Как найти производную по градиенту

Частные производные функции нескольких
переменных, по своему смыслу, характеризуют
скорость изменения функции по направлениям
осей координат. Вполне естественно
выяснить с какой скоростью изменяется
функция в данной точке

в фиксированном направлении, задаваемом
вектором

.
Ответ на этот вопрос дает понятие
производной в точке

по
направлению вектора

.
Опуская точное определение такой
производной, которая естественно
является пределом отношения приращения
функции к приращению аргумента,
вычисленному в заданном направлении,
приведем формулы для её вычисления.

Для дифференцируемой функции трех
переменных

,
производная в направлении вектора

:

,
где

— направляющие косинусы вектора

,
которые вычисляются по формулам

,

,

и являются координатами единичного
вектора

того же направления:

.

Для дифференцируемой функции двух
переменных

формулы аналогичны, только будет
отсутствовать третья координата.

Определение. Градиентом функции

называется
вектор

,
координаты которого равны соответственно
частным производным

и

в точке

,
то есть

.

Для функции трех переменных

имеем

.

Используя определение градиента,
формулы для вычисления производной по
направлению можно записать в виде
скалярного произведения двух векторов:

или

Из этих формул, с учетом определения
скалярного произведения,

,
следуют основные свойства градиента:

• градиент
  это вектор, направленный в сторону
  максимального роста функции
  
  ,
  то есть производная по направлению в
  данной точке принимает максимальное
  значение в направлении её градиента
  в этой точке;

• модуль
  градиента равен максимальной производной
  по направлению.

• градиент
  перпендикулярен линии (поверхности)
  уровня функции;

Пример 1. Найти градиент функции

и
его модуль в точке

,
и вычислить производную по направлению
вектора

.

Решение.1)Вычисляем

.
Подставляя координаты точки

,
получим

.
Модуль, полученного вектора

.

2) Вычисляем единичный вектор заданного
направления

.
Производная по направлению равна

=

.

Пример 2. Найти вектор нормальный
к линиям уровня функции

.

Решение. Поскольку градиент функции
перпендикулярен линиям уровня этой
функции в произвольной точке, получим

,
значит, вектор

— нормальный вектор к линиям уровня

,
которые образовывают множество
параллельных прямых, перпендикулярных
вектору

.

7.7. Экстремум функции двух переменных

Определение. Точка

является точкой максимума (минимума)
функции

,
если существует окрестность этой точки
такая, что для всех точек

из
этой окрестности

(

).

Максимум или минимум, как и ранее,
называют экстремумом. Далее, в силу
простоты и наглядности, исследование
на экстремум проведем для функций двух
переменных

,
тем более, что идеи и последовательность
действий такие же, как и для функции
одной переменной.

Прежде всего, находим стационарные
точки, то есть точки в которых
обращаются в нуль обе частные производные
– необходимое условие экстремума,
то есть решаем систему уравнений:

Пусть, например, точка

является решением этой системы, то
есть – стационарная точка. Для
того, чтобы выяснить будет ли в этой
точке экстремум, используем следующие
достаточные условия существования
экстремума в стационарной точке.

1) Находим частные производные второго
порядка исследуемой функции и вычисляем
их значения в точке

,
обозначая:

;

;

.

2) Составим определитель

.

3) Если

,
то в точке

будет экстремум:

• максимум,
  если
  

• минимум,
  если
  

4) Если

,
то в точке

нет экстремума.

5) Если

,
то требуется дальнейшее исследование.

Пример. Исследовать на экстремум
функцию

Решение. 1) Ищем стационарные точки:

Из второго уравнения системы получим

,
подставляя это значение в первое
уравнение, после очевидных вычислений
имеем

.
Таким образом далее предстоит исследовать
единственную стационарную точку

.

2) Находим производные второго порядка
данной функции:

;

;

.

3) Вычисляем значения вторых производных
в стационарной точке:

;

;

.

4) Составляем определитель

,
т.к.

,
то в точке

есть экстремум, а так как

,
это минимум.

5) Находим

.

Замечание. Исследование на наибольшее
и наименьшее значение функции нескольких
переменных непрерывной в замкнутой
ограниченной области подобно исследованию
функции одной переменной на замкнутом
промежутке
.
Сначала ищутся критические точки внутри
области и вычисляются значения функции
в этих критических точках. Затем находят
наибольшее и наименьшее значения
функции на границе области. И в заключение,
из всех полученных значений выбирают
наибольшее и наименьшее, которые и
являются решением задачи.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Пусть F(x,y,z)F(x,y,z) – функция трех переменных, (x,y,z)(x,y,z) – декартовы координаты.

Градиентом функции F(x,y,z)F(x,y,z) называется векторное поле

∇F(x,y,z)=∂F∂xi+∂F∂yj+∂F∂zk,
nabla F(x,y,z)=frac{partial F}{partial x}mathbf{i}+frac{partial F}{partial y}mathbf{j}+frac{partial F}{partial z}mathbf{k},

где ∂F∂xfrac{partial F}{partial x}, ∂F∂yfrac{partial F}{partial y} и ∂F∂zfrac{partial F}{partial z} – частные производные функции F(x,y,z)F(x,y,z), а imathbf{i}, jmathbf{j} и kmathbf{k} – базис декартовой системы координат (x,y,z)(x,y,z).

Иногда градиент обозначается так: grad⁡F(x,y,z)operatorname{grad} F(x,y,z).

Градиент функции в данной точке показывает направление наибольшего роста функции.

Пример 1

Найти градиент функции F(x,y,z)=ln⁡(x2+y2+z2)F(x,y,z)=ln(x^2+y^2+z^2) в точке M(1,2,3)M(1,2,3).

Вычислим частные производные:
∂F∂x=∂∂xln⁡(x2+y2+z2)=2xx2+y2+z2,
frac{partial F}{partial x}=frac{partial }{partial x}ln(x^2+y^2+z^2)=frac{2x}{x^2+y^2+z^2},

∂F∂y=∂∂yln⁡(x2+y2+z2)=2yx2+y2+z2,
frac{partial F}{partial y}=frac{partial }{partial y}ln(x^2+y^2+z^2)=frac{2y}{x^2+y^2+z^2},

∂F∂z=∂∂zln⁡(x2+y2+z2)=2zx2+y2+z2.
frac{partial F}{partial z}=frac{partial }{partial z}ln(x^2+y^2+z^2)=frac{2z}{x^2+y^2+z^2}.

Градиент в точке M(1,2,3)M(1,2,3) (подставляем в формулы для частных производных значения x=1x=1, y=2y=2, z=3z=3):

∇F(M)=17  i+27  j+37  k=17  OM→.
nabla F(M)=frac{1}{7},,mathbf{i}+frac{2}{7},,mathbf{j}+frac{3}{7},,mathbf{k}=frac{1}{7},,overrightarrow{OM}.

Производная по направлению

Пусть FF – функция на плоскости или в пространстве.

Производной функции FF по направлению вектора amathbf{a} в точке MM называется число

∂F∂a(M)=1∥a∥ddεF(M+εa)∣ε=0,
frac{partial F}{partialmathbf{a}}(M)=frac{1}{|mathbf{a}|}left.frac{d}{dvarepsilon}Fleft(M+varepsilon mathbf{a}right)right|_{varepsilon=0},

если производная в правой части существует.

Пример 2

Найдем производную функции F(x,y,z)=x2y−y2z+z2xF(x,y,z)=x^2y-y^2z+z^2x по направлению вектора a=i−2j+2kmathbf{a}=mathbf{i}-2mathbf{j}+2mathbf{k} в точке M(−1,0,1)M(-1,0,1).

Вычисляем значение функции в точке M+εaM+varepsilon mathbf{a} с координатами (−1+ε,−2ε,1+2ε)(-1+varepsilon,-2varepsilon,1+2varepsilon):

F(M+εa)=(−1+ε)2(−2ε)−(−2ε)2(1+2ε)+(1+2ε)2(−1+ε)=−6ε3−5ε−1.
Fleft(M+varepsilon mathbf{a}right)=(-1+varepsilon)^2(-2varepsilon)-(-2varepsilon)^2(1+2varepsilon)+(1+2varepsilon)^2(-1+varepsilon)=-6{varepsilon^{3}}-5varepsilon-1.

Длина вектора amathbf{a}:

∥a∥=a12+a22+a32=12+(−2)2+22=9=3.
|mathbf{a}|=sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}=sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=sqrt{9}=3.

Производная по направлению:
∂F∂a(M)=1∥a∥ddεF(M+εa)∣ε=0=13ddε(−6ε3−5ε−1)∣ε=0=−53
frac{partial F}{partialmathbf{a}}(M)=frac{1}{|mathbf{a}|}left.frac{d}{dvarepsilon}Fleft(M+varepsilon mathbf{a}right)right|_{varepsilon=0}=frac{1}{3}left.frac{d}{dvarepsilon}left(-6{varepsilon^{3}}-5varepsilon-1right)right|_{varepsilon=0}=-frac{5}{3}

Выражение производной по направлению через градиент

Используя формулу Тейлора для функций нескольких переменных, легко получить выражение производной по направлению через градиент. Действительно, из равенства

F(M+εa)=F(M)+ε(∇F(M),a)+o(ε2)Fleft(M+varepsilon mathbf{a}right)=F(M)+varepsilonleft(nabla F(M),mathbf{a}right)+oleft(varepsilon^2right)

следует, что

ddεF(M+εa)∣ε=0=(∇F(M),a).
left.frac{d}{dvarepsilon}Fleft(M+varepsilon mathbf{a}right)right|_{varepsilon=0}=left(nabla F(M),mathbf{a}right).

Таким образом,

∂F∂a(M)=(∇F(M),a)∥a∥.
frac{partial F}{partialmathbf{a}}(M)=frac{left(nabla F(M),mathbf{a}right)}{|mathbf{a}|}.

Пример 2′2′

Найдем производную функции F(x,y,z)=x2y−y2z+z2xF(x,y,z)=x^2y-y^2z+z^2x по направлению вектора a=i−2j+2kmathbf{a}=mathbf{i}-2mathbf{j}+2mathbf{k} в точке M(−1,0,1)M(-1,0,1) используя градиент.

Частные производные:

∂F∂x(M)=2xy+z2∣(x,y,z)=(−1,0,1)=1,
frac{partial F}{partial x}(M)=left.2xy+z^2right|_{(x,y,z)=(-1,0,1)}=1,

∂F∂y(M)=x2−2yz∣(x,y,z)=(−1,0,1)=1,
frac{partial F}{partial y}(M)=left.x^2-2yzright|_{(x,y,z)=(-1,0,1)}=1,

∂F∂z(M)=−y2+2zx∣(x,y,z)=(−1,0,1)=−2.
frac{partial F}{partial z}(M)=left.-y^2+2zxright|_{(x,y,z)=(-1,0,1)}=-2.

Градиент:

∇F(M)=i+j−2k.
nabla F(M)=mathbf{i}+mathbf{j}-2mathbf{k}.

Скалярное произведение:

(∇F(M),a)=(i+j−2k,i−2j+2k)=1−2−4=−5.
left(nabla F(M),mathbf{a}right)=left(mathbf{i}+mathbf{j}-2mathbf{k},mathbf{i}-2mathbf{j}+2mathbf{k}right)=1-2-4=-5.

Производная по направлению:

∂F∂a(M)=(∇F(M),a)∥a∥=−53.
frac{partial F}{partialmathbf{a}}(M)=frac{left(nabla F(M),mathbf{a}right)}{|mathbf{a}|}=-frac{5}{3}.

Тест по теме “Градиент функции. Производная по направлению”

Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

Производная функции по направлению

Как найти?

Постановка задачи

Найти производную функции $ u(x,y,z) $ в точке $ M (x_1,y_1,z_1) $ по направлению вектора $ overline{l} = (l_x,l_y,l_z) $

План решения

Если для функции $ u(x,y,z) $ существует производная в точке $ M(x_1,y_1,z_1) $, то значит в этой точке существует производная по любому направлению $ overline{l} $ и находится по формуле:

$$ frac{partial u}{partial l} = frac{partial u}{partial x} bigg |_M cdot cos alpha + frac{partial u}{partial y} bigg |_M cdot cos beta + frac{partial u}{partial z} bigg |_M cdot cos gamma $$

1. Находим частные производные первого порядка:
   $$ frac{partial u}{partial x}; frac{partial u}{partial y}; frac{partial u}{partial z} $$
2. Вычисляем полученные производные в точке $ M(x_1,y_1,z_1) $:
   $$ frac{partial u}{partial x} bigg |_{M(x_1,y_1,z_1)}; frac{partial u}{partial y} bigg |_{M(x_1,y_1,z_1)}; frac{partial u}{partial z} bigg |_{M(x_1,y_1,z_1)} $$
3. Получаем направляющие косинусы по формулам:
   $$ cos alpha = frac{l_x}{|overline{l}|}; cos beta = frac{l_y}{|overline{l}|}; cos gamma = frac{l_z}{|overline{l}|} $$
4. Подставляем все полученные данные в формулу и записываем ответ

Примеры решений