Как найти радиус окружности через точки - AvtoShod.ru

Как найти радиус окружности

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Прежде чем погружаться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра, которая лежит в той же плоскости. Если говорить проще, то это замкнутая линия, как, например, обруч и кольцо.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии равном радиусу. Иначе говоря, плоская фигура, ограниченная окружностью, как мяч и блюдце.

Радиус — это отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней. Общепринятое обозначение радиуса — латинская буква R.

Возможно тебе интересно узнать — как найти длину окружности?

Формула радиуса окружности

Определить способ вычисления проще, отталкиваясь от исходных данных. Далее рассмотрим девять формул разной степени сложности.

Если известна площадь круга

R = √ S : π, где S — площадь круга, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Если известна длина

R = P : 2 * π, где P — длина (периметр круга).

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Если известен диаметр окружности

R = D : 2, где D — диаметр.

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Радиус всегда равен половине диаметра.

Если известна диагональ вписанного прямоугольника

R = d : 2, где d — диагональ.

Диагональ вписанного прямоугольник делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Если диагональ неизвестна, теорема Пифагора поможет её вычислить:

d = √ a 2 + b 2 , где a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Если известна сторона описанного квадрата

R = a : 2, где a — сторона.

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности.

Если известны стороны и площадь вписанного треугольника

R = (a * b * c) : (4 * S), где a, b, с — стороны, S — площадь треугольника.

Если известна площадь и полупериметр описанного треугольника

R = S : p, где S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, деленная на два.

Если известна площадь сектора и его центральный угол

R = √ (360° * S) : (π * α), где S — площадь сектора круга, α — центральный угол.

Площадь сектора круга — это часть S всей фигуры, ограниченной окружностью с радиусом.

Если известна сторона вписанного правильного многоугольника

R = a : (2 * sin (180 : N)), где a — сторона правильного многоугольника, N — количество сторон.

В правильном многоугольнике все стороны равны.

Скачать онлайн таблицу

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Радиус — что это такое и как найти радиус окружности

Через длину стороны

Формула для нахождения длины окружности через радиус:

, где r — радиус окружности.

Найти радиус круга, зная окружность

Окружность круга P

Результат

Радиус и диаметр

Радиус в математике всегда обозначается латинской буквой «R» или «r». Принципиальной разницы, большую букву писать или маленькую, нет.

А два соединенных вместе радиуса, которые к тому же находятся на одной прямой, называются диаметром. Или по-другому:

Диаметр – это отрезок, который проходит через центр окружности и соединяет две противоположные точки на ее поверхности. По аналогии с радиусом под диаметром подразумевают и длину этого отрезка.

Обозначается диаметр также первой буквой своего слова – D или d.

Исходя из определения диаметра, можно сделать простой вывод, который одновременно является одной из базовых основ геометрии.

Длина диаметра равна удвоенной длине радиуса.

Вычисление радиуса

Радиус можно посчитать разными способами.

Если известен диаметр

Этот способ самый простой. Диаметр равен двум радиусам. Поэтому радиус будет высчитываться по формуле r=d/2.

Если известна длина окружности круга

Также несложно будет узнать радиус, если известна длина окружности круга. Формула для расчета длины окружности C=2πr, в которой C является длиной окружности, π=3,14, а r — это как раз искомый радиус.

Преобразовав данную формулу, получим: r=C/2π. Вообще, число «Пи» в формуле — это постоянное значение, округленное до 3,14. На самом деле «Пи» выглядит так:

Означает данное значение отношение длины окружности к диаметру той же окружности.

Если известна площадь круга

Формула площади круга выглядит так: A= π(r²). Эту формулу можно преобразовать в формулу радиуса:

В ней A — это площадь круга, число «Пи» мы уже знаем, оно равно округленно 3,14, а r — это и есть искомое значение радиуса.

Как найти радиус круга, все школьники учат на геометрии. Взрослые, конечно, со временем забывают эти формулы. Но, прочитав данную статью, радиус круга может найти каждый: и взрослый, и ребенок.

Способ расчета радиуса круга:

Круг (окружность) – геометрическая фигура на плоскости, все точки которой равноудалены от данной точки (центр круга).
Формула радиуса круга:
где P – длина окружности, pi – число π, равное примерно 3.14

Круг (окружность) – геометрическая фигура на плоскости, все точки которой равноудалены от данной точки (центр круга).
Формула радиуса круга:
где S – площадь круга, pi – число π, равное примерно 3.14

Через сторону описанного квадрата

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности. А диаметр — повторимся — равен двум радиусам. Поэтому разделите сторону квадрата на два.

r — искомый радиус окружности.
a — сторона описанного квадрата.

Как посчитать радиус зная длину окружности

Чему равен радиус (r) если длина окружности C?

Формула

r = C /_2π , где π ≈ 3.14

Свойства радиуса

В отношении радиуса действуют несколько важных правил:

Радиус составляет половину диаметра. Это мы продемонстрировали только что.
У окружности может быть сколько угодно радиусов. Но все они будут равны по длине между собой.

Радиус, который перпендикулярен хорде, делит ее на две равные части.

Напомним, хордой называется любой отрезок, который проходит через две точки на поверхности окружности, но не через центр. Этим она принципиально отличается от диаметра.

По площади сектора и центральному углу

Например, если площадь сектора равна 50 см 2 , а центральный угол равен 120 градусов, формула запишется следующим образом: .

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла .

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах , получаем

В случае, когда величина α выражена в в радианах , получаем

Формулы для площади круга и его частей

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

если величина угла α выражена в градусах

если величина угла α выражена в радианах

если величина угла α выражена в градусах

Числовая характеристика	Рисунок	Формула
Площадь круга
Площадь сектора
Площадь сегмента

Площадь круга

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Площадь сектора

если величина угла α выражена в радианах

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегмента

если величина угла α выражена в радианах

если величина угла α выражена в градусах

Центральный угол, вписанный угол и их свойства

Связанные определения

Центральный угол в окружности — это угол , образованный двумя радиусами.
Радиус кривизны кривой — это радиус окружности, имеющей с этой кривой касание второго порядка.

Примеры задач

Задание 1
Длина окружности равняется 87,92 см. Найдите ее радиус.

Решение:
Используем первую формулу (через периметр):

Задание 2
Найдите радиус круга, если его площадь составляет 254,34 см 2 .

Решение:
Воспользуемся формулой, выраженной через площадь фигуры:

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла .

В случае, когда величина α выражена в градусах , справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

В случае, когда величина α выражена в радианах , справедлива пропорция

из которой вытекает равенство:

Уравнение окружности

r 2 = ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2

3. Параметрическое уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами ( a, b ) в декартовой системе координат:

<	x = a + r cos t
y = b + r sin t

Углы между двумя хордами

Случай 1: два секущие пересекаются внутри окружности.

Когда две секущие пересекаются внутри окружности, величина образованных угла, в два раза меньше суммы величин дуг, на которые они опираются. На рисунке дуга AB и дуга CD равны 60° и 50° тогда углы 1 и 2 равны Случай 2: две секущие пересекаются вне окружности.

Иногда секущие пересекаются за пределами окружности. Когда это случается, величина образующихся углов равна половине разности дуг, на которые они опираются.

Через площадь и полупериметр описанного треугольника

Разделите площадь описанного треугольника на его полупериметр.

r — искомый радиус окружности.
S — площадь треугольника.
p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

Основные свойства касательных к окружности

3. Если две касательные, с точками соприкосновения B и C, на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке A, а отрезок между точкой соприкосновения и точкой пересечения одной касательной равен таком же отрезке на другой касательной:

Также, если провести прямую через центр окружности О и точку пересечения A этих касательных, то углы образованный между этой прямой и касательными будут равны:

Обобщения

Радиусом множества , лежащего в метрическом пространстве с метрикой , называется величина . Например, радиус n-размерного гиперкуба со стороной s равен

Через диагональ вписанного прямоугольника

Диагональ прямоугольника является диаметром окружности, в которую он вписан. А диаметр, как мы уже вспомнили, в два раза больше радиуса. Поэтому достаточно разделить диагональ на два.

R — искомый радиус окружности.
d — диагональ вписанного прямоугольника. Напомним, она делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Поэтому, если диагональ неизвестна, её можно найти через соседние стороны прямоугольника с помощью теоремы Пифагора.
a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Площадь круга, онлайн расчет

Как найти площадь круга по формуле через радиус либо диаметр круга.

Площадь круга, онлайн расчет

Вместо заключения

Чтобы еще больше понять, насколько важно понятие РАДИУС, вспомните инструмент, с помощью которого можно начертить окружность. Это циркуль и выглядит он вот так.

Пользоваться им просто. Ножка с острым концом ставится в центр будущей окружности. А ножка с грифелем прочерчивает линию. А расстояние, на котором они будут друг от друга, и есть РАДИУС.

Радиус и диаметр окружности

Окружность — это фигура в геометрии, которая состоит
из множества точек, расположенных на одинаковом
расстоянии от заданной точки (центра окружности).

Радиус окружности — это отрезок, который соединяет
центр окружности с какой-либо точкой окружности.

Диаметр окружности — это отрезок, который соединяет
две любые точки окружности, причем сам отрезок
должен проходить через центр окружности

Eсли от центра окружности провести
отрезки ко всем точкам окружности, то они будут иметь
одинаковую длину, то есть равны. В математике
такие отрезки называют радиусами.

Все радиусы окружности, как и диаметры окружности,
равны между собой, имеют одинаковую длину.

На рисунке выше изображена окружность, с центром в точке O.
OA = OB = OC — радиусы окружности;
BC = CO + OB — диаметр окружности;

Радиус окружности принято обозначать маленькой либо большой буквой, r или R.
Диаметр окружности обозначают буквой D.

Диаметр окружности условно состоит из двух
радиусов и равен длинам этих радиусов.

Длину радиуса окружности можно найти через диаметр окружности.
Для этого достаточно разделить на два длину диаметра окружности,
получившееся число и будет радиусом.

Формула радиуса окружности через диаметр:

Формула диаметра окружности через радиус:

Также, окружность, может быть вписанной в фигуру, описанной
около фигуры; или вообще может быть не вписана и не описана.
Формула радиуса окружности зависит от того находится фигура
внутри окружности, или окружность находится около фигуры.

Существует радиус вписанной окружности
и радиус описанной окружности.

Формулы радиуса вписанной и радиуса описанной окружностей
зависят в первую очередь от геометрической фигуры.

Радиус вписанной окружности — это радиус окружности,
которая вписана в геометрическую фигуру.

Радиус описанной окружности — это радиус окружности,
которая описана около геометрической фигуры.

источники:

http://exceltut.ru/radius-chto-eto-takoe-i-kak-najti-radius-okruzhnosti/

http://colibrus.ru/radius-i-diametr-okruzhnosti/

Источник

Если окружность задана уравнением вида

$[{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2},]$

найти центр (a;b) и радиус R такой окружности несложно.

Примеры.

Определить по уравнению окружности координаты её центра и радиуса:

$[1){(x - 3)^2} + {(y - 7)^2} = 4;]$

$[2){(x + 2)^2} + {(y - 5)^2} = 1;]$

$[3){x^2} + {(y + 3)^2} = 9;]$

$[4){(x - 6)^2} + {y^2} = 5;]$

$[5){x^2} + {y^2} = 11.]$

Решение:

$[1){(x - 3)^2} + {(y - 7)^2} = 4;]$

a=3, b=7, R²=4.

Таким образом, центр данной окружности — точка (3;7), радиус R=2.

$[2){(x + 2)^2} + {(y - 5)^2} = 1;]$

a=-2, b=5, R²=1. Окружность с центром в точке (-2;5) и радиусом 1.

$[3){x^2} + {(y + 3)^2} = 9;]$

a=0, b=-3, R²=9.

Центр окружности — (0;-3), радиус R=3.

$[4){(x - 6)^2} + {y^2} = 5;]$

a=6, b=0, R²=5.

Центр — в точке (6;0), радиус R=√5.

$[5){x^2} + {y^2} = 11.]$

Это уравнение задаёт окружность с центром в начале координат. Центр — O(0;0), радиус R=√11.

Чтобы найти центр и радиус окружности, заданной уравнением вида

$[{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0,]$

нужно дополнить его до полных квадратов, чтобы привести к привычному виду.

Для этого сначала сгруппируем слагаемые

$[({x^2} - 2ax) + ({y^2} - 2by) + c = 0,]$

затем прибавим и вычтем квадрат второго слагаемого из формулы квадрата разности (2ax- удвоенное произведение первого слагаемого на второе. Первое — x, второе — a)

$[({x^2} - 2ax + {a^2}) - {a^2} + ({y^2} - 2by + {b^2}) - {b^2} + c = 0.]$

Отсюда

$[{(x - a)^2} + {(y - b)^2} + c - {a^2} - {b^2} = 0,]$

$[{(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {a^2} + {b^2} - c.]$

При a²+b²-c>0 это уравнение задаёт окружность с радиусом

$[R = sqrt {{a^2} + {b^2} - c} .]$

При a²+b²-c=0 уравнению удовлетворяют координаты единственной точки (a;b).

При a²+b²-c<0 нет ни одной точки, удовлетворяющей этому уравнению.

Примеры.

Найти координаты центра и радиус окружности:

$[1){x^2} + {y^2} + 10x - 6y - 15 = 0;]$

$[2){x^2} + {y^2} - 5x + 4 = 0;]$

$[3)3{x^2} + 3{y^2} - 4x - 9y + 4 = 0.]$

Решение:

$[1){x^2} + {y^2} + 10x - 6y - 15 = 0]$

Группируем слагаемые

$[({x^2} + 10x) + ({y^2} - 6y) - 15 = 0]$

Выделяем в уравнении полные квадраты. В первых скобках удвоенное слагаемое 10x представляем как 10x=2·a·5 (чтобы получить 2ab для формулы a²+2ab+b²=(a+b)²). Получается, что b=5. Если прибавить и вычесть b², результат не изменится:

$[{x^2} + 10x = ({x^2} + 2 cdot x cdot 5 + {5^2}) - {5^2}.]$

Аналогично

$[{y^2} - 6y = ({y^2} - 2 cdot y cdot 3 + {3^2}) - {3^2}.]$

Таким образом,

$[({x^2} + 2 cdot x cdot 5 + {5^2}) - {5^2} + ({y^2} - 2 cdot y cdot 3 + {3^2}) - {3^2} - 15 = 0]$

$[{(x + 5)^2} + {(y - 3)^2} - 25 - 9 - 15 = 0]$

$[{(x + 5)^2} + {(y - 3)^2} = 49]$

Центром этой окружности является точка (-5;3), радиус R=7.

$[2){x^2} + {y^2} - 5x + 4 = 0]$

$[({x^2} - 5x) + {y^2} + 4 = 0]$

$[({x^2} - 2 cdot x cdot 2,5 + {2,5^2}) - {2,5^2} + {y^2} + 4 = 0]$

$[{(x - 2,5)^2} + {y^2} + 4 - 6,25 = 0]$

$[{(x - 2,5)^2} + {y^2} = 2,25]$

Центр окружности — точка (2,5;0), радиус R=1,5.

$[3)3{x^2} + 3{y^2} - 4x - 9y + 4 = 0]$

Разделим обе части уравнения на 3:

$[{x^2} + {y^2} - frac{4}{3}x - 3y + frac{4}{3} = 0]$

Далее — аналогично

$[({x^2} - frac{4}{3}x) + ({y^2} - 3y) + frac{4}{3} = 0]$

$[({x^2} - 2 cdot x cdot frac{2}{3} + {(frac{2}{3})^2}) - {(frac{2}{3})^2} + ({y^2} - 2 cdot y cdot frac{3}{2} + {(frac{3}{2})^2}) - ]$

$[ - {(frac{3}{2})^2} + frac{4}{3} = 0]$

$[{(x - frac{2}{3})^2} + {(y - frac{3}{2})^2} - frac{{{4^{backslash 4}}}}{9} - frac{{{9^{backslash 9}}}}{4} + frac{{{4^{backslash 12}}}}{3} = 0]$

$[{(x - frac{2}{3})^2} + {(y - frac{3}{2})^2} = frac{{49}}{{36}}]$

Центр этой окружности лежит в точке

$[(frac{2}{3};frac{3}{2}),R = frac{7}{6}.]$

Источник

Основные понятия

Прежде чем погружаться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.

Круг — часть плоскости, которая лежит внутри окружности. Иначе говоря, плоская фигура, ограниченная окружностью, как мяч и блюдце.

Возможно тебе интересно узнать — как найти длину окружности?

Получай лайфхаки, статьи, видео и чек-листы по обучению на почту

Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут

Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас

Формула радиуса окружности

Если известна площадь круга

, где S — площадь круга, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Если известна длина

, где C — длина окружности.

Если известен диаметр окружности

, где D — диаметр.

Если известна диагональ вписанного прямоугольника

R = d : 2, где d — диагональ прямоугольника.

, где a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Если известна сторона описанного квадрата

, где a — сторона квадрата.

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности.

Если известны стороны и площадь вписанного треугольника

, где a, b, с — стороны треугольника, S — площадь треугольника.

Если известна площадь и полупериметр описанного треугольника

, где S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, деленная на два.

Если известна площадь сектора и его центральный угол

, где S — площадь сектора круга, α — центральный угол.

Площадь сектора круга — это часть S всей фигуры, ограниченной окружностью с радиусом.

Если известна сторона вписанного правильного многоугольника

, где a — сторона правильного многоугольника, N — количество сторон.

В правильном многоугольнике все стороны равны.

Скачать онлайн таблицу

Источник

Как найти радиус и центр окружности

Окружность на плоскости — это множество точек на плоскости равноудаленных от точки центра. На рисунке данная точка обозначена C.

Окружность радиуса R с центром в начале координат представляется уравнением:

Окружность радиуса R с центром в точке C(a;b) представляется уравнением:

Расстояние от центра окружности С(a;b) до точки M(x;y) называется радиусом окружности R (на рисунке красная линия).
Это уравнение можно записать в виде:

Если уравнение помножить на любое число A, то получим

Примечание
Окружность относится к линии второго порядка, так как представляется уравнением второй степени.

Необходимые условия для этого:
1. Отсутствие в уравнение второй степени члена с произведением xy;
2. Коэффициенты при x² и y² были равны в уравнение вида:

3. Если выполняется неравенство

Как найти радиус и центр окружности

Уравнение Ax²+Bx+Ay²+Cy+D=0 если оно удовлетворяет примечаниям (1, 2 и 3), то тогда (a;b) и радиус R окружности можно найти по формулам:

Пример 1
Уравнение 5x²-10x+5y²+20y-20=0
Здесь
A=5, B=-10, C=20, D=-20
Оно удовлетворяет примечаниям 1, 2 и выполняется неравенство

Решая, получаем что центр есть (1;-2), а радиус R=3

Анимационный график окружности

Пример 2
Уравнение второй степени x²+4xy+y²=1 не является окружностью, так как в нём есть член 4xy.

Пример 3
Уравнение второй степени 4x²+9y²=36 не представляет окружность, так как в нём коэффициенты при x² и y² не равны.

8021

Источник

Как найти радиус круга

2 методика:Вычисление радиуса по основным величинамВычисление радиуса по трем точкам на окружности

Радиус круга — отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой на его окружности. Значение радиуса используется для вычисления длины окружности, площади круга, диаметра окружности, а также при нахождении объема трехмерных фигур, например, объема цилиндра. Радиус круга равен d/2, где d – диаметр круга; C/2π, где C – длина окружности; √(A/π), где A – площадь круга.

Шаги

Метод 1 из 2: Вычисление радиуса по основным величинам

Определение основных величин

1
Радиус можно найти по известным значениям основных величин круга/окружности. К таким величинам относятся:
- Длина окружности (C).
- Диаметр (D) (отрезок, соединяющей две точки на окружности и проходящий через центр круга).
- Радиус (R) (отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой на окружности).
- Площадь (A) (пространство, ограниченное окружностью).
- Число Пи (π) (математическая постоянная, представляющая отношение длины окружности к ее диаметру; это число применяется при вычислении всех основных величин круга и обычно округляется до 3,14).
2
Ниже приведены формулы для вычисления диаметра, длины окружности и площади круга; каждая из них включает радиус. Запомните: обособив радиус на одной стороне формулы, вы сможете найти его по известным значениям основных величин круга/окружности.
- D = 2r. Диаметр вдвое больше радиуса.
- С = πD = 2πr. Длина окружности равна произведению π на ее диаметр. Так как диаметр в два раза больше радиуса, то длина окружности равна произведению π на двойку и на радиус этой окружности.
- A = πr^2. Площадь круга равна произведению квадрата его радиуса на π.

Вычисление радиуса по формулам

1
Если вам дан диаметр, разделите его пополам (на 2) и получите радиус. Так как D = 2r, то r =D/2.
- Например, если диаметр круга равен 10 м, то радиус круга равен 10/2 = 5 м.
2
Если вам дана длина окружности, разделите ее на 2π и получите радиус. Так как C = 2πr, то r = C/2π.
- Например, если длина окружности равна 10 см, то сначала разделите это значение на π: 10/π = 3,14 см. Теперь разделите полученное значение на 2, чтобы вычислить радиус: 3,14/2 = 1,59 см.
3
Если вам дана площадь круга, разделите ее на π и из полученного значения извлеките квадратный корень, чтобы найти радиус. Так как А = πr2, то r = √(A/π).
- Например, площадь круга равна 10 м2. Сначала разделите это значение на π: 10/π = 3,14. Теперь из полученного значения извлеките квадратный корень, чтобы найти радиус: √3,14 = 1,78 м.

Метод 2 из 2: Вычисление радиуса по трем точкам на окружности

1
Если вам не даны значения диаметра, длины окружности или площади круга, вы можете вычислить радиус круга по координатам трех точек на окружности (назовем их P1, P2 и P3). Это делается при помощи одной из двух формул, приведенных ниже.
- Формулы для нахождения радиуса круга по трем точкам, лежащем на окружности:
  - (abc)/(√(a + b + c)(b + c — a)(c + a — b)(a + b — c)), где a, b, c – стороны треугольника с вершинами в точках P1, P2, P3.[1]
  - a/(2sin(θ)), где a –сторона треугольника с вершинами в точках P1, P2, P3; θ – противолежащий угол.
- Во второй формуле вам нужно знать только координаты двух точек и угол; если угол не дан, вам понадобятся координаты всех трех точек.
2
Найдите расстояние между каждыми двумя точками, чтобы определить значения сторон треугольника. Для этого подставьте известные вам координаты в формулу: Расстояние = √((x2 — x1)2 + (y2 — y1)2), где x1,y1 — координаты первой точки; x2,y2 — координаты второй точки.
- Пример. На окружности круга лежат точки с координатами (3,0), (3,8) и (-1, 4). Найдите расстояние между точками (3,8) и (-1,4) по следующей формуле (то есть вы находите сторону треугольника):
  - √((x2 — x1)2 + (y2 — y1)2)
  - √((-1 — 3)2 + (4 — 8)2)
  - √((-4)2 + (-4)2)
  - √(16 + 16) = √(32) = 5,66
3
Найдите расстояние между двумя другими парами точек (то есть найдите две другие стороны треугольника) при помощи процесса, описанного в предыдущем шаге. Подставьте известные вам координаты в ту же формулу: Расстояние = √((x2 — x1)2 + (y2 — y1)2).
- В нашем примере вам необходимо найти расстояние между точками (3,0) и (3,8) и между точками (3,0) и (-1, 4). В первой паре меняется только координата «у», поэтому расстояние равно 8. Расстояние между второй парой точек вычислите следующим образом:
  - √((x2 — x1)2 + (y2 — y1)2)
  - √((-1 — 3)2 + (4 — 0)2)
  - √((-4)2 + (4)2)
  - √(16 + 16) = √(32) = 5,66. Таким образом, стороны треугольника равны 5,66; 8; 5,66.
4
Воспользуйтесь формулой (abc)/(√(a + b + c)(b + c — a)(c + a — b)(a + b — c)) для вычисления радиуса круга (a, b, c – стороны треугольника). Для этого подставьте в эту формулу найденные вами стороны треугольника.
- В нашем примере а = 5,66; b = 8; с = 5,66.
  - (abc)/(√(a + b + c)(b + c — a)(c + a — b)(a + b — c))
  - ((5,66)(8)(5,66))/(√(5,66 + 8 + 5,66)(8 + 5,66 – 5,66)(5,66 + 5,66 — 8)(5,66 + 8 – 5,66))
  - (256,28)/(√(19,32)(8)(3,32)(8))
  - (256,28)/(√(4105,11))
  - (256,28)/(64,07) = 4. Радиус нашего круга равен 4. Этот ответ верный, потому что сторона треугольника, равная 8, проходит через центр круга, то есть это его диаметр. Так как радиус равен половине диаметра, то 8/2 = 4.
5
Теперь найдем угол, противолежащий найденной стороне треугольника, по формуле (теорема косинусов): c2 = a2 + b2 — 2abCos(θ), где a, b, c – стороны треугольника, θ — угол между сторонами а и b, противолежащий стороне с. Найдя противолежащий угол, вы можете вычислить радиус по формуле: a/(2sin(θ))).
- В нашем примере а = 5,66; b = 8; с = 5,66. Найдем угол, противолежащий первой стороне.
  - c2 = a2 + b2 — 2abCos(θ)
  - 5,662 = 5,662 + 82 — 2(5,66)(8)Cos(θ)
  - 32,04 = 32,04 + 64 – 90,56Cos(θ)
  - -64 = — 90,56Cos(θ)
  - 0.707 = Cos(θ)
  - θ = 45o (для нахождения угла необходимо вычислить arcos).
6
Подставьте известные вам значения стороны треугольника и противолежащего угла в формулу а/(2sin(θ)), чтобы найти радиус круга. Эта формула выведена из теоремы синусов, которая гласит, что отношение стороны треугольника к ее противолежащему углу равно удвоенному радиусу (или диаметру) окружности, описанной вокруг треугольника, то есть а/sin(θ) = 2r.[2]
- В нашем примере сторона равна 5,66, а противолежащий угол равен 45o. Подставьте эти значения в формулу.
  - a/(2sin(θ))
  - 5,66/(2sin(45o))
  - 5,66/ 2(0,707)
  - 5,66/1,414 = 4. Обратите внимание, что вы получили такое же значение радиуса, как и при использовании формулы ((abc)/(√(a + b + c)(b + c — a)(c + a — b)(a + b — c))).

Советы

Пользуйтесь калькулятором для проверки ответа.
Для получения более точных результатов на калькуляторе используйте клавишу π.

Источник