Как найти радиус окружности описанной около треугольника - AvtoShod.ru

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.

Формулы вычисления радиуса описанной окружности
- Произвольный треугольник
- Прямоугольный треугольник
- Равносторонний треугольник
Примеры задач

Формулы вычисления радиуса описанной окружности

Произвольный треугольник

Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:

где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.

Равносторонний треугольник

Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:

где a – сторона треугольника.

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.

Решение
Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:

Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:

Задание 2
Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:

Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.

Источник

Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по одной из двух общих формул.

Кроме того, для правильного и прямоугольного треугольников существуют дополнительные формулы.

Радиус описанной около произвольного треугольника окружности

Формула I (следствие из теоремы синусов)

$[R = frac{{AB}}{{2sin angle C}} = frac{{BC}}{{2sin angle A}} = frac{{AC}}{{2sin angle B}}]$

То есть радиус описанной окружности равен отношению длины стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего этой стороне угла.

В общем виде эту формулу записывают так:

$[R = frac{a}{{2sin alpha }} = frac{b}{{2sin beta }} = frac{c}{{2sin gamma }}]$

Формула II.

$[R = frac{{AB cdot BC cdot AC}}{{4{S_{Delta ABC}}}}]$

в общем виде —

$[R = frac{{abc}}{{4S}}]$

То есть чтобы найти радиус описанной около треугольника окружности, надо произведения длин сторон треугольника разделить на четыре площади треугольника.

Если площадь треугольника находить по формуле Герона

где p — полупериметр,

$[p = frac{{a + b + c}}{2},]$

то получим формулу радиуса описанной около треугольника окружности через длины сторон:

$[R = frac{{abc}}{{4sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} }}.]$

Обе эти формулы можно применить к треугольнику любого вида. Следует только учесть положение центра.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника, напротив тупого угла.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника

Формула:

$[R = frac{{AB}}{2}]$

То есть в прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

Обычно гипотенузу обозначают через c (AB=c) и формулу записывают так:

$[R = frac{c}{2}]$

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника

Формула:

$[R = frac{a}{{sqrt 3 }}]$

Если без иррациональности в знаменателе, то

$[R = frac{{asqrt 3 }}{3}]$

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

Источник

Вокруг любого треугольника можно описать окружность. Центр описанной вокруг треугольника окружности может лежать как во внутреннем пространстве, так и на стороне треугольника или даже вне его. Для того чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг произвольного треугольника, необходимо произведение его сторон разделить на четыре квадратных корня из полупериметра, умноженного на его разность с каждой стороной.

Равнобедренный треугольник имеет стороны a, a, b, подставив которые в вышеприведенную формулу, можно значительно ее упростить и привести к следующему виду:

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы, разделяя ее на две части, каждая из которых соединяется с вершинами треугольника, следовательно, является радиусом. Таким образом, чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, необходимо гипотенузу разделить на два:

Или этот же радиус можно найти, подставив вместо гипотенузы катеты по теореме Пифагора: