Содержание:
Путь и перемещение:
Вы знаете, что любой вид движения совершается по определенной траектории.
Траектория — это линия, которую описывает материальная точка при своем движении в данной системе отсчета. Эта линия может быть и невидима, например, траектория движения рыбы в воде, самолета в небе, пчелы в воздухе и др., которые можно только вообразить. По форме траектории механическое движение делится на прямолинейное и криволинейное.
Движение, траектория которого представляет собой прямую линию относительно данной системы отсчета, называется прямолинейным движением (b), а движение, траектория которого кривая линия, — криволинейным (с).
Длина траектории движения материальной точки, называется пройденным путем. Пройденный путь является положительной скалярной величиной, обозначается буквой 
Для полного описания движения материальной точки необходимо определить изменение его положения в пространстве с течением времени, т.е. определить изменение координат материальной точки, или же изменение его радиус-вектора.
Изменение любой физической величины равно разности его конечного и начального значений и обозначается знаком 
(буква греч. алфавита) перед этой величиной.
Изменение координат материальной точки во время движения
Изменение координат материальной точки во время движения может быть, как положительным, так и отрицательным. Например, предположим, что муравей, двигаясь по показанной на рисунке траектории, попадает из точки М в точку N (d). Так как координата муравья по оси X увеличивается 
то изменение координаты по этой оси будет положительным: 
Координата же муравья по оси У уменьшается 
поэтому изменение его координаты по этой оси будет отрицательным: 
Изменение радиус-вектора материальной точки во время движения
На следующем рисунке представлены радиус-векторы 
и 
начального и конечного положения, материальной точки (муравья) соответственно (е). Вектор 
соединяющий концы этих радиус-векторов 
называют перемещением данной материальной точки за промежуток времени 
Согласно правилу сложения векторов: 
Из последнего выражения получается, 
или 
где 
— перемещение материальной точки.
Перемещение — это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение движущейся материальной точки с ее конечным положением. Перемещение — векторная величина.
Векторная величина — это величина, определяемая, кроме числового значения (модуля), также и направлением.
К вектору перемещения, как векторной величине, можно применить известные действия над векторами — сложение и вычитание векторов, определение результирующего вектора методом треугольника и параллелограмма.
Единицей измерения перемещения, как и пути, в СИ является метр, однако, перемещение имеет отличающийся физический смысл: перемещение показывает, на какое расстояние и в каком направлении изменилось начальное положение материальной точки за данный промежуток времени.
Внимание! Только при прямолинейном движении без изменения направлении, модуль перемещения равен пройденному пути, во всех остальных случаях (при изменении направления прямолинейного движения, криволинейном движении) пройденный путь больше модуля перемещения (е).
Материальная точка прошла расстояние 
от точки М до точки N по прямой линии. В этом случае пройденный путь равен модулю перемещения: 
Материальная точка прошла расстояние 
от точки М до точки N по прямой линии, а затем по этой же линии вернулась назад в точку 
В этом случае материальная точка прошла путь, равный 
а модуль перемещения равен нулю:
Если при движении материальной точки на плоскости известны его начальные координаты и вектор перемещения, то можно определить координаты конечного положения точки. Например, предположим, что материальная точка совершила перемещение 
Опуская перпендикуляры на оси ОХ и OY из начала и конца этого вектора, получаем проекции перемещения 
и 
(h). Как видно из рисунка, эти проекции равны разности начальных и конечных координат материальной точки:
Одинаковы ли путь и перемещение
Задача:
Велосипедист движется по круговому велотреку радиусом 80 м. Он стартует из точки А. Определите путь и перемещение велосипедиста при первом прохождении точки В (i).
Дано:
Решение:
Пройденный путь 
равен длине дуги: 
Модуль перемещения же равен диаметру окружности: 
Вычисление:
Что такое путь и перемещение
Автобус отправился из Москвы в 9 часов утра. Можно ли определить, где находился автобус в 11 часов, если известно, что он проделал путь
Конечно, нет. Ясно лишь, что в 11 часов он находился в месте, удаленном от Минска не более чем на 100 км (т. е. внутри окружности, изображенной на рисунке 37). Не исключено, что к 11 часам автобус вернулся в Москву.
Значит, для определения конечного положения тела недостаточно знать его начальное положение и пройденный им путь.
Мы нашли бы местонахождение автобуса в 11 часов, если бы знали траекторию его движения (зеленая линия на рисунке 38). Отсчитав 100 км от начальной точки маршрута вдоль траектории, найдем, что в 11 часов автобус прибыл в Борисов.
А можно поступить иначе. Конечное положение автобуса можно определить, зная его начальное положение и всего одну векторную величину, называемую перемещением.
Перемещение — это вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением (для данного промежутка времени).
Обозначим перемещение символом 
На рисунке 38 вектор 
— это перемещение автобуса из Минска в Мытищи, вектор 
— из Мытищь в Балашиху, а вектор 
— из Минска в Борисов.
Теперь, даже не зная траектории, по начальной точке и перемещению мы можем найти конечную точку для каждого из участков движения автобуса и для всего маршрута в целом.
Можно ли сравнивать путь S, пройденный телом, с его перемещением 
Нельзя, поскольку путь S — скаляр, а перемещение 
— вектор.
Сравнивать путь S можно с модулем перемещения 
который является скалярной величиной. Равен ли путь модулю перемещения?
В рассматриваемом примере путь, пройденный автобусом за два часа, 
Он равен длине траектории движения автобуса от Москвы через Мытищи до Балашихи (см. рис. 38). А модуль перемещения автобуса за это время равен расстоянию от Минска до Борисова: 
Путь автобуса больше модуля его перемещения: 
Пройденный путь был бы равен модулю перемещения, если бы автобус все время двигался по прямой, не изменяя направления движения.
Следовательно, путь всегда не меньше модуля перемещения:
Как складывают между собой пути и как — перемещения? Из рисунка 38 находим:
Пройденные пути складывают арифметически, а перемещения — по правилам сложения векторов.
Равен ли при этом модуль 
сумме модулей 
Ответьте самостоятельно.
Мы выяснили, что путь и траектория относительны. Покажите на примерах, что перемещение тоже относительно, т. е. зависит от выбора системы отсчета.
При решении задач важно уметь находить проекции перемещения. Построим вектор перемещения куска мела по школьной доске из точки А в точку С (рис. 39). Из рисунка видно, что проекции вектора 
на координатные оси Ох и Оу равны разности координат конца и начала этого вектора:
Главные выводы:
- Путь — это длина участка траектории, пройденного телом за данный промежуток времени. Путь — положительная скалярная величина.
- Перемещение тела — это вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением (для данного промежутка времени).
- Путь не меньше модуля перемещения тела за то же время.
- Пройденные пути складываются арифметически, а перемещения — по правилам сложения векторов.
Пример:
Конькобежец пересек прямоугольную ледовую площадку по диагонали АВ, а пешеход прошел из точки А в точку В по краю площадки (рис. 40). Размеры площадки 60 х 80 м. Определите модули перемещения конькобежца и пешехода и пути, пройденные ими.
Решение
Из рисунка 40 видно, что перемещения пешехода и конькобежца одинаковы. Модуль перемещения:
Путь конькобежца: 
Путь пешехода: 
Ответ: 
- Заказать решение задач по физике
Траектория движения
Возьмите лист бумаги и карандаш. Поставьте на листе точки А и В и соедините их кривой линией (рис. 7.1). Эта линия совпадает с траекторией движения кончика карандаша, то есть линией, в каждой точке которой последовательно побывал кончик карандаша во время своего движения.
Траектория движения — это воображаемая линия, которую описывает в пространстве движущаяся точка. Обычно мы не видим траектории движения тел, но иногда бывают исключения.
Так, в безоблачную погоду высоко в небе можно увидеть белый след, который во время своего движения оставляет самолет*. По этому следу можно определить траекторию движения самолета. Траектории движения каких тел можно восстановить по следам, изображенным на рис. 7.2? В каких случаях траекторию движения «заготавливают» заранее? Форма траектории может быть разной: прямая, окружность, дуга, ломаная и т. д. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движения тел (рис. 7.3).
Форма траектории движения тела зависит от того, относительно какой системы отсчета рассматривают движение. Приведем пример. У мальчика, едущего в автобусе, упало из рук яблоко (рис. 7.4). Для девочки, сидящей напротив, траектория движения яблока — короткий отрезок прямой. В этом случае система отсчета, относительно которой рассматривается движение яблока, связана с салоном автобуса. Но все время, пока яблоко падало, оно «ехало» вместе с автобусом, поэтому для человека, стоящего на обочине дороги, траектория движения яблока абсолютно другая. Система отсчета в таком случае связана с дорогой.
Чем путь отличается от перемещения
Вернемся к началу (см. рис. 7.1). Чтобы найти путь, который прошел конец карандаша, рисуя кривую линию, необходимо измерить длину этой линии, то есть найти длину траектории (рис. 7.5). Путь — это физическая величина, равная длине траектории. Путь обозначают символом l. Единица пути в СИ — метр: [l]= м. Используют также дольные и кратные единицы пути, например миллиметр (мм), сантиметр (см), километр (км):
Путь, пройденный телом, будет разным относительно разных систем отсчета. Вспомним яблоко в автобусе (см. рис. 7.4): для пассажиров яблоко прошло путь около полуметра, а для человека на обочине дороги — несколько метров. Вернемся к рис. 7.1. Соединив точки А и В отрезком прямой со стрелкой, получим направленный отрезок, который покажет, в каком направлении и на какое расстояние переместился конец карандаша (рис. 7.6).
Направленный отрезок прямой, соединяющий начальное и конечное положения тела, называют перемещением. Перемещение обозначают символом 
. Стрелка над символом показывает, что перемещение — это векторная физическая величина*. Чтобы правильно задать перемещение, необходимо указать не только его значение (модуль), но и направление.
Модуль перемещения, то есть расстояние, на которое переместилось тело в определенном направлении, также обозначают символом s, но без стрелки. Единица перемещения в СИ такая же, как и единица пути, — метр: [s]= м. В общем случае перемещение не совпадает с траекторией движения тела (рис. 7.7, а, б), поэтому путь, пройденный телом, обычно больше модуля перемещения. Путь и модуль перемещения равны только в том случае, когда тело движется вдоль прямой в неизменном направлении (рис. 7.7, в).
Итоги:
Воображаемая линия, которую описывает в пространстве движущаяся точка, называется траекторией. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движения тел. Путь l — это физическая величина, равная длине траектории. Перемещение 
— это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное и конечное положения тела. Единица пути и перемещения в СИ — метр (м).
Физические величины, имеющие значение и направление, называется векторными а имеющие только значение — скалярными.
- Равномерное прямолинейное движение
- Прямолинейное неравномерное движение
- Прямолинейное равноускоренное движение
- Сложение скоростей
- Физический и математический маятники
- Пружинные и математические маятники
- Скалярные и векторные величины и действия над ними
- Проекция вектора на ось
Геометрический смысл перемещения заключается в том, что перемещение есть площадь фигуры, заключенной между графиком скорости, осью времени и прямыми, проведенными перпендикулярно к оси времени через точки, соответствующие времени начала и конца движения.
При равноускоренном прямолинейном движении перемещение определяется площадью трапеции, основаниями которой служат проекции начальной и конечной скорости тела, а ее боковыми сторонами — ось времени и график скорости соответственно. Поэтому перемещение (путь) можно вычислить по формуле:
Формула перемещения
Пример №1. По графику определить перемещение тела в момент времени t=3 с.
Перемещение есть площадь фигуры, ограниченной графиком скорости, осью времени и перпендикулярами, проведенными к ней. Поэтому в нашем случае:
Извлекаем из графика необходимые данные:
- Фигура 1. Начальная скорость — 3 м/с. Конечная — 0 м/с. Время — 1,5 с.
- Фигура 2. Начальная скорость — 0 м/с. Конечная — –3 м/с. Время — 1,5 с (3 с – 1,5 с).
Подставляем известные данные в формулу:
Перемещение равно 0, так как тело сначала проделало некоторый путь, а затем вернулось в исходное положение.
Варианты записи формулы перемещения
Конечная скорость движения тела часто неизвестна. Поэтому при решении задач вместо нее обычно подставляют эту формулу:
v = v0 ± at
В итоге получается формула:
Если движение равнозамедленное, в формуле используется знак «–». Если движение равноускоренное, оставляется знак «+».
Если начальная скорость равна 0 (v0 = 0), эта формула принимает вид:
Если неизвестно время движения, но известно ускорение, начальная и конечная скорости, то перемещение можно вычислить по формуле:
Пример №2. Найти тормозной путь автомобиля, который начал тормозить при скорости 72 км/ч. Торможение до полной остановки заняло 3 секунды. Модуль ускорения при этом составил 2 м/с.
Перемещение при разгоне и торможении тела
Все перечисленные выше формулы работают, если направление вектора ускорения и вектора скорости совпадают (а↑↑v). Если векторы имеют противоположное направление (а↑↓v), движение следует описывать в два этапа:
Этап торможения
Время торможения равно разности полного времени движения и времени второго этапа:
t1 = t – t2
Когда тело тормозит, через некоторое время t1 оно останавливается. Поэтому скорость в момент времени t1 равна 0:
0 = v01 – at1
При торможении перемещение s1 равно:
Этап разгона
Время разгона равно разности полного времени движения и времени первого этапа:
t2 = t – t1
Тело начинает разгоняться сразу после преодоления нулевого значения скорости, которую можно считать начальной. Поэтому скорость в момент времени t2 равна:
v = at2
При разгоне перемещение s2 равно:
При этом модуль перемещения в течение всего времени движения равен:
s = |s1 – s2|
Полный путь (обозначим его l), пройденный телом за оба этапа, равен:
l = s1 + s2
Пример №3. Мальчик пробежал из состояния покоя некоторое расстояние за 5 секунд с ускорением 1 м/с2. Затем он тормозил до полной остановки в течение 2 секунд с другим по модулю ускорением. Найти этот модуль ускорения, если его тормозной путь составил 3 метра.
В данном случае движение нужно разделить на два этапа, так как мальчик сначала разогнался, потом затормозил. Тормозной путь будет соответствовать второму этапу. Через него мы выразим ускорение:
Из первого этапа (разгона) можно выразить конечную скорость, которая послужит для второго этапа начальной скоростью:
v02 = v01 + a1t1 = a1t1 (так как v01 = 0)
Подставляем выраженные величины в формулу:
Перемещение в n-ную секунду прямолинейного равноускоренного движения
Иногда в механике встречаются задачи, когда нужно найти перемещение тела за определенный промежуток времени при условии, что тело начинало движение из состояния покоя. В таком случае перемещение определяется формулой:
За первую секунду тело переместится на расстояние, равное:
За вторую секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 2 секунды и перемещения за 1 секунду:
За третью секунду тело переместится на расстояние, равное разности перемещения за 3 секунды и перемещения за 2 секунды:
Видно, что за каждую секунду тело проходит перемещение, кратное целому нечетному числу:
Из формул перемещений за 1, 2 и 3 секунду можно выявить закономерность: перемещение за n-ную секунду равно половине произведения модуля ускорения на (2n–1), где n — секунда, за которую мы ищем перемещение тела. Математически это записывается так:
Формула перемещения за n-ную секунду
Пример №4. Автомобиль разгоняется с ускорением 3 м/с2. Найти его перемещение за 6 секунду.
Подставляем известные данные в формулу и получаем:
Таким же способом можно найти перемещение не за 1 секунду, а за некоторый промежуток времени: за 2, 3, 4 секунды и т. д. В этом случае используется формула:
где t — время одного промежутка, а n — порядковый номер этого промежутка.
Пример №5. Ягуар ринулся за добычей с ускорением 2,5 м/с2. Найти его перемещение за промежуток времени от 4 до 6 секунд включительно.
Время от 4 до 6 секунд включительно — это 3 секунды: 4-ая, 5-ая и 6-ая. Значит, промежуток времени составляет 3 секунды. До наступления этого промежутка успело пройти еще 3 секунды. Значит, время от 4 до 6 секунд — это второй по счету временной промежуток.
Подставляем известные данные в формулу:
Проекция и график перемещения
Проекция перемещения на ось ОХ. График перемещения — это график зависимости перемещения от времени. Графиком перемещения при равноускоренном движении является ветка параболы. График перемещения при равноускоренном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ (v↑↑OX), а вектора скорости и ускорения сонаправлены (v↑↑a), принимает следующий вид:
График перемещения при равнозамедленном движении, когда вектор скорости направлен в сторону оси ОХ (v↑↑OX), а вектора скорости и ускорения противоположно (v↓↑a), принимает следующий вид:
Определение направления знака проекции ускорения по графику его перемещения:
- Если ветви параболического графика смотрят вниз, проекция ускорения тела отрицательна.
- Если ветви параболического графика смотрят вверх, проекция ускорения тела положительна.
Пример №6. Определить ускорение тела по графику его перемещения.
Перемещение тела в момент времени t=0 с соответствует нулю. Значит, ускорение можно выразить из формулы перемещения без начального ускорения. Получим:
Теперь возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 с. Этой точке соответствует перемещение 30 м. Подставляем известные данные в формулу и получаем:
График пути
График пути от времени в случае равноускоренного движения совпадает с графиком проекции перемещения, так как s = l.
В случае с равнозамедленным движением график пути представляет собой линию, поделенную на 2 части:
- 1 часть — до момента, когда скорость тела принимает нулевое значение (v = 0). Эта часть графика является частью параболы от начала координат до ее вершины.
- 2 часть — после момента, при котором скорость тела принимает нулевое значение (v = 0). Эта часть является ветвью такой же, но перевернутой параболы. Ее вершина совпадает с вершиной предыдущей параболы, но ее ветвь направлена вверх.
Такой вид графика (возрастающий) объясняется тем, что путь не может уменьшаться — он либо не меняется (в состоянии покоя), либо растет независимо от того, в каком направлении, с какой скоростью и с каким ускорением движется тело.
Пример №7. По графику пути от времени, соответствующему равноускоренному прямолинейному движению, определить ускорение тела.
При равноускоренном прямолинейном движении графиком пути является ветвь параболы. Поэтому наш график — красный. График пути при равноускоренном прямолинейном движении также совпадает с графиком проекции его ускорения. Поэтому для вычисления ускорения мы можем использовать эту формулу:
Для расчета возьмем любую точку графика. Пусть она будет соответствовать моменту времени t=2 c. Ей соответствует путь, равный 5 м. Значит, перемещение тоже равно 5 м. Подставляем известные данные в формулу:
Задание EF18553
Тело массой 200 г движется вдоль оси Ох, при этом его координата изменяется во времени в соответствии с формулой х(t) = 10 + 5t– 3t2(все величины выражены в СИ).
Установите соответствие между физическими величинами и формулами, выражающими их зависимости от времени в условиях данной задачи.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные и перевести их единицы измерения величин в СИ.
2.Записать уравнение движения тела при прямолинейном равноускоренном движении в общем виде.
3.Сравнить формулу из условия задачи с этим уравнением движения и выделить кинематические характеристики движения.
4.Определить перемещение тела и его кинетическую энергию.
5.Выбрать для физических величин соответствующую позицию из второго столбца таблицы и записать ответ.
Решение
Из условия задачи известна только масса тела: m = 200 г = 0,2 кг.
Так как тело движется вдоль оси Ox, уравнение движения тела при прямолинейном равноускоренном движении имеет вид:
x(t)=x0+v0t+at22
Теперь мы можем выделить кинематические характеристики движения тела:
• a/2 = –3 (м/с2), следовательно, a = –6 (м/с2).
Перемещение тела определяется формулой:
s=v0t+at22
Начальная координата не учитывается, так как это расстояние было уже пройдено до начала отсчета времени. Поэтому перемещение равно:
x(t)=v0t+at22=5t−3t2
Кинетическая энергия тела определяется формулой:
Ek=mv22
Скорость при прямолинейном равноускоренном движении равна:
v=v0+at=5−6t
Поэтому кинетическая энергия тела равна:
Ek=m(5−6t)22=0,22(5−6t)2=0,1(5−6t)2
Следовательно, правильная последовательность цифр в ответе будет: 34.
Ответ: 34
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18774
На рисунке показан график зависимости координаты x тела, движущегося вдоль оси Ох, от времени t (парабола). Графики А и Б представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение этого тела, от времени t. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.
К каждой позиции графика подберите соответствующую позицию утверждения и запишите в поле цифры в порядке АБ.
Алгоритм решения
- Определить, какому типу движения соответствует график зависимости координаты тела от времени.
- Определить величины, которые характеризуют такое движение.
- Определить характер изменения величин, характеризующих это движение.
- Установить соответствие между графиками А и Б и величинами, характеризующими движение.
Решение
График зависимости координаты тела от времени имеет вид параболы в случае, когда это тело движется равноускоренно. Так как движение тела описывается относительно оси Ох, траекторией является прямая. Равноускоренное прямолинейное движение характеризуется следующими величинами:
- перемещение и путь;
- скорость;
- ускорение.
Перемещение и путь при равноускоренном прямолинейном движении изменяются так же, как координата тела. Поэтому графики их зависимости от времени тоже имеют вид параболы.
График зависимости скорости от времени при равноускоренном прямолинейном движении имеет вид прямой, которая не может быть параллельной оси времени.
График зависимости ускорения от времени при таком движении имеет вид прямой, перпендикулярной оси ускорения и параллельной оси времени, так как ускорение в этом случае — величина постоянная.
Исходя из этого, ответ «3» можно исключить. Остается проверить ответ «1». Кинетическая энергия равна половине произведения массы тела на квадрат его скорости. Графиком квадратичной функции является парабола. Поэтому ответ «1» тоже не подходит.
График А — прямая линия, параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости ускорения от времени (или его модуля). Поэтому первая цифра ответа — «4».
График Б — прямая линия, не параллельная оси времени. Мы установили, что такому графику может соответствовать график зависимости скорости от времени (или ее проекции). Поэтому вторая цифра ответа — «2».
Ответ: 24
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18831
На рисунке представлен график зависимости модуля скорости υ автомобиля от времени t. Определите по графику путь, пройденный автомобилем в интервале времени от t1=20 с до t2=50 с.
Алгоритм решения
- Охарактеризовать движение тела на различных участках графика.
- Выделить участки движения, над которыми нужно работать по условию задачи.
- Записать исходные данные.
- Записать формулу определения искомой величины.
- Произвести вычисления.
Решение
Весь график можно поделить на 3 участка:
- От t1 = 0 c до t2 = 10 с. В это время тело двигалось равноускоренно (с положительным ускорением).
- От t1 = 10 c до t2 = 30 с. В это время тело двигалось равномерно (с нулевым ускорением).
- От t1 = 30 c до t2 = 50 с. В это время тело двигалось равнозамедленно (с отрицательным ускорением).
По условию задачи нужно найти путь, пройденный автомобилем в интервале времени от t1 = 20 c до t2 = 50 с. Этому времени соответствуют два участка:
- От t1 = 20 c до t2 = 30 с — с равномерным движением.
- От t1 = 30 c до t2 = 50 с — с равнозамедленным движением.
Исходные данные:
- Для первого участка. Начальный момент времени t1 = 20 c. Конечный момент времени t2 = 30 с. Скорость (определяем по графику) — 10 м/с.
- Для второго участка. Начальный момент времени t1 = 30 c. Конечный момент времени t2 = 50 с. Скорость определяем по графику. Начальная скорость — 10 м/с, конечная — 0 м/с.
Записываем формулу искомой величины:
s = s1 + s2
s1 — путь тела, пройденный на первом участке, s2 — путь тела, пройденный на втором участке.
s1 и s2 можно выразить через формулы пути для равномерного и равноускоренного движения соответственно:
Теперь рассчитаем пути s1 и s2, а затем сложим их:
s1 + s2 = 100 + 100 = 200 (м)
Ответ: 200
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Алиса Никитина | Просмотров: 25.6k
Неравномерное прямолинейное движение. Средняя скорость
- График скорости при неравномерном прямолинейном движении
- Как найти путь и перемещение по графику скорости?
- Средняя скорость и средняя путевая скорость
- Задачи
- Лабораторная работа №3. Определение средней скорости движения тела
п.1. График скорости при неравномерном прямолинейном движении
Прямолинейное и равномерное движение возможно лишь на участке пути.
Любое тело со временем меняет свою скорость, как по величине, так и по направлению.
Движение с переменной скоростью называют неравномерным.
Для описания неравномерного движения его можно разбить на участки, на которых скорость постоянна, и свести задачу к уже известному нам равномерному прямолинейному движению.
Например, пусть велосипедист добрался из города A в город B за 1 час. Первые полчаса он ехал со скоростью 9 км/ч, а потом проколол шину, и вторые полчаса шел пешком со скоростью 3 км/ч.
Направим ось ОХ также от A к B и получим значения проекций скоростей: $$ v_{x1}=9 text{км/ч}, v_{x2}=3 text{км/ч} $$ Построим график скорости для этого случая:
Графиком скорости (v_x=v_x(t)) при неравномерном прямолинейном движении, которое можно разбить на участки с постоянной скоростью, является ломаная линия.
п.2. Как найти путь и перемещение по графику скорости?
Мы уже знаем, что путь равен площади прямоугольника, который образуется между отрезком графика скорости и отрезком (triangle t) на оси (t) (см. §8 данного справочника).
В таком случае, путь велосипедиста в нашем примере:
begin{gather*} s=v_{x1}cdot triangle t_1+v_{x2}cdot triangle t_2\ s=9cdot 0,5+3cdot 0,5=4,5+1,5=6 text{(км)} end{gather*} Сначала велосипедист проехал 4,5 км, а затем прошел 1,5 км.
Общий путь велосипедиста равен 6 км. Расстояние между городами 6 км. 
Если принять город A за начало отсчета с (x_0=0), то координата велосипедиста в конце пути: $$ x_{к}=x_0+s=0+6=6 text{(км)} $$ Перемещение по оси ОХ: (triangle x=x_{к}-x_0=6 text{(км)}).
Теперь рассмотрим другую ситуацию. Пусть велосипедист выехал из A в B и двигался со скоростью 9 км/ч в течение получаса. Но, после того как проколол шину, он развернулся и пошел пешком назад в A. Где будет находиться велосипедист через полчаса после разворота?
Снова направим ось ОХ от A к B и получим значения проекций скоростей: $$ v_{x1}=9 text{км/ч}, v_{x2}=-3 text{км/ч} $$ Построим график скорости для этого случая:
Путь велосипедиста по-прежнему будет равен сумме площадей прямоугольников, которые образует ломаная (v_x(t)) с осью (t): begin{gather*} x=v_{x1}cdot triangle t_1+|v_{x2}|cdottriangle t_2\ s=9cdot 0,5+3cdot 0,5=4,5+1,5=6 text{(км)} end{gather*} 
Если мы учтем знак (v_{x2}) и уберем модуль, то получим величину перемещения по оси ОХ: begin{gather*} triangle x=v_{x1}cdot triangle t_1+v_{x2}cdot triangle t_2\ triangle x=9cdot 0,5-3cdot 0,5=4,5-1,5=3 text{(км)} end{gather*} Сначала велосипедист проехал 4,5 км, а затем прошел 1,5 км в обратном направлении.
Конечная координата: $$ x_{к}=x_0+triangle x=0+3=3 text{(км)} $$ 
Ответ на вопрос задачи найден. Через полчаса после разворота велосипедист будет находиться в точке D в 3 км от города A.
Пусть неравномерное прямолинейное движение разбито на (n) участков с постоянными скоростями. Каждому такому участку соответствует промежуток времени (triangle t_i) и постоянная скорость (v_{xi}, i=overline{1,n}).
Тогда:
Весь пройденный путь равен сумме площадей прямоугольников на графике скорости: $$ s=|v_{x1}|cdottriangle t_1+|v_{x2}|cdottriangle t_2+…+|v_{xn}|cdottriangle t_n $$ Величина перемещения по оси ОХ равна сумме площадей прямоугольников с учетом знака: $$ triangle x=v_{x1}cdottriangle t_1+v_{x2}cdottriangle t_2+…+v_{xn}cdottriangle t_n $$ Конечная координата равна: (x_{к}=x_0+triangle x).
п.3. Средняя скорость и средняя путевая скорость
Средняя скорость на нескольких участках движения равна отношению общего перемещения к общему времени, затраченному на это перемещение: $$ overrightarrow{v_{cp}}=frac{overrightarrow{r_1}+overrightarrow{r_2}+…+overrightarrow{r_n}}{t_1+t_2+…+t_n}=frac{overrightarrow{r}}{t} $$
Средняя путевая скорость на нескольких участках движения равна отношению общего пути к общему времени, затраченному на этот путь: $$ v_{cp.п}=frac{s_1+s_2+…+s_n}{t_1+t_2+…+t_n}=frac{s}{t} $$
Если тело все время движется в одном направлении, величина средней скорости равна средней путевой скорости, т.к. на каждом участке путь совпадает с модулем перемещения.
Если тело меняет направление движения, величина средней скорости меньше средней путевой скорости.
В нашем примере с велосипедистом, который все время двигался в одну сторону и дошел до города B, получаем: begin{gather*} |overrightarrow{v_{cp}}|=frac{|overrightarrow{r}|}{t}=frac{triangle x}{t}=frac 61=6 text{(км/ч)}\ v_{cp.п}=frac st=frac 61=6 text{(км/ч)} end{gather*} Величина средней скорости равна средней путевой скорости.
А вот для случая, когда велосипедист развернулся и пошел обратно: begin{gather*} |overrightarrow{v_{cp}}|=frac{|overrightarrow{r}|}{t}=frac{triangle x}{t}=frac 31=3 text{(км/ч)}\ v_{cp.п}=frac st=frac 61=6 text{(км/ч)} end{gather*} Величина средней скорости меньше средней путевой скорости.
п.4. Задачи
Задача 1. По графику скоростей найдите среднюю скорость и среднюю путевую скорость движения.
a)
Все движение можно разделить на три участка с постоянной скоростью:
begin{gather*} triangle t_1=3-0=3 c, v_{x1}=5 text{м/с}\ triangle t_2=5-3=2 c, v_{x2}=1 text{м/с}\ triangle t_3=7-5=2 c, v_{x3}=2 text{м/с}\ end{gather*} Общий путь: begin{gather*} s=|v_{x1}|cdot triangle t_1+|v_{x2}|cdot triangle t_2+|v_{x3}|cdot triangle t_3\ s=5cdot 3+1cdot 2+2cdot 2=21 text{(м)} end{gather*} Все проекции скоростей положительны, тело двигалось в одном направлении, общее перемещение равно общему пути: (triangle x=s=21) (м)
Общее время: (t=triangle t_1+triangle t_2+triangle t_3=3+2+2=7) (с)
Величина средней скорости равна средней путевой скорости: $$ |overrightarrow{v_{cp}}|=v_{cp.п}=frac st=frac{21}{7}=3 text{(м/с)} $$ Ответ: (|overrightarrow{v_{cp}}|=v_{cp.п}=3 text{(м/с)})
б) 
Все движение можно разделить на три участка с постоянной скоростью:
begin{gather*} triangle t_1=3-0=3 c, v_{x1}=5 text{м/с}\ triangle t_2=5-3=2 c, v_{x2}=-2 text{м/с}\ triangle t_3=7-5=2 c, v_{x3}=1 text{м/с}\ end{gather*} Общий путь: begin{gather*} s=|v_{x1}|cdot triangle t_1+|v_{x2}|cdot triangle t_2+|v_{x3}|cdot triangle t_3\ s=5cdot 3+2cdot 2+1cdot 2=21 text{(м)} end{gather*} Проекции скоростей имеют разные знаки, тело двигалось вперед и назад.
Общее перемещение будет меньше общего пути: begin{gather*} triangle x=v_{x1}cdot triangle t_1+v_{x2}cdot triangle t_2+v_{x3}cdot triangle t_3\ triangle x=5cdot 3-2cdot 2+1cdot 2=13 text{(м)} end{gather*} Общее время: (t=triangle t_1+triangle t_2+triangle t_3=3+2+2=7) (c)
Величина средней скорости: $$ |overrightarrow{v_{cp}}|=frac{triangle x}{t}=frac{13}{7}approx 1,86 text{(м/с)} $$ Средняя путевая скорость: $$ v_{cp.п}=frac st=frac{21}{7}=3 text{(м/с)} $$ Ответ: (|overrightarrow{v_{cp}}|approx 1,86 text{(м/с)}; v_{cp.п}=3 text{(м/с)})
Задача 2. Мотоциклист проехал расстояние между двумя пунктами со скоростью 40 км/ч. Потом увеличил скорость до 80 км/ч и проехал расстояние в два раза меньше. Найдите среднюю скорость мотоциклиста за все время движения.
Мотоциклист двигался все время в одном направлении, величина средней скорости равна средней путевой скорости: (v_{cp}=frac st), где (s) — весь путь, (t) — все время.
Заполним таблицу:
| Скорость, км/ч | Время, ч | Расстояние, км | |
| 1й участок | 40 | (frac{2d}{40}=frac{d}{20}) | (2d) |
| 2й участок | 80 | (frac{d}{80}) | (d) |
| Сумма | — | (t=frac{d}{20}+frac{d}{80}) | (s=2d+d=3d) |
Упростим сумму дробей: $$ t=frac{d}{20}+frac{d}{80}=frac{4d+d}{80}=frac{5d}{80}=frac{d}{16} $$ Получаем: $$ v_{cp}=frac st=frac{3d}{d/16}=3cdot 16=48 text{(км/ч)} $$
Ответ: 48 км/ч
Задача 3. Автомобиль проехал первую половину пути по шоссе со скоростью 90 км/ч, а вторую половину – по грунтовой дороге со скоростью 30 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля.
Величина средней скорости равна средней путевой скорости:
(v_{cp}=frac st), где (s) — весь путь, (t) — все время.
Заполним таблицу:
| Скорость, км/ч | Время, ч | Расстояние, км | |
| 1й участок | 90 | (frac{s}{2cdot 90}=frac{s}{180}) | (frac s2) |
| 2й участок | 30 | (frac{s}{2cdot 30}=frac{s}{60}) | (frac s2) |
| Сумма | — | (t=frac{s}{180}+frac{s}{60}) | (s) |
Упростим сумму дробей: $$ t=frac{s}{180}+frac{s}{60}=frac{s+3s}{180}=frac{4s}{180}=frac{s}{45} $$ Получаем: $$ v_{cp}=frac st=frac{s}{s/45}=45 text{(км/ч)} $$
Ответ: 45 км/ч
Задача 4*. Туристы прошли по маршруту со средней скоростью 32 км/ч. Маршрут был разделен на три участка, первый участок преодолевался пешком, второй – на автобусе, третий – на катере. Найдите скорость на каждом участке, если длины этих участков относятся как 1:4:45, а соответствующие интервалы времени как 4:1:20.
Величина средней скорости равна средней путевой скорости:
(v_{cp}=frac st), где (s) — весь путь, (t) — все время.
Заполним таблицу:
| Скорость, км/ч | Время, ч | Расстояние, км | |
| 1й участок | (frac{d}{4t}) | (4t) | (d) |
| 2й участок | (frac{4d}{t}) | (t) | (4d) |
| 3й участок | (frac{45d}{20t}) | (20t) | (45d) |
| Сумма | — | (25t) | (50d) |
По условию средняя скорость: $$ v_{cp}=frac st=frac{50d}{25t}=2cdot frac dt=32Rightarrow frac dt=16 $$ Получаем: begin{gather*} v_1=frac{d}{4t}=frac{16}{4}=4 text{(км/ч)}\ v_2=frac{4d}{t}=4cdot 16=64 text{(км/ч)}\ v_3=frac{9d}{4t}=frac{9}{4}cdot 16=36 text{(км/ч)} end{gather*}
Ответ: 4 км/ч, 64 км/ч и 36 км/ч
Задача 5*. Первую половину маршрута турист проехал на попутном автомобиле в 10 раз быстрее по сравнению с ходьбой пешком, а вторую половину – на попутном возу в 2 раза медленней. Сэкономил ли турист время на всем маршруте по сравнению с ходьбой пешком?
Пусть (v) — скорость туриста при ходьбе пешком.
Найдем среднюю путевую скорость (v_{cp}) и сравним ее со скоростью (v).
Если (v_{cp}gt v), то турист выиграл время.
Заполним таблицу:
| Скорость, км/ч | Время, ч | Расстояние, км | |
| 1й участок | (10v) | (frac{s}{2cdot 10v}=frac{s}{20v}) | (frac s2) |
| 2й участок | (frac{v}{2}) | (frac{s}{2cdot v/2}=frac sv) | (frac s2) |
| Сумма | — | (t=frac{s}{20v}+frac sv) | (s) |
Упростим сумму дробей: $$ t=frac{s}{20v}+frac sv=frac svleft(frac{1}{20}+1right)=frac{21}{20}cdot frac sv $$ Средняя скорость: $$ v_{cp}=frac{s}{frac{21}{20}cdotfrac sv}=frac{20}{21}vgt v $$Средняя скорость поездки оказалась меньше пешей скорости туриста.
Значит, он не выиграл по времени.
Ответ: нет
п.5. Лабораторная работа №3. Определение средней скорости движения тела
Цель работы
Научиться определять среднюю скорость движения тела по данным измерений на разных участках. Научиться вычислять абсолютные и относительные погрешности при подстановке данных измерений в формулы.
Теоретические сведения
В лабораторной работе изучается движение тела (шарика) по двум участкам (желобам) с различной скоростью.
Величина средней скорости при движении на двух участках определяется как средняя путевая скорость: $$ v_{cp}=frac{s_1+s_2}{t_1+t_2} $$ где (s_1) и (s_2) – длина первого и второго участка; (t_1) и (t_2) — время движения по каждому из участков.
Длина участков измеряется с помощью мерной ленты с ценой деления (triangle=1) см,
инструментальная погрешность равна: (d=frac{triangle}{2}=0,5) см
Абсолютная погрешность измерений при работе с мерной лентой равна инструментальной погрешности, поэтому: (triangle s_1=triangle s_2=d=0,5) см
Погрешность суммы двух длин: (triangle(s_1+s_2)= triangle s_1+triangle s_2=2d=1) см
Измерение времени на каждом участке проводится в сериях их 5 измерений по методике, описанной в Лабораторной работе №2 (см. §4 данного справочника).
Погрешность суммы двух измерений: (triangle(t_1+t_2)=triangle t_1+triangle t_2)
Относительная погрешность частного равна сумме относительных погрешностей делимого и делителя: $$ delta_{v_{cp}}=delta_{s_1+s_2}+delta_{t_1+t_2} $$ Абсолютная погрешность определения средней скорости: $$ triangle v_{cp}=v_{cp}cdot delta_{v_{cp}} $$
Приборы и материалы
Два желоба (не менее 1 м каждый), шарик, мерная лента, секундомер.
Ход работы
1. Ознакомьтесь с теоретической частью работы, выпишите необходимые формулы.
2. Соберите установку, как показано на рисунке. Установите один желоб под углом, другой – горизонтально, закрепите, поставьте в конце горизонтального участка упор. Подберите длину желобов и наклон так, чтобы движение по каждому участку было не менее 1 с. 
3. Измерьте фактическую длину каждого участка движения в готовой установке с помощью мерной ленты.
4. Найдите относительную погрешность суммы двух длин (delta_{s_1+s_2}=frac{triangle(s_1+s_2)}{s_1+s_2})
5. Проведите серии по 5 экспериментов для определения (t_1) и (t_2) с помощью секундомера.
6. Найдите (triangle t_1, triangle t_2, triangle(t_1+t_2), delta_{t_1+t_2})
7. По результатам измерений и вычислений найдите (v_{cp}, delta_{v_{cp}}) и (triangle v_{cp}).
8. Сделайте выводы о проделанной работе.
Результаты измерений и вычислений
1) Измерение длин
Цена деления мерной ленты (triangle =1) см
Инструментальная погрешность мерной ленты (d=frac{triangle}{2}=0,5) см
Результаты измерений:
(s_1=112) cм
(s_2=208) cм
Сумма длин участков: (s_1+s_2=112+208=320) (см)
Абсолютная погрешность суммы: (triangle (s_1+s_2)=triangle s_1+triangle s_2=2d=1) см
Относительная погрешность суммы: $$ delta_{s_1+s_2}=frac{triangle (s_1+s_2)}{s_1+s_2}=frac{1}{320}=0,3125% $$
2) Измерение времени
Цена деления секундомера (triangle =0,2) с
Инструментальная погрешность секундомера (d=frac{triangle}{2}=0,1) с
Время движения по наклонному желобу
| № опыта | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Сумма |
| (t_1) c | 1,5 | 1,6 | 1,5 | 1,4 | 1,4 | 7,4 |
| (triangle) c | 0,02 | 0,12 | 0,02 | 0,08 | 0,08 | 0,32 |
Найдем среднее время спуска с наклонного желоба: $$ t_1=frac{1,5+1,6+1,5+1,4+1,4}{5}=frac{7,4}{5}=1,48 (c) $$ Принимаем среднее время за истинное значение измеряемой величины.
Найдем абсолютные отклонения каждого измерения от (t_1): $$ triangle_1=|1,5-1,48|=0,02; triangle_2=|1,6-1,48|=1,02 text{и т.д.} $$ Среднее абсолютное отклонение: $$ triangle_{cp}=frac{0,02+0,12+0,02+0,08+0,08}{5}=frac{0,32}{5}=0,064 text{c} $$ Среднее абсолютное отклонение меньше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ triangle t_1=maxleft{d;triangle_{cp}right}=maxleft{0,1;0,064right}=0,1 text{c} $$ Округляем полученное значение времени до десятых. begin{gather*} t_1=(1,5pm 0,1) text{c}\ delta_{t_1}=frac{0,1}{1,5}=frac{1}{15}approx 6,7text{%} end{gather*} Время движения по горизонтальному желобу
| № опыта | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Сумма |
| (t_2) c | 2,3 | 2,4 | 2,2 | 2,2 | 2,4 | 11,5 |
| (triangle) c | 0 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,4 |
Найдем среднее время движения по горизонтали: $$ t_2=frac{2,3+2,4+2,2+2,2+2,4}{5}=frac{11,5}{5}=2,3 (c) $$ Принимаем среднее время за истинное значение измеряемой величины.
Найдем абсолютные отклонения каждого измерения от (t_2): $$ triangle_1=|2,3-2,3|=0; triangle_2=|2,4-2,3|=0,1 text{и т.д.} $$ Среднее абсолютное отклонение: $$ triangle_{cp}=frac{0+0,1+0,1+0,1+0,1}{5}=frac{0,4}{5}=0,08 text{c} $$ Среднее абсолютное отклонение меньше инструментальной погрешности, поэтому абсолютная погрешность измерений: $$ triangle t_2=maxleft{d;triangle_{cp}right}=maxleft{0,1;0,08right}=0,1 text{c} $$ Получаем: begin{gather*} t_2=(2,3pm 0,1) text{c}\ delta_{t_2}=frac{0,1}{2,3}=frac{1}{23}approx 4,4text{%} end{gather*}
3) Расчет погрешности суммы интервалов времени
Сумма интервалов времени: $$ t_1+t_2=1,5+2,3=3,8 text{(c)} $$ Абсолютная погрешность суммы: $$ triangle(t_1+t_2)=triangle t_1+triangle t_2=0,1+0,1=0,2 text{(c)} $$ Относительная погрешность суммы: $$ delta_{t_1+t_2}=frac{triangle (t_1+t_2)}{t_1+t_2}=frac{0,2}{3,8}=frac{1}{19}approx 5,3text{%} $$
4) Расчет средней скорости $$ v_{cp}=frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}=frac{320}{3,8}approx 84,2 left(frac{text{см}}{text{c}}right) $$ Относительная ошибка частного: $$ delta_{v_{cp}}=delta_{s_1+s_2}+delta_{t_1+t_2}=frac{1}{320}+frac{1}{19}approx 0,003125+0,0526approx 0,0557approx 0,056=5,6text{%} $$ (оставляем две значащие цифры).
Абсолютная ошибка: $$ v_{cp}=v_{cp}cdotdelta_{v_{cp}}=84,2cdot 0,056approx 4,7 left(frac{text{см}}{text{c}}right) $$ Получаем: begin{gather*} v_{cp}=(84,2pm 4,7) text{см/с}\ delta_{v_{cp}}=5,6text{%} end{gather*}
Выводы
На основании проделанной работы можно сделать следующие выводы.
Измерения длин проводились с помощью мерной ленты. Ошибка измерений равна инструментальной ошибке 0,5 см.
Измерения времени проводились с помощью секундомера. По результатам серий экспериментов ошибка была принята равной инструментальной 0,1 с.
Получена величина средней скорости: begin{gather*} v_{cp}=(84,2pm 4,7) text{см/с}\ delta_{v_{cp}}=5,6text{%} end{gather*}
Путь и перемещение, теория и онлайн калькуляторы
Путь и перемещение
При своем движении материальная точка описывает некоторую линию, которую называют ее траекторией движения. Траектория может быть прямой линией, а может представлять собой кривую.
Путь
Определение
Путь — длина участка траектории, который прошла материальная точка за рассматриваемый отрезок времени. Путь — это скалярная величина.
При прямолинейном движении в одном направлении пройденный путь ($Delta s$) равен модулю изменения координаты тела. Так, если тело двигалось по оси X, то путь можно найти как:
[Delta s=left|x_2-x_1right|left(1right),]
где $x_1$ — координата начального положения тела; $x_2$ — конечная координата тела.
Его можно вычислить, если известен модуль скорости ($v=v_x$):
[Delta s=vt left(2right),]
где $t$ — время движения тела.
Графиком, который отображает зависимость пути от времени при равномерном прямолинейном движении, является прямая (рис.1). С увеличением величины скорости увеличивается угол наклона прямой относительно оси времени.
Если по графику $Delta s(t)$ необходимо найти путь, который проделало тело за время $t_1$, то из точки $t_1$ на оси времени проводят перпендикуляр до пересечения с графиком $Delta s(t)$. Затем из точки пересечения восстанавливают перпендикуляр к оси $Delta s$. На пересечении оси и перпендикуляра получают точку ${Delta s}_1$, которая соответствует пройденному пути за время от $t=0 c$ до $t_1$.
Путь не бывает меньше нуля и не может уменьшаться при движении тела.
Перемещение
Определение
Перемещением называют вектор, который проводят из начального положения движущейся материальной точки в ее конечное положение:
[Delta overline{r}=overline{r }left(t+Delta tright)-overline{r }left(tright)left(3right).]
Вектор перемещения численно равен расстоянию между конечной и начальной точками и направлен от начальной точки к конечной.
Приращение радиус-вектора материальной точки — это перемещение ($Delta overline{r}$).
В декартовой системе координат радиус-вектор точки представляют в виде:
[overline{r }left(tright)=xleft(tright)overline{i}+yleft(tright)overline{j}+zleft(tright)overline{k}left(4right),]
где $overline{i}$, $overline{j}$,$ overline{k}$ — единичные орты осей X,Y,Z. Тогда $Delta overline{r}$ равен:
[Delta overline{r}=left[xleft(t+Delta tright)-xleft(tright)right]overline{i}+left[yleft(t+?tright)-yleft(tright)right]overline{j}+left[zleft(t+?tright)-zleft(tright)right]overline{k}left(5right).]
При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и длина вектора перемещения равна пройденному точкой пути:
[left|Delta overline{r}right|=Delta s left(6right).]
Длину вектора перемещения (как и любого вектора) можно обозначать как $left|Delta overline{r}right|$ или просто $Delta r$ (без указания стрелки).
Если тело совершает несколько перемещений, то их можно складывать по правилам сложения векторов:
[Delta overline{r}=Delta {overline{r}}_1+Delta {overline{r}}_2+dots left(7right).]
Если направление движения тела изменяется, то модуль вектора перемещения не равен пройденному телом пути.
Примеры задач на путь и перемещение
Пример 1
Задание: Мяч бросили вертикально вверх от поверхности Земли. Он долетел до высоты 20 м. и упал на Землю. Чему равен путь, который прошел мяч, каков модуль перемещения?
Решение: Сделаем рисунок.
В нашей задаче мяч движется прямолинейно сначала вверх, затем вниз. Так как путь — длина траектории, то получается, что мяч дважды прошел расстояние h, следовательно:
[Delta s=2h.]
Перемещение — направленный отрезок, соединяющий начальную точку и конечную при движении тела, но тело начало движение из той же точки, в которую вернулось, следовательно, перемещение мяча равно нулю:
[Delta r=0.]
Ответ: $ Путь Delta s=2h$. Перемещение $Delta r=0$
Пример 2
Задание: В начальный момент времени тело находилось в точке с координатами $(x_0=3;; y_0=1)$(см). Через некоторый промежуток времени оно переместилось в точку координаты которой ($x=2;;y=4$) (см). Каковы проекции вектора перемещения на оси X и Y?
Решение: Сделаем рисунок.
Радиус — вектор начальной точки запишем как:
[{overline{r }}_0left(tright)=x_0left(tright)overline{i}+y_0left(tright)overline{j}=3overline{i}+1overline{j}left(2.1right).]
Радиус — вектор конечной точки имеет вид:
[overline{r}left(tright)=xleft(tright)overline{i}+yleft(tright)overline{j}=2overline{i}+4overline{j}left(2.2right).]
Вектор перемещения представим как:
[Delta overline{r}=left[xleft(tright)-x_0left(tright)right]overline{i}+left[уleft(tright)-у_0left(tright)right]overline{j}=left[2-3right]+left[1-4right]overline{j}=-1overline{i}+3overline{j}(2.3).]
Из формулы видим, что:
[Delta r_x=-1;;Delta r_y=3. ]
Ответ: $Delta r_x=-1;;Delta r_y=3 $
Читать дальше: равнодействующая всех сил.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
В прошлой статье мы немножко разобрались с тем, что такое механика и зачем она нужна. Мы уже знаем, что такое система отсчета, относительность движения и материальная точка. Что ж, пора двигаться дальше! Здесь мы рассмотрим основные понятия кинематики, соберем вместе самые полезные формулы по основам кинематики и приведем практический пример решения задачи.
Присоединяйтесь к нам в телеграм и получайте ежедневную рассылку с полезной информацией по актуальным студенческим вопросам.
Траектория, радиус-вектор, закон движения тела
Кинематикой занимался еще Аристотель. Правда, тогда это не называлось кинематикой. Затем очень большой вклад в развитие механики, и кинематики в частности, внес Галилео Галилей, изучавший свободное падение и инерцию тел.
Итак, кинематика решает вопрос: как тело движется. Причины, по которым оно пришло в движение, ее не интересуют. Кинематике не важно, сама поехала машина, или ее толкнул гигантский динозавр. Абсолютно все равно.
Сейчас мы будем рассматривать самую простую кинематику – кинематику точки. Представим, что тело (материальная точка) движется. Не важно, что это за тело, все равно мы рассматриваем его, как материальную точку. Может быть, это НЛО в небе, а может быть, бумажный самолетик, который мы запустили из окна. А еще лучше, пусть это будет новая машина, на которой мы едем в путешествие. Перемещаясь из точки А в точку Б, наша точка описывает воображаемую линию, которая называется траекторией движения. Другое определение траектории – годограф радиус вектора, то есть линия, которую описывает конец радиус-вектора материальной точки при движении.
Радиус-вектор – вектор, задающий положение точки в пространстве.
Для того, чтобы узнать положение тела в пространстве в любой момент времени, нужно знать закон движения тела – зависимость координат (или радиус-вектора точки) от времени.
Перемещение и путь
Тело переместилось из точки А в точку Б. При этом перемещение тела – отрезок, соединяющий данные точки напрямую – векторная величина. Путь, пройденный телом – длина его траектории. Очевидно, перемещение и путь не стоит путать. Модуль вектора перемещения и длина пути совпадают лишь в случае прямолинейного движения.
В системе СИ перемещение и длина пути измеряются в метрах.
Перемещение равно разнице радиус-векторов в начальный и конечный моменты времени. Другими словами, это приращение радиус вектора.
Скорость и ускорение
Средняя скорость – векторная физическая величина, равная отношению вектора перемещения к промежутку времени, за которое оно произошло
А теперь представим, что промежуток времени уменьшается, уменьшается, и становится совсем коротким, стремится к нулю. В таком случае о средней скорости говорить на приходится, скорость становится мгновенной. Те, кто помнит основы математического анализа, тут же поймут, что в дальнейшем нам не обойтись без производной.
Мгновенная скорость – векторная физическая величина, равная производной от радиус вектора по времени. Мгновенная скорость всегда направлена по касательной к траектории.
В системе СИ скорость измеряется в метрах в секунду
Если тело движется не равномерно и прямолинейно, то у него есть не только скорость, но и ускорение.
Ускорение (или мгновенное ускорение) – векторная физическая величина, вторая производная от радиус-вектора по времени, и, соответственно, первая производная от мгновенной скорости
Ускорение показывает, как быстро изменяется скорость тела. В случае прямолинейного движения, направления векторов скорости и ускорения совпадают. В случае же криволинейного движения, вектор ускорения можно разложить на две составляющие: ускорение тангенциальное, и ускорение нормальное.
Тангенциальное ускорение показывает, как быстро изменяется скорость тела по модулю и направлено по касательной к траектории
Нормальное же ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Векторы нормального и тангенциального ускорения взаимно перпендикулярны, а вектор нормального ускорения направлен к центру окружности, по которой движется точка.
Здесь R – радиус окружности, по которой движется тело.
Закон равноускоренного движения
Рассмотрим далее закон равноускоренного движения, то есть движения с постоянным ускорением. Будем рассматривать простейший случай, когда тело движется вдоль оси x.
Здесь — x нулевое- начальная координата. v нулевое — начальная скорость. Продифференцируем по времени, и получим скорость
Производная по скорости от времени даст значение ускорения a, которое является константой.
Пример решения задачи
Теперь, когда мы рассмотрели физические основы кинематики, пора закрепить знания на практике и решить какую-нибудь задачу. Причем, чем быстрее, тем лучше.
Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.
Решим такую задачу: точка движется по окружности радиусом 4 метра. Закон ее движения выражается уравнением S=A+Bt^2. А=8м, В=-2м/с^2. В какой момент времени нормальное ускорение точки равно 9 м/с^2? Найти скорость, тангенциальное и полное ускорение точки для этого момента времени.
Решение: мы знаем, что для того, чтобы найти скорость нужно взять первую производную по времени от закона движения, а нормальное ускорение равняется частному квадрата скорости и радиуса окружности, по которой точка движется. Вооружившись этими знаниями, найдем искомые величины.
Нужна помощь в решении задач? Профессиональный студенческий сервис готов оказать ее.