Как найти радиус описанного шара вокруг пирамиды - AvtoShod.ru

В данной публикации представлены формулы, с помощью которых можно найти радиус сферы (шара), описанной около правильной пирамиды: треугольной, четырехугольной, шестиугольной и тетраэдра.

Формулы расчета радиуса сферы (шара)
- Правильная треугольная пирамида
- Правильная четырехугольная пирамида
- Правильная шестиугольная пирамида

Формулы расчета радиуса сферы (шара)

Приведенная ниже информация применима только к правильным пирамидам. Формула для нахождения радиуса зависит от вида фигуры, рассмотрим самые распространенные варианты.

Правильная треугольная пирамида

На этом рисунке и чертежах далее:

a – ребро основания пирамиды;
h – высота фигуры.

Если эти величины даны, вычислить радиус (R) описанной вокруг пирамиды сферы/шара можно по формуле ниже:

Правильный тетраэдр является разновидностью правильной треугольной пирамиды. Формула для него:

Правильная четырехугольная пирамида

Радиус (R) описанной сферы/шара вычисляется следующим образом:

Правильная шестиугольная пирамида

Формула для нахождения радиус (R) сферы/шара выглядит так:

Источник

Нахождение радиуса сферы (шара), описанной около правильной пирамиды

Формулы расчета радиуса сферы (шара)

Правильная треугольная пирамида

На этом рисунке и чертежах далее:

a – ребро основания пирамиды;
h – высота фигуры.

Если эти величины даны, вычислить радиус (R) описанной вокруг пирамиды сферы/шара можно по формуле ниже:

Правильный тетраэдр является разновидностью правильной треугольной пирамиды. Формула для него:

Правильная четырехугольная пирамида

Радиус (R) описанной сферы/шара вычисляется следующим образом:

Правильная шестиугольная пирамида

Формула для нахождения радиус (R) сферы/шара выглядит так:

Пирамида, вписанная в сферу

Пирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу

Определение 1. Пирамидой, вписанной в сферу, называют такую пирамиду, все вершины которой лежат на сфере (рис. 1).

Определение 2. Если пирамида вписана в сферу, то сферу называют описанной около пирамиды.

Теорема 1. Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около основания пирамиды можно описать окружность.

Доказательство. Докажем сначала, что, если пирамида вписана в сферу, то около ее основания можно описать окружность. Для этого рассмотрим рисунок 2.

На рисунке 2 изображена пирамида SA₁A₂ . A_n , вписанная в сферу. Плоскость основания пирамиды пересекает сферу по окружности, в которую вписан многоугольник A₁A₂ . A_n – основание пирамиды. Доказано.

Теперь предположим, что около основания A₁A₂ . A_n пирамиды SA₁A₂ . A_n можно описать окружность. Докажем, что в этом случае около пирамиды SA₁A₂ . A_n можно описать сферу. С этой целью обозначим центр окружности, описанной около многоугольника A₁A₂ . A_n , символом O’ и проведем прямую p, проходящую через точку O’ и перпендикулярную к плоскости многоугольника A₁A₂ . A_n (рис. 3).

Рассмотрим плоскость β, проходящую через середину отрезка SA_n и перпендикулярную к этому отрезку. Если обозначить буквой O точку пересечения плоскости β с прямой p, то точка O и будет центром сферы, описанной около пирамиды SA₁A₂ . A_n . Для того, чтобы это доказать, рассмотрим следующий рисунок 4.

Итак, мы доказали, что точка O находится на одном и том же расстоянии от всех вершин пирамиды SA₁A₂ . A_n . Отсюда вытекает, что точка O является центром сферы, описанной около пирамиды SA₁A₂ . A_n .

Для завершения доказательства теоремы остается лишь доказать, что плоскость β и прямая p действительно пересекаются. Если предположить, что это не так, то из такого предположения будет следовать, что плоскость β и прямая p параллельны, а, значит, точка S лежит в плоскости A₁A₂ . A_n , что противоречит определению пирамиды.

Следствие 1. Около любой правильной пирамиды можно описать сферу.

Следствие 2. Если у пирамиды все боковые ребра равны, то около нее можно описать сферу.

Указание. Основание перпендикуляра, опущенного из вершины такой пирамиды на плоскость ее основания, является центром описанной около основания окружности. Посмотреть доказательство.

Радиус сферы, описанной около правильной n — угольной пирамиды

Задача 1. Высота правильной n — угольной пирамиды равна h , а длина ребра основания равна a . Найти радиус сферы, описанной около пирамиды.

Решение. Рассмотрим правильную n — угольную пирамиду SA₁A₂ . A_n и обозначим буквой O центр описанной около пирамиды сферы, а символом O’ – центр основания пирамиды. Проведем плоскость SO’A_n (рис. 5).

Буквой R на рисунке 5 обозначен радиус описанной около пирамиды сферы, а буквой r – радиус описанной около основания пирамиды окружности. По теореме Пифагора для треугольника O’OA_n получаем

(1)

из формулы (1) получаем соотношение

(2)

Ответ.

Следствие 3. Радиус сферы, описанной около правильной треугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

Следствие 4. Радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром a , равен

Следствие 5. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

Следствие 6. Радиус сферы, описанной около правильной шестиугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a , равен

Отношение объемов правильной n — угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды

Задача 2. Около правильной n — угольной пирамиды с высотой h и ребром основания a описана сфера. Найти отношение объемов пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды.

Воспользовавшись формулой (2), выразим объем шара, ограниченного описанной около пирамиды сферой, через высоту и ребро основания пирамиды:

Ответ.

Следствие 7. Отношение объема правильной треугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды, равно

Следствие 8. Отношение объема правильного тетраэдр с ребром a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данного тетраэдра, равно

Следствие 9. Отношение объема правильной четырехугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Следствие 10. Отношение объема правильной шестиугольной пирамиды с высотой h и ребром основания a к объему шара, ограниченного сферой, описанной около данной призмы, равно

Радиус окружности описанной около основания правильной

Нахождение радиуса сферы (шара), описанной около правильной пирамиды

Формулы расчета радиуса сферы (шара)

Правильная треугольная пирамида

На этом рисунке и чертежах далее:

a – ребро основания пирамиды;
h – высота фигуры.

Если эти величины даны, вычислить радиус (R) описанной вокруг пирамиды сферы/шара можно по формуле ниже:

Правильный тетраэдр является разновидностью правильной треугольной пирамиды. Формула для него:

Правильная четырехугольная пирамида

Радиус (R) описанной сферы/шара вычисляется следующим образом:

Правильная шестиугольная пирамида

Формула для нахождения радиус (R) сферы/шара выглядит так:

Пирамида, вписанная в сферу

Пирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу

Определение 2. Если пирамида вписана в сферу, то сферу называют описанной около пирамиды.

Следствие 1. Около любой правильной пирамиды можно описать сферу.

Следствие 2. Если у пирамиды все боковые ребра равны, то около нее можно описать сферу.

Радиус сферы, описанной около правильной n — угольной пирамиды

(1)

из формулы (1) получаем соотношение

(2)

Ответ.

Следствие 4. Радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром a , равен

Отношение объемов правильной n — угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды

Ответ.

Радиус окружности описанной около основания правильной

Вопрос по геометрии:

радиус окружности, описанной около основания правильной треугольной пирамиды равен 3. Боковое ребро равно 5. Найдите высоту пирамиды.

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

Полиночка, все на чертеже. Так строится правильная треуголоная пирамида и только так. AO это радиус описанной окружности.SO находим по т.Пифагора SO^2=5^2=3^2=16, SO=4

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

источники:

http://www.resolventa.ru/spr/stereometry/piramide_sphere.htm

http://b4.cooksy.ru/articles/radius-okruzhnosti-opisannoy-okolo-osnovaniya-pravilnoy

Источник

3.4. Вписанные и описанные многогранники

Среди множества выпуклых многогранников выделим два важных семейства: вписанные и описанные многогранники.

Определение 22

Выпуклый многогранник называют вписанным, если все его вершины лежат на сфере. Эта сфера называется описанной для рассматриваемого многогранника.

Определение 23

Выпуклый многогранник называют описанным, если все его грани касаются сферы. Эта сфера называется вписанной для рассматриваемого многогранника.

Очевидно сходство введённых понятий с известными из курса планиметрии понятиями вписанных и описанных многоугольников, описанных и вписанных окружностей.

Не любой многогранник является вписанным или описанным, однако верны следующие две теоремы, аналогичные соответствующим теоремам про треугольник.

Теорема 3.4 (об описанной сфере треугольной пирамиды)

Треугольная пирамида имеет единственную описанную сферу.

Рис. 73

Доказательство. Рассмотрим треугольную пирамиду ABCD (рис. 73). Построим плоскости, перпендикулярные соответственно рёбрам AB, AC и AD и проходящие через их середины. (Геометрическим местом точек пространства, равноудалённых от концов некоторого отрезка, является плоскость, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину. Докажите это самостоятельно.) Обозначим через O точку пересечения этих плоскостей. (Такая точка существует, и она единственна. Докажем это. Возьмём первые две плоскости. Они пересекаются, поскольку перпендикулярны непараллельным прямым. Обозначим прямую, по которой пересекаются первые две плоскости, через l. Эта прямая l перпендикулярна плоскости ABC. Плоскость, перпендикулярная AD, не параллельна l и не содержит её, поскольку в противном случае прямая AD перпендикулярна l, т. е. лежит в плоскости ABC.) Точка O равноудалена от точек A и B, A и C, A и D, значит, она равноудалена ото всех вершин пирамиды ABCD, т. е. сфера с центром в O соответствующего радиуса является описанной сферой для пирамиды ABCD.

Итак, мы доказали существование для пирамиды ABCD описанной сферы. Осталось доказать её единственность. Центр любой сферы, проходящей через вершины пирамиды, равноудалён от этих вершин, значит, он принадлежит плоскостям, которые перпендикулярны рёбрам пирамиды и проходят через середины этих рёбер. Следовательно, центр такой сферы совпадает с точкой O.

Теорема доказана. ▼

Отметим, что при этом мы доказали, что все серединные перпендикуляры к рёбрам пирамиды пересекаются в одной точке.

Теорема 3.5 (о вписанной сфере треугольной пирамиды)

У любой треугольной пирамиды существует единственная вписанная сфера.

Рис. 74

Доказательство. Рассмотрим треугольную пирамиду ABCD (рис. 74). Проведём биссекторные плоскости её двугранных углов с рёбрами AB, AC и BC. Эти плоскости имеют единственную общую точку (подумайте почему). Обозначим её через Q. Точка Q равноудалена от всех граней пирамиды. (Она равноудалена от ABC и ABD, ABC и ADC, ABC и CBD.) Значит, сфера соответствующего радиуса с центром в точке Q является вписанной в пирамиду ABCD. Единственность этой сферы доказывается так же, как и в предыдущей теореме. ▼

Как и в предыдущем случае, мы доказали, что все шесть биссекторных плоскостей треугольной пирамиды пересекаются в одной точке.

Замечание. Понятия вписанной и описанной сферы могут относиться также к конусу и цилиндру. Любой конус имеет описанную и вписанную сферы. Если провести осевое сечение конуса, то эта плоскость пересечёт описанную и вписанную сферы по большим окружностям этих сфер, причём получившиеся окружности будут соответственно описаны или вписаны в осевое сечение конуса. Цилиндр, как и конус, всегда имеет описанную сферу. Но в отличие от конуса вписать сферу можно не во всякий цилиндр, а лишь в цилиндр с квадратным осевым сечением.

Задачи, задания, вопросы

1(в). Найдите радиусы описанного и вписанного шаров для правильного тетраэдра с ребром a.

2(в). Найдите ребро куба, вписанного в сферу радиуса R.

3(в). Докажите, что если около параллелепипеда можно описать сферу, то этот параллелепипед — прямоугольный.

4(в). Имеется правильная пирамида со стороной основания a и боковым ребром b. Найдите радиус:

а) описанной сферы;

б) вписанного шара;

в) сферы, касающейся всех рёбер пирамиды;

г) сферы, касающейся рёбер основания и продолжений боковых рёбер;

д) радиус сферы, которая касается основания и боковых рёбер.

Каждый пункт решите для пирамиды следующего вида: 1) четырёхугольной; 2) треугольной; 3) шестиугольной.

5(в). Найдите радиус описанного и вписанного шаров для конуса с радиусом основания r и высотой h.

6.Около шара описаны цилиндр и конус, осевым сечением которого является прямоугольный треугольник. Найдите отношение образующих цилиндра и конуса.

7(в). Найдите радиус сферы, описанной около правильной n-угольной призмы с высотой h и стороной основания a.

8(в). В основании правильной треугольной призмы лежит треугольник со стороной 1. Найдите боковое ребро призмы, если известно, что в неё можно вписать шар.

9(т). Известно, что в заданную призму можно вписать шар. Найдите площадь её боковой поверхности, если площадь основания равна S.

10(т). Плоскость проходит на расстоянии a от центра единичной сферы. Найдите ребро куба, одна грань которого лежит в этой плоскости, а вершины противоположной грани находятся на сфере.

11(в). Около призмы можно описать сферу. Докажите, что основание призмы — многоугольник, около которого можно описать окружность. Найдите радиус этой окружности, если высота призмы h, а радиус описанной около неё сферы равен R.

12(в). Основанием пирамиды служит многоугольник, около которого можно описать окружность. Докажите, что существует сфера, описанная около этой пирамиды. Найдите радиус этой сферы, если радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен r, её высота h, а основание высоты совпадает с вершиной основания пирамиды.

13.В треугольной пирамиде ABCD ребро AB равно a, а углы ACB и ADB — прямые. Найдите радиус описанной около этой пирамиды сферы.

14.Найдите ребро куба, одна грань которого принадлежит основанию конуса, а остальные вершины расположены на его боковой поверхности. Радиус основания конуса равен r, его высота h.

15.Через центр сферы радиуса R проведены три попарно перпендикулярные плоскости. Найдите радиус сферы, касающейся всех этих плоскостей и данной сферы.

16.Осевым сечением конуса является правильный треугольник со стороной a. Через ось конуса проведены две перпендикулярные плоскости, которые делят конус на четыре части. Найдите радиус шара, вписанного в одну из этих частей.

17.Внутри единичного куба находятся восемь равных шаров. Каждый шар вписан в один из трёхгранных углов куба и касается трёх шаров, соответствующих соседним вершинам. Найдите радиусы этих шаров.

18(в). Четыре сферы радиуса R попарно касаются друг друга. Найдите радиус сферы, касающейся всех четырёх сфер.

19.Два шара касаются друг друга и граней трёхгранного угла, все плоские углы которого прямые. Найдите отношение радиусов этих шаров.

20(п). Докажите, что если в данный четырёхгранный угол можно вписать шар, то суммы противоположных плоских углов этого четырёхгранного угла равны. Докажите справедливость обратного утверждения: если суммы противоположных плоских углов четырёхгранного угла равны, то в него можно вписать шар.

21(п). Дан трёхгранный угол OABC, в котором ∠BOC = a, ∠COA = b, ∠ AOB = g. Пусть вписанный в него шар касается грани BOC в точке K. Найдите ∠KOB.

22(т). Треугольник ABC вписан в основание конуса, S — вершина конуса. В трёхгранном угле SABC двугранные углы с рёбрами SA, SB и SC равны соответственно x, y и z. Найдите угол между плоскостями SAB и SAO, где SO — высота данного конуса.

23(т). Четырёхгранный угол OABCD (OA, OB, OC, OD — его рёбра) разделён плоскостью OAC на два трёхгранных угла. В каждый из полученных углов вписан шар. Эти шары касаются плоскости OAC в точках K и M. Найдите угол KOM, если ∠BOA = a, ∠DOA = b, ∠BOC = ∠COD.

24(п). Докажите, что радиус шара, проходящего через точки пересечения медиан граней произвольного тетраэдра, в три раза меньше радиуса описанного около рассматриваемого тетраэдра шара. Используя этот факт, докажите, что в произвольном тетраэдре выполняется неравенство R ⩾ 3r, где R и r — соответственно радиусы описанного и вписанного шаров.

25(т). Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно l, а плоский угол при вершине равен a. Найдите радиус описанной около этой пирамиды сферы.

Источник

Когда в задаче дана вписанная в шар пирамида, при ее решении будет полезна следующая теоретическая информация.

Если пирамида вписана в шар, то все ее вершины лежат на поверхности этого шара (на сфере), соответственно, расстояния от центра шара до вершин равны радиусу шара.

Каждая грань вписанной в шар пирамиды является вписанным в некоторую окружность многоугольником. Основания перпендикуляров, опущенных из центра шара на плоскости граней, являются центрами этих описанных окружностей. Таким образом, центр описанного около пирамиды шара — точка пересечения перпендикуляров к граням пирамиды, проведенных через центры описанных около граней окружностей.

Чаще центр описанного около пирамиды шара рассматривают как точку пересечения перпендикуляра, проведенного к основанию через центр описанной около основания окружности, и серединного перпендикуляра к боковому ребру (серединный перпендикуляр лежит в плоскости, проходящей через это боковое ребро и первый перпендикуляр (проведенный к основанию). Если около основания пирамиды нельзя описать окружность, то эта пирамида не может быть вписана в шар. Отсюда следует, что около треугольной пирамиды всегда можно описать шар, а вписанная в шар четырехугольная пирамида с параллелограммом в основании может иметь основанием прямоугольник либо квадрат.

Центр описанного около пирамиды шара может лежать внутри пирамиды, на поверхности пирамиды (на боковой грани, на основании), и вне пирамиды. Если в условии задачи не сказано, где именно лежит центр описанного шара, желательно рассмотреть, как могут повлиять на решение различные варианты его расположения.

Около любой правильной пирамиды можно описать шар. Его центр — точка пересечения прямой, содержащей высоту пирамиды, и серединного перпендикуляра к боковому ребру.

При решении задач на вписанную в шар пирамиду чаще всего рассматривают некоторые треугольники.

Начнем с треугольника SO1C. Он равнобедренный, поскольку две его стороны равны как радиусы шара: SO1=O1С=R. Следовательно, O1F — его высота, медиана и биссектриса.

Прямоугольные треугольники SOC и SFO1 подобны по острому углу S. Отсюда

$[frac{{S{O_1}}}{{SC}} = frac{{SF}}{{SO}} = frac{{F{O_1}}}{{OC}}]$

SO=H — высота пирамиды, SC=b — длина бокового ребра, SF=b/2, SO1=R, OC=r — радиус окружности, описанной около основания пирамиды.

$[frac{R}{b} = frac{b}{{2H}} = frac{{F{O_1}}}{r}]$

$[ Rightarrow {b^2} = 2RH]$

В прямоугольном треугольнике OO1C г гипотенуза O1C=R, катеты OC=r, OO1=H-R. По теореме Пифагора:

$[{O_1}{C^2} = OO_1^2 + O{C^2}, Rightarrow ]$

$[{R^2} = {(H - R)^2} + {r^2}]$

Если продолжить высоту SO, получим диаметр SM. Треугольник SCM — прямоугольный (так как вписанный угол SCM опирается на диаметр). В нем OC — высота, проведенная к гипотенузе, SO и OM — проекции катетов SC и CM на гипотенузу. По свойствам прямоугольного треугольника,

$[O{C^2} = SO cdot OM, Rightarrow {r^2} = H(2R - H)]$

и еще раз, только другим путем:

$[S{C^2} = SO cdot SM, Rightarrow {b^2} = 2RH.]$

Эти рассуждения верны не только для правильной пирамиды, но также для пирамиды, основание высоты которой является центром описанной около основания пирамиды окружности.

Источник

ВИДЕОУРОК

Нами ранее уже рассмотрены
простые геометрические тела: призма, пирамида, цилиндр, конус, шар. Но в природе,
техники и геометрии также рассматривают и комбинации указанных геометрических тел.

ПРИМЕР:

Шар называется вписанным в конус, усечённый
конус и цилиндр, если поверхность шара касается плоскости основания этих фигур и
всех их боковых поверхностей.

Шар называется описанным вокруг конуса, если
поверхность шара проходит через вершину конуса, а окружность основания конуса
лежит на поверхности шара.

Шар называется описанным вокруг цилиндра и усечённого конуса, если окружности их
оснований лежат на поверхности шара.

Обратите внимание, что в конус всегда можно вписать шар, а вокруг цилиндра и
усечённого конуса всегда можно описать шар.

Для других объёмных фигур условия вписать в них и описать вокруг них шар должны
быть в каждом случае специально определены.

ЗАДАЧА:

В правильную четырёхугольную пирамиду
вписан куб так, что четыре его вершины находятся на боковых рёбрах пирамиды, а другие
четыре – в плоскости её основания. Найдите ребро куба, если в пирамиде сторона
основания равна а и высота
h.

РЕШЕНИЕ:

На рисунке изображена пирамида SABCD с вписанным в неё кубом MNPQM₁N₁P₁Q₁,
четыре вершины которого лежат на боковых рёбрах пирамиды, а другие – в плоскости
основания.

Обозначим ребро куба через х,
то есть

MN = MM₁ = x.

Рассмотрим подобные ⊿SO₁B и

⊿SON (ON ∥ O₁B).

Из
подобия этих треугольников найдём

Учитывая, что

SO₁ = h, SO = h – x,

получим

откуда

ОТВЕТ:

ЗАДАЧА:

Вокруг шара описан усечённый
конус, образующая которого равна а. Найти
боковую поверхность конуса.

РЕШЕНИЕ:

На рисунке изображёно основное сечение
усечённого конуса с вписанным в него шаром.

По условию задачи ВС = а. Обозначим

О₁В = R, а О₂C = r.

Тогда используя свойство
касательных к окружности, которые выходят из одной и той же самой точки,

О₂С = СМ и О₁В = МВ, или
О₁В + О₂С = СВ = а,

то есть R + r = а. Поэтому, боковая
поверхность усечённого конуса равна

_.
S_бок = π(R + r)а = πа².

Многогранник, описанный вокруг шара.

Шар называется вписанным в многогранник, а
многогранник – описанным вокруг шара, если
плоскости всех граней многогранника касаются шара.

Основные свойства призмы, описанной вокруг шара:

– шар можно вписать в прямую призму, если её основание –
многогранник, в который можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру
этой окружности;

– центр шара будет серединой высоты призмы, которая соединяет
центр окружностей, вписанных в многоугольники оснований призмы.

ЗАДАЧА:

Известно, что в треугольную
призму, стороны основания которой равны

13
см, 14 см и 15 см,

можно вписать шар. Найти радиус этого шара.

РЕШЕНИЕ:

Диаметр вписанного шара равен высоте
призмы и в тоже время равен диаметру окружности, вписанной в основание призмы. Поэтому
радиус окружности, вписанной в основание призмы, равен радиусу шара.

Радиус окружности r,
вписанной в основание призмы, найдём по формуле

где S –
площадь треугольника основания, р – его полупериметр.

По формуле Герона

Поэтому, радиус шара также равен 4
см.

ОТВЕТ: 4 см.

Основные свойства пирамиды, описанной вокруг шара:

– если в пирамиде все двугранные углы при основании равны
между собой, то в эту пирамиду можно вписать сферу; центр сферы принадлежит
высоте пирамиды, точка касания шара с основанием пирамиды совпадает с центром
вписанной в основание окружности, а точки касания с боковыми гранями принадлежат
высотам этих граней;

– в любую правильную пирамиду можно вписать шар; центр шара принадлежит
высоте пирамиды;

– центр шара, вписанного в правильную пирамиду, совпадает
с центром окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, боковою стороною которого
будет апофемой правильной пирамиды, а высотою – высота пирамиды; радиус шара равен
радиусу этой окружности.

ЗАДАЧА:

В правильной четырёхугольной пирамиде
центры вписанного и описанного шара совпадают. Определите плоский угол при
вершине пирамиды.

РЕШЕНИЕ:

Дана правильная четырёхугольная
пирамида SАВС и точка
О – центр вписанного в пирамиду и описанного вокруг неё шара.

Точка О₁ – центр окружности, описанной вокруг ∆SВС.
Тогда перпендикуляр из центра шара на плоскость
∆SВС попадаетв
точку О₁, и ОО₁ будет
радиусом вписанного в пирамиду шара.

ОВ = ОС = SО = R –
радиусы описанного шара.

ОО₂ = ОО₁ =
r – радиусы вписанного шара.

Тогда прямоугольные

∆ОО₂В,
∆ОО₁В,
∆ОО₂С и ∆ОО₁С

равны между собой. Из их равенства
выходит, что

ВО₂ = СО₂ = ВО₁ = СО₁ и

∆ВО₂С и ∆ВО₁С равны.

В таком случае

∠ ВО₂С = ∠ ВО₁С = 90°.

Далее SО₁ = ВО₁ =
СО₁ как радиусы окружности, описанной вокруг ∆SВС.

Из равнобедренного ∆ВО₁S по свойству внешнего угла

∠
BSE = ¹/₂∠ BO₁E

Тогда

∠
BSC = ¹/₂∠ BO₁C = 45°.

ОТВЕТ: 45°.

Многогранник, вписанный в шар.

Если шар находится в середине многогранника, то он называется вписанным, а если снаружи многогранника – внешне вписанным.

Шар называется описанным вокруг многогранника,
а многогранник – вписанным в этот шар, если
все вершины многогранника лежат на поверхности шара.

Основные свойства призмы, вписанной в шар:

– шар можно описать вокруг прямой призмы, если её основание
будет многоугольник, вокруг которого можно описать окружность;

– центр шара будет серединой высоты призмы, которая соединяет
центры окружностей, описанных вокруг многоугольников оснований призмы;

– основания призмы вписаны в равные параллельные сечения шара.

ЗАДАЧА:

Вокруг правильной треугольной призмы, сторона основания
которой равна 5√͞͞͞͞͞3 см, описан шар. Радиус шара равен 13
см. Найти высоту призмы.

РЕШЕНИЕ:

Пусть вокруг правильной треугольной
призмы АВСА₁В₁С₁ описан шар.

QВ = R_ABC – радиус окружности, описанной вокруг ∆АВС.

где a = 5√͞͞͞͞͞3 см – сторона основания правильного треугольника АВС.

Тогда

У ∆OQB, OB = R =
13 см – радиус шара, ∠ OQB = 90°.

Имеем

Поскольку точка О –
середина высоты призмы QQ₁ то

QQ₁ = 2×12 = 24
см.

ОТВЕТ: 24 см.

Основные свойства пирамиды, вписанной в шар:

– шар можно описать вокруг пирамиды, если её основанием будет
многоугольник, вокруг которого можно описать окружность; центр шара,
описанного вокруг пирамиды, лежит на перпендикуляре к плоскости основания,
проведённого через центр окружности, описанной вокруг основания;

– центр шара, описанного вокруг правильной пирамиды,
лежит на прямой, которая совпадает с высотой пирамиды;

– центр шара, описанного вокруг правильной пирамиды, совпадает
с центром окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника, боковою
стороной которого будет боковое ребро пирамиды, а высотой – высота пирамиды; радиус шара равен
радиусу этой окружности.

Напомним, что центр описанного шара может принадлежать высоте пирамиды, или
лежать на её продолжении (то есть находиться либо в середине пирамиды, или за её
пределами). Решая задачи способом, предложенным ниже, нет необходимости разглядывать
два случая. При выбранном способе решения место размещения центра шара (в середине
или вне пирамиды) не учитывается.

ЗАДАЧА:

Докажите, что радиус шара R, описанного вокруг правильной пирамиды,
можно найти по формуле

где Н –
высота пирамиды, r – радиус окружности, описанной вокруг основания пирамиды.

РЕШЕНИЕ:

Пусть точка О –
центр шара, описанного вокруг правильной пирамиды с высотой ОК.

По условию QK = R, КА = r – радиус окружности описанной вокруг основания.

Продолжим QK до второго пересечения с шаром в точке Q₁.

Тогда QQ₁ = 2R – диаметр окружности, и поэтому

∠ QAQ₁ = 90° и QQ₁ – гипотенуза прямоугольного треугольника QAQ₁.

∆QKA (∠ K
= 90°),

AQ² = QK² +
AK²,

AQ² = H² +
r².

По свойству катета прямоугольного
треугольника ∆QAQ₁ имеем

AQ² = QQ₁× QK,
то есть AQ² = 2R × H.

Поэтому,

AQ² = H² +
r² и AQ² = 2RH.

Откуда

H² + r² =
2RH,

что и
требовалось доказать.

Применение тригонометрических функций к
решению стереометрических задач.

ЗАДАЧА:

В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при
вершине равняется α. Высота h пирамиды является
диаметром шара. Найти длину кривой пересечения их поверхностей и вычислить ее
при

α
= 0,46 рад, h = 10,7 см.

РЕШЕНИЕ:

Дана правильная
четырехугольная пирамида SABCD и шар O₁, диаметром которой служит
высота пирамиды SO = h, плоский угол при вершине пирамиды ∠ BCD =
α.

Найти длину линии, по которой поверхность шара пересекается
с поверхностью пирамиды.

Искомая линия состоит из четырех ровных дуг кругов, по
которым пересекаются плоскости боковых граней пирамиды с поверхностью шара.

Найдем длину дуги B₁C₁, по
которой грань пирамиды BSC пересекается с
поверхностью шара.

Плоскость грани BSC пересекается с
поверхностью по кругу, центр какого O₂ получим, опустив
из центра шара перпендикуляр O₁O₂ на плоскость этой грани.

Угол B₁SC₁ = α является вписанным в круг O₂ и опирается на дугу B₁C₁, потому длина искомой дуги B₁C₁ определяется по
формуле

∪ B₁C₁ =
2α r,

где α –
данный угол в радианах, а r = O₂S – радиус окружности O₂.

для определения радиуса
r
рассмотрим подобные прямоугольные

∆ SO₁O₂ и ∆ SOM.

Из подобия этих треугольников

откуда, учитывая

SO = h и SO₁ = ¹/₂h, находим

Апофему пирамиды SM определим так.
Обозначим сторону основы пирамиды ВС = 2х, тогда ОМ = х. Из ∆ВSM имеем

SM = x ctg α/₂.

Дальше из прямоугольного ∆ SOM по теореме Пифагора находим

SO² + OM²
= SM², или

h² + x²
= x²ctg² α/₂.

Откуда

и, поэтому

Тогда

Подставляя найденное значение r в
формулу для длины дуги B₁C₁ имеем

Длина искомой линии пересечения поверхности пирамиды с поверхностью пули
равняется учетверенной длине дуги B₁C₁, поэтому
окончательно получим

где α есть угол при
вершине пирамиды, измеренный в радианах.

При

h = 10,7 см и α = 0,46 рад,

ограничиваясь при вычислении четырьмя значимыми
цифрами, имеем

cos
α/₂ ≈ 0,9737;

cos
α ≈ 0,8961;

√͞͞͞͞͞cos α ≈ 0,9466;

l ≈ 19,14 cм.

ОТВЕТ: l ≈ 19,14 cм

Задания к уроку 17

Источник

Формулы расчета радиуса сферы (шара)

Правильная треугольная пирамида

Правильная четырехугольная пирамида

Правильная шестиугольная пирамида

Нахождение радиуса сферы (шара), описанной около правильной пирамиды

Формулы расчета радиуса сферы (шара)

Правильная треугольная пирамида

Правильная четырехугольная пирамида

Правильная шестиугольная пирамида

Пирамида, вписанная в сферу

Пирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу

Радиус сферы, описанной около правильной n — угольной пирамиды

Отношение объемов правильной n — угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды

Радиус окружности описанной около основания правильной

Нахождение радиуса сферы (шара), описанной около правильной пирамиды

Формулы расчета радиуса сферы (шара)

Правильная треугольная пирамида

Правильная четырехугольная пирамида

Правильная шестиугольная пирамида

Пирамида, вписанная в сферу

Пирамида, вписанная в сферу. Свойства пирамиды, вписанной в сферу

Радиус сферы, описанной около правильной n — угольной пирамиды

Отношение объемов правильной n — угольной пирамиды и шара, ограниченного сферой, описанной около данной пирамиды

Радиус окружности описанной около основания правильной

Ответы и объяснения 1

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Есть сомнения?

ВИДЕОУРОК

Не пропустите также: