичной сферы. Найдите ребро куба, одна грань которого лежит в этой плоскости, а вершины противоположной грани находятся на сфере.

11(в). Около призмы можно описать сферу. Докажите, что основание призмы — многоугольник, около которого можно описать окружность. Найдите радиус этой окружности, если высота призмы h, а радиус описанной около неё сферы равен R.

12(в). Основанием пирамиды служит многоугольник, около которого можно описать окружность. Докажите, что существует сфера, описанная около этой пирамиды. Найдите радиус этой сферы, если радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен r, её высота h, а основание высоты совпадает с вершиной основания пирамиды.

13.В треугольной пирамиде ABCD ребро AB равно a, а углы ACB и ADB — прямые. Найдите радиус описанной около этой пирамиды сферы.

14.Найдите ребро куба, одна грань которого принадлежит основанию конуса, а остальные вершины расположены на его боковой поверхности. Радиус основания конуса равен r, его высота h.

15.Через центр сферы радиуса R проведены три попарно перпендикулярные плоскости. Найдите радиус сферы, касающейся всех этих плоскостей и данной сферы.

16.Осевым сечением конуса является правильный треугольник со стороной a. Через ось конуса проведены две перпендикулярные плоскости, которые делят конус на четыре части. Найдите радиус шара, вписанного в одну из этих частей.

17.Внутри единичного куба находятся восемь равных шаров. Каждый шар вписан в один из трёхгранных углов куба и касается трёх шаров, соответствующих соседним вершинам. Найдите радиусы этих шаров.

18(в). Четыре сферы радиуса R попарно касаются друг друга. Найдите радиус сферы, касающейся всех четырёх сфер.

19.Два шара касаются друг друга и граней трёхгранного угла, все плоские углы которого прямые. Найдите отношение радиусов этих шаров.

20(п). Докажите, что если в данный четырёхгранный угол можно вписать шар, то суммы противоположных плоских углов этого четырёхгранного угла равны. Докажите справедливость обратного утверждения: если суммы противоположных плоских углов четырёхгранного угла равны, то в него можно вписать шар.

21(п). Дан трёхгранный угол OABC, в котором ∠BOC = a, ∠COA = b, ∠ AOB = g. Пусть вписанный в него шар касается грани BOC в точке K. Найдите ∠KOB.

22(т). Треугольник ABC вписан в основание конуса, S — вершина конуса. В трёхгранном угле SABC двугранные углы с рёбрами SA, SB и SC равны соответственно x, y и z. Найдите угол между плоскостями SAB и SAO, где SO — высота данного конуса.

23(т). Четырёхгранный угол OABCD (OA, OB, OC, OD — его рёбра) разделён плоскостью OAC на два трёхгранных угла. В каждый из полученных углов вписан шар. Эти шары касаются плоскости OAC в точках K и M. Найдите угол KOM, если ∠BOA = a, ∠DOA = b, ∠BOC = ∠COD.

24(п). Докажите, что радиус шара, проходящего через точки пересечения медиан граней произвольного тетраэдра, в три раза меньше радиуса описанного около рассматриваемого тетраэдра шара. Используя этот факт, докажите, что в произвольном тетраэдре выполняется неравенство R ⩾ 3r, где R и r — соответственно радиусы описанного и вписанного шаров.

25(т). Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно l, а плоский угол при вершине равен a. Найдите радиус описанной около этой пирамиды сферы.

Источник

Рассмотрим свойства пирамид, в которых все боковые ребра равны, с соответствующими чертежами.

Если все боковые ребра пирамиды равны между собой, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности.

Прямоугольные треугольники, образованные высотой пирамиды, боковыми ребрами и их проекциями (равными радиусу описанной окружности), равны. Поэтому также

— все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы;

— все углы, которые боковые ребра образуют с высотой пирамиды, равны.

Решение задач на пирамиду, в которой все боковые ребра равны (либо все боковые ребра образуют равные углы с основанием пирамиды или с высотой пирамиды) начинается с чертежа.

Если основание пирамиды — треугольник.

Центр окружности, описанной около остроугольного треугольника, лежит внутри треугольника.

OA=OB=OC=R

Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, лежит вне треугольника.

OA=OB=OC=R.

На рисунке тупой угол — это угол B.

Радиус окружности, описанной около произвольного остроугольного либо тупоугольного треугольника ABC, можно найти по следствию из теоремы синусов:

$[R = frac{{AB}}{{2sin angle C}} = frac{{BC}}{{2sin angle A}} = frac{{AC}}{{2sin angle B}}]$

либо по формуле

$[ R = frac{{AB cdot AC cdot BC}}{{4S_{Delta ABC} }} ]$

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.

Радиус описанной около основания окружности в этом случае равен

$[R = frac{c}{2}]$

где c — гипотенуза.

Отсюда для данного треугольника ABC с прямым углом B

$[R = OA = OB = OC = frac{{AC}}{2}]$

Если основание пирамиды — параллелограмм

Из всех параллелограммов описать окружность можем только около прямоугольника (квадрат — его частный случай). Поэтому, если в задаче сказано, что пирамиде все боковые ребра равны, либо все боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания, либо все боковые ребра образуют с высотой пирамиды равные углы, а в основании — параллелограмм, то это может быть только прямоугольник (квадрат).

Центр описанной около прямоугольника окружности — точка пересечения его диагоналей. Соответственно, радиус R равен половине диагонали прямоугольника.

Если основание пирамиды -трапеция

Из всех трапеций описать окружность можно только около равнобочной трапеции.

Радиус описанной окружности ищем как радиус окружности, описанной около одного из треугольников ABC или ACD по одной из формул, приведенных выше.

Если диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне

боковые ребра пирамиды равны

В этом случае центр описанной около трапеции окружности лежит на середине большего основания, а высота пирамиды лежит в боковой грани, содержащей это большее основание.

Радиус R в этом случае — половина гипотенузы прямоугольного треугольника ACD.

Если основание пирамиды — произвольный четырехугольник

Радиус описанной около основания окружности находим как радиус окружности, описанной около одного из треугольников основания: ABC, BCD, ACD или ABD.

Поскольку описать около четырехугольника окружность можно только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180 градусов, то

$[angle ABC + angle ADC = {180^0}]$

$[angle BAD + angle BCD = {180^0}]$

Источник

05
Мар 2014

Категория: 13 (С2) Стереометр. задачиСтереометрия

С2 (№ 16). И снова сфера+пирамида

2014-03-05
2015-09-04

В новом формате ЕГЭ по математике задание значится как «Задание №14»

Задача С2 из Т/Р №66 А. Ларина.

Хорошая задачка. Решаем!

В пирамиде даны ребра , , . Сфера радиуса $frac{5sqrt{14}}{4}$ касается плоскости основания и боковых ребер пирамиды. Точки касания делят эти ребра в равных отношениях, считая от вершины . Найти объем пирамиды.