Производная произведения и производная частного
3 февраля 2015
В этом уроке мы продолжаем изучать производные функций и переходим к более сложной теме, а именно, к производным произведения и частного. Если вы смотрели предыдущий урок, то наверняка поняли, что мы рассматривали лишь самые простые конструкции, а именно, производную степенной функции, суммы и разности. В частности, мы узнали, что производная суммы равна их сумме, а производная разности равна, соответственно, их разности. К сожалению, в случае с производными частного и произведения формулы будут гораздо сложнее. Начнем мы именно с формулы производной произведения функций.
Производные тригонометрических функций
Для начала позволю себе небольшое лирическое отступление. Дело в том, что помимо стандартной степенной функции — $y={{x}^{n}}$, в этом уроке будут встречаться и другие функции, а именно, $y=sin x$, а также $y=cos x$ и прочая тригонометрия — $y=tgx$ и, разумеется, $y=ctgx$.
Если производную степенной функции мы все прекрасно знаем, а именно $left( {{x}^{n}} right)=ncdot {{x}^{n-1}}$, то, что касается тригонометрических функций, нужно упомянуть отдельно. Давайте запишем:
[begin{align} {{left( sin x right)}^{prime }} &=cos x \ {{left( cos x right)}^{prime }} &=-sin x \ {{left( tgx right)}^{prime }} &=frac{1}{{{cos }^{2}}x} \ {{left( ctgx right)}^{prime }} &=frac{1}{{{cos }^{2}}x} \end{align}]
Но эти формулы вы прекрасно знаете, давайте пойдем дальше.
Что такое производная произведения?
Для начала самое главное: если функция представляет собой произведение двух других функций, например, $fcdot g$, то производная этой конструкции будет равна следующему выражению:
[{{left( fcdot g right)}^{prime }}={f}’cdot g+fcdot {g}’]
Как видите, эта формула значительно отличается и является более сложной, нежели те формулы, которые мы рассматривали ранее. Например, производная суммы считается элементарно —${{left( f+g right)}^{prime }}={f}’+{g}’$, либо производная разности, которая тоже элементарно считается ― ${{left( f-g right)}^{prime }}={f}’-{g}’$.
Давайте попробуем применить первую формулу для вычисления производных двух функций, которые нам даны в задаче. Начнем с первого примера:
[y={{x}^{3}}left( x-5 right)]
Очевидно, что в качестве произведения, точнее, в качестве множителя, выступает следующая конструкция: ${{x}^{3}}$, мы можем рассматривать в качестве $f$, а $left( x-5 right)$ мы можем рассматривать в качестве $g$. Тогда их произведение как раз и будет произведением двух функций. Решаем:
[begin{align}& {{left( {{x}^{3}}cdot left( x-5 right) right)}^{prime }}={{left( {{x}^{3}} right)}^{prime }}cdot left( x-5 right)+{{x}^{3}}cdot {{left( x-5 right)}^{prime }}= \& =3{{x}^{2}}cdot left( x-5 right)+{{x}^{3}}cdot 1 \end{align}].
Теперь давайте внимательно посмотрим на каждое из наших слагаемых. Мы видим, что и в первом, и во втором слагаемом присутствует степень $x$: в первом случае это ${{x}^{2}}$, а во втором — ${{x}^{3}}$. Давайте вынесем наименьшую степень за скобки, в скобке останется:
[begin{align}& 3{{x}^{2}}cdot left( x-5 right)+{{x}^{3}}cdot 1={{x}^{2}}left( 3cdot 1left( x-5 right)+x right)= \& ={{x}^{2}}left( 3x-15+x right)={{x}^{2}}(4x-15) \end{align}]
Все, мы нашли ответ.
Возвращаемся к нашим задачам и попробуем решить:
[fleft( x right)=xleft( sqrt[3]{x}-1 right)]
Итак, переписываем:
[fleft( x right)=xcdot left( sqrt[3]{x}-1 right)]
Опять же замечаем, что речь идет о произведении произведения двух функций: $x$, которую можно обозначить за $f$, и $left( sqrt[3]{x}-1 right)$, которую можно обозначить за $g$.
Таким образом, перед нами вновь произведение двух функций. Для нахождения производной функции $fleft( x right)$ вновь воспользуемся нашей формулой. Получим:
[begin{align}& {f}’=left( x right)’cdot left( sqrt[3]{x}-1 right)+xcdot {{left( sqrt[3]{x}-1 right)}^{prime }}=1cdot left( sqrt[3]{x}-1 right)+xfrac{1}{3sqrt[3]{x}}= \& =sqrt[3]{x}-1+sqrt[3]{x}cdot frac{1}{3}=frac{4}{3}sqrt[3]{x}-1 \end{align}]
Ответ найден.
Зачем раскладывать производные на множители?
Только что мы использовали несколько очень важных математических фактов, которые сами по себе не имеют отношения к производным, однако без их знания все дальнейшее изучение этой темы просто не имеет смысла.
Во-первых, решая самую первую задачу и, уже избавившись от всех знаков производных, мы зачем-то начали раскладывать это выражение на множители.
Во-вторых, решая следующую задачу, мы несколько раз переходили от корня к степени с рациональным показателем и обратно, при этом используя формулу 8-9-го класса, которую стоило бы повторить отдельно.
По поводу разложения на множители ― зачем вообще нужны все эти дополнительные усилия и преобразования? На самом деле, если в задаче просто сказано «найти производную функции», то эти дополнительные действия не требуются. Однако в реальных задачах, которые ждут вас на всевозможных экзаменах и зачетах, просто найти производную зачастую недостаточно. Дело в том, что производная является лишь инструментом, с помощью которой можно узнать, например, возрастание или убывание функции, а для этого требуется решать уравнение, раскладывать его на множители. И вот здесь этот прием будет очень уместен. Да и вообще, с функцией, разложенной на множители, гораздо удобней и приятней работать в дальнейшем, если требуются какие-то преобразования. Поэтому правило № 1: если производную можно разложить на множители, именно так и стоит поступать. И сразу правило № 2 (по сути, это материал 8-9-го класса): если в задаче встречается корень n-ной степени, причем, корень явно больше двух, то этот корень можно заменить обычной степенью с рациональным показателем, причем в показателе появится дробь, где n― та самая степень ― окажется в знаменателе этой дроби.
Разумеется, если под корнем присутствует какая-то степень (в нашем случае это степень k), то она никуда не девается, а просто оказывается в числителе этой самой степени.
А теперь, когда вы все это поняли, давайте вернемся к производным произведения и посчитаем еще несколько уравнений.
Но прежде чем переходить непосредственно к вычислениям, хотел бы напомнить такие закономерности:
[begin{align}& {{left( sin x right)}^{prime }}=cos x \& {{left( cos x right)}^{prime }}=-sin x \& left( tgx right)’=frac{1}{{{cos }^{2}}x} \& {{left( ctgx right)}^{prime }}=-frac{1}{{{sin }^{2}}x} \end{align}]
Считаем первый пример:
[y={{x}^{4}}cdot sin x]
У нас опять произведение двух функций: первая ― $f$, вторая ― $g$. Напомню формулу:
[{{left( fcdot g right)}^{prime }}={f}’cdot g+fcdot {g}’]
Давайте решим:
[begin{align}& {y}’={{left( {{x}^{4}} right)}^{prime }}cdot sin x+{{x}^{4}}cdot {{left( sin x right)}^{prime }}= \& =3{{x}^{3}}cdot sin x+{{x}^{4}}cdot cos x={{x}^{3}}left( 3sin x+xcdot cos x right) \end{align}]
Переходим ко второй функции:
[y=left( 3x-2 right)cos x]
Опять же, $left( 3x-2 right)$ ― это функция $f$, $cos x$ ― это функция $g$. Итого производная произведения двух функций будет равна:
[begin{align}& {y}’={{left( 3x-2 right)}^{prime }}cdot cos x+left( 3x-2 right)cdot {{left( cos x right)}^{prime }}= \& =3cdot cos x+left( 3x-2 right)cdot left( -sin x right)=3cos x-left( 3x-2 right)cdot sin x \end{align}]
Вот такое решение.
Идем далее и переходим к более сложным примерам. Для экономии времени я буду пропускать очевидные действия и буду писать лишь ключевые шаги. Итак:
[y={{x}^{2}}cos x+4xsin x]
Запишем:
[{y}’={{left( {{x}^{2}}cdot cos x right)}^{prime }}+{{left( 4xsin x right)}^{prime }}]
Выпишем по отдельности:
[begin{align}& {{left( {{x}^{2}}cdot cos x right)}^{prime }}=left( {{x}^{2}} right)’cos x+{{x}^{2}}cdot {{left( cos x right)}^{prime }}= \& =2xcdot cos x+{{x}^{2}}cdot left( -sin x right)=2xcdot cos x-{{x}^{2}}cdot sin x \end{align}]
На множители мы это выражение не раскладываем, потому что это еще не окончательный ответ. Сейчас нам предстоит решить вторую часть. Выписываем ее:
[begin{align}& {{left( 4xcdot sin x right)}^{prime }}={{left( 4x right)}^{prime }}cdot sin x+4xcdot {{left( sin x right)}^{prime }}= \& =4cdot sin x+4xcdot cos x \end{align}]
А теперь возвращаемся к нашей изначальной задаче и собираем все в единую конструкцию:
[begin{align}& {y}’=2xcdot cos x-{{x}^{2}}cdot sin x+4sin x+4xcos x=6xcdot cos x= \& =6xcdot cos x-{{x}^{2}}cdot sin x+4sin x \end{align}]
Все, это окончательный ответ.
Переходим к последнему примеру ― он будет самым сложным и самым объемным по вычислениям. Итак, пример:
[y={{x}^{2}}tgx-2xctgx]
Считаем:
[{y}’={{left( {{x}^{2}}cdot tgx right)}^{prime }}-{{left( 2xctgx right)}^{prime }}]
Считаем каждую часть отдельно:
[begin{align}& {{left( {{x}^{2}}cdot tgx right)}^{prime }}={{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}cdot tgx+{{x}^{2}}cdot {{left( tgx right)}^{prime }}= \& =2xcdot tgx+{{x}^{2}}cdot frac{1}{{{cos }^{2}}x} \end{align}]
[begin{align}& {{left( 2xcdot ctgx right)}^{prime }}={{left( 2x right)}^{prime }}cdot ctgx+2xcdot {{left( ctgx right)}^{prime }}= \& =2cdot ctgx+2xleft( -frac{1}{{{sin }^{2}}x} right)=2cdot ctgx-frac{2x}{{{sin }^{2}}x} \end{align}]
Возвращаясь к исходной функции, посчитаем ее производную в целом:
[begin{align}& {y}’=2xcdot tgx+frac{{{x}^{2}}}{{{cos }^{2}}x}-left( 2ctgx-frac{2x}{{{sin }^{2}}x} right)= \& =2xcdot tgx+frac{{{x}^{2}}}{{{cos }^{2}}x}-2ctgx+frac{2x}{{{sin }^{2}}x} \end{align}]
Вот, собственно, и все, что я хотел рассказать по производным произведения. Как видите, основная проблема формулы состоит не в том, чтобы ее заучить, а в том, что получается довольно большой объем вычислений. Но это нормально, потому что сейчас мы переходим к производной частного, где нам придется очень сильно потрудиться.
Что представляет собой производная частного?
Итак, формула производной частного. Пожалуй, это самая сложная формула в школьном курсе производных. Допустим, у нас есть функция вида $frac{f}{g}$, где $f$ и $g$ ― также функции, с которых тоже можно снять штрих. Тогда она будет считаться по следующей формуле:
[{{left( frac{f}{g} right)}^{prime }}=frac{{f}’cdot g-fcdot {g}’}{{{g}^{2}}}]
Числитель чем-то напоминает нам формулу производной произведения, однако между слагаемыми стоит знак «минус» и еще в знаменателе добавился квадрат исходного знаменателя. Давайте посмотрим, как это работает на практике:
[fleft( x right)=frac{{{x}^{2}}-1}{x+2}]
Попытаемся решить:
[{f}’={{left( frac{{{x}^{2}}-1}{x+2} right)}^{prime }}=frac{{{left( {{x}^{2}}-1 right)}^{prime }}cdot left( x+2 right)-left( {{x}^{2}}-1 right)cdot {{left( x+2 right)}^{prime }}}{{{left( x+2 right)}^{2}}}]
Предлагаю выписать каждую часть отдельно и записать:
[begin{align}& {{left( {{x}^{2}}-1 right)}^{prime }}={{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}-{1}’=2x \& {{left( x+2 right)}^{prime }}={x}’+{2}’=1 \end{align}]
Переписываем наше выражение:
[begin{align}& {f}’=frac{2xcdot left( x+2 right)-left( {{x}^{2}}-1 right)cdot 1}{{{left( x+2 right)}^{2}}}= \& =frac{2{{x}^{2}}+4x-{{x}^{2}}+1}{{{left( x+2 right)}^{2}}}=frac{{{x}^{2}}+4x+1}{{{left( x+2 right)}^{2}}} \end{align}]
Мы нашли ответ. Переходим ко второй функции:
[y=frac{1}{{{x}^{2}}+4}]
Судя по тому, что в ее числителе стоит просто единица, то здесь вычисления будут чуть проще. Итак, запишем:
[{y}’={{left( frac{1}{{{x}^{2}}+4} right)}^{prime }}=frac{{1}’cdot left( {{x}^{2}}+4 right)-1cdot {{left( {{x}^{2}}+4 right)}^{prime }}}{{{left( {{x}^{2}}+4 right)}^{2}}}]
Посчитаем каждую часть примера отдельно:
[begin{align}& {1}’=0 \& {{left( {{x}^{2}}+4 right)}^{prime }}={{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}+{4}’=2x \end{align}]
Переписываем наше выражение:
[{y}’=frac{0cdot left( {{x}^{2}}+4 right)-1cdot 2x}{{{left( {{x}^{2}}+4 right)}^{2}}}=-frac{2x}{{{left( {{x}^{2}}+4 right)}^{2}}}]
Мы нашли ответ. Как и предполагалось, объем вычисления оказался существенно меньше, чем для первой функции.
В чем разница между обозначениями?
У внимательных учеников наверняка уже возник вопрос: почему в одних случаях мы обозначаем функцию как $fleft( x right)$, а в других случаях пишем просто $y$? На самом деле, с точки зрения математики нет абсолютно никакой разницы ― вы вправе использовать как первое обозначение, так и второе, при этом никаких штрафных санкций на экзаменах и зачетах не последует. Для тех, кому все-таки интересно, поясню, почему авторы учебников и задач в одних случаях пишут $fleft( x right)$, а в других (гораздо более частых) ― просто $y$. Дело в том, что записывая функцию в виде[fleft( x right)=frac{{{x}^{2}}-1}{x+2}], мы неявно намекаем тому, кто будет читать наши выкладки, что речь идет именно об алгебраической интерпретации функциональной зависимости. Т. е., есть некая переменная $x$, мы рассматриваем зависимость от этой переменной и обозначаем ее $fleft( x right)$. При этом, увидев вот такое обозначение, тот, кто будет читать ваши выкладки, например, проверяющий, будет подсознательно ожидать, что в дальнейшем его ждут лишь алгебраические преобразования ― никаких графиков и никакой геометрии.
С другой стороны, используя обозначения вида[y=frac{1}{{{x}^{2}}+4}], т. е., обозначая переменную одной единственной буквой, мы сразу даем понять, что в дальнейшем нас интересует именно геометрическая интерпретация функции, т. е., нас интересует, в первую очередь, ее график. Соответственно, столкнувшись с записью вида[y=frac{1}{{{x}^{2}}+4}], читатель вправе ожидать графических выкладок, т. е., графиков, построений и т. д., но, ни в коем случае, не аналитических преобразований.
Еще хотел бы обратить ваше внимание на одну особенность оформления задач, которые мы сегодня рассматриваем. Многие ученики считают, что я привожу слишком подробные выкладки, и многие из них можно было бы пропустить или просто решить в уме. Однако именно такая подробная запись позволит вам избавится от обидных ошибок и значительно увеличит процент правильно решенных задач, например, в случае самостоятельной подготовки к контрольным или экзаменам. Поэтому если вы еще неуверенны в своих силах, если вы только начинаете изучать данную тему, не спешите ― подробно расписывайте каждый шаг, выписывайте каждый множитель, каждый штрих, и очень скоро вы научитесь решать такие примеры лучше, чем многие школьные учителя. Надеюсь, это понятно. Давайте посчитаем еще несколько примеров.
Несколько интересных задач
На этот раз, как мы видим, в составе вычисляемых производных присутствует тригонометрия. Поэтому напомню следующее:
[begin{align}& {(sin x)}’=cos x \& {{left( cos x right)}^{prime }}=-sin x \end{align}]
Конечно, нам не обойтись и без производной частного, а именно:
[{{left( frac{f}{g} right)}^{prime }}=frac{{f}’cdot g-fcdot {g}’}{{{g}^{2}}}]
Считаем первую функцию:
[fleft( x right)=frac{sin x}{x}]
Запишем:
[begin{align}& {f}’={{left( frac{sin x}{x} right)}^{prime }}=frac{{{left( sin x right)}^{prime }}cdot x-sin xcdot left( {{x}’} right)}{{{x}^{2}}}= \& =frac{xcdot cos x-1cdot sin x}{{{x}^{2}}}=frac{xcos x-sin x}{{{x}^{2}}} \end{align}]
Вот мы и нашли решение этого выражения.
Переходим ко второму примеру:
[y=frac{xsin x}{cos x}]
Очевидно, что ее производная будет более сложной уже хотя бы потому, что и в числителе, и в знаменателе данной функции присутствует тригонометрия. Решаем:
[{y}’={{left( frac{xsin x}{cos x} right)}^{prime }}=frac{{{left( xsin x right)}^{prime }}cdot cos x-xsin xcdot {{left( cos x right)}^{prime }}}{{{left( cos x right)}^{2}}}]
Заметим, что у нас возникает производная произведения. В этом случае она будет равна:
[begin{align}& {{left( xcdot sin x right)}^{prime }}={x}’cdot sin x+x{{left( sin x right)}^{prime }}= \& =sin x+xcos x \end{align}]
Возвращаемся к нашим вычислениям. Записываем:
[begin{align}& {y}’=frac{left( sin x+xcos x right)cos x-xcdot sin xcdot left( -sin x right)}{{{cos }^{2}}x}= \& =frac{sin xcdot cos x+x{{cos }^{2}}x+x{{sin }^{2}}x}{{{cos }^{2}}x}= \& =frac{sin xcdot cos x+xleft( {{sin }^{2}}x+{{cos }^{2}}x right)}{{{cos }^{2}}x}=frac{sin xcdot cos x+x}{{{cos }^{2}}x} \end{align}]
Вот и все! Мы посчитали.
Как свести производную частного к простой формуле производной произведения?
И вот тут хотелось бы сделать одно очень важное замечание, касающееся именно тригонометрических функций. Дело в том, что наша исходная конструкция содержит в себе выражение вида $frac{sin x}{cos x}$, которую легко можно заменить просто $tgx$. Таким образом, мы сведем производную частного к более простой формуле производной произведения. Вот давайте посчитаем этот пример еще раз и сравним результаты.
Итак, теперь нам нужно учесть следующее:
[frac{sin x}{cos x}=tgx]
Перепишем нашу исходную функцию $y=frac{xsin x}{cos x}$ с учетом этого факта. Получим:
[y=xcdot tgx]
Давайте посчитаем:
[begin{align}& {y}’={{left( xcdot tgx right)}^{prime }}{x}’cdot tgx+x{{left( tgx right)}^{prime }}=tgx+xfrac{1}{{{cos }^{2}}x}= \& =frac{sin x}{cos x}+frac{x}{{{cos }^{2}}x}=frac{sin xcdot cos x+x}{{{cos }^{2}}x} \end{align}]
Теперь, если мы сравним полученный результат с тем, что мы получили ранее, при вычислении по другому пути, то мы убедимся, что получили одно и то же выражение. Таким образом, каким бы путем мы не шли при вычислении производной, если все посчитано верно, то ответ будет одним и тем же.
Важные нюансы при решении задач
В заключении хотел бы рассказать вам еще одну тонкость, связанную с вычислением производной частного. То, что я вам сейчас расскажу, не было в изначальном сценарии видеоурока. Однако за пару часов до съемок я занимался с одним из своих учеников, и мы как раз разбирали тему производных частного. И, как выяснилось, этот момент многие ученики не понимают. Итак, допустим, нам нужно посчитать снять штрих следующей функции:
[y=frac{48}{x}+3{{x}^{2}}+100]
В принципе, ничего сверхъестественного на первый взгляд в ней нет. Однако в процессе вычисления мы можем допустить много глупых и обидных ошибок, которые я бы хотел сейчас разобрать.
Итак, считаем эту производную. Прежде всего, заметим, что у нас присутствует слагаемое $3{{x}^{2}}$, поэтому уместно вспомнить следующую формулу:
[{{left( {{x}^{n}} right)}^{prime }}=ncdot {{x}^{n-1}}]
Кроме того, у нас присутствует слагаемое $frac{48}{x}$ ― с ним мы будем разбираться через производную частного, а именно:
[{{left( frac{f}{g} right)}^{prime }}=frac{{f}’cdot g-fcdot {g}’}{{{g}^{2}}}]
Итак, решаем:
[{y}’={{left( frac{48}{x} right)}^{prime }}+{{left( 3{{x}^{2}} right)}^{prime }}+10{0}’]
С первым слагаемым никаких проблем, смотрите:
[{{left( 3{{x}^{2}} right)}^{prime }}=3cdot {{left( {{x}^{2}} right)}^{prime }}=3k.2x=6x]
А вот с первым слагаемым, $frac{48}{x}$, нужно поработать отдельно. Дело в том, что многие ученики путают ситуацию, когда нужно найти ${{left( frac{x}{48} right)}^{prime }}$и когда нужно найти ${{left( frac{48}{x} right)}^{prime }}$. Т. е., они путаются, когда константа стоит в знаменателе, и когда константа стоит в числителе, соответственно, когда переменная стоит в числителе, либо в знаменателе.
Для начала проработаем первый вариант:
[{{left( frac{x}{48} right)}^{prime }}={{left( frac{1}{48}cdot x right)}^{prime }}=frac{1}{48}cdot {x}’=frac{1}{48}cdot 1=frac{1}{48}]
С другой стороны, если мы попробуем аналогично поступить и со второй дробью, то получим следующее:
[begin{align}& {{left( frac{48}{x} right)}^{prime }}={{left( 48cdot frac{1}{x} right)}^{prime }}=48cdot {{left( frac{1}{x} right)}^{prime }}= \& =48cdot frac{{1}’cdot x-1cdot {x}’}{{{x}^{2}}}=48cdot frac{-1}{{{x}^{2}}}=-frac{48}{{{x}^{2}}} \end{align}]
Однако тот же самый пример можно было посчитать и иначе: на этапе, где мы переходили к производной частного, можно рассмотреть $frac{1}{x}$ как степень с отрицательным показателем, т. е., мы получим следующее:
[begin{align}& 48cdot {{left( frac{1}{x} right)}^{prime }}=48cdot {{left( {{x}^{-1}} right)}^{prime }}=48cdot left( -1 right)cdot {{x}^{-2}}= \& =-48cdot frac{1}{{{x}^{2}}}=-frac{48}{{{x}^{2}}} \end{align}]
И так, и так мы получили один и тот же ответ.
Таким образом, мы еще раз убедились в двух важных фактах. Во-первых, одну и ту же производную можно посчитать совершенно различными способами. Например, ${{left( frac{48}{x} right)}^{prime }}$ можно рассматривать и как производную частного, и как производную степенной функции. При этом если все вычисления выполнены верно, то ответ всегда получится одним и тем же. Во-вторых, при вычислении производных, содержащих и переменную, и константу, принципиально важным является то, где находится переменная ― в числителе или в знаменателе. В первом случае, когда переменная находится в числителе, мы получаем простую линейную функцию, которая элементарно считается. А в случае, если переменная стоит в знаменателе, то мы получаем более сложное выражение с сопутствующими выкладками, приведенными ранее.
На этом урок можно считать законченным, поэтому если вам что-то непонятно по производным частного или произведения, да и вообще, если у вас есть любые вопросы по этой теме, не стесняйтесь ― заходите на мой сайт, пишите, звоните, и я обязательно постараюсь вам помочь.
Сами по себе производные ― тема отнюдь не сложная, но очень объемная, и то, что мы сейчас изучаем, будет использоваться в будущем при решении более сложных задач. Именно поэтому все недопонимания, связанные с вычислениями производных частного или произведения, лучше выявить немедленно, прямо сейчас. Не когда они представляют собой огромный снежный ком недопонимания, а когда представляют собой маленький теннисный шарик, с которым легко разобраться.
Смотрите также:
- Вводный урок по вычислению производных степенной функции
- Простое определение производной функции
- Основное тригонометрическое тождество
- Как быстро извлекать квадратные корни
- Проценты в задачах на наибольшее-наименьшее значение используем пропорции
- Сложная задача B14: работа трех исполнителей
Теорема 1
Производная суммы двух функций (y=f(x)) и (y=g(x)) существует в точке (x), если существуют производные этих функций в точке (x).
Производная суммы равна сумме производных:
(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
Теорема 2
Производная функции (y=kf(x)) существует в точке (x), если существует производная функции (y=f(x)) в точке (x).
Производная функции (y=kf(x)) равна произведению коэффициента ( k) и производной функции (y=f(x)):
(kf(x))′=kf′(x).
Теорема 3
Производная произведения двух функций (y=f(x)) и (y=g(x)) существует в точке (x), если существуют производные этих функций в точке (x).
Производная произведения двух функций (y=f(x)) и (y=g(x)) находится по формуле:
(f(x)g(x))′=f′(x)⋅g(x)+f(x)⋅g′(x).
Словесная формулировка этого правила:
чтобы найти производную произведения двух функций, нужно к произведению производной первой функции и второй функции прибавить произведение первой функции и производной второй функции.
Теорема 4
Производная частного двух функций (y=f(x)) и (y=g(x)) существует в точке (x), если существуют производные этих функций в точке (x) и в этой точке
g(x)≠0
.
Производная
y=f(x)g(x)
находится по формуле:
f(x)g(x)′=f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)g2(x).
Короче:
(k1u+k2v)′=k1u′+k2v′;(uv)′=u′v+uv′;uv′=u′v−uv′v2.
Пример:
u=x2;v=sinx;1.(2×2−3sinx)′=2(x2)′−3(sinx)′=2⋅2x−3cosx=4x−3cosx;2.(x2sinx)′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx;3.x2sinx′=(x2)′sinx−x2(sinx)′(sinx)2=2xsinx−x2cosxsin2x.
Что такое производная произведения двух функций
Производная произведения равна произведению производной первого множителя на второй множитель плюс произведение первого множителя на производную второго множителя: ((uv)’=u’v+uv’)
В данном случае существует важное условие. Ни при каких обстоятельствах производная произведения функций не равна произведению производных каждого множителя.
Вывод формулы производной от умножения двух чисел с доказательством
В процессе доказательства теоремы следует рассмотреть функцию (h(x)), которую можно записать, как произведение двух других функций:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
(h(x)=f(x)cdot g(x))
Необходимо выполнить вычисления производной рассматриваемой функции, руководствуясь общим алгоритмом. Предположим, что triangle x является некоторым приращением аргумента. В таком случае, приращение функции (h(x)) имеет вид:
(triangle h=h(x+triangle x)-h(x)=(f(x+triangle x)cdot g(x+triangle x))-(f(x)cdot g(x)))
Приращения каждого множителя:
(triangle f=f(x+triangle x)-f(x)Rightarrow f(x+triangle x)=triangle f+f(x))
(triangle g=g(x+triangle x)-g(x)Rightarrow g(x+triangle x)=triangle g+g(x))
Выполним подстановку:
(triangle h=(triangle f+f(x))cdot (triangle g+g(x))-f(x)cdot g(x)=\ =triangle fcdot triangle g+triangle fcdot g(x)+f(x)cdot triangle g+f(x)cdot g(x)-f(x)cdot g(x)=\ =triangle fcdot triangle g+triangle fcdot g(x)+f(x)cdot triangle g)
Далее можно найти производную:
(h'(x)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle h}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle fcdot triangle g+triangle fcdot g(x)+f(x)cdottriangle g}{triangle x}=\ =lim_{triangle xrightarrow 0}left(frac{triangle f}{triangle x}cdotfrac{triangle g}{triangle x}right)+lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle f}{triangle x}cdot g(x)+f(x)cdotlim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle g}{triangle x}=\ =f'(x)cdot g'(x)cdot 0+f'(x)cdot g(x)+f(x)cdot g'(x)=f'(x)cdot g(x)+f(x)cdot g'(x))
Таким образом, производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых: производная первой функции на вторую плюс первая функция на производную второй:
(left(f(x)cdot g(x)right)’=f'(x)cdot g(x)+f(x)cdot g'(x))
Следствие
Пусть( u, , v, , w, , )z являются функциями от независимой переменной ( x.)
Тогда:
(bigl( u , v , w bigr)’ = u’ v , w + u , v’ w + u , v , w’)
(bigl( u , v , w , z bigr)’ = u’ v , w , z + u , v’ w , z + u , v , w’ z + u , v , w , z’)
Представим доказательства первой формулы. В первую очередь следует применить формулу производной произведения для функций (u) и (v ), (w), а затем — для функций (v ) и (w):
(bigl( u , v , w bigr)’ = bigl( u cdot (v , w) bigr)’ = u’ cdot (v , w) + u cdot (v , w)’ = u’ , v , w + u cdot (v’ , w + v , w’) = u’ v , w + u , v’ w + u , v , w’)
Аналогичным способом можно доказать подобные формулы.
Примеры решения задач
Задача 1
Задача
Требуется найти производную произведения двух функций:
(y = xln x)
Решение:
В первую очередь можно рассчитать производные от каждого из множителей. В случае с множителем x производная будет равна:
((x)’=1)
Производная второй функции (ln x ) определяется с помощью формулы для логарифма и составляет:
((ln x)’ = frac{1}{x})
Используя формулу производной произведения можно получить решение задачи:
(y’=(xln x)’=(x)’ln x + x(ln x)’=ln x + xcdot frac{1}{x} = ln x + 1)
Ответ: (y’=ln x + 1)
Задача 2
Задача
Необходимо найти производную функции:
(y = x^2e^{3x})
Решение:
Производная первой функции равна:
((x^2)’=2x)
Производная второй функции равна:
((e^{3x})’=e^{3x}cdot (3x)’=e^{3x} cdot 3 = 3e^{3x})
С помощью теоремы о производной произведения двух функций можно записать следующее решение:
(y’=(x^2e^{3x})’=(x^2)’e^{3x}+x^2(e^{3x})’=2xe^{3x}+3x^2e^{3x})
Далее следует вынести экспоненты за скобки, чтобы упростить запись ответа:
(y’=(3x^2+2x)e^{3x})
Ответ: (y’=(3x^2+2x)e^{3x})
Задача 3
Задача
Нужно найти производную:
(y(x) = x sin x)
Решение:
С помощью правила дифференцирования произведения двух функций запишем:
(( u v )’ = u’ v + u v’)
(y’ = (x sin x)’ = (x)’ sin x + x (sin x)’)
По информации из таблицы производных можно найти:
((x^a)’ = a x^{a-1})
((sin x)’ = cos x»)
Таким образом:
((x)’ = left(x^1 right)’ = 1 cdot x^{1-1} = x^0 = 1)
В результате, получим:
(y’ = (x)’ sin x + x (sin x)’ = 1 cdot sin x + x cos x)
Ответ: ( y'(x) = sin x + x cos x)
Задача 4
Задача
Требуется определить производную функции от переменной (x) :
(y(x) = e^x left( x^2 — 2x + 2 right))
Решение:
Используя формулу производной произведения двух функций, можно записать:
(( u v )’ = u’ v + u v’)
(y’ = left( e^x left( x^2 — 2x + 2 right) right)’ = left( e^x right)’ left( x^2 — 2x + 2 right) + e^x left( x^2 — 2x + 2 right)’)
С помощью формулы производной суммы и разности функций, следует записать уравнения:
(( u pm v pm w )’ = u’ pm v’ pm w’)
(left( x^2 — 2x + 2 right)’ = left( x^2 right)’ — ( 2x )’ + ( 2 )’)
Применив правила дифференцирования постоянных, получим:
((C)’ = 0)
((Cu)’ = C u’)
(( 2x )’ = 2 (x)’)
(( 2 )’ = 0)
По таблице производных необходимо определить, что:
(left( e^x right)’ = e^x)
(left(x^a right)’ = a x^{a-1})
Таким образом:
(left(x^2 right)’ = 2 x^{2-1} = 2 x^1 = 2 x)
((x)’ = left(x^1 right)’ = 1 cdot x^{1-1} = x^0 = 1)
(left( x^2 — 2x + 2 right)’ = left( x^2 right)’ — 2( x )’ + ( 2 )’ = 2x — 2 + 0)
В таком случае:
(y’ = left( e^x right)’ left( x^2 — 2x + 2 right) + e^x left( x^2 — 2x + 2 right)’ = e^x left( x^2 — 2x + 2 right) + e^x left( 2x — 2 right) = x^2 e^x — 2x e^x + 2 e^x + 2x e^x — 2 e^x = x^2 e^x)
Ответ: ( y'(x) = x^2 e^x)
Задача 5
Задача
Необходимо найти производную функции:
(y(x) = e^x (sin x — cos x))
Решение: С помощью последовательного применения правил дифференцирования решим задачу:
(left( e^x right)’ = e^x)
(( sin x )’ = cos x)
(( cos x )’ = — sin x)
((sin x — cos x)’ = ( sin x )’ — ( cos x )’ = cos x + sin x)
(y’ = left( e^x (sin x — cos x) right)’ = left( e^x right)’ (sin x — cos x) + e^x (sin x — cos x)’ = e^x (sin x — cos x) + e^x (cos x + sin x) = 2 e^x sin x)
Ответ: (y’ = 2 e^x sin x)