Угол может измеряться следующими величинами:
- Градусами (и соответствующими ему величинами: угловыми минутами и секундами);
- Радианами.
Градусная мера угла
Если взять развернутый угол (это два прямых угла) и поделить его на 180 частей, то одна такая часть будет называться одним градусом. Для того, чтобы измерить градусную меру угла, необходимо посчитать, сколько раз 1 градус входит в данный угол. Полученное число и будет ответом.
Если угол таков, что его нельзя измерить целым числом, либо же он меньше единичного угла, то используют такие меры измерения как угловые минуты и секунды.
Если градус поделить на 60 частей, то одной такой частью будет минута. В свою же очередь, если минуту разделить на те же 60 частей, то полученным числом будет 1 секунда.
Радианная мера угла
Радианом называют угол, образованный дугой окружности длинной равной радиусу этой окружности.
Длина окружности равна:
l=2⋅π⋅rl=2cdotpicdot r,
где rr — радиус этой окружности.
Тогда, разделив на радиус, получаем, что полный угол в радианах равен:
lr=2⋅π⋅rr=2⋅π радианfrac{l}{r}=frac{2cdotpicdot r}{r}=2cdotpitext{ радиан}
В градусах этот же угол равен, как известно, 360∘360^{circ}.
Отсюда находим связь между радианами и градусами:
2⋅π радиан=360∘2cdotpitext{ радиан}=360^{circ}
Это та главная формула, которая нужна, чтобы переводить градусы в радианы и наоборот.
Один радиан равен:
1 радиан=360∘2⋅π≈57.3∘1text{ радиан}=frac{360^{circ}}{2cdotpi}approx57.3^{circ}
Один радиан в минутах:
1 радиан=360∘2⋅π⋅60≈3438′1text{ радиан}=frac{360^{circ}}{2cdotpi}cdot60approx3438′
Один радиан в секундах:
1 радиан=360∘2⋅π⋅60⋅60≈206280′′1text{ радиан}=frac{360^{circ}}{2cdotpi}cdot60cdot60approx206280»
Перевод градусов в радианы
Если по условию известна градусная мера угла, то чтобы перевести ее в радианную, нужно сделать следующие действия: умножить ее на πpi и разделить на 180.
y радиан=π180⋅xytext{ радиан}=frac{pi}{180}cdot x
xx — значение угла в градусах;
yy — значение того же угла в радианах.
Переведите 45 градусов в радианную меру измерения. Ответ округлите до десятой доли.
Решение
45∘=π180⋅45 радиан≈0.8 радиан45^{circ}=frac{pi}{180}cdot 45text{ радиан}approx0.8text{ радиан}
Ответ
0.8 радиан0.8text{ радиан}
Земля совершила треть от половины оборота вокруг Солнца. На какой угол в радианах она повернулась?
Решение
Найдем сначала этот угол в градусах. Полный угол составляет 360∘360^circ. Половина от полного оборота это 180∘180^{circ}. Нам же нужна треть этого угла, то есть:
180∘3=60∘frac{180^circ}{3}=60^circ
Земля отклонилась на угол 60∘60^circ от своего начального положения. Переведем теперь этот угол в радианы:
60∘=π180⋅60 радиан≈1 радиан60^circ=frac{pi}{180}cdot 60text{ радиан}approx1text{ радиан}
Решение
1 радиан1text{ радиан}
Перевод радиан в градусы
Чтобы перевести радианы в градусы, нужно умножить угол в радианах на 180 и разделить на πpi.
y∘=180π⋅xy^{circ}=frac{180}{pi}cdot x
xx — значение угла в радианах;
yy — значение того же угла в градусах.
Переведите 3 радиана в градусную меру угла.
Решение
3 радиана=180π⋅3≈172∘3text{ радиана}=frac{180}{pi}cdot3approx172^circ
Ответ
172∘172^circ
Ищете, где можно заказать задачу по математике недорого? Обратитесь к нашим экспертам в данной области!
Тест по теме «Перевод градусов в радианы и наоборот»
Перевод градусов в радианы и обратно
- Главная
- /
- Математика
- /
- Геометрия
- /
- Перевод градусов в радианы и обратно
Чтобы перевести градусы в радианы и обратно, воспользуйтесь нашим удобным онлайн конвертером:
Перевод градусов в радианы
°
Округление ответа: Округление числа π:
Просто введите значение угла в градусах и получите результат в радианах с подробным решением.
Перевод радиан в градусы
Числовое значение:
рад.
=
0
°
Значение с π:
⋅π рад. =
180
°
Округление ответа: Округление числа π:
Просто введите значение угла в радианах и получите результат в градусах с подробным решением.
Теория
Градусы в радианы
Чтобы перевести градусы в радианы, нужно воспользоваться следующий формулой:
Формула
рад. = гр. ⋅ π180
Пример
К примеру, переведём 45° в радианы:
45°=45 ⋅ 3.14180=0.785 рад.
45°=45 ⋅ π180=45 : 45 ⋅ π180 : 45=π4 рад.
Радианы в градусы
Чтобы перевести радианы в градусы, нужно воспользоваться следующий формулой:
Формула
гр. = рад. ⋅ 180π
Пример №1
К примеру, переведём 0.785 рад. в градусы:
0.785 рад.=0.785 ⋅ 1803.14=45°
Пример №2
К примеру, переведём π4 рад. в градусы:
π4 рад.=π4 ⋅ 180π=1804=45°
Наталья Игоревна Восковская
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Что такое радиан
Радиан — это мера угла, альтернативная более привычной градусной.
Определение 1
Один радиан — это угол, который стягивает дуга, длина которой равна радиусу окружности, причём сам угол берёт начало в центре рассматриваемой окружности. Кратко единица измерения «радиан» обозначается сокращением «рад».
Так как радиан является отношением длины к длине, то он является величиной безразмерной. Однако для удобства и избегания путаницы обозначения радианной меры с какой-либо ещё, радианную меру угла принято подписывать «рад».
Формулы и правила
Для того чтобы узнать количество радиан, которые содержит в себе угол, нужно длину дуги разделить на радиус окружности. Размер полного угла из определения радиана равен $2π$ рад.
Через радианную меру можно выразить длину дуги, которая стягивает угол, она будет равна $α cdot R$, где $R$ — радиус окружности, а $α$ — мера угла, выраженная в радианах.
Теперь немного отвлечёмся и узнаем, что такое число $π$.
Определение 2
Число $π$ — это отношение длины окружности к её диаметру. Вне зависимости от диаметра окружности, оно всегда одно и то же и приблизительно равно $3,1415$.
Соответственно определению числа $π$, длина всей окружности равна $2π$, что соответствует величине полного углового оборота, то есть $360º$. Число $π$ используют в радианной мере.
Рисунок 1. Число пи в радианах равно 3,1415. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
«Градусы в радианы: формула» 👇
А сейчас рассмотрим, как осуществить перевод из рад в градусы. Для этого нужно помнить, что число «Пи» равно $180º$ и при необходимости перевода радиан в градусы подставлять вместо $π$ это значение.
Пример 1
Найдите, сколько градусов в 1 радиане.
Решение
В половине окружности, равной 180 градусам, содержится приблизительно 3,1415 радиан, соответственно, для того чтоб найти, сколько градусов в одном радиане, нужно 180 разделить на число «Пи», получим:
$1 рад = frac{180}{ π} ≈ 57,29º$
В случае же если нужно осуществить перевод углов в градусах в радианы, необходимо значение в радианах для одного градуса умножать на градусное значение угла.
Пример 2
Чему равен 1 градус в радианах?
Решение
Число π соответствует $180º$, то есть: $π= 180º$, а один градус в 180 раз меньше, чем 180 градусов. Поэтому необходимо всё выражение разделить на $180$, получаем: $1º= frac{π}{180}left(1right)$. Теперь вы знаете, сколько радиан в 1 градусе.
Для того чтобы перевести любой угол в радианы, достаточно число, полученное для угла в один градус с использованием формулы $(1)$ умножить на значение угла в градусах, например:
$45º=frac{π cdot 45}{180} = frac{ π}{4}$
В общем виде эта формула для перевода угла, заданного в градусах в радианы будет выглядеть так:
$y рад = frac{π cdot x}{180}$, где $x$ — градусная мера угла, а $y$ — мера угла в радианах.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Онлайн калькулятор для перевода углов из радиан в градусы и обратно, интерактивная таблица градусов и радиан.
Формула перевода радианов в градусы: x°=храд⋅180/π
Точное число чему равен 1 радиан в градусах:
1 радиан = 57.29577951308 градуса
Радиан (обозначение: рад, rad) — угол, соответствующий дуге, длина которой равна её радиусу.
×
Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:
×
Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»
Для установки калькулятора на Android — просто добавьте страницу
«На главный экран»
Радиан — основная единица измерения плоских углов в математике.
Один радиан равен центральному углу окружности, длина дуги которого равна радиусу этой окружности:
radius (лат.) — луч, радиус
Радиан — это безразмерная величина, поскольку отражает соотношение длины дуги окружности к длине радиуса.
$$
angle POM = 1 text{ рад} = left ( frac{180}{pi}right)^{circ} approx 57,3 ^{circ}
$$
Величина полного угла равна 2π (два Пи) радиан, так как длина окружности — это 2π радиусов.
Неверно говорить, что π = 180°, правильно говорить π радиан = 180°, при этом π = 3,14…
При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись. Само обозначение рад (rad) зачастую опускается. Радианы в силу своей математической «натуральности» позволяют более элегантно сформулировать ряд важных математических результатов.
Мое: мы живем на шаре. Земля у нас только одна, поэтому удобно принять ее радиус за 1. Мы ходим по поверхности, можем измерять пройденное расстояние по дуге. Поэтому очень естественно рассматривать углы на окружности. Никогда не понимала этого скачка от углов в прямоугольном треугольнике к углам в окружности — объяснение, что надо выйти за рамки острых углов ничего не объясняет.
Если я прошел по дуге 1 радиус земли, то на какой угол отклонился от первоначального положения? на 1 радиан — вводим единицу для измерения углов.
Какой смысл писать «я прошел 1 радиус Земли» или 1 метр или километр? мы все длины меряем в радиусах Земли, всегда имеем в виду радиус земли, других единиц нет — нет других планет и нет других народов, которые бы выбрали другую единицу длины. Если я один, буду ли я писать единицы измерения? нет, само собой, всегда подразумевается та единственная единица, которую я себе выбрал. В математике никогда не пишут единицы измерения длины, и не потому что длина — безразмерная величина, а потому что мы опускаем единицу измерения, абстрагируемся от нее. Но как только в задаче появляются см и дюймы, мы должны писать единицу измерения, чтобы не было неоднозначности. Или же сразу перевести все данные в задаче в одну систему.
Такие же рассуждения касаются угла. Радиан — это естественная единица измерения углов, другой в математике нет, и поэтому ее не пишут, опускают.
Радиан — это безразмерная величина, поскольку отражает соотношение длины дуги окружности к длине радиуса.
Нет, угол 1 радиан — это угол, соответствующий дуге, длина которой равна её радиусу. Если в задаче появляются градусы, румбы, грады или другие единицы измерения углов, то слово радиан опускать нельзя. Радиан — это и есть единица измерения, это не величина, и тем более не безразмерная величина.
Фактически, люди договорились, что если нет никакого слова при числе, выражающем меру угла — то угол измерен в радианах.
Википедия: Радианная мера — угловая мера, в которой за единицу принимается угол в 1 радиан. То есть, радианная мера любого угла — это отношение этого угла к радиану [сколько единичных углов помещается в наш измеряемый угол]. Из определения следует, что величина полного угла равна 2π радиан [R=1, 2π*1/1 = 2π]
Международное обозначение: rad. Если есть обозначение, то величина размерная.
Более того, есть 103 рад = килорадиан = крад = krad, 106 рад = мегарадиан = Мрад = Mrad и т.д.
Википедия: 1 радиан = 1/(2π) оборотов = 180/π градусов = 200/π градов.
Если один отрезок в 2 раза длиннее единичного отрезка, то мы же не говорим, что его длина является безразмерной величиной: 2 м / 1 м = 2 (метры сократились). Второй отрезок имеет длину 2 м, но в математике мы не пишем единицу измерения. Точно также — если расстояние по дуге в 2 раза больше радиуса окружности, это не значит что мера угла = 2, она равна 2 радианам, слово радиан опускаем для краткости.
Иначе нужно всегда когда речь идет об отношении двух длин говорить, что оно, отношение, измеряется в радианах.
И тут же фраза:
Неверно говорить, что π = 180°, правильно говорить π радиан = 180°
То есть сами признают, что слово радиан в этом контексте опускать нельзя — так как появились градусы, ситуация неоднозначная.
Википедия: Определить радианную меру можно и так: радианная мера угла — отношение длины дуги окружности, находящейся между сторонами угла, к радиусу этой окружности, когда центр окружности совпадает с вершиной угла. Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности (м) к длине её радиуса (м), угол в радианном измерении — величина безразмерная.
Перепутали алгоритм расчета с сутью дела.
Википедия: Безразмерность плоского угла означает, что единицей его измерения является число один. Однако, применительно к плоскому углу единице «один» было присвоено специальное наименование «радиан» для того, чтобы в каждом конкретном случае облегчить понимание того, какая именно величина имеется в виду[9].
Как бы не выбирали единицу длины, угловая мера в радианах будет одинакова. Никак угловая мера угла не зависит от выбранной единицы длины. Если есть угол, у него есть угловая мера, и она не меняется если см заменить на м. Для измерения углов надо выбирать независимую единицу измерения — градус или радиан или град или оборот. Перл «единицей измерения угла является число один» вообще ни в какие ворота не лезет. Число — это уже единица измерения, оказывается.
Координаты точки — размерные или нет? Никогда не пишем (2 м; 3 м), но ведь всегда произносим — отсчитай 3 клетки вверх или 2 клетки вправо. Координаты измеряем в единичных отрезках. Длина отрезка — размерная величина. Число 1 в алгебре, оно ничего не знает о введенной метрике.
Далее, косинус и синус — размерные ли величины? если синус и косинус — отношение катета к гипонузе, то безразмерные. А если синус и косинус — координаты точки на единичной окружности, то может и размерные, так как чтобы найти координаты, нужно измерить расстояние до начала координат.
А если аксиоматически вводится скалярное произведение, а уже через него — длины и углы
Будем говорить, что в вещественном или комплексном векторном пространстве $L$ определено скалярное произведение, если каждой паре векторов $mathbf {a} ,mathbf {b} $ из $L$ поставлено в соответствие число $ (mathbf {a} ,mathbf {b} )$ из того числового поля, над которым задано $L$, удовлетворяющее следующим аксиомам.
1. линейность скалярного произведения по первому аргументу
2. Для любых $ mathbf {a} ,mathbf {b} $ справедливо равенство $(mathbf {a} ,mathbf {b} )={overline {(mathbf {b} ,mathbf {a} )}}$, где черта означает комплексное сопряжение.
3. Для любого $ mathbf {a} $ имеем: $ (mathbf {a} ,mathbf {a} )geqslant 0$, причём $ (mathbf {a} ,mathbf {a} )=0$ только при $ mathbf {a} =0$
Вводятся производные понятия:
-
Длина вектора, под которой обычно понимается его евклидова норма: $ |mathbf {a} |={sqrt {(mathbf {a} ,mathbf {a} )}}$
-
Углом $ varphi $ между двумя ненулевыми векторами евклидова пространства (в частности, евклидовой плоскости) называется число, косинус которого равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению их длин (норм): $ cos varphi ={frac {(mathbf {a} ,mathbf {b} )}{|mathbf {a} ||mathbf {b} |}} (0leqslant varphi leqslant pi ).$
Углом называется число, это раз. Косинус — безразмерная величина, это два. Скалярное произведение измеряется в м^2, тогда и координаты измеряются в м (ведь скалярное произведение находят как сумму произведений координат попарно). Как найти косинус — не сказано, это три. Например, можно косинус определять через ряды. Или берут гиперболический косинус в псевдоевклидовом пространстве.
Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю.
Короче, главное — скалярное произведение. Длины и углы вторичны.
В математике не используют единицы измерения, и радиан тут ничем не примечателен — такой же «безразмерный», как и длина, скалярное произведение или производная.
1 рад = $ {frac {360^{circ }}{2pi }}approx 57{,}295779513^{circ }approx 57^{circ }17’44{,}806»$ (мнемоническое правило запоминания в градусах-минутах-секундах: «Число радиана и порядок шутя пишу наизусть»
Опять из википедии, немного ниже:
При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись; при этом само обозначение рад (rad) часто опускается.
Опускается — значит, размерность есть, просто не пишется.