Как найти радиус кривизны эллипса

From Wikipedia, the free encyclopedia

This article is about the general mathematical concept. For its optical applications, see Radius of curvature (optics).

In differential geometry, the radius of curvature (Rc), R, is the reciprocal of the curvature. For a curve, it equals the radius of the circular arc which best approximates the curve at that point. For surfaces, the radius of curvature is the radius of a circle that best fits a normal section or combinations thereof.^[1][2][3]

Definition[edit]

In the case of a space curve, the radius of curvature is the length of the curvature vector.

In the case of a plane curve, then R is the absolute value of^[3]

where s is the arc length from a fixed point on the curve, φ is the tangential angle and κ is the curvature.

Formula[edit]

In 2D[edit]

If the curve is given in Cartesian coordinates as y(x), i.e., as the graph of a function, then the radius of curvature is (assuming the curve is differentiable up to order 2):

and |z| denotes the absolute value of z.
Also in Classical mechanics branch of Physics Radius of curvature is given by (Net Velocity)²/Acceleration Perpendicular

If the curve is given parametrically by functions x(t) and y(t), then the radius of curvature is

Heuristically, this result can be interpreted as^[2]

In n dimensions[edit]

If γ : ℝ → ℝⁿ is a parametrized curve in ℝⁿ then the radius of curvature at each point of the curve, ρ : ℝ → ℝ, is given by^[3]

.

As a special case, if f(t) is a function from ℝ to ℝ, then the radius of curvature of its graph, γ(t) = (t, f(t)), is

Derivation[edit]

Let γ be as above, and fix t. We want to find the radius ρ of a parametrized circle which matches γ in its zeroth, first, and second derivatives at t. Clearly the radius will not depend on the position γ(t), only on the velocity γ′(t) and acceleration γ″(t). There are only three independent scalars that can be obtained from two vectors v and w, namely v · v, v · w, and w · w. Thus the radius of curvature must be a function of the three scalars |γ′(t)|², |γ″(t)|² and γ′(t) · γ″(t).^[3]

The general equation for a parametrized circle in ℝⁿ is

where c ∈ ℝⁿ is the center of the circle (irrelevant since it disappears in the derivatives), a,b ∈ ℝⁿ are perpendicular vectors of length ρ (that is, a · a = b · b = ρ² and a · b = 0), and h : ℝ → ℝ is an arbitrary function which is twice differentiable at t.

The relevant derivatives of g work out to be

If we now equate these derivatives of g to the corresponding derivatives of γ at t we obtain

These three equations in three unknowns (ρ, h′(t) and h″(t)) can be solved for ρ, giving the formula for the radius of curvature:

or, omitting the parameter t for readability,

Examples[edit]

Semicircles and circles[edit]

For a semi-circle of radius a in the upper half-plane

For a semi-circle of radius a in the lower half-plane

The circle of radius a has a radius of curvature equal to a.

Ellipses[edit]

In an ellipse with major axis 2a and minor axis 2b, the vertices on the major axis have the smallest radius of curvature of any points, R = b²/a; and the vertices on the minor axis have the largest radius of curvature of any points, R = a²/b.

The ellipse’s radius of curvature, as a function of parameter t

^[4]

And as a function of θ

Where e is the eccentricity of the ellipse and is given by:

Applications[edit]

• For the use in differential geometry, see Cesàro equation.
• For the radius of curvature of the earth (approximated by an oblate ellipsoid); see also: arc measurement
• Radius of curvature is also used in a three part equation for bending of beams.
• Radius of curvature (optics)
• Thin films technologies
• Printed electronics
• Minimum railway curve radius
• AFM probe

Stress in semiconductor structures[edit]

Stress in the semiconductor structure involving evaporated thin films usually results from the thermal expansion (thermal stress) during the manufacturing process. Thermal stress occurs because film depositions are usually made above room temperature. Upon cooling from the deposition temperature to room temperature, the difference in the thermal expansion coefficients of the substrate and the film cause thermal stress.^[5]

Intrinsic stress results from the microstructure created in the film as atoms are deposited on the substrate. Tensile stress results from microvoids (small holes, considered to be defects) in the thin film, because of the attractive interaction of atoms across the voids.

The stress in thin film semiconductor structures results in the buckling of the wafers. The radius of the curvature of the stressed structure is related to stress tensor in the structure, and can be described by modified Stoney formula.^[6] The topography of the stressed structure including radii of curvature can be measured using optical scanner methods. The modern scanner tools have capability to measure full topography of the substrate and to measure both principal radii of curvature, while providing the accuracy of the order of 0.1% for radii of curvature of 90 meters and more.^[7]

See also[edit]

References[edit]

Further reading[edit]

• do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. ISBN 0-13-212589-7.

External links[edit]

• The Geometry Center: Principal Curvatures
• 15.3 Curvature and Radius of Curvature
• Weisstein, Eric W. «Principal Curvatures». MathWorld.
• Weisstein, Eric W. «Principal Radius of Curvature». MathWorld.

Российская кривая: коническое сечение Эллипс (красный), полученный как пересечение конуса с наклонной плоскостью. Эллипс: обозначения Эллипсы: примеры с возрастающим эксцентриситетом

В математике, эллипс — это плоская кривая , окружающая два фокальные точки, так что для всех точек на кривой сумму двух расстояний до фокальных точек является постоянной. Таким образом, он обобщает круг , который представляет собой особый тип эллипса, в котором две точки фокусировки совпадают. Удлинение эллипса измеряется его эксцентриситетом e, числом от e = 0 (предельный случай окружности) до e = 1 (предельный случай бесконечного удлинения, больше не эллипс, а парабола ).

Эллипс имеет простое алгебраическое решение для своей площади, но только приближения для его периметра, для которого требуется интегрирование для получения точного решения.

Анали уравнение стандартного эллипса с центром в начале координат с шириной 2a и высотой 2b имеет вид:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1. { displaystyle { frac {x ^ {2 }} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1.}

Предполагая, что a ≥ b, фокусы равны (± c, 0) для c = a 2 — b 2 { displaystyle c = { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}. Стандартное параметрическое уравнение:

(x, y) = (a cos ⁡ (t), b sin ⁡ (t)) для 0 ≤ t ≤ 2 π. { displaystyle (x, y) = (a cos (t), b sin (t)) quad { text {for}} quad 0 leq t leq 2 pi.}

эллипсы являются закрытым типом конического сечения : плоская кривая, отслеживающая пересечение конуса с плоскостью (см. рисунок). Эллипсы имеют много общего с двумя другими формами конических сечений, параболами и гиперболами, обе из которых являются открытыми и неограниченными. Угловое поперечное сечение цилиндра также является эллипсом.

Эллипс также может быть определен в терминах одной точки фокусировки и линии за пределами эллипса, называемой направляющей : для всех точек на эллипсе отношение расстояния к фокус, расстояние до директрисы является постоянным. Это постоянное соотношение является упомянутым выше эксцентриситетом:

e = ca = 1 — b 2 a 2 { displaystyle e = { frac {c} {a}} = { sqrt {1 — { frac {b ^ { 2}} {a ^ {2}}}}}}.

Эллипсы распространены в физике, астрономии и инженерии. Например, орбита каждой планеты в солнечной системе представляет собой эллипс с Солнцем в одной точке фокусировки (точнее, фокус — это барицентр пары Солнце — планета). То же верно и для спутников, вращающихся вокруг планет, и для всех других систем двух астрономических тел. Формы планет и звезд часто хорошо описываются эллипсоидами. Круг, если смотреть под боковым углом, как эллипс: то есть эллипс — это изображение круга под параллельной или перспективной проекцией. Эллипс также является самой простой фигурой Лиссажу, образованной, когда горизонтальные и вертикальные движения синусоиды с одинаковой точностью: аналогичный эффект приводит к эллиптической поляризации света в оптика.

Имя λλειψις (élleipsis, «упущение») было дано Аполлонием Пергским в его Кониксах.

Содержание

• 1 Определение как геометрическое место точек
• 2 В декартовых координатах
  • 2.1 Стандартное уравнение
  • 2.2 Параметры
    • 2.2.1 Главные оси
    • 2.2.2 Линейный эксцентриситет
    • 2.2.3 Эксцентриситет
    • 2.2.4 Semi-latus rectum
  • 2.3 Касательная
  • 2.4 Сдвинутый эллипс
  • 2.5 Общий эллипс
• 3 Параметрическое представление
  • 3.1 Стандартное параметрическое представление
  • 3.2 Рациональное представление
  • 3.3 Наклон касательной как параметр
  • 3.4 Общий эллипс
• 4 Полярные формы
  • 4.1 Полярная форма относительно центра
  • 4.2 Полярная форма относительно фокуса
• 5 Эксцентриситет и свойство директрисы
• 6 Свойство отражения от фокуса к фокусу
• 7 Сопряженные диаметры
  • 7.1 Теорема Аполлония о сопряженных диаметрах
• 8 Ортогональные касательные
• 9 Рисование эллипсов
  • 9.1 Построение точки де Ла Хира
  • 9.2 Штифты Метод струн
  • 9.3 Методы бумажной ленты
  • 9.4 Аппроксимац ия соприкаса с кругами
  • 9.5 Поколение Штейнера
  • 9.6 Как гипотрохоида
• 10 вписанные углы и трехточечная форма
  • 10.1 окружности
    • 10.1.1 теорема вписанных углов для окружностей
    • 10.1.2 трехточечная форма уравнения окружности
  • 10.2 эллипсы
    • 10.2.1 вписанные Теорема об углах для эллипсов
    • 10.2.2 Трехточечная форма уравнения эллипса
• 11 Соотношение полюсов и полюсов
• 12 Метрические свойства
  • 12.1 Площадь
  • 12.2 Окружность
  • 12.3 Кривизна
• 13 В геометрии треугольника
• 14 В виде плоских сечений квадрик
• 15 Приложения
  • 15.1 Физика
    • 15.1.1 Эллиптические отражатели и акустика
    • 15.1.2 Планетарные орбиты
    • 15.1.3 Гармонические осцилляторы
    • 15.1.4 Просмотр фаз
    • 15.1.5 Эллиптические шестерни
    • 15.1.6 Оптика
  • 15.2 Статистика и финансы
  • 15.3 Компьютерная графика
  • 15.4 Теория оптимизации
• 16 См. Также
• 17 Примечания
• 18 Ссылки
• 19 Внешние ссылки

Определение как геометрическое место точек

Эллипс: определение по сумме расстояний до фокусов Эллипс: определение по фокусу и круговой направляющей

эллипс может быть определен геометрически как набор или геометрическое место точек на евклидовой плоскости:

Даны две фиксированные точки F 1, F 2 { displaystyle F_ {1}, F_ {2}}называется фокусами и расстояние 2 a { displaystyle 2a}, больше, чем расстояние между фокусами, эллипс — это набор точек P { displaystyle P}такие, что сумма расстояний | P F 1 |, | P F 2 | { displaystyle | PF_ {1} |, | PF_ {2} |}равно 2 a { displaystyle 2a}:E = {P ∈ R 2 ∣ | P F 2 | + | P F 1 | = 2 а}. { Displaystyle E = {P in mathbb {R} ^ {2} , mid , | PF_ {2} | + | PF_ {1} | = 2a } .}

Средняя точка C { displaystyle C}отрезка линии, соединяющего фокусы, называется центр эллипса. Линия, проходящая через фокус, называется большая осью, а линия, перпендикулярная ей, проходящая через центр, — малой осью. Большая ось пересекает эллипс в точках вершин V 1, V 2 { displaystyle V_ {1}, V_ {2}}, которые имеют расстояние a { displaystyle a}в центре. Расстояние c { displaystyle c}фокусов до центра называется фокусным расстоянием или линейным эксцентитетом. Частное e = c a { displaystyle e = { tfrac {c} {a}}}— это эксцентриситет.

Случай F 1 = F 2 { displaystyle F_ {1} = F_ {2}}дает круг и включен как особый тип эллипса.

Уравнение | P F 2 | + | P F 1 | Знак равно 2 а { Displaystyle | PF_ {2} | + | PF_ {1} | = 2a}можно просмотреть по-другому (см. Рисунок):

If c 2 { displaystyle c_ {2}}— круг со средней точкой F 2 { displaystyle F_ {2}}и радиусом 2 a { displaystyle 2a}, тогда расстояние от точки P { displaystyle P}до окружности c 2 { displaystyle c_ {2}}равно расстояние до фокуса F 1 { displaystyle F_ {1}}:

| P F 1 | = | P c 2 |. { displaystyle | PF_ {1} | = | Pc_ {2} |.}

c 2 { displaystyle c_ {2}}называется круговой направляющей (связано с фокусом F 2 { displaystyle F_ {2}}) эллипса. Это свойство не следует путать с определением эллипса с помощью прямой линии ниже.

Используя сферы Данделина, можно доказать, что любое плоское сечение конуса с плоскостью является эллипсом, при условии, что плоскость не содержит вершины и имеет наклон меньше, чем у прямого на конусе.

В декартовых координатах

Параметры формы:

• a: большая полуось,
• b: малая полуось,
• c: линейный эксцентриситет,
• p: semi-latus rectum (обычно ℓ { displaystyle ell}).

Стандартное уравнение

Стандартная форма эллипса в декартовых координатах предполагает, что начало координат находится в центре эллипса ось x — большая ось, и:

фокусы — это точка F 1 = (c, 0), F 2 = (- c, 0) { displaystyle F_ {1} = (c, , 0), F_ { 2} = (- c, , 0)},

вершинами являются V 1 = (a, 0), V 2 = (- a, 0) { displaystyle V_ {1} = (a, , 0), V_ {2} = (- a, , 0)}.

для произвольной точки (x, y) { displaystyle (x, y)}расстояние до фокуса (с, 0) { displaystyle (c, 0)}равно (x — c) 2 + y 2 { displaystyle { sqrt {(xc) ^ {2 } + y ^ {2}}}}и в другом фокусе (x + c) 2 + y 2 { displaystyle { sqrt {(x + c) ^ {2} + y ^ {2}}}}. Следовательно, точка (x, y) { displaystyle (x, , y)}находится на эллипсе всякий раз, когда:

(x — c) 2 + y 2 + (x + c) 2 + y 2 = 2 a. { displaystyle { sqrt {(xc) ^ {2} + y ^ {2}}} + { sqrt {(x + c) ^ {2} + y ^ {2}}} = 2a .}

Удаление радикалов подходящими квадратами и использованием b 2 = a 2 — c 2 { displaystyle b ^ {2} = a ^ {2} -c ^ {2}}производит стандартное уравнение эллипса:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1, { displaystyle { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1,}

или, решенное относительно y:

y = ± baa 2 — x 2 = ± (a 2 — x 2) (1 — е 2). { displaystyle y = pm { frac {b} {a}} { sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} = pm { sqrt { left (a ^ {2} — x ^ {2} right) left (1-e ^ {2} right)}}.}

Параметры ширины и высоты a, b { displaystyle a, ; b}называются большой и малой полуосями. Верхняя и нижняя точки V 3 = (0, b), V 4 = (0, — b) { displaystyle V_ {3} = (0, , b), ; V_ {4} = (0, , — b)}— совпадающие вершины. Расстояния от точки (x, y) { displaystyle (x, , y)}на эллипсе до левого и правого фокусов равны a + ex { displaystyle a + ex}и a — ex { displaystyle a-ex}.

Из уравнения следует, что эллипс симметричен относительно осей координат и, следовательно, относительно начала координат.

Параметры

Главные оси

В этой статье большая и малая полуоси обозначаются a { displaystyle a}и b { displaystyle b}соответственно, т.е. а ≥ b>0. { displaystyle a geq b>0 .}

В принципе, каноническое уравнение эллипса x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 { displaystyle { tfrac {x ^ {2 }} {a ^ {2}}} + { tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}может иметь a < b {displaystyle a(и, следовательно, эллипс будет быть выше, чем ширина). Эту форму можно преобразовать в стандартную, переставить имена чисел x { displaystyle x}и y { displaystyle y}и имена параметров a { displaystyle a}и b. { Displaystyle b.}

Линейный эксцентриситет

Это расстояние от центра к фокусу: c = a 2 — b 2 { displaystyle c = { sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}}}.

Эксцентриситет

Эксцентриситет можно выразить как:

e = ca = 1 — (ba) 2 { displaystyle e = { frac {c} {a}} = { sqrt {1- left ({ frac {b}) {a}} right) ^ {2}}}},

предположим г а>б. { displaystyle a>b.}Эллипс с одинаковыми осями (a = b { displaystyle a = b}) имеет нулевой эксцентриситет и представляет собой окружность.

-lat7

Длина хорды, проходящей через один очаг, перпендикулярной большой оси, называется latus rectum. Половина ее составляет semi-latus rectum ℓ { displaystyle ell}. Расчет показывает:

ℓ знак равно b 2 a = a (1 — e 2). { Displaystyle ell = { frac {b ^ {2}} {a}} = a left (1-e ^ {2} right).}

Прямая полу-широта ℓ { displaystyle ell}равна радиусу кривизны в вершинах (см. Раздел кривизна).

Касательная

Произвольная линия g { displaystyle g}пересекает эллипс в 0, 1 или 2 точках соответственно называется внешней линией, касательной и с екущей. Через любую точку эллипса есть единственная касательная. Касательная в точке (x 1, y 1) { displaystyle (x_ {1}, , y_ {1})}эллипса x 2 a 2 + y 2 б 2 знак равно 1 { displaystyle { tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}имеет координатное уравнение:

x 1 a 2 x + y 1 b 2 y = 1. { displaystyle { frac {x_ {1}} {a ^ {2}}} x + { frac {y_ { 1}} {b ^ {2}}} y = 1.}

Векторное параметрическое уравнение касательной:

x → = (x 1 y 1) + s (- y 1 a 2 Икс 1 б 2) { Displaystyle { vec {x}} = { begin {pmatrix} x_ {1} \ y_ {1} end {pmatrix}} + s { begin {pmatrix} ; ! — y_ {1} a ^ {2} \; x_ {1} b ^ {2} end {pmatrix}} }с s ∈ R. { displaystyle s in mathbb {R} .}

Доказательство: Пусть (x 1, y 1) { displaystyle (x_ {1}, , y_ {1})}быть точкой на эллипсе и x → = (Икс 1 Y 1) + s (УФ) { textstyle { vec {x}} = { begin {pmatrix} x_ {1} \ y_ {1} end {pmatrix}} + s { begin {pmatrix} u \ v end {pmatrix}}}быть уравнением любого прямого g { displaystyle g}представ (x 1, y 1) { Displaystyle (x_ {1}, , y_ {1})}. Вставка уравнения линии в уравнении эллипса и соблюдение x 1 2 a 2 + y 1 2 b 2 = 1 { displaystyle { frac {x_ {1} ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y_ {1} ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}дает:

(x 1 + su) 2 a 2 + (y 1 + sv) 2 b 2 знак равно 1 ⟹ 2 s (x 1 ua 2 + y 1 vb 2) + s 2 (u 2 a 2 + v 2 b 2) = 0. { displaystyle { frac { left (x_ {1) } + su right) ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac { left (y_ {1} + sv right) ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1 quad Longrightarrow quad 2s left ({ frac {x_ {1} u} {a ^ {2}}} + { frac {y_ {1} v} {b ^ {2}}} вправо) + s ^ {2} left ({ frac {u ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {v ^ {2}} {b ^ {2}}} right) = 0 .}

Тогда есть случаи:

1. x 1 a 2 u + y 1 b 2 v = 0. { displaystyle { frac {x_ {1}} {a ^ {2}}} u + { frac {y_ {1}} {b ^ {2}}} v = 0.}Затем строка g { displaystyle g}и эллипс имеют только точка (x 1, y 1) { displaystyle (x_ {1}, , y_ {1})}в общем, а g { displaystyle g}— ка сательная. Касательное направление имеет перпендикулярный вектор (x 1 a 2 y 1 b 2) { displaystyle { begin {pmatrix} { frac {x_ {1}} {a ^ {2}}} { frac {y_ {1}} {b ^ {2}}} end {pmatrix}}}, поэтому касательная линия имеет уравнение x 1 a 2 x + y 1 б 2 y = к { textstyle { frac {x_ {1}} {a ^ {2}}} x + { tfrac {y_ {1}} {b ^ {2}}} y = k}для некоторых k { displaystyle k}. <Времен738>(x 1, y 1) { displaystyle (x_ {1}, , y_ {1})}находится на касательной и эллипсе, получаем k = 1 { displaystyle к = 1}.
2. x 1 a 2 u + y 1 b 2 v ≠ 0. { displaystyle { frac {x_ {1}} {a ^ {2}}} u + { frac {y_ {1) }} {b ^ {2}}} v neq 0.}Тогда строка g { displaystyle g}имеет вторую точку, общую с эллипсом, и является секансом.

Используя (1), получаем, что (- y 1 a 2 x 1 b 2) { displaystyle { begin {pmatrix} -y_ {1} a ^ {2} x_ {1} b ^ {2} end {pmatrix}}}— касательный вектор в точке (x 1, y 1) { displaystyle (x_ {1}, , y_ {1})}, что доказывает образец уравнение.

Если (x 1, y 1) { displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}и (u, v) { displaystyle (u, v)}— две точки эллипса, такие что x 1 ua 2 + y 1 vb 2 = 0 { textstyle { frac {x_ {1} u} {a ^ { 2}}} + { tfrac {y_ {1} v} {b ^ {2}}} = 0}, то точки лежат на двух сопряженных диаметрах (см. ниже). (Если a = b { displaystyle a = b}, эллипс представляет собой круг, а «сопряженный» означает «ортогональный».)

Сдвинутый эллипс

Если стандартный эллипс смещен так, чтобы его центр был (x ∘, y ∘) { displaystyle left (x _ { circ}, , y _ { circ} right)}, его уравнение:

(x — x ∘) 2 a 2 + (y — y ∘) 2 b 2 = 1. { displaystyle { frac { left (xx _ { circ} right) ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac { left (yy _ { circ} right)) ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1 .}

Оси по-прежнему параллельны осям x и y.

Общий эллипс

В аналитической геометрии эллипс определяется как квадрика: набор точек (X, Y) { displaystyle (X, , Y)}в декартовой плоскости, которая в невырожденных случаях удовлетворяет неявному уравнению

AX 2 + BXY + CY 2 + DX + EY + F = 0 { displaystyle AX ^ {2} + BXY + CY ^ {2} + DX + EY + F = 0}

при условии B 2–4 AC < 0. {displaystyle B^{2}-4AC<0.}

Чтобы различать вырожденные случаи из невырожденного случая, пусть ∆ — детерминант

∆ = | A 1 2 B 1 2 D 1 2 B C 1 2 E 1 2 D 1 2 E F | = (AC — B 2 4) F + BED 4 — CD 2 4 — AE 2 4. { displaystyle Delta = { begin {vmatrix} A { frac {1} {2}} B { frac {1} {2}} D \ { frac {1} {2}} BC и { frac {1} {2}} E \ { frac {1} {2}} D { frac {1} {2}} EF end {vmatrix}} = left (AC — { frac {B ^ {2}} {4}} right) F + { frac {BED} {4}} — { frac {CD ^ {2}} {4}} — { frac {AE ^ {2}} {4}}.}

Тогда эллипс является невырожденным действительным эллипсом тогда и только тогда, когда C∆ < 0. If C∆>0, у нас есть мнимый эллипс, а если ∆ = 0, у нас есть точечный эллипс.

коэффициенты общих уравнений могут быть получены из известной большой полуоси a { displaystyle a}, малой полуоси b { displaystyle b}, координаты центра (x ∘, y ∘) { displaystyle left (x _ { circ}, , y _ { circ} right)}и угол поворота θ { displaystyle theta}(угол между положительной горизонтальной осью и большой осью эллипса) по формулам:

A = a 2 sin 2 ⁡ θ + b 2 cos 2 ⁡ θ B = 2 (b 2 — a 2) sin ⁡ θ cos ⁡ θ C = a 2 cos 2 ⁡ θ + b 2 sin 2 ⁡ θ D = — 2 A x ∘ — B y ∘ E = — B x ∘ — 2 C у ∘ F = A Икс ∘ 2 + В Икс ∘ Y ∘ + С Y ∘ 2 — а 2 б 2. { Displaystyle { begin {align} A = a ^ {2} sin ^ {2} theta + b ^ {2 } cos ^ {2} theta \ B = 2 left (b ^ {2} -a ^ {2} right) sin theta cos theta \ C = a ^ {2} cos ^ {2} theta + b ^ {2} sin ^ {2} theta D = — 2Ax _ { circ} -By _ { circ} \ E = — Bx _ { circ} -2Cy _ { circ} \ F = Ax _ { circ} ^ {2} + Bx _ { circ} y _ { circ} + Cy _ { circ} ^ {2} -a ^ {2} b ^ {2}. end {align}}}

Эти выражения могут быть получены из канонического уравнения x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 { displaystyle { tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2 }}} + { tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}аффинным преобразованием координат (x, y) { displaystyle (x, , y)}:

x = (X — x ∘) cos ⁡ θ + (Y — y ∘) sin ⁡ θ y = — (X — x ∘) sin ⁡ θ + (Y — y ∘) cos ⁡ θ. { Displaystyle { begin {выровнено} х = влево (X-х _ { circ} right) cos theta + left (Yy _ { circ} right) sin theta \ y = — left (Xx _ { circ} right) sin theta + left (Yy _ { circ} right) cos theta. end {align}}}

И наоборот, Параметры канонической формы могут быть получены из коэффициентов общей формы с помощью уравнений:

a, b = — 2 (AE2 + CD 2 — BDE + (B 2 — 4 AC) F) ((A + C) ± (A — C) 2 + B 2) B 2 — 4 AC x ∘ = 2 CD — BEB 2 — 4 AC y ∘ = 2 AE — BDB 2 — 4 AC θ = {arctan ⁡ (1 B (C — A — (A — C) 2 + B 2)) для B ≠ 0 0 для B = 0, A < C 90 ∘ for B = 0, A>C { displaystyle { begin {align} a, b = { frac {- { sqrt {2 { Big (} AE ^ {2} + CD ^ {2} -BDE + (B ^ {2} — 4AC) F { Big)} left ((A + C) pm { sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}} right)}}} {B ^ {2} — 4AC}} \ x _ { circ} = { frac {2CD-BE} {B ^ {2} — 4AC}} \ [3pt] y _ { circ} = { frac {2AE- BD} {B ^ {2} -4AC}} \ [3pt] theta = { begin {cases} arctan left ({ frac {1} {B}} left (CA — { sqrt {(AC) ^ {2} + B ^ {2}}} right) right) { text {for}} B neq 0 \ 0 { text {for}} B = 0, A C \ end {case}} end {align}}}

Параметрическое представление

П остроение точек связано на основе параметрического уравнения и интерпретации t, что с de la Hire Точки Эллипса, вычисленные с помощью рационального представления с равными разнесенными объектами (

Δ u = 0,2 { displaystyle Delta u = 0, 2}

).

Стандартное параметрическое представление

Использование тригонометрические функции, параметрическое представление стандартного эллипса x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 { displaystyle { tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}равно:

(x, y) = (a cos ⁡ t, b sin ⁡ t), 0 ≤ t < 2 π. {displaystyle (x,,y)=(acos t,,bsin t), 0leq t<2pi .}

Параметр t (который в астрономии называется эксцентрической аномалией ) не является углом (x (t), y ( t)) { displaystyle (x (t), y (t))}с осью x, но имеет геометрию этрическое значение согласно Philippe de L Прокат (см. Рисование эллипсов ниже).

Рациональное представление

С заменой u = tan ⁡ (t 2) { textstyle u = tan left ({ frac {t} {2}} right) }и тригонометрические формулы

cos ⁡ t = 1 — u 2 U 2 + 1, ⁡ T знак равно 2 uu 2 + 1 { displaystyle cos t = { frac {1- u ^ {2}} {u ^ {2} +1}} , quad sin t = { frac {2u} {u ^ {2} +1}}}

и рациональное параметрическое уравнение эллипса

x (u) = a 1 — u 2 u 2 + 1 y (u) = 2 buu 2 + 1, — ∞ < u < ∞, {displaystyle {begin{aligned}x(u)=a{frac {1-u^{2}}{u^{2}+1}}\y(u)={frac {2bu}{u^{2}+1}}end{aligned}};,quad -infty

который покрывает любую точку эллипса x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 { displaystyle { tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}кроме вершины левой (- a, 0) { displaystyle (-a, , 0)}.

Для u ∈ [0, 1], { displaystyle u in [0, , 1 ],}эта формула представляет правый верхний четверть эллипса, движущегося против часовой стрелки u. { displaystyle u.}Левая вершина является пределом lim u → ± ∞ (x (u), y (u)) = (- a, 0). { displaystyle lim _ {u to pm infty} (x (u), , y (u)) = (- a, , 0) ;.}

Рациональные представления конических сечений обычно используются в автоматизированном проектировании (см. кривая Безье ).

Наклон касательной как параметр

Параметрическое представление, в котором используется наклон m { displaystyle m}касательной в точке эллипса, можно полученное из производной стандартного представления Икс → (T) = (a соз ⁡ T, b sin ⁡ t) T { displaystyle { vec {x}} (t) = (a cos t, , b sin t) ^ { mathsf {T}}}:

x → ′ (t) = (- грех ⁡ t, b cos ⁡ t) T → m = — ba cot ⁡ t → cot ⁡ t = — маб. { displaystyle { vec {x}} ‘(t) = (- a sin t, , b cos t) ^ { mathsf {T}} quad rightarrow quad m = — { frac { b} {a}} cot t quad rightarrow quad cot t = — { frac {ma} {b}}.}

С помощью тригонометрических формул получаем:

cos ⁡ t = детская кроватка ⁡ t ± 1 + детская кроватка 2 ⁡ t = — ma ± m 2 a 2 + b 2, sin ⁡ t = 1 ± 1 + детская кроватка 2 ⁡ t = b ± m 2 a 2 + b 2. { displaystyle cos t = { frac { cot t} { pm { sqrt {1+ cot ^ {2} t}}}} = { frac {-ma} { pm { sqrt { m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}}} , quad quad sin t = { frac {1} { pm { sqrt {1+ cot ^ {2) } t}}}} = { frac {b} { pm { sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}}}}.}

Замена cos ⁡ t { displaystyle cos t}и sin ⁡ t { displaystyle sin t}стандартного представления дает:

c → ± (m) = ( — ma 2 ± m 2 a 2 + b 2, b 2 ± m 2 a 2 + b 2), m ∈ R. { displaystyle { vec {c}} _ { pm} (m) = left ( — { frac {ma ^ {2}} { pm { sqrt {m ^ {2} a ^ {2}) + b ^ {2}}}}}, ; { frac {b ^ {2}} { pm { sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}}} right), , m in mathbb {R }.}

Здесь m { displaystyle m}— наклон касательной в точке эллипса, c → + { displaystyle { vec {c}} _ {+} }является верхним, а c → — { displaystyle { vec {c}} _ {-}}нижняя половина эллипса. Вершины (± a, 0) { displaystyle ( pm a, , 0)}, имеющие вертикальные касательные, не охватываются представлением.

Уравнение касательной в точке c → ± (m) { displaystyle { vec {c}} _ { pm} (m)}имеет вид y знак равно mx + n { displaystyle y = mx + n}. Все еще неизвестное n { displaystyle n}может быть определено вставки координат точки эллипса c → ± (m) { displaystyle { vec {c}} _ { pm } (m)}:

y = mx ± m 2 a 2 + b 2. { displaystyle y = mx pm { sqrt {m ^ {2} a ^ {2} + b ^ {2}}} ;.}

Это описание касательных эллипса является важным инструментом для определения ортоптики эллипса. Ортоптическая статья содержит другое доказательство, без дифференциального исчисления и тригонометрических формул.

Общий эллипс

Эллипс как аффинное изображение единичной окружности

Другое определение эллипса использует аффинные преобразования :

Любой эллипс является аффинным представлением единичной окружности с уравнением x 2 + y 2 = 1 { displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}.

параметрическое представление

Аффинное преобразование евклидовой плоскости вид x → ↦ е → 0 + A x → { displaystyle { vec {x}} mapsto { vec {f}} ! _ {0} + A { vec {x}}}, где A { displaystyle A}— это обычная матрица (с ненулевым определителем ) и f → 0 { displaystyle { vec {f}} ! _ {0}}— произвольный вектор. Если f → 1, f → 2 { displaystyle { vec {f}} ! _ {1}, { vec {f}} ! _ {2}}являются устойчивыми столбцами матрицы A { displaystyle A}, единичный круг (cos ⁡ (t), sin ⁡ (t)) { displaystyle ( cos (t), sin (t))}, 0 ≤ t ≤ 2 π { displaystyle 0 leq t leq 2 pi}, отображается на эллипс:

x → = p → (t) = f → 0 + f → 1 cos ⁡ t + f → 2 sin ⁡ t. { displaystyle { vec {x}} = { vec {p}} (t) = { vec {f}} ! _ {0} + { vec {f}} ! _ {1} cos t + { vec {f}} ! _ {2} sin t .}

Здесь f → 0 { displaystyle { vec {f}} ! _ {0}}— центр, а f → 1, f → 2 { displaystyle { vec {f}} ! _ {1}, ; { vec {f}} ! _ {2}}— это направления двух сопряженных диаметров, обычно не перпендикулярные.

вершины

Четыре вершины эллипса: p → (t 0), p → (t 0 ± π 2), p → (t 0 + π) { displaystyle { vec {p}} ( t_ {0}), ; { vec {p}} left (t_ {0} pm { tfrac { pi} {2}} right), ; { vec {p}} left (t_ {0} + pi right)}, для проекта t = t 0 { displaystyle t = t_ {0}}определенного количества:

детская кроватка ⁡ (2 t 0) = f → 1 2 — f → 2 2 2 f → 1 ⋅ f → 2. { displaystyle cot (2t_ {0}) = { гидроразрыв {{ vec {f}} ! _ {1} ^ {, 2} — { vec {f}} ! _ {2} ^ {, 2}} {2 { vec {f}} ! _ {1} cdot { vec {f}} ! _ {2}}}.}

(Если f → 1 ⋅ f → 2 = 0 { displaystyle { vec {f}} ! _ {1} cdot { vec {f}} ! _ {2} = 0}, затем t 0 = 0 { displaystyle t_ {0} = 0}.) Это выводится следующим образом. Касательный вектор в точке p → (t) { displaystyle { vec {p}} (t)}равенство:

p → ′ (t) = — f → 1 sin ⁡ t + f → 2 cos ⁡ t. { displaystyle { vec {p}} , ‘(t) = — { vec {f}} ! _ {1} sin t + { vec {f}} ! _ {2} cos t .}

При параметре вершины t = t 0 { displaystyle t = t_ {0}}касательная перпендикулярна большая / вспомогательной осям, поэтому:

0 = p → ′ (t) ⋅ (p → (t) — f → 0) = (- f → 1 sin ⁡ t + f → 2 cos ⁡ t) ⋅ (f → 1 cos ⁡ t + f → 2 sin ⁡ т). { displaystyle 0 = { vec {p}} ‘(t) cdot left ({ vec {p}} (t) — { vec {f}} ! _ {0} right) = left (- { vec {f}} ! _ {1} sin t + { vec {f}} ! _ {2} cos t right) cdot left ({ vec {f} } ! _ {1} cos t + { vec {f}} ! _ {2} sin t right).}

Расширение и применение тождеств cos 2 ⁡ t — sin 2 ⁡ t знак равно соз ⁡ 2 T, 2 грех ⁡ T соз ⁡ T знак равно грех ⁡ 2 t { displaystyle cos ^ {2} t- sin ^ {2} t = cos 2t, 2 sin t cos t = sin 2t}дает уравнение для t = t 0 { displaystyle t = t_ {0}}.

неявного представления

Решение параметрического представления для cos ⁡ т, грех ⁡ т { displaystyle ; cos t, sin t ;}по правилу Крамера и с использованием cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t — 1 = 0 { displaystyle ; cos ^ {2} t + sin ^ {2} t-1 = 0 ;}, получается неявное представление

det (x → — f → 0, f → 2) 2 + det (е → 1, x → — f → 0) 2 — det (f → 1, f → 2) 2 = 0 { displaystyle det ({ vec {x}} ! — ! { vec { f}} ! _ {0}, { vec {f}} ! _ {2}) ^ {2} + det ({ vec {f}} ! _ {1}, { vec { x}} ! — ! { Vec {f}} ! _ {0}) ^ {2} — det ({ vec {f}} ! _ {1}, { vec {f} } ! _ {2}) ^ {2} = 0}.

Определение эллипса в этом разделе дает параметрическое представление произвольноголипса, даже в пространстве, если можно f → 0, f → 1, е → 2 { displaystyle { vec {f}} ! _ {0}, { vec {f}} ! _ {1}, { vec {f}} ! _ {2}}быть векторми в дизайне.

Полярные формы

Полярные формы относительно центра

Полярные координаты с центром в центре.

В полярных координатах, с началом в центре эллипса и с угловой координатой θ { displaystyle theta}, измеренной от большой оси, уравнение эллипса имеет вид

р (θ) знак равно ab (b соз ⁡ θ) 2 + (грех ⁡ θ) 2 знак равно б 1 — (е соз ⁡ θ) 2 { displaystyle r ( theta) = { frac {ab} { sqrt {(b cos theta) ^ {2} + (a sin theta) ^ {2}}}} = { frac {b} { sqrt {1- (e cos theta) ^ { 2}}}}

Полярная форма относительно фокуса

Полярные координаты с центром в фокусе.

Если вместо этого мы будем использовать полярные координаты с началом в одном фокусе, с угловой координатой θ = 0 { displaystyle theta = 0}, все еще измеренной от большой оси уравнения эллипса имеет вид

r (θ) = a (1 — e 2) 1 ± e cos ⁡ θ { displaystyle r ( theta) = { frac {a (1-e ^ {2})} {1 pm e cos theta}}}

где знак в знаменателе отрицательный, если направление ссылки θ = 0 { displaystyle theta = 0}указывает к центру (как показано справа), и положительно, если это направление указывает от центра.

В немного более общем случае эллипса с одним фокусом в начале и другим фокусом в угловой координате ϕ { displaystyle phi}, полярная форма имеет вид

r = a (1 — e 2) 1 — e cos ⁡ (θ — ϕ). { displaystyle r = { frac {a (1-e ^ {2})} {1-e cos ( theta — phi)}}.}

Угол θ { displaystyle theta }в этих формулах называется истинной аномалией точки. Числителем этой формул является прямая полушария прямой кишки ℓ = a (1 — e 2) { displaystyle ell = a (1-e ^ {2})}.

Эксцентриситет и свойство directrix

Эллипс: свойство directrix

Каждая из двух линий, параллельных малой оси, и на расстоянии d = a 2 c = ae { displaystyle d = { frac {a ^ {2}} {c} } = { frac {a} {e}}}от него, называется директрисой эллипса (см. Диаграмму).

Для произвольной точки P { displaystyle P}эллипса отношение расстояния до одного фокуса и соответствующей направляющей (см. Диаграмму) равно эксцентриситету:

| P F 1 | | P l 1 | = | P F 2 | | P l 2 | = е = с а. { displaystyle { frac { left | PF_ {1} right |} { left | Pl_ {1} right |}} = { frac { left | PF_ {2} right |} { left | Pl_ {2} right |}} = e = { frac {c} {a}} .}

Доказательство для пары F 1, l 1 { displaystyle F_ {1}, l_ {1}}следует из того, что | P F 1 | 2 = (x — c) 2 + y 2, | P l 1 | 2 знак равно (Икс — a 2 с) 2 { Displaystyle left | PF_ {1} right | ^ {2} = (xc) ^ {2} + y ^ {2}, left | Pl_ {1} right | ^ {2} = left (x — { tfrac {a ^ {2}} {c}} right) ^ {2}}и y 2 = b 2 — b 2 a 2 x 2 { displaystyle y ^ {2} = b ^ {2} — { tfrac {b ^ {2}} {a ^ {2}}} x ^ {2}}удовлетворяют уравнению

| P F 1 | 2 — с 2 а 2 | P l 1 | 2 = 0. { displaystyle left | PF_ {1} right | ^ {2} — { frac {c ^ {2}} {a ^ {2}}} left | Pl_ {1} right | ^ {2} = 0 .}

Второй случай доказывается аналогично.

Обратное также верно и может использоваться для определения эллипса (аналогично определению параболы):

Для любой точки F { displaystyle F}(фокус), любая строка l { displaystyle l}(directrix) не через F { displaystyle F}и любое действительное число e { displaystyle e}с 0 < e < 1, {displaystyle 0эллипс — это геометрическое место точек, для которых отношение расстояний до точки и линии равно e, { displaystyle e, }то есть:

E = {P | | P F | | P l | = e}. { Displaystyle E = left {P left | { frac {| PF |} {| Pl |}} = e right. right }.}

Выбор e = 0 { displaystyle e = 0}, который является эксцентриситетом круга, не допускается в этом контексте. Можно считать, что директрисой окружности является бесконечно удаленная линия.

(выбор e = 1 { displaystyle e = 1}дает параболу, и если e>1 { displaystyle e>1}, гипербола.)

Карандаш из коник с общей вершиной и общей полу-латусной прямой кишкой

Доказательство

Пусть F = (f, 0), e>0 { displaystyle F = (f, , 0), e>0}и предположим, что (0, 0) { displaystyle (0, , 0)}— точка на кривая. Директриса l { displaystyle l}имеет уравнение x = — f e { displaystyle x = — { tfrac {f} {e}}}. При P = (x, y) { displaystyle P = (x, , y)}отношение | P F | 2 = e 2 | P l | 2 { displaystyl e | PF | ^ {2} = e ^ {2} | Pl | ^ {2}}дает уравнения

(x — f) 2 + y 2 = e 2 (x + fe) 2 = (ex + f) 2 { displaystyle (xf) ^ {2 } + y ^ {2} = e ^ {2} left (x + { frac {f} {e}} right) ^ {2} = (ex + f) ^ {2}}и x 2 (e 2-1) + 2 xf (1 + e) ​​- y 2 = 0. { displaystyle x ^ {2} left (e ^ {2} -1 right) + 2xf (1 + e) ​​-y ^ {2} = 0.}

Подстановка p = f (1 + e) ​​{ displaystyle p = f (1 + e)}возвращает

x 2 (e 2-1) + 2 px — y 2 = 0. { displaystyle x ^ {2} left (e ^ {2} -1 right) + 2px- y ^ {2} = 0.}

Это уравнение эллипса (e < 1 {displaystyle e<1}) или параболы (e = 1 { displaystyle e = 1}) или гипербола (e>1 { displaystyle e>1}). Все эти невырожденные коники имеют общее начало в виде вершины (см. диаграмму).

Если e < 1 {displaystyle e<1}, введите новые параметры a, b { displaystyle a, , b}так что 1 — e 2 = b 2 a 2 и p = b 2 a { displaystyle 1-e ^ {2} = { tfrac {b ^ { 2}} {a ^ {2}}}, { text {and}} p = { tfrac {b ^ {2}} {a}}}, а приведенное выше уравнение принимает вид

(x — a) 2 a 2 + y 2 b 2 = 1, { displaystyle { frac {(xa) ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}} = 1 ,}

который представляет собой уравнение эллипса с центром (a, 0) { displaystyle (a, , 0)}, ось x как большая ось и большая / малая полуось a, b { displaystyle a, , b}.

Общий эллипс

Если фокус F = (f 1, f 2) { Displaystyle F = left (f_ {1}, , f_ {2} right)}и директриса ux + vy + w = ​​0 { displaystyle ux + vy + w = 0}, уравнение

(x — f 1) 2 + (y — f 2) 2 = e 2 (ux + vy + w) 2 u 2 + v 2. { displaystyle left (x-f_ {1} right) ^ {2} + left (y-f_ {2} right) ^ {2} = e ^ {2} { frac { left (ux + vy + w right) ^ {2}} {u ^ {2} + v ^ {2}}} .}

(В правой части уравнения используется нормальная форма Гессе линии для вычислений расстояния | P l | { displaystyle | Pl |}.)

Свойство отражения в фокусе

Эллипс: касательная делит пополам дополнительный угол между линиями и фокусами. Лучи из одного фокуса отражаются от эллипса и проходят через другой фокус.

Эллипс следующим образом:

Нормаль в точке P { displaystyle P}делит пополам угол между линиями PF 1 ¯, PF 2 ¯ { displaystyle { overline { PF_ {1}}}, , { overline {PF_ {2}}}}.

Доказательство

Потому что касательная перпендикулярная нормали, утверждение верно и для касательной и дополнительного угла угла между линиями к фокусам (см. Диаграмму).

Пусть L { displaystyle L}будет точкой на линии PF 2 ¯ { displaystyle { overline {PF_ {2}}}}с расстояниями 2 a { displaystyle 2a}до фокуса F 2 { displaystyle F_ {2}}, a { displaystyle a}— большая полуось эллипса. Пусть линия w { displaystyle w}будет биссектрисой дополнительного угла к углу между линиями PF 1 ¯, PF 2 ¯ { displaystyle { overline {PF_ {1}}}, , { overline {PF_ {2}}}}. Чтобы доказать, что w { displaystyle w}является касательной в точке P { displaystyle P}, проверяется, что любая точка Q { displaystyle Q}в строке w { displaystyle w}, что отличается от P { displaystyle P}, не может быть на эллипсе. Следовательно, w { displaystyle w}имеет только точку P { displaystyle P}, общую с эллипсом, и, следовательно, является касательной в точке P { displaystyle P}.

Из диаграммы и неравенства треугольника видно, что 2 a = | L F 2 | < | Q F 2 | + | Q L | = | Q F 2 | + | Q F 1 | {displaystyle 2a=left|LF_{2}right|<left|QF_{2}right|+left|QLright|=left|QF_{2}right|+left|QF_{1}right|}удерживается, что означает: | Q F 2 | + | Q F 1 |>2 а { displaystyle left | QF_ {2} right | + влево | QF_ {1} right |>2a}. Но если Q { displaystyle Q}— это точка эллипса, сумма должна быть 2 a { displaystyle 2a}.

Приложение

Лучи из одного фокуса отражаются эллипсом во втором положении. Это свойство имеет оптические и акустические приложения, аналогичные отражательные свойства параболы (см. шепчущая галерея ).

Сопряженные диаметры

Ортогональныерыры. Окружность с квадратом касательных, серединами параллельных хорд и аффинным изображением, которое эллипс с сопряженными диаметрами, параллелограмм касательных и середины хорд.

Окружность имеет следующее свойство:

Передние параллельные хорд лежат на диаметре.

Аффинное преобразование параллелизм и середины. прямой сегмент, поэтому это свойство верно для любого эллипса. орды и диаметр больше не ортогональны.)

Определение

Два диаметра d 1, d 2 { displaystyle d_ {1}, , d_ {2}}эллипса сопряжены, если середины хорд, параллельные d 1 { displaystyle d_ {1}}, лежат на d 2. { displaystyle d_ {2} .}

Из диаграммы можно найти:

Два диаметра P 1 Q 1 ¯, P 2 Q 2 ¯ { displaystyle { overline {P_ {1} Q_ {1}}}, , { overline {P_ {2} Q_ {2}}}}эллипса сопряжены, если касательные в точке P 1 { displaystyle P_ {1}}и Q 1 { displaystyle Q_ { 1}}параллельны P 2 Q 2 ¯ { displaystyle { overline {P_ {2} Q_ {2}}}}.

Сопряженные диаметры в эллипсе обобщают ортогональные диаметры в окружности.

В параметрическом уравнении для общего эллипса, приведенном выше,

x → = p → (t) = f → 0 + f → 1 cos ⁡ t + f → 2 sin ⁡ t, { displaystyle { vec {x}} = { vec {p}} (t) = { vec {f}} ! _ {0} + { vec {f}} ! _ {1} cos t + { vec {f}} ! _ {2} sin t,}

любая пара точек p → (t), p → (t + π) { displaystyle { vec {p}} (t), { vec { p}} (t + pi)}принадлежат диаметру, а пара p → (t + π 2), p → (t — π 2) { displaystyle { vec {p} } left (t + { tfrac { pi} {2}} right), { vec {p}} left (t — { tfrac { pi} {2}} right)}принадлежат его сопряженному диаметру.

Теорема Аполлония о сопряженных диаметрах

Эллипс: теорема Аполлония о сопряженных диаметрах

Для эллипса с полуосями a, b { displaystyle a, , b}верно следующее:

Пусть c 1 { displaystyle c_ {1}}и c 2 { displaystyle c_ {2}}быть половинками двух сопряженных диаметров (см. Диаграмму), тогда

1. c 1 2 + c 2 2 = a 2 + b 2 { displaystyle c_ {1} ^ {2} + c_ {2} ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}},
2. треугольник, образованный c 1, c 2 { displaystyle c_ {1}, , c_ {2}}, имеет постоянную площадь A Δ = 1 2 ab { textstyle A _ { Delta} = { frac {1} {2}} ab}
3. параллелограмм касательных, примыкающих к данным сопряженным диаметром, имеет Площадь 12 = 4 пр. { displaystyle { text {Area}} _ {12} = 4ab .}

Доказательство

Пусть эллипс имеет каноническую форму с параметрическим уравнением

p → (t) = (a cos ⁡ t, b грех ⁡ t) { displaystyle { vec {p}} (t) = (a cos t, , b sin t)}.

Две точки c → 1 = p → (т), с → 2 знака равно п → (т + π 2) { displaystyle { vec {c}} _ {1} = { vec {p}} (т), { vec {c}} _ {2 } = { vec {p}} left (t + { frac { pi} {2}} right)}имеют сопряженные диаметры (см. Предыдущий раздел). Из тригонометрических формул получаем c → 2 = (- грех ⁡ t, b cos ⁡ t) T { displaystyle { vec {c}} _ {2} = (- a sin t, , b cos t) ^ { mathsf {T}}}и

| c → 1 | 2 + | c → 2 | 2 знак равно ⋯ знак равно а 2 + Ь 2. { displaystyle left | { vec {c}} _ {1} right | ^ {2} + left | { vec {c}} _ {2} right | ^ {2} = cdots = a ^ {2} + b ^ {2} .}

Площадь треугольника, образованная c → 1, c → 2 { displaystyle { vec {c}} _ {1}, , { vec {c}} _ {2}}равно

A Δ = 1 2 det (c → 1, c → 2) = ⋯ = 1 2 ab { displaystyle A _ { Дельта} = { frac {1} {2}} det left ({ vec {c}} _ {1}, , { vec {c}} _ {2} справа) = cdots = { frac {1} {2}} ab}

и из диаграммы видно, что площадь параллелограмма в 8 раз больше, чем у A Δ { displaystyle A _ { Delta} }. Следовательно,

Площадь 12 = 4 a b. { displaystyle { text {Area}} _ {12} = 4ab .}

Ортогональные касательные

Эллипс с его ортоптиком

Для эллипса x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 { displaystyle { tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}точка пересечения ортогональных касательных лежат на окружности x 2 + y 2 = a 2 + b 2 { displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}.

Эта окружность называется ортоптической или направляющей окружностью эллипса (не путать с круговой направляющей, тип выше).

Рисование эллипсов

Центральная проекция окружностей (затвор)

Эллипсы появляются в описательной геометрии как изображения (параллельная или центральная проекция) окружностей. Существуют различные инструменты для рисования эллипса. Компьютеры обеспечивают самый быстрый и точный метод рисования эллипса. Однако технические средства (эллипсографы ) для рисования эллипса без использования компьютера существуют. Принцип эллипсографов был известен греческим математикам, таким как Архимед и Проклос.

. Если эллипсограф недоступен, можно нарисовать эллипс, используя аппроксимацию четырьмя соприкасающимися кругами на вершины.

Для любого метода, ниже, необходимо знание осей и полуосей (или, что эквивалентно: фокусов и большой полуоси). Если это предположение не выполнено, необходимо знать как минимум два сопряженных диаметра. С помощью конструкции Ритца оси и полуоси могут быть восстановлены.

Построение точки де Ла Хира

Следующее построение отдельных точек эллипса связано с де Ла Хиром. Он основан на стандартном параметрическом представлении (a cos ⁡ t, b sin ⁡ t) { displaystyle (a cos t, , b sin t)}эллипса :

1. Нарисуйте две окружности в центре эллипса с радиусами a, b { displaystyle a, b}и осями эллипса.
2. Проведите линию через центр, которая пересекает два круга в точке A { displaystyle A}и B { displaystyle B}соответственно..
3. Проведите линию через A { displaystyle A}, которая параллельна малой оси, и линию через B { displaystyle B}, которая параллельна большой оси. Эти линии пересекаются в точке эллипса (см. Диаграмму).
4. Повторите шаги (2) и (3) с разными линиями через центр.

• 

  Метод де Ла Хира

• 

  Анимация метода

Эллипс: метод садовника

Метод булавок и цепочек

Характеристика эллипса как геометрического места точек, так что сумма расстояний до фокусов постоянна, приводит к методу рисования одного из двух булавки для рисования, веревка и карандаш. В этом методе булавки вставляются в бумагу в двух точках, которые становятся фокусами эллипса. На каждом конце к двум булавкам привязывается веревка; его длина после связывания составляет 2 a { displaystyle 2a}. Затем кончик карандаша образует эллипс, если его перемещать, сохраняя натянутую нить. Используя два колышка и веревку, садовники используют эту власть, чтобы очертить эллиптические клумбу, она называется эллипсом садовника поэтому.

Подобный метод рисования конфокальных эллипсов с замкнутой цепочкой был разработан ирландским епископом Чарльзом Грейвсом.

Методы бумажной ленты

Два следующих метода использования на параметрическом представлении (см.. параметрическое представление выше):

(a cos ⁡ t, b sin ⁡ t) { displaystyle (a cos t, , b sin t)}

Технически это представление можно смоделировать двумя простыми способами. В обоих случаях центр оси и полуоси a, b { displaystyle a, , b}должны быть известны.

Метод 1

Первый метод начинается с

полосы бумаги длиной a + b { displaystyle a + b}.

Точка, где встречаются полуоси, отмечена P { displaystyle P}. Если полоса скользит обоими концами по осям желаемого эллипса, то точка P отслеживает эллипс. Для доказательства показана точка P { displaystyle P}имеет параметрическое представление (a cos ⁡ t, b sin ⁡ t) { displaystyle (a cos t, , b sin t)}, где параметр t { displaystyle t}— угол наклона бумажной полосы.

Техническая реализация бумажной ленты может быть достигнута с помощью пары Туси (см. Анимацию). Устройство способно нарисовать любой эллипс с фиксированной суммой a + b { displaystyle a + b}, которая является охраной большого круга. Это ограничение может быть недостатком в реальной жизни. Более гибким является второй метод бумажной ленты.

• 

  Конструкция бумажной ленты 1

• 

  Эллипсы с парой Туси. Два примера: красный и голубой.

Вариант метода 1 с бумажной полоской использует наблюдение, что средняя точка N displaystyle N}бумажной полоски перемещается по окружности с центром M { displaystyle M}(эллипса) и радиус a + b 2 { displaystyle { tfrac {a + b} {2}}}. Следовательно, полоску бумаги можно разрезать в точке N { displaystyle N}на половинки, снова соединенные стыком в точке N { displaystyle N}и скользящий конец K { displaystyle K}закреплен в центре M { displaystyle M}(см. Диаграмму). После этой операции изменить половину полоски бумаги не изменяется. Этот вариант требует только одного скользящего башмака.

• 

  Вариант метода 1 полосы бумаги

• 

  Анимация варианта метода 1 полосы бумаги

Построение эллипса: метод 2 полосы бумаги

Метод 2

Второй метод начинается с

a полоска бумаги длиной a { displaystyle a}.

Одна отмечает точку, которая делит полосу на две части длиной b { displaystyle b}и а — b { displaystyle ab}. Полоса размещается на осях, как показано на схеме. Затем свободный конец полоски очерчивает эллипс, при этом полоска перемещается. Для доказательства следует установить, что точка может быть описана параметрами как (a cos ⁡ t, b sin ⁡ t) { displaystyle (a cos t, , b sin t)}, где параметр t { displaystyle t}— угол наклона бумажной полосы.

Этот метод используется для нескольких эллипсографов (см. Раздел ниже).

Аналогичным способом способом 1 с бумажной полосой, можно найти вариант способа 2 с бумажной полосой (см. Диаграмму) путем разрезания части между осями пополам.

• 

  Траммель Архимеда (принцип)

• 

  Эллипсограф из-за Бенджамина Брамера

• 

  Вариант метода бумажной полосы 2

Большинство эллипсографов чертежей основы на второй метод бумажной ленты.

Аппроксимация эллипса, соприкасающиеся кругами

Аппроксимация соприкасаса разными кругами

Из метрических свойств, приведенных ниже, можно получить:

На схеме показан простой способ найти центры кривизны C 1 = (a — b 2 a, 0), С 3 знак равно (0, b — a 2 b) { displaystyle C_ {1} = left (a — { tfrac {b ^ {2}} {a}}, 0 right), , C_ {3} = left (0, b — { tfrac {a ^ {2}} {b}} right)}в вершине V 1 { displaystyle V_ {1}}и совпадающая вершина V 3 { displaystyle V_ {3}}соответственно:

1. отмечает точку H = (a, b) { displaystyle H = (a, , b)}и нарисуйте отрезок линии V 1 V 3, { displaystyle V_ {1} V_ {3} ,}
2. нарисуйте линию через H { displaystyle H}, которая перпендикулярна линии V 1 V 3, { displaystyle V_ {1} V_ {3} ,}
3. пересечение точки этой линии с осями центрами соприкасающихся окружностей.

(доказательство: простой расчет).

Центры остальных вершин находятся симметрично.

С помощью французской строительной кривой С помощью французской строительной кривой, которая имеет плавный контакт с соприкаса нашими кругами.

Поколение Штейнера

Эллипс: Поколение Штейнера Эллипс: Поколение Штайнера

Следующий метод построения отдельных точек эллипса основан на генерации Штейнера конического сечения сечения :

Даны два карандаша B (U), B (V) { displaystyle B (U), , B (V)}линий в двух точках U, V { displaystyle U, , V}(все строки, содержащие U displaystyle U}и V { displaystyle V}соответственно) и проекционное, но не перспективное отображение π { displaystyle pi}из B (U) { displaystyle B (U)}на B (V) { displaystyle B (V)}, то точки пересечения соответствующих прямых образуют невырожденное проективное коническое сечение.

Для генерации точек эллипс x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 { displaystyle { tfrac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + { tfrac {y ^ { 2}} {b ^ {2}}} = 1}карандаши используются в вершинах V 1, V 2 { displaystyle V_ {1}, , V_ {2}}. Пусть P = (0, b) { displaystyle P = (0, , b)}верхняя совершина эллипса и A = (- a, 2 б), В знак равно (а, 2 б) { Displaystyle А = (- а, , 2b), , В = (а, , 2b)}.

Р { Displaystyle P}— центр прямоугольника V 1, V 2, B, A { displaystyle V_ {1}, , V_ {2}, , B, , A}. Сторона AB ¯ { displaystyle { overline {AB}}}прямоугольное деление на равных отрезках прямой, и это деление проецируется параллельно параллонали AV 2 { displaystyle AV_ {2}}в качестве направления на отрезок линии V 1 B ¯ { displaystyle { overline {V_ {1} B}}}и назначьте деление, как показано на схеме. Параллельная проекция вместе с обратной ориентацией представляет собой часть проективного отображения карандашами в V 1 { displaystyle V_ {1}}и V 2 { displaystyle V_ {2}}необходимо. Точки пересечения любых двух связанных линий V 1 B i { displaystyle V_ {1} B_ {i}}и V 2 A i { displaystyle V_ {2} A_ {i} }— точка однозначно определенного эллипса. С помощью точек C 1,… { displaystyle C_ {1}, , dotsc}можно определить точки второй четверти эллипса. Аналогичным образом точки нижней половины эллипса.

Генерация Штейнера также может быть определена для гипербол и парабол. Иногда его используют методом параллелограммы, потому что можно использовать другие точки, а не вершины, которые начинается с параллелограммы вместо прямоугольника.

Как гипотрохоиды

Эллипс (красный) как частный случай гипотрохоиды с R = 2r

Эллипс является частным случаем гипотрохоиды , когда R = 2r, как показано на соседнем изображении. Частный случай движущегося круга с радиусом r { displaystyle r}внутри круга с радиусом R = 2 r { displaystyle R = 2r}— это называется пара Туси.

Вписанные углы и трехточечная форма

Круги

Круг: теорема о вписанном угле

Круг с уравнением (x — x ∘) 2 + (Y — Y ∘) 2 знак равно р 2 { displaystyle left (xx _ { circ} right) ^ {2} + left (yy _ { circ} right) ^ {2} = r ^ {2}}однозначно определяется тремя точками (x 1, y 1), (x 2, y 2), (x 3, y 3) { displaystyle left (x_ {1}, y_ {1} верно), ; left (x_ {2}, , y_ {2} right), ; left (x_ {3}, , y_ {3} right)}не в строке. Простой способ определения параметров x ∘, y ∘, r { displaystyle x _ { circ}, y _ { circ}, r}использует теорему о вписанном угле для кругов:

Для четырех точек P i = (xi, yi), i = 1, 2, 3, 4, { displaystyle P_ {i} = left (x_ {i}, , y_ {i} right), i = 1, , 2, , 3, , 4, ,}(см. диаграмму) верно следующее утверждение:

Четыре точки находятся на окружности тогда и только тогда, когда углы равны P 3 { displaystyle P_ {3}}и P 4 { displaystyle P_ {4}}равны.

Обычно вписанные углы измеряются градусом или радианом θ, но здесь более удобно следующее измерение:

Чтобы измерить угол между двумя линиями с помощью уравнений y = m 1 Икс + d 1, Y знак равно м 2 Икс + d 2, м 1 ≠ м 2, { displaystyle y = m_ {1} x + d_ {1}, y = m_ {2} x + d_ {2}, m_ {1} neq m_ {2},}используется частное:

1 + m 1 m 2 m 2 — m 1 = cot ⁡ θ. { displaystyle { frac {1 + m_ {1} m_ {2}} {m_ {2} -m_ {1}}} = cot theta .}

Теорема о вписанном угле для окружностей

Для четырех точек P i = (xi, yi), i = 1, 2, 3, 4, { displaystyle P_ {i} = left (x_ {i}, , y_ {i}) справа), i = 1, , 2, , 3, , 4, ,}нет трех из них на строке, мы имеем следующее (см. диаграмму):

точки находятся на окружности, если и только если углы равны P 3 { displaystyle P_ {3}}и P 4 { displaystyle P_ {4}}равны. В терминах измерения угла выше это означает:

(x 4 — x 1) (x 4 — x 2) + (y 4 — y 1) (y 4 — y 2) (y 4 — y 1) (x 4 — x 2) — (y 4 — y 2) (x 4 — x 1) = (x 3 — x 1) (x 3 — x 2) + (y 3 — y 1) (y 3 — y 2) (y 3 — y 1) (x 3 — x 2) — (y 3 — y 2) (x 3 — x 1). { displaystyle { frac {(x_ {4} -x_ {1}) (x_ {4} -x_ {2}) + (y_ {4} -y_ {1}) (y_ {4} -y_ {2 })} {(y_ {4} -y_ {1}) (x_ {4} -x_ {2}) — (y_ {4} -y_ {2}) (x_ {4} -x_ {1})} } = { frac {(x_ {3} -x_ {1}) (x_ {3} -x_ {2}) + (y_ {3} -y_ {1}) (y_ {3} -y_ {2})} {(y_ {3} -y_ {1}) (x_ {3} -x_ {2}) — (y_ {3} -y_ {2}) (x_ {3} -x_ {1})}}.}

Сначала такт доступен только для хорд, не параллельных оси Y, но окончательная формула работает для любого аккорда.

Трехточечная форма уравнения круга

Как следствие, получается уравнение для круга, определяемого тремя неколлинеарными точками P i = (xi, yi) { displaystyle P_ { i} = left (x_ {i}, , y_ {i} right)}:

(x — x 1) (x — x 2) + (y — y 1) (y — y 2) ( y — y 1) (x — x 2) — (y — y 2) (x — x 1) = (x 3 — x 1) (x 3 — x 2) + (y 3 — y 1) (y 3 — y 2) (y 3 — y 1) (x 3 — x 2) — (y 3 — y 2) (x 3 — x 1). { displaystyle { frac {({ color {red} x} -x_ {1}) ({ color {red} x} -x_ {2}) + ({ color {red} y} -y_ { 1}) ({ цвет {красный} y} -y_ {2})} {({ color {красный} y} -y_ {1}) ({ color {красный} x} -x_ {2}) — ({ color {red} y} -y_ {2}) ({ color {red} x} -x_ {1})}} = { frac {(x_ {3} -x_ {1}) ( x_ {3} -x_ {2}) + (y_ {3} -y_ {1}) (y_ {3} -y_ {2})} {(y_ {3} -y_ {1}) (x_ {3 } -x_ {2}) — (y_ {3} -y_ {2}) (x_ {3} -x_ {1})}}.}

Например, для P 1 = (2, 0), п 2 знак равно (0, 1), п 3 знак равно (0, 0) { displaystyle P_ {1} = (2, , 0), ; P_ {2} = (0, , 1), ; P_ {3} = (0, , 0)}трехточечное уравнение:

(x — 2) x + y (y — 1) yx — (y — 1) (х — 2) знак равно 0 { displaystyle { frac {(x-2) x + y (y-1)} {yx- (y-1) (x-2)}} = 0}, который можно переформатировать в (x — 1) 2 + (y — 1 2) 2 = 5 4. { displaystyle (x-1) ^ {2} + left (y — { tfrac {1} {2}} right) ^ {2} = { tfrac {5} {4}} .}

Используя векторы, скалярные произведения и детерминанты, эту формулу можно упорядочить более четко, позволяя x → = (x, y) { displaystyle { vec {x} } = (x, , y)}:

(x → — x → 1) ⋅ (x → — x → 2) det (x → — x → 1, x → — x → 2) = (x → 3 — x → 1) ⋅ (x → 3 — x → 2) det (x → 3 — x → 1, x → 3 — x → 2). { displaystyle { frac { left ({ color {red} { vec {x}}} — { vec {x}} _ {1} right) cdot left ({ color {red}) { vec {x}}} — { vec {x}} _ {2} right)} { det left ({ color {red} { vec {x}}} — { vec {x }} _ {1}, { color {red} { vec {x}}} — { vec {x}} _ {2} right)}} = { frac { left ({ vec { x}} _ {3} — { vec {x}} _ {1} right) cdot left ({ vec {x}} _ {3} — { vec {x}} _ {2} right)} { det left ({ vec {x}} _ {3} — { vec {x}} _ {1}, { vec {x}} _ {3} — { vec { x}} _ {2} right)}}.}

Центр круга (x ∘, y ∘) { displaystyle left (x _ { circ}, , y _ { circ } right)}удовлетворяет:

[1 y 1 — y 2 x 1 — x 2 x 1 — x 3 y 1 — y 3 1] [x ∘ y ∘] = [x 1 2 — x 2 2 + y 1 2 — y 2 2 2 (x 1 — x 2) y 1 2 — y 3 2 + x 1 2 — x 3 2 2 (y 1 — y 3)]. { displaystyle { begin {bmatrix} 1 { frac {y_ {1} -y_ {2}} {x_ {1} -x_ {2}}}\ { frac {x_ {1} -x_ {3)}} {y_ {1} -y_ {3}}} 1 end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x _ { circ} y _ { circ} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} { frac {x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} + y_ {1} ^ {2} -y_ {2} ^ {2}} {2 (x_ {1} — x_ {2})}} \ { frac {y_ {1} ^ {2} -y_ {3} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} -x_ {3} ^ {2}} {2 (y_ {1} -y_ {3})}} end {bmatrix}}.}

Радиус — это расстояние между любым из трех точек и центр.

r = (x 1 — x ∘) 2 + (y 1 — y ∘) 2 = (x 2 — x ∘) 2 + (y 2 — y) 2 = (x 3 — x ∘) 2 + ( у 3 — у) 2. { displaystyle r = { sqrt { left (x_ {1} -x _ { circ} right) ^ {2} + left (y_ {1} -y _ { circ} right) ^ {2}}} = { sqrt { left (x_ {2} -x _ { circ} right) ^ {2} + left (y_ {2} -y _ { circ} right) ^ {2}}} = { sqrt { left (x_ {3} -x _ { circ} right) ^ {2} + left (y_ {3} -y _ { circ} right) ^ {2}}}.}

Эллипсы

В этом разделе мы рассматриваем семейство эллипсов, определяемым уравнением (x — x ∘) 2 a 2 + (y — y ∘) 2 б 2 знак равно 1 { displaystyle { tfrac { left (xx _ { circ} right) ^ {2}} {a ^ {2}}} + { tfrac { left (yy _ { circ} right) ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}с фиксированным эксцентриситетом e. Удобно использовать параметр:

q = a 2 b 2 = 1 1 — e 2, { displaystyle { color {blue} q} = { frac {a ^ {2}} {b ^ {2}}} = { frac {1} {1-e ^ {2}}},}

и записать уравнение эллипса в виде:

(x — x ∘) 2 + q (y — y ∘) 2 знак равно a 2, { displaystyle left (xx _ { circ} right) ^ {2} + { color {blue} q} , left (yy _ { circ} right) ^ {2} = a ^ {2},}

где q фиксировано и x ∘, y ∘, a { displaystyle x _ { circ}, , y _ { circ}, , a}изменяются по действительному числум. (Оси таких эллипсов параллельны осям координат: если q < 1 {displaystyle q<1}, большая ось параллельна оси x; если q>1 { displaystyle q>1}, он параллелен оси y.)

Теорема для эл.

Для этого семейства эллипсов вводится следующее q-аналог угловая мера, которая не является обычной угловой мера, которая не является обычной угловой меры θ:

Для этого семейства эллипсов вводится следующее q-аналог Измерение угла между двумя линиями с помощью соотношений y = m 1 x + d 1, y = m 2 Икс + d 2, м 1 ≠ м 2 { displaystyle y = m_ {1} x + d_ {1}, y = m_ {2} x + d_ {2}, m_ {1} neq m_ {2}}используется частное:

1 + qm 1 m 2 m 2 — m 1. { Displaystyle { frac {1 + { color {blue} q} ; m_ {1} m_ {2}} {m_ {2} -m_ {1}}} .}

Теорема о вписанном угле для эллипсов

Дано четыре точка п i = (xi, yi), i = 1, 2, 3, 4 { displaystyle P_ {i} = left (x_ {i}, , y_ {i} right), i = 1, , 2, , 3, , 4}, три из них на прямой (см. диаграмму).

Четыре точки находятся на эллипсе с уравнением (Икс — Икс ∘) 2 + Q (Y — Y ∘) 2 = a 2 { displaystyle (xx _ { circ}) ^ {2} + { color {blue} q} , (yy _ { circ}) ^ {2} = a ^ {2}}тогда и только тогда, когда углы в P 3 { displaystyle P_ {3}}и P 4 { displaystyle P_ {4}}равны в смысле измерения выше, то есть если

(x 4 — x 1) (x 4 — x 2) + q (y 4 — y 1) (y 4 — y 2) (y 4 — y 1) (x 4 — x 2) — (y 4 — y 2) (x 4 — x 1) = (x 3 — x 1) (x 3 — x 2) + q (y 3 — y 1) (y 3 — y 2) (y 3 — y 1) (x 3 — x 2) — (y 3 — y 2) (х 3 — х 1). { displaystyle { frac {(x_ {4} -x_ {1}) (x_ {4} -x_ {2}) + { color {blue} q} ; (y_ {4} -y_ {1})) (y_ {4} -y_ {2})} {(y_ {4} -y_ {1}) (x_ {4} -x_ {2}) — (y_ {4} -y_ {2}) (x_ {4} -x_ {1})}} = { frac {(x_ {3} -x_ {1}) (x_ {3} -x_ {2}) + { color {blue} q} ; (y_ {3} -y_ {1}) (y_ {3} -y_ {2})} {(y_ {3} -y_ {1}) (x_ {3} -x_ {2}) — (y_ { 3} -y_ {2}) (x_ {3} -x_ {1})}} .}

Сначала такт доступны только для хорд, которые не параллельны оси y. Но окончательная формула работает для любого аккорда. Доказательство следует из простого вычисления. Для доказательства, что находится точка на эллипсе, можно предположить, что центр эллипса является началом координат.

Трехточечная форма уравнения эллипса

Как следствие, уравнение для эллипса, определяемое тремя неколлинеарными точками P i = (xi, yi) { displaystyle P_ {i} = left (x_ {i }, , y_ {i} right)}:

(x — x 1) (x — x 2) + q (y — y 1) (y — y 2) (y — y 1) (x — x 2) — (y — y 2) (x — x 1) = (x 3 — x 1) (x 3 — x 2) + q (y 3 — y 1) (y 3 — y 2) (y 3 — y 1) (x 3 — x 2) — (y 3 — y 2) (x 3 — x 1). { displaystyle { frac {({ color {red} x} -x_ {1}) ({ color {red} x} -x_ {2}) + { color {blue} q} ; ({ color {red} y} -y_ {1}) ({ color {red} y} -y_ {2})} {({ color {red} y} -y_ {1}) ({ цвет {красный} x} -x_ {2}) — ({ color {red} y} -y_ {2}) ({ color {red} x} -x_ {1})}} = { frac { (x_ {3} -x_ {1}) (x_ {3} -x_ {2}) + { color {blue} q} ; (y_ {3} -y_ {1}) (y_ {3} -y_ {2})} {(y_ {3} -y_ {1}) (x_ {3} -x_ {2}) — (y_ { 3} -y_ {2}) (x_ {3} -x_ {1})}} .}

Например, для P 1 = (2, 0), P 2 = (0, 1), П 3 знак равно (0, 0) { Displaystyle P_ {1} = (2, , 0), ; P_ {2} = (0, , 1), ; P_ {3} = (0, , 0)}и q = 4 { displaystyle q = 4}получается трехточечная форма

(x — 2) Икс + 4 Y (Y — 1) Yx — (Y — 1) (X — 2) = 0 { Displaystyle { frac {(x-2) x + 4y (Y-1)} {yx- (y- 1) (x-2)}} = 0}и после преобразования (x — 1) 2 2 + (y — 1 2) 2 1 2 = 1. { displaystyle { frac {(x-1) ^ {2}} {2}} + { frac { left (y — { frac {1} {2}} right) ^ {2}} { frac {1} { 2}}} = 1.}

Аналогично случаю круга уравнение можно записать более четко используя:

(x → — x → 1) ∗ (x → — x → 2) det (x → — x → 1, x → — x → 2) знак равно (x → 3 — x → 1) ∗ (x → 3 — x → 2) det (x → 3 — x → 1, x → 3 — x → 2), { displaystyle { frac { left ({ color {red} { vec {x}}} — { vec {x}} _ {1} right) * left ({ color {red} { vec { x}}} — { vec {x}} _ {2} right)} { det left ({ color {красный} { vec {x}}} — { vec {x}} _ { 1}, { color {red} { vec {x}}} — { vec {x}} _ {2} right)}} = { frac { left ({ vec {x}} _ {3} — { vec {x}} _ {1} righ t) * left ({ vec {x}} _ {3} — { vec {x}} _ {2} right)} { det left ({ vec {x}} _ {3} — { vec {x}} _ {1}, { vec {x}} _ {3} — { vec {x}} _ {2} right)}},}

где ∗ { displaystyle *}— это модифицированное скалярное произведение u → ∗ v → = uxvx + quyvy. { displaystyle { vec {u}} * { vec {v}} = u_ {x} v_ {x} + { color {blue} q} , u_ {y} v_ {y}.}

Отношение полюса к полюсу

Эллипс: отношение полюса к полюсу

Любой эллипс можно описать в подходящей системе координат уравнением x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 { displaystyle { tfrac {x ^ { 2}} {a ^ {2}}} + { tfrac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}. Уравнение касательной в точке P 1 = (x 1, y 1) { displaystyle P_ {1} = left (x_ {1}, , y_ {1} right)}эллипса составляет x 1 xa 2 + y 1 yb 2 = 1. { displaystyle { tfrac {x_ {1} x} {a ^ {2}}} + { tfrac {y_ {1} y} {b ^ {2}}} = 1.}Если разрешена точка P 1 = (x 1, y 1) { displaystyle P_ {1} = left (x_ {1}, , y_ {1} right)}, чтобы быть произвольной точкой, отличной от начала координат, тогда

точка P 1 = (x 1, y 1) ≠ (0, 0) { displaystyle P_ {1} = left (x_ {1}, , y_ {1} right) neq (0, , 0)}отображается в строке x 1 xa 2 + y 1 yb 2 = 1 { displaystyle { tfrac {x_ {1} x} {a ^ {2}}} + { tfrac {y_ {1} y} {b ^ {2}}} = 1}, а не через центр эллипса.

Это отношение между точками и линией является биекцией.

обратной функцией отображает

• линию y = mx + d, d ≠ 0 { displaystyle y = mx + d, d neq 0}на точку (- ma 2 d, б 2 d) { displaystyle left (- { tfrac {ma ^ {2}} {d}}, , { tfrac {b ^ {2}} {d}} справа)}и
• строка x = c, c ≠ 0 { displaystyle x = c, c neq 0}на точку (а 2 с, 0). { displaystyle left ({ tfrac {a ^ {2}} {c}}, , 0 right) .}

Такое отношение между точками и линиями, образованными коникой, называется полюсом -полярное отношение или полярность. Полюс — это точка, полярная линия.

Расчетным путем можно подтвердить следующие свойства полярно-полярного отношения эллипса:

• Для точки (полюса) на эллипсе полярность является касательной в этой точке (см. Диаграмму: P 1, p 1 { displaystyle P_ {1}, , p_ {1}}).
• Для полюса P { displaystyle P}вне эллипса точки пересечения его полярные с эллипсом — это точки касания двух касательных, проходящих через P { displaystyle P}(см. диаграмму: P 2, p 2 { displaystyle P_ {2}, , p_ {2}}).
• Для точки внутри эллипса полярная точка не имеет общей точки с эллипсом (см. диаграмму: F 1, l 1 { displaystyle F_ {1}, , l_ {1 }}).

1. Точка пересечения двух поляр — это полюс линии, проходящей через их полюса.
2. Фокусы (c, 0), { displaystyle (c, , 0),}и (- c, 0) { displaystyle (-c, , 0)}соответственно и директрисы x = a 2 c { displaystyle x = { tfrac {a ^ {2}} {c}}}и x = — a 2 c { displaystyle x = — { tfrac {a ^ {2}} {c}}}соответственно относятся к парам полюса и полюса.

Соотношения полюс-полярность существуют также для гипербол и парабол.

Свойства показателей

Все приведенные ниже свойства показателей относятся к эллипсу с уравнением x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 { displaystyle { frac {x ^ {2 }} {a ^ {2}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} = 1}.

Площадь

Область Эллипс { displaystyle A _ { text {ellipse}}}, заключенный в эллипс:

Эллипс = π ab { displaystyle A _ { text {ellipse}} = pi ab}

где a { displaystyle a}и b { displaystyle b}— длина большой и малой полуосей соответственно. Формула площади π ab { displaystyle pi ab}интуитивно понятна: начните с круга радиусом b { displaystyle b}(поэтому его площадь равна π b 2 { displaystyle pi b ^ {2}}) и растяните его на коэффициент a / b { displaystyle a / b}до сделать эллипс. Это масштабирует площадь с тем же коэффициентом: π b 2 (a / b) = π a b. { displaystyle pi b ^ {2} (a / b) = pi ab.}Также легко строго доказать формулу площади, используя интегрирование следующим образом. Уравнение (1) можно переписать как y (x) = b 1 — x 2 / a 2. { displaystyle y (x) = b { sqrt {1-x ^ {2} / a ^ { 2}}}.}Для x ∈ [- a, a], { displaystyle x in [-a, a],}эта кривая является верхней половиной эллипса. Таким образом, удвоенный интеграл от y (x) { displaystyle y (x)}на интервале [- a, a] { displaystyle [-a, a]}будет площадью эллипса:

Эллипс = ∫ — aa 2 b 1 — x 2 a 2 dx = ba ∫ — aa 2 a 2 — x 2 dx. { displaystyle { begin {align} A _ { text {ellipse}} = int _ {- a} ^ {a} 2b { sqrt {1 — { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}}} , dx \ = { frac {b} {a}} int _ {- a} ^ {a} 2 { sqrt {a ^ {2} -x ^ { 2}}} , dx. end {align}}}

Второй интеграл — это площадь круга радиуса a, { displaystyle a,}то есть π a 2. { displaystyle pi a ^ {2}.}Итак,

A эллипс = ba π a 2 = π a b. { displaystyle A _ { text {ellipse}} = { frac {b} {a}} pi a ^ {2} = pi ab.}

Эллипс, неявно определяемый A x 2 + B xy + C y 2 = 1 { displaystyle Ax ^ {2} + Bxy + Cy ^ {2} = 1}имеет площадь 2 π / 4 AC — B 2. { displaystyle 2 pi / { sqrt {4AC-B ^ {2}}}.}

Площадь также может быть выражена через эксцентриситет и длину большой полуоси как a 2 π 1 — e 2 { displaystyle a ^ { 2} pi { sqrt {1-e ^ {2}}}}(получено путем решения для выравнивания с последующим вычислением малой полуоси).

Окружность

Эллипсы с одинаковой окружностью

Окружность C { displaystyle C}эллипса:

C = 4 a ∫ 0 π / 2 1 — е 2 грех 2 ⁡ θ d θ = 4 a E (e) { displaystyle C , = , 4a int _ {0} ^ { pi / 2} { sqrt {1-e ^ {2} sin ^ {2} theta}} d theta , = , 4a , E (e)}

где снова a { displaystyle a}— длина большой полуоси, e = 1 — b 2 / a 2 { displaystyle e = { sqrt {1-b ^ {2} / a ^ {2}}}}— E { displaystyle E}— полный эллиптический интеграл эксрал второго рода,

E (e) = ∫ 0 π / 2 1 — е 2 грех 2 ⁡ θ d θ { Displaystyle E (e) , = , int _ {0} ^ { pi / 2} { sqrt {1-e ^ {2} sin ^ {2} theta}} d theta}

, которая в общем случае не является элементарной функцией.

Окружность эллипса может быть оценена в терминах E (e) { displaystyle E (e)}с использованием среднего арифметико-геометрического Гаусса ; это квадратично сходящийся итерационный метод.

точный бесконечный ряд :

C = 2 π a [1 — (1 2) 2 e 2 — (1 ⋅ 3 2 ⋅ 4) 2 e 4 3 — (1 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 4 ⋅ 6) 2 e 6 5 — ⋯] = 2 π a [1 — ∑ n = 1 ∞ ((2 n — 1) !! (2 n) !!) 2 e 2 n 2 n — 1] = — 2 π a ∑ N знак равно 0 ∞ ((2 n — 1) !! (2 n) !!) 2 e 2 n 2 n — 1, { Displaystyle { begin {align} C = 2 pi a left [{1- left ({ frac {1} {2}} right) ^ {2} e ^ {2} — left ({ frac {1 cdot 3} {2 cdot 4}}) right) ^ {2} { frac {e ^ {4}} {3}} — left ({ frac {1 cdot 3 cdot 5} {2 cdot 4 cdot 6}} right) ^ {2} { frac {e ^ {6}} {5}} — cdots} right] \ = 2 pi a left [1- sum _ { n = 1} ^ { infty} left ({ frac {(2n-1) !!} {(2n) !!}} right) ^ {2} { frac {e ^ {2n}} { 2n-1}} right] \ = — 2 pi a sum _ {n = 0} ^ { infty} left ({ frac {(2n-1) !!} {(2n)! !}} right) ^ {2} { frac {e ^ {2n}} {2n-1}}, end {align}}}

где п! ! { displaystyle n !!}— это двойной факториал (расширенный до отрицательных нечетных целых чисел рекуррентным (2n-1) !! = (2n + 1) !! / (2n + 1) для n ≤ 0). Этот ряд сходится, но при расширении в виде h = (a — b) 2 / (a ​​+ b) 2, { displaystyle h = (ab) ^ {2} / (a ​​+ b) ^ {2},}Джеймс Айвори и Бессель вывели выражение, сходится намного быстрее:

C = π (a + b) ∑ n = 0 ∞ ((2 n — 3) !! 2 nn !) 2 hn = π (a + b) [1 + h 4 + ∑ n = 2 ∞ ((2 n — 3) !! 2 nn!) 2 hn] = π (a + b) [1 + ∑ n = 1 ∞ ((2 n — 1) !! 2 nn!) 2 hn (2 n — 1) 2]. { displaystyle { begin {align} C = pi (a + b) sum _ {n = 0} ^ { infty} left ({ frac {(2n-3) !!} {2 ^ {n} n!}} right) ^ {2} h ^ {n} \ = pi (a + b) left [1 + { frac {h} {4}} + sum _ { n = 2} ^ { infty} left ({ frac {(2n-3) !!} {2 ^ {n} n!}} Right) ^ {2} h ^ {n} right] = pi (a + b) left [1+ sum _ {n = 1} ^ { infty} left ({ frac {(2n-1) !!} {2 ^ {n} n !}} right) ^ {2} { frac {h ^ {n}} {(2n-1) ^ {2}}} right]. end {align}}}

Шриниваса Рамануджан дает два близких приближения для окружности в §16 «Модульных уравнений и приближения к π { displaystyle pi}»; они равны

C ≈ π [3 (a + b) — (3 a + b) (a + 3 b)] = π [3 (a + b) — 10 ab + 3 (a 2 + b 2) ] { displaystyle C приблизительно pi { biggl [} 3 (a + b) — { sqrt {(3a + b) (a + 3b)}} { biggr]} = pi { biggl [} 3 (a + b) — { sqrt {10ab + 3 left (a ^ {2} + b ^ {2} right)}} { biggr]}}

и

C ≈ π ( а + б) (1 + 3 ч 10 + 4 — 3 ч). { displaystyle C приблизительно pi left (a + b right) left (1 + { frac {3h} {10 + { sqrt {4-3h}}}} right).}

Ошибки этих приближений, полученные эмпирическим путем, имеют порядок h 3 { displaystyle h ^ {3}}и h 5, { displaystyle h ^ {5},}соответственно.

В более общем смысле, длина дуги части окружности как функция от угла наклона (или x-координат любых двух точек в верхней половине эллипса), дается неполным эллиптическим интегралом . Верхняя половина эллипса параметризуется как

y = b 1 — x 2 a 2. { displaystyle y = b { sqrt {1 — { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}}}.}

Тогда длина дуги s { displaystyle s}от x 1 { displaystyle x_ {1}}до x 2 { displaystyle x_ {2}}:

s = — b ∫ arccos ⁡ x 1 a arccos ⁡ x 2 a 1 — (1 — a 2 b 2) sin 2 ⁡ zdz. { displaystyle s = -b int _ { arccos { frac {x_ {1}} {a}}} ^ { arccos { frac {x_ {2}} {a}}} { sqrt {1 — left (1 — { frac {a ^ {2}} {b ^ {2}}} right) sin ^ {2} z}} , dz.}

Это эквивалентно

s знак равно — б [E (z | 1 — a 2 b 2)] arccos ⁡ x 1 a arccos ⁡ x 2 a { displaystyle s = -b left [E left (z ; { Biggl |} ; 1 — { frac {a ^ {2}} {b ^ {2}}} right) right] _ { arccos { frac {x_ {1}} {a}}} ^ { arccos { frac {x_ {2}} {a}}}}

где E (z ∣ m) { displaystyle E (z mid m)}— неполный эллиптический интеграл второго рода с параметром m = k 2. { displaystyle m = k ^ {2}.}

Обратная функция , создающая функцию длины дуги, задается некоторой угол эллиптической функции .

Некоторая нижняя и верхняя границы окружности канонического эллипса x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1 { displaystyle x ^ {2} / a ^ {2} + y ^ {2} / b ^ {2 } = 1}с a ≥ b { displaystyle a geq b}равны

2 π b ≤ C ≤ 2 π a, π (a + b) ≤ C ≤ 4 (a + b), 4 a 2 + b 2 ≤ C ≤ 2 π a 2 + b 2. { Displaystyle { begin {align} 2 pi b leq C leq 2 pi a, \ pi (a + b) leq C leq 4 (a + b), \ 4 { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} leq C leq { sqrt {2}} pi { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}. end {выровнен}}}

Здесь верхняя граница 2 π a { displaystyle 2 pi a}— это длина окружности опис концентрической окружности проходящий через конечные точки большой оси эллипса и нижнюю границу 4 a 2 + b 2 { displaystyle 4 { sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}— это периметр вписанного ромба с вершинами на концах большой и малой осей.

Кривизна

Кривизна определяет как κ = 1 a 2 b 2 (x 2 a 4 + y 2 b 4) — 3 2, { displaystyle kappa = { frac {1} {a ^ {2} b ^ {2}}} left ({ frac {x ^ {2}} {a ^ {4}}} + { frac {y ^) {2}} {b ^ {4}}} right) ^ {- { frac {3} {2}}} ,}радиус кривизны в точке (x, y) { displaystyle (x, y)}:

ρ = a 2 b 2 (x 2 a 4 + y 2 b 4) 3 2 = 1 a 4 b 4 (a 4 y 2 + b 4 x 2) 3. { displaystyle rho = a ^ {2} b ^ {2} left ({ frac {x ^ {2}} {a ^ {4}}} + { frac {y ^ {2}} {b ^ {4}}} right) ^ { frac {3} {2}} = { frac {1} {a ^ {4} b ^ {4}}} { sqrt { left (a ^ { 4} y ^ {2} + b ^ {4} x ^ {2} right) ^ {3}}} .}

Радиус кривизны в двух вершинах (± a, 0) { displaystyle ( pm a, 0)}и центры кривизны:

ρ 0 = b 2 a = p, (± c 2 a | 0). { displaystyle rho _ {0} = { frac {b ^ {2}} {a}} = p , qquad left ( pm { frac {c ^ {2}} {a}} , { bigg |} , 0 right) .}

Радиус кривизны в двух совпадающих вершинах (0, ± b) { displaystyle (0, pm b)}и центры кривизны:

ρ 1 = a 2 b, (0 | ± c 2 b). { displaystyle rho _ {1} = { frac {a ^ {2}} {b}} , qquad left (0 , { bigg |} , pm { frac {c ^ { 2}} {b}} right) .}

В геометрии треугольника

Эллипсы появляются в геометрии треугольника как

1. эллипс Штейнера : эллипс, проходящий через вершины треугольника с центром в центроид,
2. в эллипсах : эллипсы, соприкасающиеся со стороны треугольника. Особыми случаями являются эллипс Штейнера и эллипс Мандарта.

В виде плоских сечений квадрик

Эллипсы появляются как плоские с использованием следующих квадрик :

• Эллипсоид
• Эллиптический конус
• Эллиптический цилиндр
• Гиперболоид из одного листа
• Гиперболоид из двух листов

• 

  Эллипсоид

• 

  Эллиптический конус

• 

  Эллиптический цилиндр

• 

  Гиперболоид из одного листа

• 

  Гиперболоид из двух листов

Приложения

Физика

Эллиптические отражатели и акустика

Если поверхность воды нарушается в одном фокусе эллиптического резервуара с водой, Круговые волны этого возмущения после отражения от стен одновременно сходятся к одной точке: второму фокусу. Это следствие того, что общая длина пути одинакова на любом пути отскока от стен между двумя фокусами.

Аналогично, если источник света помещен в один фокус эллиптического зеркала, все световые лучи в плоскости эллипса отражаются во втором фокусе. Так как никакая другая гладкая кривая не обладает таким свойством, ее можно использовать как альтернативное определение эллипса. (В частном случае круга с кругом в центре весь свет будет отражаться обратно к центру.) Если эллипс повернуть вдоль его большой оси, чтобы получить эллипсоидальное зеркало (в частности, вытянутый сфероид ), это свойство сохраняется для всех лучей, выходящих из источника. В качестве альтернативы можно использовать цилиндрическое зеркало с эллиптическим поперечным сечением для фокусировки света от линейной люминесцентной лампы вдоль линии бумаги; такие зеркала используются в некоторых сканерах документов.

Звуковые волны отражаются аналогичным образом, поэтому в большой эллиптической комнате человек, стоящий в одном фокусе, может замечательно хорошо слышать человека, стоящего в другом фокусе. Эффект еще более очевиден под сводчатой ​​крышей, имеющей форму вытянутого сфероида. Такая комната называется камера шепота. Тот же эффект может быть использован с двумя отражателями, расположенными между ними, расположенными сфероидами. Примеры: Национальный скульптурный зал в Капитолии США (где Джон Куинси Адамс, как говорят, использует это свойство для прослушивания вопросов); Скиния мормонов на Храмовой площади в Солт-Лейк-Сити, Юта ; на выставке звука в Музее науки и промышленности в Чикаго ; напротив Университета Иллинойса в Урбане-Шампейн Аудитория Феллингера; а также в боковой камере дворца Карла V, в Альгамбре.

планетных орбитах

В 17 веке Иоганн Кеплер обнаружил, что орбиты, по которым путешествующие вокруг Солнца, соответственно, собой эллипсы с Солнцем [приблизительно] в одном фокусе, в его первом законе движения планет. Позже Исаак Ньютон объяснил это следствие своего всемирного тяготения.

В более общем плане, в гравитационной задаче двух тел, если два тела связаны друг с другом (то есть полная энергия отрицательна), их орбиты являются подобными эллипсами, при этом общем барицентр является одним из фокусов каждого эллипса. Другой фокус любого эллипса не имеет физического физического значения. Орбита одного тела в системе отсчета другого тела также является эллипсом, а другое тело находится в том же фокусе.

Кеплеровские эллиптические орбиты являются результатом любой радиально направленной силы притяжения, сила которой обратно пропорциональна квадрату расстояния. Таким образом, в принципе двух движущихся изображений заряженных частиц. (Этот вывод игнорирует потери из-за электромагнитного излучения и квантовых эффектов, которые становятся значительными, когда частицы движутся с высокой скоростью.)

Для эллиптические орбиты, полезные соотношения, включающие эксцентриситет e { displaystyle e}:

e = ra — rpra + rp = ra — rp 2 ara = (1 + e) ​​arp = (1 — e) a { displaystyle { begin {align} e = { frac {r_ {a} -r_ {p}} {r_ {a} + r_ {p}}} = { frac {r_) {a} -r_ {p}} {2a}} \ r_ {a} = (1 + e) ​​a \ r_ {p} = (1-e) a end {align}}}

где

Кроме того, с точки зрения ra { displaystyle r_ {a}}и rp { displaystyle r_ {p}}большая полуось а { displaystyle a}— их среднее арифметическое, малая полуось b { displaystyle b}— их среднее геометрическое, а полу-latus rectum ℓ { displaystyle ell}— их среднее гармоническое значение. Другими словами,

a = ra + rp 2 b = rarp ℓ = 2 1 ra + 1 rp = 2 rarpra + rp { displaystyle { begin {align} a = { frac {r_ {a} + r_) {p}} {2}} \ [2pt] b = { sqrt {r_ {a} r_ {p}}} \ [2pt] ell = { frac {2} {{ frac { 1} {r_ {a}}} + { frac {1} {r_ {p}}}}} = { frac {2r_ {a} r_ {p}} {r_ {a} + r_ {p}} } end {align}}}.

Гармонические осцилляторы

Общее решение для гармонического осциллятора в двух или более измерениях также является эллипсом. Так обстоит дело, например, с длинным маятником, который может свободно двигаться в двух измерениях; массы, прикрепленной к фиксированной точке с помощью идеально упругой пружины ; или любого объекта, который движется под действием силы притяжения, который прямо пропорциональна его расстоянию от фиксированного аттрактора. Однако, в отличие от кеплеровских орбитов, эти «гармонические орбиты» имеют центр притяжения в геометрическом центре эллипса и имеют довольно простые уравнения движения.

Визуализация фазы

В электронике относительную фазу двух синусоидальных сигналов можно сравнить, подав их на вертикальный и горизонтальный входы осциллографа . Если изображение фигуры Лиссажу представляет собой эллипс, а не прямую линию, два совпадения по фазе.

Эллиптические шестерни

Две некруглые шестерни с одинаковым эллиптическим контуром, каждая из которых вращается вокруг одного фокуса и установлены под нужным углом, плавно поворачиваются, сохраняя при этом контакт раз. В качестве альтернативы они могут быть соединены цепью звеньев или ремнем привода ГРМ, или, в случае велосипеда, основная передняя звезда может быть эллиптической, или яйцевидная похожая на эллипс по форме. Такие эллиптические шестерни могут быть установлены в механическом оборудовании для эксплуатации угловой или крутящего момента за счет постоянного вращения ведущей оси или, в случае велосипеда, для обеспечения вращения кривошипа. скорость с обратным изменением скорости механическое преимущество.

Эллиптические велосипедные шестерни облегчают соскальзывание цепи с зубца при переключении передач.

Пример применения шестерни может быть устройство, которое наматывает резьбу на конический шпулька на прядильной машине. Шпулька должна наматываться быстрее, когда нить находится около вершины, чем когда она находится рядом с основанием.

Оптика

• Из материала, который оптически анизотропный (двулучепреломляющий ), показатель преломления зависит от направления света. Зависимость может быть описана эллипсоидом индекс . (Если материал оптически изотропный, этот эллипсоид представляет собой сферу.)
• В твердотельных лазерах с лампой накачкой использовались отражатели эллиптической формы цилиндрической. для направления света от лампы накачки (коаксиально с одной фокальной осью эллипса) на стержень активной среды (коаксиально со второй фокальной осью).
• В лазерно-плазменном производстве используются источники света EUV В литографии микрочипа свет EUV генерируется плазмой, расположенной в первичном фокусе эллипсоидного зеркала, и предназначено во вторичном фокусе на представлении литографической машины.

Статистика и финансы

В статистике двумерный случайный вектор (X, Y) вместе эллиптически распределен, если его контуры изоплотности — равных плотности плотности функция — это эллипсы. Эта концепция произвольное количество элементов случайного вектора, и в этом случае в общем случае контуры изоплотности представит собой эллипсоиды. Особым случаем является многомерное нормальное распределение. Эллиптические распределения важны в финансах, потому что, если нормы прибыли на национальном уровне распределены эллиптически, тогда все портфели могут полностью охарактеризовать их средним значением и дисперсией портфеля, то есть любыми портфелями с одинаковыми средним средним размером и дисперсией портфеля. return имеют идентичное распределение доходности портфеля.

Компьютерная графика

Рисование эллипса в виде графического примитива распространено в стандартных библиотеках отображения, таких как MacIntosh QuickDraw API и Direct2D в Windows. Джек Брезенхэм из IBM наиболее известным изобретением примитивов 2D-рисования, включая рисование линий и окружностей, с использованием только быстрых целочисленных операций, таких как сложение и переход по биту переноса. В 1967 году MLV Pitteway расширил алгоритм Брезенхэма для линий на коники. Еще одно эффективное обобщение для рисования эллипсов было изобретено в 1984 году Джерри Ван Акеном.

В 1970 году Дэнни Коэн представил на конференции «Компьютерная графика 1970» в Англии линейный алгоритм рисования эллипсов и окружностей. В 1971 г. Л. Б. Смит опубликовал аналогичные алгоритмы для всех конических сечений и доказал их хорошие свойства. Этим алгоритмам требуется всего несколько умножений и сложений для каждого события.

В компьютерной графике полезно использовать параметрическую формулировку, потому что плотность точек максимальна там, где больше всего кривизны. Таким образом, изменение наклона между каждой точкой невелико, снижает очевидную «неровность» приближения.

Рисование с использованием Безье

Составные кривые Безье также можно использовать для рисования эллипса с достаточной точностью, поскольку любой эллипс может быть истолкован как аффинное преобразование окружности. Сплайновые методы, применяемые для рисования круга круга, преподаватели для рисования эллипса, поскольку производящие кривые Безье ведут себя соответствующим образом при таких преобразованиях.

Теория оптимизации

Иногда бывает полезно найти минимальный ограничивающий эллипс для набора точек. Метод эллипсоида весьма полезен для решения этой проблемы.

См. Также

• Декартов овал, обобщение эллипса
• круговой и инконической
• Расстояние наибольшего сближения эллипсов
• Подгонка эллипса
• Эллиптические координаты, ортогональная система координат, основанная на семействах эллипсов и гипербол
• Эллиптических уравнение в частных производных
• Эллиптическое распределение в статистике
• Геодезические на эллипсоиде
• Большой эллипс
• Законы движения планет Кеплера
• n-эллипс, обобщение эллипса для n фокусов
• Овальный
• Сфероид, эллипсоид, полученный вращением эллипса вокруг его большой или малой оси
• Стадион (геометрия), двумерная геометрическая форма, построенная из прямоугольника с полукругами на паре противоположных сторон
• круговой эллипс Штейнера, уникальный эллипс, описывающий треугольник и d разделяет свой центроид
• Суперэллипс, обобщение эллипса, которое может выглядеть более прямоугольным или более «заостренным»
• Истинный, эксцентрический и означает аномалию

Примечания

Ссылки

• Безант, WH (1907). «Глава III. Эллипс». Конические сечения. Лондон: Джордж Белл и сыновья. п. 50. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Coxeter, HSM (1969). Введение в геометрию (2-е изд.). Нью-Йорк: Wiley. Стр. 115–9.
• Месерв, Брюс Э. (1983) [1959], Основные концепции геометрии, Дувр, ISBN 978-0-486-63415-9
• Миллер, Чарльз Д.; Лиал, Маргарет Л.; Шнайдер, Дэвид И. (1990). Основы алгебры колледжа (3-е изд.). Скотт Форесман / Литтл. Стр. 381. ISBN 978-0-673-38638-0 .
• Проттер, Мюррей Х.; Морри, Чарльз Б., младший (1970), Колледж по исчислению с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли, LCCN 76087042

Внешние ссылки

Лекция № 3
Нормальные
сечения эллипсоида.

Вопросы лекции:

1. Нормальные сечения
   эллипсоида. Радиусы кривизны в данной
   точки эллипсоида.

2. Расчёт рамок
   съёмочных трапеций.

1. Нормальные
   сечения эллипсоида. Радиусы кривизны
   в данной точки эллипсоида.

Через нормаль к
поверхности эллипсоида можно провести
бесчисленное множество плоскостей. Эти
плоскости, перпендикулярные к касательной
плоскости к поверхности эллипсоида в
данной точке, называются нормальными.
Кривые, образуемые от пересечения
нормальных плоскостей, проведенных в
данной точке, с поверхностью эллипсоида
называются нормальными сечениями. В
каждой точке существуют два взаимно
перпендикулярных сечения, кривизна
которых имеет максимальное и минимальное
значения; эти нормальные сечения
называются главными
нормальными сечениями.

Главными
нормальными сечениями являются
меридиональное сечение и сечение
первого вертикала. Меридиональным
сечением называется сечение, проходящее
через данную точку и оба полюса. Сечением
первого вертикала называется сечение,
проходящее через данную точку
перпендикулярно меридиональному
сечению.

Радиус кривизны
меридиана (меридионального сечения)
обозначается через М.

Радиус кривизны
первого вертикала обозначается N.

Радиус кривизны
меридиана (М)
вычисляется по формуле:.

где а
– большая полуось эллипсоида; е
– первый эксцентриситет; В
– геодезическая широта данной точки.

С увеличением
широты от В от 0 до 90º радиус кривизны
меридиана будет увеличиваться и достигнет
своего максимального значения на полюсах
при В=90º. Радиус кривизны меридианного
эллипса в полюсах называется полярным
радиусом кривизны и обозначается через
с,
тогда

Принимая
во внимание, что или
, имеем:

Учитывая, что

можно записать:

Окончательно
имеем:

Если обозначить:
,

где
W
– первая основная функция геодезической
широты, имеем:

Приняв

где V
– вторая основная функция геодезической
широты,

и учитывая, что

и

имеем:

или

Окончательно
имеем:

Для
вывода радиуса кривизны первого вертикала
можно воспользоваться теоремой: если
через точку поверхности проведены два
сечения – нормальное и наклонное, причём
в рассматриваемой точке эти два сечения
имеют общую касательную, то радиус
кривизны наклонного сечения равен
радиусу нормального сечения, умноженного
на косинус угла между плоскостями этих
двух сечений:

В
данном случае наклонное сечение это
плоскость параллели, радиус которой
можно определить по формуле:

Отсюда
радиус кривизны первого вертикала (N)
вычисляется по формуле:

или
:

справедлива
также формула :

где

Средним радиусом
кривизны в данной точке называется
предел, к которому стремится среднее
арифметическое из радиусов кривизны
нормальных сечений, когда их число
стремится к бесконечности.

Средний радиус
кривизны (R)
определяется по формуле:

где М
и N
— радиусы кривизны меридиана и первого
вертикала в данной точке.

1. Расчёт рамок
   съёмочных трапеций.

Рамками
съёмочной трапеции являются отрезки
параллелей и меридианов, поэтому расчёт
рамок съёмочных трапеций включает
определение длины дуги меридиана, длины
дуги параллели , площади съёмочной
трапеции и её диагонали.

Длина дуги
меридиана

Длина дуги (Х)
меридиана от экватора (В=0⁰)
до точки (или до параллели) с широтой
(В)
вычисляется по формуле:

где

Для контроля длину
дуги (Х)
меридиана от экватора до точки с широтой
(В)
можно также вычислить по формуле:

где:

Длина дуги (ΔX)
меридиана между параллелями с широтами
В₁
и В₂
вычисляется по формуле:

где ΔB=В₂-В₁
– приращение
широты (в угловых секундах);

— средняя широта;
ρ”
= 206264,8” – количество секунд в радиане;
М₁,
М₂
и
М_m
– радиусы
кривизны меридиана в точках с широтами
В₁,
В₂
и
В_m.

Для
контроля длину дуги (ΔX)
меридиана между параллелями с широтами
В₁
и В₂
можно вычислить по формуле:

где Х₀^В1
и Х₀^В2
— длины дуги меридиана от экватора до
параллелей с широтами В₁
и В₂

Длина
дуги параллели

Длина дуги параллели
вычисляется по формуле:

где N
– радиус кривизны первого вертикала в
точке с широтой В;

ΔL=L₂
—
L₁
– разность
долгот двух меридианов (в угловых
секундах);

ρ”
= 206264,8” – количество секунд в радиане.

Площадь
сфероидической трапеции

Часть поверхности
эллипсоида, ограниченная дугами
меридианов и параллелей, является
сфероидической трапецией .

Площадь сфероидической
трапеции на поверхности эллипсоида
вычисляется по формуле:

где L₁
и
L₂
—
долготы западного и восточного меридианов
трапеции;

В₁
и
В₂
—
долготы западного и восточного меридианов
трапеции;

b
–малая полуось эллипсоида; ρ”
= 206264,8” – количество секунд в радиане;
е — первый эксцентриситет.

Вычисление
диагонали съемочной трапеции.

Диагональ съемочной
трапеции вычисляют
по формуле:

где:

d
– длина диагонали трапеции,

ΔY_Н
– длина
дуги параллели нижней рамки,

ΔY_В–
длина дуги параллели верхней рамки
трапеции,

ΔХ
– длина
дуги меридиана левой (правой) рамки.

Соседние файлы в папке лекции

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Радиус окружности кривой линии

Рассмотрим плоскую кривую, заданную уравнением (y = fleft( x right).) Пусть в точке (Mleft( right)) проведена касательная к данной кривой, которая образует угол (alpha) с осью абсцисс (рисунок (1)). При смещении (Delta s) вдоль дуги кривой точка (M) переходит в точку (.) При этом положение касательной также изменяется: угол наклона касательной к оси (Ox) в точке () будет составлять (alpha + Deltaalpha.) Таким образом, при смещении точки кривой на расстояние (Delta s) касательная поворачивается на угол (Deltaalpha.) (Будем считать, что угол (alpha) возрастает при вращении против часовой стрелки.)

Абсолютное значение отношения (largefrac<<Delta alpha >><<Delta s>>normalsize) называется средней кривизной дуги (M.) В пределе, при (Delta s to 0,) мы получаем кривизну кривой в точке (M:) [K = limlimits_ <Delta s to 0>left| <frac<<Delta alpha >><<Delta s>>> right|.] Из приведенного определения следует, что кривизна в какой-либо точке кривой характеризует скорость вращения касательной в этой точке.

Для плоской кривой (y = fleft( x right)) кривизна в точке (Mleft( right)) выражается через первую и вторую производные функции (fleft( x right)) по формуле [K = frac <<left| right|>> <<<<left[ <1 + <<left( right)>^2>> right]>^<largefrac<3><2>normalsize>>>>.] Если кривая задана в параметрической форме уравнениями (x = xleft( t right),) (y = yleft( t right),) то ее кривизна в произвольной точке (Mleft( right)) равна [K = frac <<left| right|>> <<<<left[ <<<left( right)>^2> + <<left( right)>^2>> right]>^<largefrac<3><2>normalsize>>>>.] В случае, если кривая задана полярным уравнением (r = rleft( theta right),) кривизна находится по формуле [K = frac <<left| <+ 2 <<left( right)>^2> — rr»> right|>> <<<<left[ <+ <<left( right)>^2>> right]>^<largefrac<3><2>normalsize>>>>.] Радиусом кривизны кривой в точке (Mleft( right)) называется величина, обратная кривизне (K) данной кривой в рассматриваемой точке: [R = frac<1>.] Следовательно, для плоских кривых, заданных явным уравнением (y = fleft( x right),) радиус кривизны в точке (Mleft( right)) будет определяться выражением [R = frac <<<<left[ <1 + <<left( right)>^2>> right]>^<largefrac<3><2>normalsize>>>> <<left| right|>>.]

Очевидно, достаточно найти кривизну эллипса в точках (Aleft( right)) и (Bleft( <0,b>right)) (рисунок (2)), поскольку в силу симметрии кривой кривизна в двух противоположных вершинах эллипса будет такой же.

Для расчета кривизны удобно перейти от канонического уравнения эллипса к уравнению в параметрической форме : [x = acos t,;;;y = bsin t.] где (t) − параметр. В точке (Aleft( right)) параметр имеет значение (t = 0,) а в точке (Bleft( <0,b>right)) его значение равно (t = largefrac<pi ><2>normalsize.)

Данная функция достигает максимума в точках (x = largefrac<<2pi n>>normalsize,;n in Z.) В силу периодичности кривизна во всех точках максимума одинакова, поэтому достаточно рассмотреть лишь точку (x = 0).

В данном случае точка (x = 0) является точкой перегиба функции (y = arctan x.) Поскольку в точке перегиба вторая производная равна нулю, то кривизна здесь также должна быть равна нулю, что и показывает полученное решение.

Экспоненциальная функция (y = ) − это единственная уникальная функция, у которой производные любого порядка равны самой функции. Поэтому для кривизны данной кривой можно сразу написать следующую формулу: [ right|>> <<<<left[ <1 + <<left( right)>^2>> right]>^<largefrac<3><2>normalsize>>>> > = <frac<<>><<<<left( <1 + >> right)>^<largefrac<3><2>normalsize>>>>.> ] Знак модуля в числителе опущен, поскольку экспоненциальная функция всегда положительна.

Радиус кривизны плоской кривой

Любая линия является кривой, даже прямая. Поэтому к любой линии применимы такие характеристики как кривизна или радиус кривизны. Как правило кривизна обозначается латинской литерой k, а радиус кривизны греческой литерой ρ.

Между собой эти характеристики кривой связаны следующим образом:

k = 1/ρ (542.1)

Т.е. чем больше радиус кривой, тем меньше ее кривизна.

А теперь рассмотрим несколько частных случаев кривых.

Радиус кривизны окружности

Окружность — это плоская кривая с постоянным радиусом кривизны. Т.е. радиус окружности это и есть радиус кривизны окружности:

Как определить радиус окружности, мы рассмотрим ниже.

Кривизна дуги

Любая дуга — это часть окружности. Соответственно радиус дуги равен радиусу окружности:

Рисунок 542.1. Дуга — часть окружности

На рисунке 542.1 мы видим дугу АВ, показанную оранжевым цветом, являющуюся частью окружности с радиусом R. Кроме того, мы видим, что угол α, образованный радиусами в точках А и В, равен углу между касательными (показаны фиолетовым цветом) к окружности в этих точках.

Эти закономерности позволяют определить радиус дуги и найти центр окружности даже тогда, когда изначально мы окружность не видим, а только имеем дугу.

Понятие кривизны дуги формулируется так:

Кривизна дуги — это отношение угла между касательными, проведенными в начале и конце дуги, к длине дуги

Т.е. зная длину дуги m и угол α между касательными, мы можем определить кривизну дуги:

А так как длина дуги зависит от угла между радиусами или между касательными в концах дуги:

то, подставив значение длины дуги в уравнение (542.3), получим:

Примечание: При измерении угла между касательными не в радианах, а в градусах уравнение длины дуги имеет другой вид:

но сути дела это не меняет. Такая запись по-прежнему означает, что мы рассматриваем часть длины окружности. Так при α = 360° дуга становится окружностью

Более того, сама идея радианов на этой формуле и основана, так прямой угол 90° = П/2, развернутый 180° = П и т.д.

И еще одно интересное свойство дуги: Если соединить точки А и В прямой линией, то угол между этой линией и касательными будет равен α/2, а сама прямая линия — это и есть расстояние между точками А и В. Если дуга расположена в плоскости соответствующим образом, например так, как показано на рисунке 542.2:

Рисунок 542.2. Дуга из точки начала координат.

то расстояние между точками — это проекция l дуги на ось х. А максимальное расстояние между дугой и осью х — это стрела дуги h.

Радиус кривизны прямой линии

Любая прямая линия, даже бесконечно длинная, может рассматриваться как бесконечно малая часть окружности, т.е. как дуга. Соответственно в каких единицах измерять радиус такой окружности даже трудно представить.

Поэтому обычно прямой линией называют кривую с бесконечно большим радиусом:

k_п.л = 1/∞ = 0 (542.6)

Про до сих пор неразрешенный парадокс, возникающий при подобных подходах к прямой линии и к окружности, я уже упоминал в статье «Основы геометрии. Определения основных элементов, пятый элемент». Здесь лишь добавлю, что через прямую линию можно провести бесконечное множество плоскостей и в любой из этих плоскостей радиус кривизны прямой линии будет равен бесконечности. При этом через окружность можно провести две взаимно перпендикулярные плоскости, в одной из которых окружность будет окружностью, а в другой — прямой линией конечной длины. Поэтому

все линии, которые в одной из плоскостей имеют бесконечно большой радиус кривизны, считаются плоскими

Ну и на закуску еще несколько парадоксов, на этот раз связанных с определениями кривизны и радиуса:

1. Из уравнения (542.1) можно сделать вывод, что:

kp = 1 (542.7)

Соответственно для прямой линии:

0·∞ = 1 (542.7.2)

Т.е. если бесконечно много раз взять ноль, то на единичку мы наскребем. Впрочем дальше будет еще веселее.

2. Если прямая — это дуга с бесконечно большим радиусом, соответственно касательные, проведенные в концах такой дуги, совпадают с прямой, а угол, образованный касательными, равен нулю.

Это означает, что радиусы проведенные в концах дуги — прямой линии, являются параллельными прямыми и не могут пересекаться. А между тем по определению это радиусы, которые обязательно должны сходиться в некоторой точке — центре окружности.

Получается, что параллельные прямые пересекаться не должны, но где-то в бесконечности все-таки пересекаются.

Разрешить этот парадокс пытались многие математики, однако в пределах евклидовой геометрии при принятом толковании определений данный парадокс не разрешим.

Радиус кривизны точки

Точка — это самый простой и самый сложный элемент геометрии. Одни считают, что точка не имеет размеров, а значит и определить кривизну или радиус кривизны точки не возможно. Другие, в частности Евклид, считают, что точка не имеет частей, а каковы при этом размеры точки — не совсем понятно. Я же считаю, что точка — это начальный, далее не делимый элемент геометрии, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с остальными рассматриваемыми элементами. В этом случае для точки будут справедливыми следующие уравнения кривизны и радиуса кривизны:

k_т. = 1/0 = ∞ (542.9)

И хотя нас с первых лет обучения в школе учат, что делить на 0 нельзя и даже встроенный в операционную систему калькулятор пишет, что «деление на ноль невозможно», тем не менее делить на ноль можно, а результатом деления всегда будет бесконечность.

Как и в случае с прямой мы имеем парадоксальный результат, выражаемый формулой (542.5.2). Тем не менее точку также можно отнести к плоской кривой, имеющей постоянный радиус кривизны.

Примечание: На мой взгляд большинство из описанных выше парадоксов возникают из-за неправильного толкования понятия «бесконечность». Бесконечность как некая абсолютная величина не имеет пределов, а значит и никакому измерению не поддается. Кроме того бесконечность — это даже не постоянная, а переменная величина. Например луч — это прямая линия с началом в некоторой точке. Длина луча может быть бесконечно большой. При этом прямая линия тоже может быть бесконечно длинной при этом не иметь ни начала ни конца. Получается, что с одной стороны бесконечно длинный луч вроде бы в 2 раза короче, чем бесконечно длинная прямая. А с другой стороны длины их бесконечны и поэтому равны.

Возможным выходом из этой ситуации является принятие понятия «бесконечность», как относительного. Например, кривизна прямой линии является пренебрежимо малой величиной по отношению к радиусу кривизны. Или радиус кривизны прямой линии несопоставимо больше кривизны. Подобные толкования допускают и наличие кривизны прямой и некое конечное значение радиуса кривизны прямой и многое другое. Я бы назвал такой относительный подход к рассмотрению проблемы реалистичным, а подходы, использующие абсолютные понятия — идеализированными. Впрочем прямого отношения к теме данной статьи это не имеет. Продолжим рассмотрение плоских кривых.

И окружность и прямая линия являются плоскими кривыми с постоянным радиусом кривизны. При этом радиус кривизны прямой линии всегда известен, так как равен бесконечности, а для окружности всегда можно определить радиус, воспользовавшись теоремой Пифагора. Так в частном случае, если центр окружности совпадает с началом координат рассматриваемой плоскости (u = 0; v = 0 — координаты центра окружности), то:

Рисунок 541.4. Радиус окружности, как гипотенуза прямоугольного треугольника.

R 2 = x 2 + y 2 (541.1.2)

А в общем случае, когда координаты центра окружности не совпадают с началом координат:

Рисунок 542.3. Окружность, центр которой не совпадает с началом координат.

R 2 = (x — u) 2 + (y — v) 2 (542.10)

Но в жизни достаточно часто приходится сталкиваться с кривыми, радиус кривизны которых — не постоянная величина. Более того, этот радиус может изменяться в двух плоскостях измерения. Тем не менее так далеко углубляться в геометрию и алгебру мы не будем и далее рассмотрим, как можно определить радиус плоской кривой в некоторой точке.

Плоские кривые с изменяющимся радиусом кривизны

Примеров плоских кривых с изменяющимся радиусом кривизны очень много, это и гиперболы, и параболы, и синусоиды и т.п. Определение радиуса кривизны таких кривых основано на следующих теоретических предпосылках:

1. Любую окружность можно рассматривать как некоторое множество дуг.

2. Если количество дуг, составляющих окружность, стремится к бесконечности, то соответственно длина таких дуг стремится к нулю (m → 0).

3. Если мы обозначим длину такой очень короткой дуги как приращение функции длины окружности (m = Δl), то уравнение кривизны (542.3) примет следующий вид:

(542.3.1)

4. Тогда любую плоскую кривую с изменяющимся радиусом можно рассматривать как стремящееся к бесконечности множество дуг с постоянным радиусом. Другими словами в пределах любой кривой, описываемой параметрическими уравнениями, всегда можно выделить дугу, пусть даже и очень малой длины, стремящейся к точке и определить для нее кривизну и радиус кривизны в рассматриваемой точке.

Это означает, что самый точный способ определения радиуса кривизны в таком случае — это использование дифференциальных исчислений. В общем случае для этого нужно два раза продифференцировать уравнение радиуса окружности (542.10) по аргументу функции х, а затем извлечь квадратный корень из полученного результата. В итоге (полный вывод уравнения здесь не привожу из-за повышенной сложности записи, а для особо заинтересованных есть справочники и другие сайты) мы получим следующую формулу для определения радиуса кривизны:

(542.11)

Соответственно кривизна плоской кривой в рассматриваемой точке будет равна:

(542.12)

В частном случае, когда тангенс угла между касательными — первая производная от функции — является относительно малой величиной, например, tg2° = 0.035 соответственно (tg2°) 2 = 0.0012, то влиянием куба суммы первой производной и единицы на кривизну можно пренебречь (значение знаменателя дроби сводится к единице) и тогда:

k = y» = d 2 y/dx 2 (542.12.2)

Т.е. формально в таких случаях кривизной считается не отношение угла наклона между касательными к длине дуги, а некоторая величина, примерно соответствующая высоте h на рисунке 542.2.

Эта особенность второй производной очень активно используется в частности для упрощения определения прогиба элементов строительных конструкций.

На этом пока все.

Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье «Записаться на прием к доктору»

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV

Для Украины — номер гривневой карты (Приватбанк) 5168 7422 4128 9630

Категории:

• Расчет конструкций . Основы прикладной геометрии

Оценка пользователей:
10.0 (голосов: 1)

Переходов на сайт:
6701

Комментарии:

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье «Записаться на прием к доктору» (ссылка в шапке сайта).

Радиус, круг и центр кривизны

Вы будете перенаправлены на Автор24

Смысл понятий радиуса, круга и центра кривизны

В технических приложениях часто оказывается удобным использовать окружности для приближенной замены кривой в окрестностях рассматриваемых точек. Это существенно упрощает решение целого ряда задач за счет применения более удобных выражений.

Наиболее употребительными характеристиками любой кривой являются касательная и нормаль. Касательная — предельное положение секущей $MN$ при неограниченном приближении точки $N$ к точке $M$ вдоль кривой. Нормаль — прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной.

Уравнение касательной в точке $Mleft(x_ <0>,y_ <0>right)$ к кривой $y=fleft(xright)$ имет вид $y-y_ <0>=y’left(x_ <0>right)cdot left(x-x_ <0>right)$, уравнение нормали $y-y_ <0>=-frac<1> right)> cdot left(x-x_ <0>right)$.

Записать уравнения касательной и нормали к кривой $y=3cdot x^ <2>-x+2$ в заданной точке $x_ <0>=1$.

Значение функции в заданной точке: $y_ <0>=yleft(x_ <0>right)=yleft(1right)=3cdot 1^ <2>-1+2=4$.

Значение производной в заданной точке:

[y’=left(3cdot x^ <2>-x+2right)^ <<‘>> =6cdot x-1; y’left(x_ <0>right)=y’left(1right)=6cdot 1-1=5.]

Уравнение касательной: $y-4=5cdot left(x-1right)$ или $5cdot x-y-1=0$.

Уравнение нормали: $y-4=-frac<1> <5>cdot left(x-1right)$ или $x+5cdot y-21=0$.

Радиус кривизны — это параметр кривой, значение которого обратно значению кривизны $R=frac<1> $. Следовательно, это такая же переменная величина, как и кривизна.

Если в данной точке $M$ построить нормаль к кривой и отложить на ней в сторону вогнутости кривой отрезок, равный по длине радиусу кривизны кривой в этой точке, то получим точку — центр кривизны. Окружность с центром в полученной точке и радиусом, равным радиусу кривизны — это круг кривизны. Так как данная кривая и её круг кривизны касаются в данной точке, то они имеют в данной точке общую касательную. Кроме того, значения кривизны кривой и круга кривизны в данной точке совпадают.

Важным свойством круга кривизны является то, что он является соприкасающимся кругом, то есть предельным положением круга, проходящего через три точки кривой, стремящимся к совпадению в данной.

Если некоторая точка перемещается вдоль кривой, то и соответствующий ей центр кривизны также описывает некоторую кривую. Геометрическое место центров кривизны данной кривой называется её эволютой. При этом данная кривая по отношению к своей эволюте называется её эвольвентой.

Вычисление радиуса и определение центра круга кривизны

Формулы для радиуса кривизны получить легко, если известны формулы для вычисления кривизны кривой.

При произвольном параметрическом задании кривой $x=xleft(tright)$ и $y=yleft(tright)$ имеем $R=frac <sqrt<left(left(x’_right)^ <2>+left(y’_ right)^ <2>right)^ <3>> > cdot x’_ -x»_ cdot y’_ > $.

Если кривая задана в явном виде $y=fleft(xright)$, то $R=frac <sqrt<left(1+left(y’right)^<2>right)^ <3>> > $.

Если кривая задана в полярных координатах $rho =rho left(phi right)$, то $R=frac <sqrt<left(rho ^<2>+left(rho ‘_ <phi >right)^ <2>right)^ <3>> > <rho ^<2>+2cdot left(rho ‘_ <phi >right)^ <2>-rho cdot rho »_ <phi phi >> $.

Готовые работы на аналогичную тему

Найти радиус кривизны экспоненты $y=e^ $ при $x=0$.

Находим производные: $y’=e^ $; $y»=e^ $.

По формуле для радиуса кривизны получаем:

Вычисляем радиус кривизны экспоненты при $x=0$:

Найти радиус кривизны кардиоиды $rho =1+cos phi $.

Находим производные: $rho ‘=-sin phi $; $rho »=-cos phi $.

[rho ^ <2>+rho ‘^ <2>=left(1+cos phi right)^ <2>+left(-sin phi right)^ <2>=2cdot left(1+cos phi right);] [rho ^ <2>+2cdot rho ‘^ <2>-rho cdot rho »=left(1+cos phi right)^ <2>+2cdot left(-sin phi right)^ <2>-left(1+cos phi right)cdot left(-cos phi right)=] [=3cdot left(1+cos phi right).]

По формуле для радиуса кривизны получаем:

Найдем координаты центра кривизны $Pleft(x_ ;y_ right)$ кривой $y=fleft(xright)$.

Координаты центра кривизны для точки $Mleft(x;yright)$ удовлетворяют уравнению нормали $y_ -y=-frac<1> cdot left(x_ -xright)$.

Уравнение круга кривизны: $left(x-x_ right)^ <2>+left(y-y_ right)^ <2>=R^ <2>$.

Координаты центра кривизны по существу являются параметрическими уравнения эволюты.

Найти эволюту параболы $y=x^ <2>$. Результаты представить графически.

Находим производные: $y’=2cdot x$; $y»=2$.

По формулам $left<begin =x-frac right)> > \ =y+frac <1+y’^<2>> > endright. $ находим координаты центра кривизны для произвольной точки $Mleft(x;yright)$.

Полученные выражения фактически представляют собой параметрические уравнения эволюты, в которых $x$ является параметром. Если исключить параметр $x$ из этих уравнений, то может быть получено уравнение вида $Fleft(x_ ;y_ right)=0$, которое непосредственно связывает координаты эволюты.

Совмещенный график эвольвенты $y=x^ <2>$ и её эволюты:

На графике синей линией изображена парабола $y=x^ <2>$, а красной линией — её эволюта. Эволюта представляет собой полукубическую параболу.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 30 11 2022

Радиус — кривизна — эллипс

Cтраница 1

Радиус кривизны эллипса рэ при зацеплении зубьев в полюсе рэ a / b d / ( 2 cos2 P) одновременно представляет собой радиус делительной окружности эквивалентного прямозубого цилиндрического колеса.
 [1]

Теперь нужно найти радиус кривизны эллипса в точке А.
 [2]

Окружность 2 — крайняя правая; радиус ее является радиусом кривизны огибающего эллипса в точке / 2, а вершина располагается в крайней правой точке ( точка С) участка ABC вспомогательного эллипса. Окружность 3 — средняя окружность, она имеет наибольший радиус и касается огибающего эллипса в наивысшей его точке — точке В, а вершина этой окружности располагается в наивысшей точке ( точка В) участка ABC вспомогательного эллипса. Наконец, окружность 4 — это окружность общего положения ( текущая окружность рассматриваемого семейства), она касается огибающего эллипса в точке М и имеет вершину в точке N, лежащей на участке ABC вспомогательного эллипса. Окружности общего расположения всплошную заполняют заштрихованную на рис. 5.32, г область. Каждой точке участка ABC вспомогательного эллипса соответствует определенное значение коэффициента иа, а следовательно, и определенный тип напряженного состояния. Точки F, и F % — точки пересечения вспомогательного эллипса с осью абсцисс — являются фокусами огибающего эллипса.
 [3]

Для определения условий зацепления шевера и колеса заменяем действительный шевер условным, с радиусом, равным радиусу кривизны эллипса в точке малой полуоси. Радиус условного шевера Qycjl определяем по приведенной формуле. Аналогично пересчитываем радиусы условных начальных окружностей нового и переточенного шевера.
 [4]

Для определения условий зацепления шевера и колеса заменяем действительный шевер условным, с радиусом, равным радиусу кривизны эллипса в точке малой полуоси. Радиус условного шевера дусл определяем по приведенной формуле. Аналогично пересчитываем радиусы условных начальных окружностей нового и переточенного шевера.
 [5]

Приведенное число зубьев zt есть то число зубьев, которое имеет фреза с радиусом Rt, соответствующим радиусу кривизны эллипса в направлении малой его оси.
 [6]

Приведенное число зубьев z — t есть то число зубьев, которое имеет фреза с радиусом R [ t соответствующим радиусу кривизны эллипса в направлении малой его оси.
 [7]

На рис. 5.32, в изображены оба эллипса и четыре окружности Мора из бесконечного множества окружностей семейства, соответствующего выбранной комбинации оокт и токт. Окружность / — крайняя левая; радиус ее является радиусом кривизны огибающего эллипса в точке / Сь а вершина располагается в крайней левой точке ( точка А) участка ABC вспомогательного эллипса.
 [8]

Геометрическое истолкование этого наблюдения такое: функция / имеет в точке t0 особенность A i, если и только если нормаль к эллипсу, восстановленная в точке у ( f0), проходит через точку ( 1 / 2, 0), и особенность Л2, если и только если точка ( 1 / 2, 0) является центром кривизны эллипса в точке v ( A) ( ср. На рис. 3.1 изображен образ кривой б для двух значений Ь, а именно b 1 / 2 и. Учитывая, что радиус кривизны эллипса в точках ( 1, 0) и ( — 1, 0) равен Ь2 ( см. упр.
 [10]

Исключение составляют, разумеется, те точки, где радиус кривизны имеет экстремальное значение. Так, вблизи вершины О, где радиус кривизны параболы имеет минимальное значение, парабола целиком лежит вне круга кривизны Ct. Напротив, вблизи вершины В, где радиус кривизны эллипса имеет максимальное значение, эллипс ( см. рис. 180) располагается целиком внутри соответствующего круга кривизны С.
 [11]

Страницы:  

   1