Как найти производную при сложении - AvtoShod.ru

Правила вычисления производных

7 апреля 2011

Скачать все правила

Если следовать определению, то производная функции в точке — это предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx:

Вроде бы все понятно. Но попробуйте посчитать по этой формуле, скажем, производную функции f(x) = x
² + (2x + 3) · e
^x · sin x. Если все делать по определению, то через пару страниц вычислений вы просто уснете. Поэтому существуют более простые и эффективные способы.

Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить — вместе с их производными.

Производные элементарных функций

Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.

Итак, производные элементарных функций:

Название	Функция	Производная
Константа	f(x) = C, C ∈ R	0 (да-да, ноль!)
Степень с рациональным показателем	f(x) = x ⁿ	n · x ^{n − 1}
Синус	f(x) = sin x	cos x
Косинус	f(x) = cos x	− sin x (минус синус)
Тангенс	f(x) = tg x	1/cos² x
Котангенс	f(x) = ctg x	− 1/sin² x
Натуральный логарифм	f(x) = ln x	1/x
Произвольный логарифм	f(x) = log_a x	1/(x · ln a)
Показательная функция	f(x) = e ^x	e ^x (ничего не изменилось)

Если элементарную функцию умножить на произвольную постоянную, то производная новой функции тоже легко считается:

(C · f)’ = C · f ’.

В общем, константы можно выносить за знак производной. Например:

(2x
³)’ = 2 · (x
³)’ = 2 · 3x
² = 6x
².

Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать, делить — и многое другое. Так появятся новые функции, уже не особо элементарные, но тоже дифференцируемые по определенным правилам. Эти правила рассмотрены ниже.

Производная суммы и разности

Пусть даны функции f(x) и g(x), производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Итак, производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных. Слагаемых может быть больше. Например, (f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Строго говоря, в алгебре не существует понятия «вычитание». Есть понятие «отрицательный элемент». Поэтому разность f − g можно переписать как сумму f + (−1) · g, и тогда останется лишь одна формула — производная суммы.

Задача. Найти производные функций: f(x) = x
² + sin x; g(x) = x
⁴ + 2x
² − 3.

Функция f(x) — это сумма двух элементарных функций, поэтому:

f ’(x) = (x
² + sin x)’ = (x
²)’ + (sin x)’ = 2x + cos x;

Аналогично рассуждаем для функции g(x). Только там уже три слагаемых (с точки зрения алгебры):

g ’(x) = (x
⁴ + 2x
² − 3)’ = (x
⁴ + 2x
² + (−3))’ = (x
⁴)’ + (2x
²)’ + (−3)’ = 4x
³ + 4x + 0 = 4x · (x
² + 1).

Ответ:
f ’(x) = 2x + cos x;
g ’(x) = 4x · (x
² + 1).

Производная произведения

Математика — наука логичная, поэтому многие считают, что если производная суммы равна сумме производных, то производная произведения strike«>равна произведению производных. А вот фиг вам! Производная произведения считается совсем по другой формуле. А именно:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат — неправильно решенные задачи.

Задача. Найти производные функций: f(x) = x
³ · cos x; g(x) = (x
² + 7x − 7) · e
^x.

Функция f(x) представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:

f ’(x) = (x
³ · cos x)’ = (x
³)’ · cos x + x
³ · (cos x)’ = 3x
² · cos x + x
³ · (− sin x) = x
² · (3cos x − x · sin x)

У функции g(x) первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции g(x) представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Имеем:

g ’(x) = ((x
² + 7x − 7) · e
^x)’ = (x
² + 7x − 7)’ · e
^x + (x
² + 7x − 7) · (e
^x)’ = (2x + 7) · e
^x + (x
² + 7x − 7) · e
^x = e
^x · (2x + 7 + x
² + 7x −7) = (x
² + 9x) · e
^x = x(x + 9) · e
^x.

Ответ:
f ’(x) = x
² · (3cos x − x · sin x);
g ’(x) = x(x + 9) · e
^x.

Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители.

Производная частного

Если есть две функции f(x) и g(x), причем g(x) ≠ 0 на интересующем нас множестве, можно определить новую функцию h(x) = f(x)/g(x). Для такой функции тоже можно найти производную:

Неслабо, да? Откуда взялся минус? Почему g
²? А вот так! Это одна из самых сложных формул — без бутылки не разберешься. Поэтому лучше изучать ее на конкретных примерах.

Задача. Найти производные функций:

В числителе и знаменателе каждой дроби стоят элементарные функции, поэтому все, что нам нужно — это формула производной частного:

По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ:

Ответ:

Производная сложной функции

Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра. Например, достаточно взять функцию f(x) = sin x и заменить переменную x, скажем, на x
² + ln x. Получится f(x) = sin (x
² + ln x) — это и есть сложная функция. У нее тоже есть производная, однако найти ее по правилам, рассмотренным выше, не получится.

Как быть? В таких случаях помогает замена переменной и формула производной сложной функции:

f ’(x) = f ’(t) · t ’, если x заменяется на t(x).

Как правило, с пониманием этой формулы дело обстоит еще более печально, чем с производной частного. Поэтому ее тоже лучше объяснить на конкретных примерах, с подробным описанием каждого шага.

Задача. Найти производные функций: f(x) = e
^{2x + 3}; g(x) = sin (x
² + ln x)

Заметим, что если в функции f(x) вместо выражения 2x + 3 будет просто x, то получится элементарная функция f(x) = e
^x. Поэтому делаем замену: пусть 2x + 3 = t, f(x) = f(t) = e
^t. Ищем производную сложной функции по формуле:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e
^t)’ · t ’ = e
^t · t ’

А теперь — внимание! Выполняем обратную замену: t = 2x + 3. Получим:

f ’(x) = e
^t · t ’ = e
^{2x + 3} · (2x + 3)’ = e
^{2x + 3} · 2 = 2 · e
^{2x + 3}

Теперь разберемся с функцией g(x). Очевидно, надо заменить x
² + ln x = t. Имеем:

g ’(x) = g ’(t) · t ’ = (sin t)’ · t ’ = cos t · t ’

Обратная замена: t = x
² + ln x. Тогда:

g ’(x) = cos (x
² + ln x) · (x
² + ln x)’ = cos (x
² + ln x) · (2x + 1/x).

Вот и все! Как видно из последнего выражения, вся задача свелась к вычислению производной суммы.

Ответ:
f ’(x) = 2 · e
^{2x + 3};
g ’(x) = (2x + 1/x) · cos (x
² + ln x).

Очень часто на своих уроках вместо термина «производная» я использую слово «штрих». Например, штрих от суммы равен сумме штрихов. Так понятнее? Ну, вот и хорошо.

Таким образом, вычисление производной сводится к избавлению от этих самых штрихов по правилам, рассмотренным выше. В качестве последнего примера вернемся к производной степени с рациональным показателем:

(x
ⁿ)’ = n · x
^{n − 1}

Немногие знают, что в роли n вполне может выступать дробное число. Например, корень — это x
^0,5. А что, если под корнем будет стоять что-нибудь навороченное? Снова получится сложная функция — такие конструкции любят давать на контрольных работах и экзаменах.

Задача. Найти производную функции:

Для начала перепишем корень в виде степени с рациональным показателем:

f(x) = (x
² + 8x − 7)^0,5.

Теперь делаем замену: пусть x
² + 8x − 7 = t. Находим производную по формуле:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t
^0,5)’ · t ’ = 0,5 · t
^−0,5 · t ’.

Делаем обратную замену: t = x
² + 8x − 7. Имеем:

f ’(x) = 0,5 · (x
² + 8x − 7)^−0,5 · (x
² + 8x − 7)’ = 0,5 · (2x + · (x
² + 8x − 7)^−0,5.

Наконец, возвращаемся к корням:

Ответ:

Смотрите также:

Вводный урок по вычислению производных степенной функции
Уравнение касательной к графику функции
Тест к параграфу «Что такое логарифм» (легкий)
Комбинаторика в задаче B6: легкий тест
Задача B2: лекарство и таблетки
Задача B4 про шерсть и свитер

Источник

Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

Производная суммы функций

Определение

Производная суммы функций равна сумме производных каждой из функций: $$ (u+v)’=u’+v’ $$

В формуле стоит только два слагаемых, но она работает и в случае более двух, например:

$$ (u+v+g)’=u’+v’+g’ $$

Примеры решений

Пример 1

Найти производную суммы $ y = x^2+4x+3 $

Решение

Многочлен представляет собой сумму трёх функций. Тогда его производная по правилу производной суммы есть сумма производных от функций:

$$ y’ = (x^2+4x+3)’ = (x^2)’+(4x)’+(3)’ $$

Производная от первого слагаемого находится по правилу степенной функции $ (x^p)’=px^{p-1}:

$$ (x^2)’ = 2x $$

Чтобы найти производную второго слагаемого необходимо сначала вынести константу за знак производной по правилу $ (cx)’=c(x)’ $. Тогда как производная $ (x)’=1 $:

$$ (4x)’=4(x)’=4 $$

Третье слагаемое представляет собой константу, производная которой всегда равна нулю:

$$ (3)’=0 $$

В итоге записываем решение:

$$ y’=(x^2+4x+3)’=(x^2)’+(4x)’+(3)’=2x+4+0=2x+4 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ y’=2x+4 $$

Пример 2

Найти производную функции $ y = x^3+sin x $

Решение

Находим производные каждого из слагаемых отдельно друг от друга:

$$ y’=(x^3+sin x)’=(x^3)’+(sin x)’ $$

Первая функция является степенной и её производная отыскивается по правилу $ (x^p)’=px^{p-1} $:

$$ (x^3)’=3x^2 $$

Вторая функция представляет собой синус, производная которого равна $ (sin x)’=cos x $:

$$ y’=(x^3+sin x)’ = (x^3)’+(sin x)’=3x^2 + cos x $$

Ответ

$$ y’=3x^2+cos x $$

Источник

урок 3. Математика ЕГЭ

Как найти производную от функции

Как считать производные?

Никто не использует определение производной, чтобы ее вычислить. Как же тогда ее посчитать?

Оказывается, существуют специальные формулы, с помощью которых производная от функции вычисляется достаточно просто.

Формулы производной

Выпишем теперь все формулы производной функции и порешаем примеры.

Производная от константы
Производная от любого числа всегда равна (0):
$$(const)^{/}=0;$$

Пример 1
$$(5)^{/}=0;$$

Производная от (x)
Производная просто от (x) равна (1):
$$x^{/}=1;$$

Производная от степени
$$(x^n)^{/}=n*x^{n-1};$$
Пример 2
$$(x^4)^{/}=4*x^{4-1}=4*x^{3};$$
$$(x^{10})^{/}=10*x^{10-1}=10*x^{9};$$
$$(x^{-3})^{/}=-3*x^{-3-1}=-3*x^{-4};$$
$$(x^{frac{1}{3}})^{/}=frac{1}{3}*x^{1-frac{1}{3}}=frac{1}{3}*x^{frac{2}{3}};$$

Производная от квадратного корня
$$(sqrt{x})^{/}=frac{1}{2sqrt{x}};$$
Тут полезно заметить, что формулу производной от квадратного корня можно не учить. Она сводится к формуле производной от степени:
$$(sqrt{x})^{/}=(x^{frac{1}{2}})^{/}=frac{1}{2}*x^{frac{1}{2}-1}=frac{1}{2}*x^{-frac{1}{2}}=frac{1}{2sqrt{x}};$$

Производная от синуса
$$sin(x)^{/}=cos(x);$$

Производная от косинуса
$$cos(x)^{/}=-sin(x);$$

Производная от тангенса
$$tg(x)^{/}=frac{1}{cos^{2}(x)};$$

Производная от котангенса
$$tg(x)^{/}=frac{-1}{sin^{2}(x)};$$

Производная от экспоненты
$$(e^x)^{/}=e^x;$$

Производная от показательной функции
$$(a^x)^{/}=a^x*ln(a);$$
Пример 3
$$(2^x)^{/}=2^{x}*ln(2);$$

Производная от натурального логарифма
$$(ln(x))^{/}=frac{1}{x};$$

Производная от логарифма
$$(log_{a}(x))^{/}=frac{1}{x*ln(a)};$$

Свойства производной

Помимо формул по вычислению производной еще есть свойства производной, их тоже надо выучить.

Вынесение константы за знак производной
$$(alpha*f(x))^{/}=alpha*(f(x))^{/};$$

Пример 4
$$(3*x^5)^{/}=3*(x^5)^{/}=3*5x^4=15x^4;$$
$$(10sin(x))^{/}==10*(sin(x))^{/}=10*cos(x);$$

Производная от суммы и разности двух функций
$$(f(x) pm g(x))^{/}=(f(x))^{/} pm (g(x))^{/};$$

Пример 5
$$(2x^4+x^3)^{/}=?$$
Тут (f(x)=2x^4), а (g(x)=x^3). Тогда по формуле производной от суммы:
$$(2x^4+x^3)^{/}=(2x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*(x^4)^{/}+(x^3)^{/}=2*4x^3+3x^2=8x^3+3x^2;$$

Пример 6
$$(ln(x)+cos(x))^{/}=(ln(x))^{/}+(cos(x))^{/}=frac{1}{x}-sin(x);$$

Пример 7
$$(x^6-e^x)^{/}=(x^6)^{/}-(e^x)^{/}=6x^5-e^x;$$

Производная от произведения двух функций
$$(f(x)*g(x))^{/}=(f(x))^{/}*g(x)+f(x)*(g(x))^{/};$$

Пример 8
$$(x^2*sin(x))^{/}=?$$
$$(x^2*sin(x))^{/}=(x^2)^{/}*sin(x)+x^2*(sin(x))^{/}=2x*sin(x)+x^2*cos(x);$$

Пример 9
$$(ln(x)*e^x)^{/}=(ln(x))^{/}*e^x+ln(x)*(e^x)^{/}=frac{1}{x}*e^x+ln(x)*e^x;$$

Производная от частного двух функций
$$left(frac{f(x)}{g(x)}right)^{/}=frac{(f(x))^{/}*g(x)-f(x)*(g(x))^{/}}{(g(x))^2};$$

Пример 10
$$left(frac{x^3}{sin(x)}right)^{/}=frac{(x^3)^{/}*sin(x)-x^3*(sin(x))^{/}}{(sin(x))^2}=frac{3x^2*sin(x)-x^3*cos(x)}{(sin(x))^2};$$

Примеры нахождения производной

Рассмотрим несколько примеров нахождения производной, чтобы разобраться, как применяются свойства и формулы производной на практике.

Пример 11
$$(5x^3+2cos(x))^{/}=(5x^3)^{/}+(2cos(x))^{/}=$$
$$=5*(x^3)^{/}+2*(cos(x))^{/}=5*3*x^2+2*(-sin(x))=15x^2-2sin(x);$$

Пример 12
$$left(-frac{3x^2}{2x^4+5x}right)^{/}=-frac{(3x^2)^{/}*(2x^4+5x)-3x^2*(2x^4+5x)^{/}}{(2x^4+5x)^2}=$$
$$=-frac{6x*(2x^4+5x)-3x^2*(8x+5)}{(2x^4+5x)^2}=-frac{12x^5-24x^3+15x^2}{(2x^4+5x)^2};$$

Пример 13
$$(2xsqrt{x})^{/}=(2x)^{/}*sqrt{x}+2x*(sqrt{x})^{/}=$$
$$=2*sqrt{x}+2x*frac{1}{2sqrt{x}}=2*sqrt{x}+frac{2x}{2sqrt{x}}=2*sqrt{x}+sqrt{x}=3sqrt{x};$$

Производная сложной функции

Сложная функция — это функция не от аргумента (x), а от какой-то другой функции: (f(g(x))). Например, функция (sin(x^2)) будет сложной функцией: «внешняя» функция синуса берется от «внутренней» функции степени ((x^2)). Так как под синусом стоит аргумент не (x), а (x^2), то такая функция будет называться сложной.
Еще примеры сложных функций:

$$ln(3x^4);$$
Внешняя функция: натуральный логарифм; Внутренняя функция: ((3x^4)).
$$cos(ln(x));$$
Внешняя функция: косинус; Внутренняя функция: ((ln(x))).
$$e^{2x^2+3};$$
Внешняя функция: экспонента; Внутренняя функция: ((2x^2+3)).
$$(sin(x))^3;$$
Внешняя функция: возведение в третью степень; Внутренняя функция: (sin(x)).

Чтобы посчитать производную от такой функции, нужно сначала найти производную внешней функции, а затем умножить результат на производную внутренней функции. В общем виде формула выглядит так:
$$f(g(x))^{/}=f^{/}(g(x))*g^{/}(x);$$
Скорее всего, выглядит непонятно, поэтому давайте разберем на примерах.

Пример 14
$$((cos(x))^4)^{/}=?$$
Внешней функцией тут будет возведение в четвертую степень, поэтому сначала считаем производную от степени по формуле ((x^n)^{/}=n*x^{n-1}). А потом умножаем результат на производную внутренней функции, у нас это функция косинуса, по формуле (cos(x)^{/}=-sin(x)):
$$((cos(x))^4)^{/}=underset{text{внешняя производная}}{underbrace{4*(cos(x))^3}}*underset{text{внутренняя производная}}{underbrace{(cos(x))^{/}}}=$$
$$=4*(cos(x))^3*(-sin(x))=-4*(cos(x))^3*sin(x);$$

Пример 15
$$(e^{2x^3+5})^{/}=?$$
Внешняя функция — это экспонента ((e^x)^{/}=e^x), а внутренняя функция — квадратный многочлен ((2x^3+5)):
$$(e^{2x^3+5})^{/}=e^{2x^3+5}*(2x^3+5)^{/}=e^{2x^3+5}*((2x^3)^{/}+5^{/})=e^{2x^3+5}*6x^2.$$

Пример 16
$$(ln((2x^2+3)^6))^{/}=?$$
Внешняя функция — это натуральной логарифм, берем производную от него по формуле ((ln(x))^{/}=frac{1}{x}), и умножаем на производную внутренней функции, у нас это шестая степень: ((x^n)^{/}=n*x^{n-1}). Но и на этом еще не все: под шестой степенью стоит не просто (x), а квадратный многочлен, значит еще нужно умножить на производную от этого квадратного многочлена:
$$ln((2x^2+3)^6)=frac{1}{(2x^2+3)^6}*((2x^2+3)^6)^{/}*(2x^2+3)^{/}=$$
$$=frac{1}{(2x^2+3)^6}*6*(2x^2+3)^5*(4x+0)=frac{1}{(2x^2+3)^6}*6*(2x^2+3)^5*4x=$$
$$=frac{6*(2x^2+3)^5*4x}{(2x^2+3)^6}=frac{24x*(2x^2+3)^5}{(2x^2+3)^6}=frac{24x}{(2x^2+3)^6}.$$

Вывод формул производной функции

Выведем некоторые из этих формул, чтобы было понимание, откуда они берутся. Но перед этим познакомимся с новыми обозначениями. Запись (f(x)) означает, что функция берется от аргумента (x). Например:
$$f(x)=x^3+sin(x);$$
На месте аргумента (x) может стоять все что угодно, например выражение (2x+3). Обозначение такой функции будет (f(2x+3)), а сама функция примет вид:
$$f(2x+3)=(2x+3)^3+sin(2x+3);$$
То есть, везде вместо аргумента (x) мы пишем (2x+3).

И несколько важных замечаний про (Delta f(x)) и (Delta x). Напомню, что значок (Delta) означает изменение некоторой величины. (Delta x) — изменения координаты (x) при переходе от одной точки на графике функции к другой; (Delta f(x)) — разница координат (y) между двумя точками на графике. Подробнее про это можно почитать в главе, где мы вводим понятие производной. Распишем (Delta x) для двух близких точек на графике функции (O) и (B):
$$Delta x=x_B-x_O;$$
Отсюда можно выразить (x_B):
$$x_B=x_O+Delta x;$$
Абсцисса (координата точки по оси (x)) точки (B) получается путем сложения абсциссы точки (O) и (Delta x).

Кстати, функцию (f(x)=x^3+sin(x)) от аргумента (x_B=x_O+Delta x) можно расписать:

$$f(x_B)=f(x_O+Delta x)=(x_O+Delta x)^3+sin(x_O+Delta x);$$

Рис.1. График произвольной функции

И распишем (Delta f):
$$Delta f(x)=f(x_B)-f(x_O)=f(x_O+Delta x)-f(x_O);$$
Тогда определение производной можно записать в виде:
$$f^{/}(x)=frac{Delta f(x)}{Delta x}=frac{f(x_O+Delta x)-f(x_O)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$

За (x_O) обычно обозначают точку, в окрестности которой берут производную. То есть, получается (x_O) — это абсцисса начальной точки, а (x_O+Delta x) — абсцисса конечной точки.

Нам это пригодится при выводе формул производной.

Производная квадратичной функции

Выведем теперь формулу производной от (f(x)=x^2), воспользовавшись определением производной:
$$f^{/}(x)=frac{Delta f(x)}{Delta x}=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
Распишем числитель (f(x+Delta x)-f(x)) с учетом, что (f(x)=x^2):
$$f(x+Delta x)-f(x)=(x+Delta x)^2-x^2=x^2+2xDelta x+(Delta x)^2-x^2=2xDelta x+(Delta x)^2;$$
Подставим в определение производной:
$$f^{/}(x)=frac{2xDelta x+(Delta x)^2}{Delta x}=frac{Delta x*(2x+Delta x)}{Delta x}=2x+Delta x;$$
Напоминаю, что (Delta x) это бесконечно малая величина:
$$(Delta x)^2 ll 0;$$
Поэтому этим слагаемым можно пренебречь. Вот мы и получили формулу для производной от квадратной функции:
$$f^{/}(x)=(x^2)^{/}=2x;$$

Производная от третьей степени

Аналогичные рассуждения можно провести для функции третьей степени:
$$f(x)=x^3;$$
Воспользуемся определением производной:
$$f^{/}(x)=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x} quad при quad Delta x to 0;$$
$$f(x+Delta x)-f(x)=(x+Delta x)^3-x^3=(x+Delta x-x)((x+Delta x)^2+(x+Delta x)*x+x^2)=$$
$$=Delta x*(x^2+2x*Delta x+(Delta x)^2+x^2+x*Delta x+x^2)=Delta x*(3x^2+3xDelta x);$$
$$f^{/}(x)=frac{f(x+Delta x)-f(x)}{Delta x}=frac{Delta x*(3x^2+3xDelta x)}{Delta x}=3x^2+3xDelta x;$$
Так как при умножении на бесконечно малую величину получается бесконечно малая величина, то слагаемым (3xDelta x) можно пренебречь:
$$f^{/}(x)=(x^3)^{/}=3x^2;$$
Точно таким же способом можно вывести формулы производных для любых степеней:
$$(x^4)^{/}=4x^3;$$
$$(x^5)^{/}=5x^4;$$
$$…$$
$$(x^n)^{/}=n*x^{n-1};$$
Кстати, эта формула справедлива и для дробных степеней.

Вывод остальных формул делается похожим образом, только там может понадобиться знание пределов. Вывод всех формул разбирается в университетском курсе математического анализа.

Что такое производная функции простыми словами? Для чего нужна производная? Определение производной

Как решать задания №7 из ЕГЭ по математике. Анализ графиков при помощи производной. Графики производной и графики функции

Исследуем функцию с помощью производной. Находим точки минимума и максимума, наибольшее и наименьшее значение функции. Точки экстремума. Промежутки возрастания и убывания.

Связь коэффициента наклона и тангенса угла наклона касательной к функции и производной функции в точке касания. Задание №7 в ЕГЭ по математике.

Источник

Производная суммы и разности функций берется по правилу (u±v)’=u’±v’. Если слагаемые — табличные функции, найти производную суммы несложно, гораздо легче, чем производную произведения или производную частного. Начнем с рассмотрения именно таких примеров, а более сложные задания разберем позже.

Таблицу производных можно посмотреть здесь.

Найти производные суммы и разности функций:

1) y=10x³+12x-4cosx+8.

y’=(10x³+12x-4cosx+8)’=

Поскольку производная суммы и разности равна сумме и разности производных, при нахождении производной суммы ищем отдельно производную каждого слагаемого:

=(10x³)’+(12x)’-(4cosx)’+8’=

Так как число выносится за знак производной, то в тех слагаемых, где перед функцией стоит числовой множитель, этот числовой множитель выносим за знак производной, то есть просто переписываем. Если слагаемое состоит только из числа, то его производная равна нулю: С’=0:

=10·(x³)’+12·x’+4·(c0sx)’+8’=

Теперь производную каждого слагаемого находим по таблице производных:

=10·3x² +12·1+4·(-sinx)+0=30x² +12-4sinx.

Если среди слагаемых встречаются степени, для их дифференцирования используется соответствующее правило для нахождения производной степени.

$[2)y = 4{x^{12}} - 6sqrt x + frac{7}{x} + 3ctgx.]$

$[y' = (4{x^{12}} - 6sqrt x + frac{7}{x} + 3ctgx)' = ]$

$[ = 4 cdot ({x^{12}})' - 6 cdot (sqrt x )' + 7 cdot (frac{1}{x})' + 3 cdot (ctgx)' = ]$

$[ = 4 cdot 12{x^{11}} - 6 cdot frac{1}{{2sqrt x }} + 7 cdot ( - frac{1}{{{x^2}}}) + 3 cdot ( - frac{1}{{{{sin }^2}x}}) = ]$

$[ = 48{x^{11}} - frac{3}{{sqrt x }} - frac{7}{{{x^2}}} - frac{3}{{{{sin }^2}x}}.]$

Так подробно примеры расписывают только в самом начале нахождения производной суммы и разности. В дальнейшем при нахождении производной суммы мы не будем каждое слагаемое заключать в скобки и ставить над ними штрих. Этот этап пропускается. Просто переписываем числовые множители, стоящие перед каждым слагаемым, а производную каждого слагаемого находим с помощью таблицы производных. Так как производная числа равна нулю, обычно при нахождении производных этот нуль тоже не пишут.

$[3)y = 8tgx - 12{x^5} + 3 cdot {4^x} - 7ln x]$

$[y' = 8 cdot frac{1}{{{{cos }^2}x}} - 12 cdot 5{x^4} + 3 cdot {4^x} cdot ln 4 - 7 cdot frac{1}{x} = ]$

$[ = frac{8}{{{{cos }^2}x}} - 60{x^4} + 3 cdot ln 4 cdot {4^x} - frac{7}{x};]$

$[4)y = 5arctgx - 11{e^x} + frac{6}{{sqrt[9]{{{x^7}}}}} + 32x - 8]$

Прежде чем искать производную корня, его необходимо записать в виде степени (подробнее — здесь):

$[y = 5arctgx - 11{e^x} + 6 cdot {x^{ - frac{7}{9}}} + 32x - 8]$

Теперь ищем производную суммы:

$[y' = 5 cdot frac{1}{{1 + {x^2}}} - 11{e^x} + 6 cdot ( - frac{7}{9}{x^{ - frac{7}{9} - 1}}) + 32 = ]$

$[ = frac{5}{{1 + {x^2}}} - 11{e^x} - frac{{14}}{3}{x^{ - frac{{16}}{9}}} + 32 = ]$

$[ = frac{5}{{1 + {x^2}}} - 11{e^x} - frac{{14}}{{3{x^{frac{{16}}{9}}}}} + 32 = frac{5}{{1 + {x^2}}} - 11{e^x} - frac{{14}}{{3sqrt[9]{{{x^{16}}}}}} + 32.]$

Мы рассмотрели самые простые примеры на производную суммы и разности. В свою очередь, производная каждого слагаемого может находиться как производная произведения, частного или производная сложной функции. Поэтому более сложные примеры мы рассмотрим позже, после того, как разберемся с другими правилами дифференцирования функций.

Упражнения для самопроверки: найти производные суммы и разности функций:

$[1)y = 4{x^{21}} - 3sin x + 10sqrt x - 23x;2)y = frac{8}{{{x^3}}} + 9ln x - 27.]$