Усечённый конус — тело вращения, которое получается при вращении прямоугольной трапеции вокруг меньшей боковой стороны.
 |
R2 — радиус меньшего основания;R1 — радиус большего основания;
(l) — образующая; (H) — высота |
Площадь боковой поверхности усечённого конуса
радиусы оснований, (l) — образующая.
Sполн.=Sбок.+S1+S2,гдеS1,S2
— площади оснований усечённого конуса.
Объём усечённого конуса
V=13π⋅H⋅(R12+R1⋅R2+R22)
, где (H) — высота усечённого конуса.
При решении задач чаще всего достаточно нарисовать только осевое сечение усечённого конуса, которое является равнобедренной трапецией.
Источники:
Рисунки © Якласс
ответы
ваш ответ
Можно ввести 4000 cимволов
отправить
дежурный
Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия пользовательского соглашения
похожие темы
похожие вопросы 5
Светило науки — 7292 ответа — 165986 раз оказано помощи
Ответ: 6(ед. длины)
Объяснение:
Если усеченный конус вписан в шар, то окружности обоих его оснований лежат на поверхности шара.
Осевое сечение вписанного в шар усеченного конуса – вписанная в окружность трапеция, причем равнобедренная ( свойство).
Обозначим осевое сечение АВСD, центр шара О, центры оснований конуса О1 и О2 ( см. рисунок).
Соединим О₁ и О₂. ВО₁=О₁С=r; АО₂=О₂D=8.
Центр шара принадлежит О₁О₂; О₁О₂ перпендикулярен основаниям трапеции.
Из прямоугольного ∆ ОО₂D по т.Пифагора отрезок ОО₂ =√(OD²-O₂D²)=√36=6. Тогда ОО₁=О₁О₂-ОО₂=14-6=8.
Из прямоугольного ∆ ОСО₁ по т.Пифагора отрезок О₁С=6 ( это искомый радиус меньшего основания конуса).
В данной публикации мы рассмотрим определение и основные элементы усеченного конуса. Представленная информация сопровождается наглядными рисунками для лучшего восприятия.
- Определение усеченного конуса
- Основные элементы усеченного конуса
Определение усеченного конуса
Усеченный конус (конический слой) – это геометрическая фигура в пространстве; часть конуса, оставшаяся между его основанием и секущей плоскостью, параллельной этому основанию.
Примечание: В рамках данной публикации мы будем рассматривать самый распространенный вид усеченного конуса – прямой круговой.
Усеченный конус образуется путем вращения на 360° прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основанию, или равнобедренной трапеции вокруг своей оси симметрии на 180°.
На рисунке ниже конус образован путем вращения равнобедренной трапеции ABCD вокруг оси O1O2.
Основные элементы усеченного конуса
- R – радиус бОльшего основания конуса, являющегося кругом, с центром в точке O1 и диаметром AD.
- r – радиус меньшего основания конуса с центром в точке O2, диаметр – отрезок BC.
- h (O1O2) – высота конуса; одновременно является высотой трапеции ABCD и осью симметрии обеих фигур.
- l (AB, CD и т.д.) – образующие конуса; это отрезки, соединяющие две точки на окружностях двух его оснований (с минимально возможным расстоянием). Одновременно являются боковыми сторонами трапеции (осевого сечения конуса).
- Осевое сечение усеченного конуса – это равнобедренная трапеция ABCD, образованная в результате пересечения конуса плоскостью, проходящей через его ось.
- Поверхность усеченного конуса – боковая поверхность и поверхность двух его оснований. Формулы для расчета площади поверхности, а также объема усеченного конуса представлены в отдельных публикациях.
Развёртка боковой поверхности усеченного конуса выглядит следующим образом:
Длина бОльшей (меньшей) дуги равна длине окружности соответствующего основания конуса (2πR или 2πr).
Слайд 1Усеченный конус.
МОУ СОШ №256 г.Фокино
Слайд 2 Усеченным конусом называется часть полного конуса, заключенная между
основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Круги, лежащие в параллельных
плоскостях, называются основаниями усеченного конуса.
Слайд 3 Образующей усеченного конуса называется часть образующей полного конуса,
заключенная между основаниями. Высотой усеченного конуса называется расстояние между основаниями.
Слайд 4 Пусть в конусе, высота которого известна, проведено сечение,
находящееся на расстоянии три от вершины. Чему равна образующая получившегося
усеченного конуса, если известна образующая полного конуса?
8
?
Слайд 5 Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при
вращении прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основанию.
Слайд 6 Пусть дан усеченный конус, радиусы оснований и высота
которого известны. Найдите образующую усеченного конуса.
8
?
Слайд 7 Прямая, соединяющая центры оснований, называется осью усеченного конуса.
Сечение, проходящее через ось, называется осевым. Осевое сечение является равнобедренной
трапецией.
Слайд 8 Найдите площадь осевого сечения, если известны радиус нижнего
основания, высота и образующая.
36
?
Слайд 9Боковая поверхность усеченного конуса. Площадь боковой поверхности
усеченного конуса.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей
оснований на образующую.
Слайд 10Доказательство:
Боковую поверхность усеченного конуса будем понимать как предел,
к которому стремится боковая поверхность вписанной в этот конус правильной
усеченной пирамиды, когда число боковых граней неограниченно увеличивается.
Слайд 11Доказательство:
Впишем в конус правильную пирамиду. Ее боковая поверхность
состоит из трапеций.
Слайд 12 Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно рассматривать как
разность между площадями боковых поверхностей двух конусов. Поэтому развертка усеченного
конуса – это часть круглого кольца.
Замечание:
Слайд 13 Усеченный конус получен от вращения прямоугольной трапеции вокруг
боковой стороны, перпендикулярной основаниям, Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса,
если известны основания и боковая сторона трапеции.
?
Слайд 14Задача.
Радиус меньшего основания усеченного конуса равен 5, высота равна 6,
а расстояние от центра меньшего основания до окружности большего основания
равно 10. Найдите площадь боковых поверхностей усеченного и полного конусов.
Слайд 15 Достроим усеченный конус до полного и проведем осевое
сечение.
Решение:
Слайд 161) Вычислим радиус большего основания.
Решение:
Слайд 17 2) Найдем боковую сторону трапеции –образующую усеченного конуса.
Решение:
Слайд 18 3) Используя подобие треугольников, найдем образующую полного конуса.
Решение:
~
Слайд 19 4) Подставим найденные значения в формулы для площадей
боковой поверхности полного и усеченного конусов.
Решение:
Слайд 20Формула объема усеченного конуса.
Объем усеченного конуса равен сумме объемов трех
конусов, имеющих одинаковую высоту с усеченным конусом, а основаниями: один
– нижнее основание этого конуса, другой – верхнее, а третий – круг, радиус которого есть среднее геометрическое между радиусами верхнего и нижнего оснований.
Слайд 21 Поместим на верхнем основании усеченного конуса малый конус,
дополняющий его до полного и рассмотрим объем его как разность
объемов двух конусов.
Доказательство:
Слайд 22 Вычислим высоту полного конуса из подобия треугольников.
Доказательство:
~
Слайд 23 Объемы полного и дополнительного конусов относятся как кубы
радиусов оснований.
Доказательство:
~
Слайд 24 Вычтем из объема большого конуса объем малого конуса.
Доказательство:
Слайд 25 Найдите объем усеченного конуса, если известны его высота
и радиусы оснований.
149π
?
Слайд 26Подобные цилиндры и конусы.
Подобные цилиндры или конусы можно рассматривать как
тела, полученные от вращения подобных прямоугольников или прямоугольных треугольников.
Слайд 27 Сечение, параллельное основанию конуса, отсекает от него малый
конус, подобный большому.
Слайд 28 В цилиндре проведено сечение, параллельное основанию. Будет ли
малый цилиндр, который отсекается этим сечением, подобен большому?
?
Слайд 29 Площади боковых поверхностей подобных цилиндров и конусов относятся
как квадраты радиусов или высот, а объемы – как кубы
радиусов или высот.
Слайд 30 В конусе, высота которого известна, проведено сечение, параллельное
основанию. Известно также соотношение объемов малого и большого конусов. На
каком расстоянии от основания находится сечение?
?
2
Слайд 31 Радиусы оснований усеченного конуса относятся как 2:3. Высота конуса
разделена на три равные части, и через точки деления проведены
плоскости, параллельные основаниям. Найти, в каком отношении разделился объем усеченного конуса.
Задача.
Слайд 32 Зная, что радиусы оснований конуса относятся как два
к трем, обозначим радиусы как 2а и 3а и рассмотрим
осевое сечение конуса.
Решение:
Слайд 33 1) Используя подобие, найдем радиусы проведенных сечений.
Решение:
Слайд 34 2) Достроив усеченный конус до полного, найдем, какую
часть от полного конуса составляют меньшие конусы.
Решение:
V – объем наибольшего
конуса
Слайд 35 3) Определим, какую часть от объема полного конуса
составляют усеченные конусы, расположенные между соседними сечениями и найдем отношение
объемов этих конусов.
Решение:
Ответ:
V1 :V2 :V3 = 127 : 168 : 217
