Как найти прямую сумму подпространств

Прямая сумма подпространств

Алгебраическая
сумма подпространств и линейного
пространства называется прямой
суммой,
если пересечение подпространств состоит
из одного нулевого вектора. Прямая сумма
подпространств обозначается и
обладает следующим свойством: если ,
то для каждого вектора существует
единственное представление в виде ,
где.

Действительно,
если предположить противное, а именно
существование двух разных разложений: ,
где ,
то получим противоречие: из
равенства следует,
что ненулевой вектор принадлежит
обоим подпространствам и одновременно,
значит, принадлежит их пересечению, а
по определению их пересечение состоит
из одного нулевого вектора.

Признаки прямых сумм подпространств

Сумма является
прямой суммой, если:

–
существует
вектор ,
который однозначно представляется в
виде ,
где ;

– базис
пространства является
объединением базисов подпространств и ;

–
справедливо
равенство .

Замечания
8.9

1. Понятие
прямой суммы распространяется на любое
конечное число слагаемых.
Сумма называется прямой
суммой подпространств,
если пересечение каждого из них с суммой
остальных равно одному нулевому вектору:

2. Свойства
и признаки, указанные для прямой суммы
двух подпространств, справедливы и для
любого конечного числа слагаемых.
Отметим еще одно свойство: если —
базис пространства ,
то.

Пример
8.7. В
примере 8.6 найдены алгебраические суммы
подпространств. Какие суммы являются
прямыми?

Решение. Так
как ,
то сумма —
прямая. Аналогично полу чаем, что суммы

 — прямые.

Остальные
суммы подпространств, найденные в
примере 8.6, не являются прямыми:

поскольку
их пересечение содержит не только
нулевой вектор. Например, пересечение .

1. Найпростіші
   задачі аналітичної геометрії.

 Расстояние
между двумя точками 

где и радиус-векторы
точек и .

     В
координатах:

     на
прямой   

     на
плоскости   

     в
пространстве   

     Деление
отрезка в данном отношении 

     В
координатах:

     на
прямой   ;

     на
плоскости   ,;

     в
пространстве   ,,

     Середина
отрезка (=
1) 

     В
координатах:

     на
прямой   ;

     на
плоскости   ,;

     в
пространстве   , ,
  .

1. Скалярний
   добуток векторів, його властивості
   ,зміст та застосування.

Геометрическая
интерпретация.

 Скалярным
произведением двух
векторов a и b будет
скалярная величина, равная произведению
модулей этих векторов умноженного на
косинус угла между ними:

a · b =
|a|
· |b| cos
α

Алгебраическая
интерпретация.

 Скалярным
произведением двух
векторов a и b будет
скалярная величина, равная сумме
попарного произведения координат
векторов a и b.

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Формула
скалярного произведения векторов для
плоских задач

В
случае плоской задачи скалярное
произведение векторов a =
{a_x ; a_y}
и b =
{b_x ; b_y}
можно найти воспользовавшись следующей
формулой:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y

Формула
скалярного произведения векторов для
пространственных задач

В
случае пространственной задачи скалярное
произведение векторов a = {a_x ; a_y ; a_z}
иb = {b_x ; b_y ; b_z}
можно найти воспользовавшись следующей
формулой:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z

Формула
скалярного произведения n -мерных
векторов

В
случае n-мерного
пространства скалярное произведение
векторов a = {a₁ ; a₂ ; … ; a_n}
иb = {b₁ ; b₂ ; … ; b_n}
можно найти воспользовавшись следующей
формулой:

a · b = a₁ · b₁ + a₂ · b₂ +
… + a_n · b_n

Свойства
скалярного произведения векторов

1. Скалярное
   произведение вектора самого на себя
   всегда больше или равно нуля:

a · a ≥
0

1. Скалярное
   произведение вектора самого на себя
   равно нулю тогда и только тогда, когда
   вектор равен нулевому вектору:

a · a =
0   <=>   a = 0

1. Скалярное
   произведение вектора самого на себя
   равно квадрату его модуля:

a · a =
|a|²

1. Операция
   скалярного умножения коммуникативна:

a · b = b · a

1. Если
   скалярное произведение двух не нулевых
   векторов равно нулю, то эти вектора
   ортогональны:

a ≠
0, b ≠
0, a · b =
0   <=>   a ┴ b

1. (αa)
   · b = α(a · b)

2. Операция
   скалярного умножения дистрибутивна:

(a + b)
· c = a · c + b · c

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Подпространство линейного пространства

Определение и размерность подпространства

Определение 6.1. Подпространством L n-мерного пространства R называется множество векторов, образующих линейное пространство по отношению к действиям, которые определены в R.

Другими словами, L называется подпространством пространства R, если из x, y∈L следует, что x+y∈L и если x∈L, то λx∈L, где λ— любое вещественное число.

Простейшим примером подпространства является нулевое подпространство, т.е. подмножество пространства R, состоящее из единственного нулевого элемента. Подпространством может служить и все пространство R. Эти подпространства называются тривиальными или несобственными.

Подпространство n-мерного пространства конечномерно и его размерность не превосходит n: dim L≤ dim R.

Сумма и пересечение подпространств

Пусть L и M — два подпространства пространства R.

Cуммой L+M называется множество векторов x+y, где x∈L и y∈M. Очевидно, что любая линейная комбинация векторов из L+M принадлежит L+M, следовательно L+M является подпространством пространства R (может совпадать с пространством R).

Пересечением L∩M подпространств L и M называется множество векторов, принадлежащих одновременно подпространствам L и M (может состоять только из нулевого вектора).

Теорема 6.1. Сумма размерностей произвольных подпространств L и M конечномерного линейного пространства R равна размерности суммы этих подпространств и размерности пересечения этих подпространств:

dim L+dim M=dim(L+M)+dim(L∩M).

Доказательство. Обозначим F=L+M и G=L∩M. Пусть G g-мерное подпространство. Выберем в нем базис . Так как G⊂L и G⊂M, следовательно базис G можно дополнить до базиса L и до базиса M. Пусть базис подпространства L и пусть базис подпространства M. Покажем, что векторы

составляют базис F=L+M. Для того, чтобы векторы (6.1) составляли базис пространства F они должны быть линейно независимы и любой вектор пространства F можно представить линейной комбинацией векторов (6.1).

Докажем линейную независимость векторов (6.1). Пусть нулевой вектор пространства F представляется линейной комбинацией векторов (6.1) с некоторыми коэффициентами:

Тогда

Левая часть (6.3) является вектором подпространства L, а правая часть является вектором подпространства M. Следовательно вектор

принадлежит подпространству G=L∩M. С другой стороны вектор v можно представить линейной комбинацией базисных векторов подпространства G:

Из уравнений (6.4) и (6.5) имеем:

или

Но векторы являются базисом подпространства M, следовательно они линейно независимы и . Тогда (6.2) примет вид:

В силу линейной независимости базиса подпространства L имеем:

Так как все коэффициенты в уравнении (6.2) оказались нулевыми, то векторы

линейно независимы. Но любой вектор z из F (по определению суммы подпространств) можно представить суммой x+y, где x∈L, y∈M. В свою очередь x представляется линейной комбинацией векторов а y — линейной комбинацией векторов. Следовательно векторы (6.10) порождают подпространство F. Получили, что векторы (6.10) образуют базис F=L+M.

Изучая базисы подпространств L и M и базис подпространства F=L+M (6.10), имеем: dim L=g+l, dim M=g+m, dim (L+M)=g+l+m. Следовательно:

dim L+dim M−dim(L∩M)=dim(L+M). ■

Прямая сумма подпространств

Определение 6.2. Пространство F представляет собой прямую сумму подпространств L и M, если каждый вектор x пространства F может быть единственным способом представлен в виде суммы x=y+z, где y∈L и z∈M.

Прямая сумма обозначается L⊕M. Говорят, что если F=L⊕M, то F разлагается в прямую сумму своих подпространств L и M.

Теорема 6.2. Для того, чтобы n-мерное пространство R представляло собой прямую сумму подпространств L и M, достаточно, чтобы пересечение L и M содержало только нулевой элемент и чтобы размерность R была равна сумме размерностей подпространств L и M.

Доказательство. Выберем некоторый базис в подпространстве L и некоторый базис в подпространстве M. Докажем, что

является базисом пространства R. По условию теоремы размерность пространства R n равна сумме подпространств L и M (n=l+m). Достаточно доказать линейную независимость элементов (6.11). Пусть нулевой вектор пространства R представляется линейной комбинацией векторов (6.11) с некоторыми коэффициентами:

или

Так как левая часть (6.13) является вектором подпространства L, а правая часть — вектором подпространства M и L∩M=0, то

Но векторы и являются базисами подпространств L и M соответственно. Следовательно они линейно независимы. Тогда

Установили, что (6.12) справедливо лишь при условии (6.15), а это доказывает линейную независимость векторов (6.11). Следовательно они образуют базис в R.

Пусть x∈R. Разложим его по базису (6.11):

Из (6.16) имеем:

Из (6.17) и (6.18) следует, что любой вектор из R можно представить суммой векторов x₁∈L и x₂∈M. Остается доказать что это представление является единственным. Пусть кроме представления (6.17) есть и следующее представление:

Вычитая (6.19) из (6.17), получим

или

Так как , и L∩M=0, то и . Следовательно и . ■

Пересечение и сумма подпространств линейного пространства

Пусть и — подпространства линейного пространства .

Пересечением подпространств и называется множество векторов, каждый из которых принадлежит и одновременно, т.е. пересечение подпространств определяется как обычное пересечение двух множеств.

Алгебраической суммой подпространств и называется множество векторов вида , где . Алгебраическая сумма (короче просто сумма) подпространств обозначается

Представление вектора в виде , где , называется разложением вектора no подпространствам и .

Замечания 8.8

1. Пересечение подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к пересечениям.

2. Сумма подпространств является подпространством. Поэтому понятия размерности, базиса и т.п. применяются к суммам.

Действительно, нужно показать замкнутость линейных операций в множестве . Пусть два вектора и принадлежат сумме , т.е. каждый из них раскладывается по подпространствам:

Найдем сумму: . Так как , а , то . Следовательно, множество замкнуто по отношению к операции сложения. Найдем произведение: . Так как , a , то . Следовательно, множество замкнуто по отношению к операции умножения на число. Таким образом, — линейное подпространство.

3. Операция пересечения определена на множестве всех подпространств линейного пространства . Она является коммутативной и ассоциативной. Пересечение любого семейства подпространств V является линейным подпространством, причем скобки в выражении — можно расставлять произвольно или вообще не ставить.

4. Минимальным линейным подпространством, содержащим подмножество конечномерного линейного пространства , называется пересечение всех подпространств , содержащих , т.е. . Если , то указанное пересечение совпадает с нулевым подпространством , поскольку оно содержится в любом из подпространств . Если — линейное подпространство , то указанное пересечение совпадает с , поскольку содержится в каждом из пересекаемых подпространств (и является одним из них: ).

Минимальное свойство линейной оболочки: линейная оболочка любого подмножества конечномерного линейного пространства является минимальным линейным подпространством, содержащим , т.е. .

Действительно, обозначим . Надо доказать равенство двух множеств: . Так как (см. пункт 6 замечаний 8.7), то . Докажем включение . Произвольный элемент имеет вид , где . Пусть — любое подпространство, содержащее . Оно содержит все векторы и любую их линейную комбинацию (см. пункт 7 замечаний 8.7), в частности, вектор . Поэтому вектор принадлежит любому подпространству , содержащему . Значит, принадлежит пересечению таких подпространств. Таким образом, . Из двух включений и следует равенство .

5. Операция сложения подпространств определена на множестве всех подпространств линейного пространства . Она является коммутативной и ассоциативной. Поэтому в суммах конечного числа подпространств скобки можно расставлять произвольно или вообще не ставить.

6. Можно определить объединение подпространств и как множество векторов, каждый из которых принадлежит пространству или пространству (или обоим подпространствам). Однако, объединение подпространств в общем случае не является подпространством (оно будет подпространством только при дополнительном условии или ).

7. Сумма подпространств совпадает с линейной оболочкой их объединения . Действительно, включение следует из определения. Любой элемент множества имеет вид , т.е. представляет собой линейную комбинацию двух векторов из множества . Докажем противоположное включение . Любой элемент имеет вид , где . Разобьем эту сумму на две, относя к первой сумме все слагаемые , у которых . Остальные слагаемые составят вторую сумму:

Первая сумма — это некоторый вектор , вторая сумма — это некоторый вектор . Следовательно, . Значит, . Полученные два включения говорят о равенстве рассматриваемых множеств.

Теорема 8.4 о размерности суммы подпространств. Если и подпространства конечномерного линейного пространства , то размерность суммы подпространств равна сумме их размерностей без размерности их пересечения (формула Грассмана):

В самом деле, пусть — базис пересечения . Дополним его упорядоченным набором векторов до базиса подпространства и упорядоченным набором векторов до базиса подпространства . Такое дополнение возможно по теореме 8.2. Из указанных трех наборов векторов составим упорядоченный набор векторов. Покажем, что эти векторы являются образующими пространства . Действительно, любой вектор этого пространства представляется в виде линейной комбинации векторов из упорядоченного набора

Следовательно, . Докажем, что образующие линейно независимы и поэтому они являются базисом пространства . Действительно, составим линейную комбинацию этих векторов и приравняем ее нулевому вектору:

Первые две суммы обозначим — это некоторый вектор из , последнюю сумму обозначим — это некоторый вектор из . Равенство (8.14): означает, что вектор принадлежит также и пространству . Значит, . Раскладывая этот вектор по базису , находим . Учитывая разложение этого вектора в (8.14), получаем

Последнее равенство можно рассматривать, как разложение нулевого вектора по базису подпространства . Все коэффициенты такого разложения нулевые: и . Подставляя в (8.14), получаем . Это возможно только в тривиальном случае и , так как система векторов линейно независима (это базис подпространства ). Таким образом, равенство (8.14) выполняется только в тривиальном случае, когда все коэффициенты равны нулю одновременно. Следовательно, совокупность векторов линейно независима, т.е. является базисом пространства . Подсчитаем размерность суммы подпространств:

что и требовалось доказать.

Пример 8.6. В пространстве радиус-векторов с общим началом в точке заданы подпространства: и — три множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся в точке прямым и соответственно; и — два множества радиус-векторов, принадлежащих пересекающимся плоскостям и соответственно; прямая , при надлежит плоскости , прямая принадлежит плоскости , плоскости и пересекаются по прямой (рис. 8.2). Найти суммы и пересечения каждых двух из указанных пяти подпространств.

Решение. Найдем сумму . Складывая два вектора, принадлежащих и соответственно, получаем вектор, принадлежащий плоскости . На оборот, любой вектор (см. рис.8.2), принадлежащий , можно представить в виде , построив проекции и вектора на прямые и соответственно. Значит, любой радиус-вектор плоскости раскладывается по подпространствам и , т.е. . Аналогично получаем, что , а — множество радиус-векторов, принадлежащих плоскости, проходящей через прямые и .

Найдем сумму . Любой вектор пространства можно разложить по подпространствам и . В самом деле, через конец радиус-вектора проводим прямую, параллельную прямой (см. рис. 8.2), т.е. строим проекцию вектора на плоскость . Затем на откладываем вектор так, чтобы . Следовательно, . Так как , то . Аналогично получаем, что . Остальные суммы находятся просто: . Заметим, что .

Используя теорему 8.4, проверим, например, равенство по размерности. Подставляя и в формулу Грассмана, получаем , что и следовало ожидать, так как .

Пересечения подпространств находим по рис. 8.2, как пересечение геометрических фигур:

где — нулевой радиус-вектор .

Прямая сумма подпространств

Алгебраическая сумма подпространств и линейного пространства называется прямой суммой, если пересечение подпространств состоит из одного нулевого вектора. Прямая сумма подпространств обозначается и обладает следующим свойством: если , то для каждого вектора существует единственное представление в виде , где .

Действительно, если предположить противное, а именно существование двух разных разложений: , где , то получим противоречие: из равенства следует, что ненулевой вектор принадлежит обоим подпространствам и одновременно, значит, принадлежит их пересечению, а по определению их пересечение состоит из одного нулевого вектора.

Признаки прямых сумм подпространств

Сумма является прямой суммой, если:

– существует вектор , который однозначно представляется в виде , где ;

– базис пространства является объединением базисов подпространств и ;

– справедливо равенство .

Замечания 8.9

1. Понятие прямой суммы распространяется на любое конечное число слагаемых. Сумма называется прямой суммой подпространств, если пересечение каждого из них с суммой остальных равно одному нулевому вектору:

2. Свойства и признаки, указанные для прямой суммы двух подпространств, справедливы и для любого конечного числа слагаемых. Отметим еще одно свойство: если — базис пространства , то .

Пример 8.7. В примере 8.6 найдены алгебраические суммы подпространств. Какие суммы являются прямыми?

Решение. Так как , то сумма — прямая. Аналогично полу чаем, что суммы

— прямые.

Остальные суммы подпространств, найденные в примере 8.6, не являются прямыми:

поскольку их пересечение содержит не только нулевой вектор. Например, пересечение .

Алгебраические дополнения подпространств

Пусть — подпространство конечномерного линейного пространства . Подпространство называется алгебраическим дополнением подпространства в пространстве , если . Говорят, что дополняет (алгебраически) подпространство до .

Рассмотрим свойства алгебраических дополнений подпространств.

1. Для любого подпространства существует алгебраическое дополнение .

Действительно, если , то . Если , то . В остальных случаях базис подпространства можно дополнить по теореме 8.2 до базиса пространства . Тогда . В примере 8.7 получено равенство , т.е. подпространства и дополняют друг друга до всего пространства.

2. Базис любого подпространства дополняется базисом алгебраического дополнения до базиса всего пространства.

3. Алгебраическое дополнение подпространства , кроме случаев или , определяется неоднозначно.

В примере 8.7 дополнением плоскости в пространстве служит множество радиус-векторов, принадлежащих любой прямой, пересекающей плоскость в точке , в частности, подпространство .

4. Для любого подпространства .

Это равенство следует непосредственно из определения. Заметим, что равенство в силу неоднозначности определения алгебраического дополнения, вообще говоря, не справедливо.

5. Если и — подпространства пространства , то пересечение их алгебраических дополнений является алгебраическим дополнением суммы подпространств, и, наоборот, сумма алгебраических дополнений является алгебраическим дополнением пересечения подпространств:

Заметим, что равенства и в силу неоднозначности определения алгебраического дополнения, вообще говоря, не справедливы.

Докажем последнее свойство. Как при доказательстве теоремы 8.4 по строим базис суммы подпространств из трех наборов векторов: . Дополним теперь этот базис (по теореме 8.2) век торами до базиса пространства . Так как базис , то по свойству 2 алгебраических дополнений заключаем, что — базис . Аналогично получаем, что — базис . Следовательно, — базис пересечения . Таким образом, базис всего пространства получается объединением базиса суммы и базиса пересечения . Используя признак 2 прямой суммы подпространств, получаем . Равенство следует аналогично из структуры базиса пространства .

Линейная зависимость и линейная независимость векторов над подпространством

Говорят, что система векторов пространства линейно зависима над подпространством , если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, принадлежащая подпространству , т.е. найдутся такие числа , неравные нулю одновременно, что

Если последнее включение возможно только в тривиальном случае, т.е при , то векторы называют линейно независимы ми над подпространством .

Понятие линейной зависимости или независимости над подпространством обобщает обычное, рассмотренное ранее, понятие линейной зависимости или независимости векторов, и совпадает с ним, если в качестве подпространства взять нулевое .

Следующие свойства прямых сумм подпространств можно сформулировать при помощи понятия линейной зависимости и линейной независимости над подпространством.

1. Если пространство представлено в виде прямой суммы подпространств , то любая линейно независимая система векторов подпространства будет линейно независимой над подпространством .

2. Базисом алгебраического дополнения подпространства является максимальная совокупность векторов пространства , линейно независимая над подпространством (см. свойство 2 алгебраических дополнений подпространств).

Пусть имеется цепочка подпространств . Подпространство называется алгебраическим дополнением подпространства относительно подпространства (или относительным дополнением до подпространства ). Базисом относительного дополнения служит максимальная система векторов , линейно независимая над .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Определение 2.4. Сумму H₁ + Н₂ двух линейных подпространств H₁ и Н₂ данного линейного пространства называют прямой суммой, если для каждого вектора х из H₁ + Н₂ его представление

x = x₁ + x₂, x₁ ∈ H₁, x₂ ∈ H₂,

единственно.

Прямую сумму линейных подпространств H₁ и Н₂ обозначают H₁⊕H₂. Прямая сумма как частный случай суммы линейных подпространств по теореме 2.2 является линейным подпространством.

Пример 2.9. Сумма линейных подпространств H₁ и Н₂ в примере 2.8 является прямой. Действительно, представление произвольного вектора OM в виде OM = OM₁ + OM₂, где OM₁ ∈ H₁, OM₂ ∈ H₂, равносильно представлению этого вектора в виде линейной комбинации векторов OA и OB , так как, согласно определению подпространств H₁ и Н₂, OM₁ = λ₁OA, OM₂ = λ₂OB для некоторых чисел λ₁ и λ₂. Но так как векторы OA и OB линейно независимы, такое представление единственно.

Теорема 2.3 Для того чтобы сумма H₁ + Н₂ линейных подпространств H₁ и Н₂ была прямой, необходимо и достаточно, чтобы пересечение этих линейных подпространств было нулевым подпространством, т.е. Н₁ ∩ Н₂ = {0}.

◄ Необходимость. Пусть сумма H₁ + Н₂ является прямой суммой. Выберем любой вектор у ∈ Н₁ ∩ Н₂. Тогда у ∈ H₁ + Н₂ и для него справедливы два представления

у = у + 0, у = 0 + у, (2.1)

в каждом из которых левое слагаемое является элементом линейного подпространства H₁, а правое — H₂. Так как H₁ + Н₂ является прямой суммой, то оба представления (2.1) совпадают, т.е. у = 0. Значит, Н₁ ∩ Н₂ содержит единственный вектор 0.

Достаточность. Пусть Н₁ ∩ Н₂ = {0}. Рассмотрим произвольный вектор х ∈ Н₁ + Н₂ и докажем, что любые два его представления

х = х₁ + x₂, x₁ ∈ H₁, x₂ ∈ Н₂; (2.2)

х = х’₁ + ‘x₂, x’₁ ∈ H₁, x’₂ ∈ Н₂; (2.3)

совпадают.

Вычтем из равенства (2.2) равенство (2.3). В результате получим (х₁ + x₂) — (х’₁ + х’₂) = 0, откуда

х₁ — х’₁ = х’₂ — x₂.

Но тогда, с одной стороны, вектор у = х₁ — х’₁ принадлежит линейному подпространству Н₁, а с другой — он, согласно представлению у = х’₂ — x₂, принадлежит к другому линейному подпространству H₂. Следовательно, у ∈ Н₁ ∩ Н₂, а так как Н₁ ∩ Н₂ = {0}, то и у = 0. Поэтому х₁ — х’₁ = 0 и x₂ — х’₂ = 0, т.е. представления (2.2) и (2.3) совпадают. ►

Пример 2.10. В примере 2.8 линейные подпространства
Н₁ и Н₂ образуют прямую сумму (см. пример 2.9). Это можно показать следующим образом. Так как прямые пересекаются в единственной точке, то единственный вектор, коллинеарный одновременно обеим прямым, изображающим подпространства, — это нулевой вектор. Значит, Н₁ ∩ Н₂ = {0}. Согласно теореме 2.3, эти подпространства образуют прямую сумму.

1. Линейные операции над векторами

2. Базис. Cкалярное произведение

3. Векторное и смешанное произведения векторов

4. Декартова система координат. прямая на плоскости

5. Плоскость в пространстве

6. Прямая в пространстве

7. Кривые второго порядка — I

8. Кривые второго порядка — II

9. Поверхности второго порядка

10. Матрицы и операции с ними

11. Обратная матрица

12. Ранг матрицы

13. Системы линейных алгебраических уравнений

14. Свойства решений однородных и неоднородных СЛАУ

Предложите, как улучшить StudyLib

(Для жалоб на нарушения авторских прав, используйте

другую форму
)