Как найти производную косинуса по определению

Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

Производная косинуса

Определение

По формуле производная косинуса равна отрицательному синусу: $$ (cos x)’ = -sin x $$

Если аргумент синуса является сложной функцией, тогда производная находится по формуле:

$$ (cos u(x))’ = -sin u(x) cdot ( u(x) )’ = -u'(x)sin u(x) $$

Пример 1

Найти производную косинуса двойного угла: $ y = cos 2x $

Решение

Аргумент косинуса представлен сложной функцией $ u(x) = 2x $. Поэтому применяем вторую формулу, в которой производная $ u'(x) = 2 $. Подставляем:

$$ y’ = (cos 2x)’ = -sin x cdot (2x)’ = -2sin x $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ y’ = -2sin x $$

Пример 2

Чему равна производная косинуса в квадрате? $ y = cos^2 x $

Решение

В этом случае косинус представлен в виде степенной функции, производную которой можно найти по формуле: $ (x^p)’ = px^{p-1} $. Затем нужно выполнить домножение на производную самого косинуса. Выполняем:

$$ y’=(cos^2 x)’ = 2cos x cdot (cos x)’ = 2cos x cdot (-sin x) = -2 cos x sin x $$

По тригонометрической формуле синуса двойного угла: $ -2 cos x sin x = -sin 2x $

Записываем окончательный ответ:

$$ y'(x) = -2 cos x sin x = -sin 2x $$

Ответ

$$ y'(x) = -sin 2x $$

Пример 3

Найти производную косинуса в кубе функции $ y = cos^3 x $

Решение

Данный пример аналогичен предыдущему и решается по тем же формулам:

$$ y’ = (cos^3 x)’ = 3cos^2 x cdot (cos x)’ = $$

Так как $ (cos x)’ = -sin x $, то получаем:

$$ = 3cos^2 x cdot (-sin x) = -3cos^2 x sin x $$

Ответ

$$ y'(x) = -3cos^2 x sin x $$

Источник

Содержание:

Формула
Примеры вычисления производной косинуса

Формула

$$(cos x)^{prime}=-sin x$$

Производная от косинуса равна минус синусу того же аргумента.

Если аргумент косинуса отличен от $x$, то производную ищем как
производную сложной функции, то есть по формуле:

$$(cos u)^{prime}=-sin u cdot u^{prime}$$

то есть производную от косинуса умножаем еще на производную аргумента.

Примеры вычисления производной косинуса

Пример

Задание. Найти производную функции $y(x)=3 cos x$

Решение. Записываем искомую производную:

$$y^{prime}(x)=(3 cos x)^{prime}$$

Константу 3 выносим за знак производной (согласно
правилам дифференцирования):

$$y^{prime}(x)=3 cdot(cos x)^{prime}=3 cdot(-sin x)^{prime}=-3 sin x$$

Ответ. $y^{prime}(x)=-3 sin x$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Вычислить производную функции $y(x)=-cos x+1$

Решение. Искомая производная

$$y^{prime}(x)=(-cos x+1)^{prime}$$

Производная от суммы функций равна сумме производных от каждой из функций-слагаемых:

$$y^{prime}(x)=(-cos x)^{prime}+(1)^{prime}$$

В первом слагаемом из под знака производной выносим константу (-1), а производная второго слагаемого,
как константы, равна нулю, то есть имеем:

$$y^{prime}(x)=-(cos x)^{prime}+0=-(-sin x)=sin x$$

Ответ. $y^{prime}(x)=sin x$

Читать дальше: производная тангенса (tgx)’.

Источник

Производные тригонометрических функций

Производная синуса
Производная косинуса
Производная тангенса и котангенса
Примеры

п.1. Производная синуса

Найдем производную функции (f(x)=sin⁡x) по общему алгоритму.
Пусть (triangle x) — некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: begin{gather*} triangle y=f(x+triangle x)-f(x)=sin⁡(x+triangle x)-sin⁡x=\ =2sin⁡frac{x+triangle x-x}{2}cosfrac{x+triangle x+x}{2}=2sinfrac{triangle x}{2}cosfrac{2x+triangle x}{2} end{gather*} Используем первый замечательный предел (см. §39 данного справочника): begin{gather*} lim_{xrightarrow 0}frac{sinx}{x}=1 end{gather*} Ищем производную: begin{gather*} f'(x)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{2sinfrac{triangle x}{2}cosfrac{2x+triangle x}{2}}{triangle x}=underbrace{left(lim_{triangle xrightarrow 0}frac{sinfrac{triangle x}{2}}{frac{triangle x}{2}}right)}_{=1}cdot lim_{triangle xrightarrow 0}cosfrac{2x+triangle x}{2}=\ =1cdot cosfrac{2x+0}{2}=cos x end{gather*} Или: ((sinx)’=cos x)

Для любого действительного x: $$ (sinx)’=cos x $$

Например:
((x^2sinx)’=(x^2)’cdot sinx+x^2cdot (sinx)’=2xsinx+x^2cosx)

п.2. Производная косинуса

Найдем производную функции (f(x)=cos⁡x) по общему алгоритму.
Пусть (triangle x) — некоторое приращение аргумента. Тогда приращение функции: begin{gather*} triangle y=f(x+triangle x)-f(x)=cos⁡(x+triangle x)-cos⁡x=\ =-2sin⁡frac{x+triangle x-x}{2}sin{x+triangle x+x}{2}=-2sinfrac{triangle x}{2}sinfrac{2x+triangle x}{2} end{gather*} Как и для производной синуса, используем первый замечательный предел. Ищем производную: begin{gather*} f'(x)=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{triangle y}{triangle x}=lim_{triangle xrightarrow 0}frac{-2sinfrac{triangle x}{2}sinfrac{2x+triangle x}{2}}{triangle x}=underbrace{-left(lim_{triangle xrightarrow 0}frac{sinfrac{triangle x}{2}}{frac{triangle x}{2}}right)}_{=1}cdot lim_{triangle xrightarrow 0}sinfrac{2x+triangle x}{2}=\ =-1cdot sinfrac{2x+0}{2}=-sinx end{gather*} Или: ((cosx)’=-sinx)

Для любого действительного x: $$ (cosx)’=-sinx $$

Например:
((sqrt{x}cosx)’=(sqrt{x})’cdot cosx+sqrt{x}cdot (cosx)’=frac{1}{2sqrt{x}}cosx-sqrt{x}sinx )

п.3. Производная тангенса и котангенса

Производные от тангенса и котангенса найдем с помощью формулы производной частного двух функций (см. §43 данного справочника). begin{gather*} (tgx)’=left(frac{sinx}{cosx}right)’=frac{(sinx)’cosx-sinx(cosx)’}{cos^2x}=\ =frac{cosxcosx-sinx(-sinx)}{cos^2x}=frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}=frac{1}{cos^2x} end{gather*} Аналогично: begin{gather*} (ctgx)’=left(frac{cosx}{sinx}right)’=frac{(cosx)’sinx-cosx(sinx)’}{sin^2x}=\ =frac{sinx(-sinx)-cosxcosx}{sin^2x}=frac{-sin^2x-cos^2x}{sin^2x}=-frac{sin^2x+cos^2x}{sin^2x}=-frac{1}{sin^2x} end{gather*}
Как видно из результатов, производные тангенса и котангенса имеют те же ограничения по ОДЗ, что и сами функции.

begin{gather*} (tgx)’=frac{1}{cos^2x}, xnefracpi 2+pi k\ (ctgx)’=-frac{1}{sin^2x}, xnepi k end{gather*}

Например:
( left(frac{tgx}{x}right)’=frac{(tgx)’cdot x-tgxcdot(x)’}{x^2}=frac{frac{x}{cos^2x}-tgx}{x^2}=frac{x-tgxcdot cos^2x}{x^2cos^2x}=frac{x-sinxcosx}{x^2cos^2x} )

п.4. Примеры

Пример 1. Найдите производную:
a) ( f(x)=2sinx-5x ) begin{gather*} f'(x)=2cdot sin’x-5cdot x’=2cosx-5 end{gather*}

б) ( f(x)=3sqrt{x}ctgx ) begin{gather*} f'(x)=3left((sqrt{x})’cdot ctgx+sqrt{x}(ctgx)’right)=3left(frac{ctgx}{2sqrt{x}}-frac{sqrt{x}}{sin^2x}right) end{gather*}

в) ( f(x)=9cosx-3tgx ) begin{gather*} f'(x)=9cdot cos’x-3cdot tg’x=-9sinx-frac{3}{cos^2x} end{gather*}

г) ( f(x)=frac{2x}{sinx} ) begin{gather*} f'(x)=2frac{(x)’cdot sinx-xcdot sin’x}{sin^2x}=frac{2(sinx-xcosx)}{sin^2x} end{gather*}

Пример 2. Найдите значение производной в данной точке:
a) ( f(x)=sinx+cosx, x_0=fracpi 4 ) begin{gather*} f'(x)=sin’x+cos’x=cosx-sinx\ f'(fracpi 4)=cosfracpi 4-sinfracpi 4=frac{sqrt{2}}{2}-frac{sqrt{2}}{2}=0 end{gather*}

б) ( f(x)=tgx-5cosx, x_0=pi ) begin{gather*} f'(x)=tg’x-5cos’x=frac{1}{cos^2x}+5sinx\ f'(pi)=frac{1}{cos^2pi}+5sinpi=1+0=1 end{gather*}

в) ( f(x)=sinxcosx, x_0=frac{pi}{12} ) begin{gather*} f'(x)=sin’xcosx+sinxcos’x=cos^2x-sin^2x=cos2x\ f’left(frac{pi}{12}right)=cosleft(2cdotfrac{pi}{12}right)=cosfracpi 6=frac{sqrt{3}}{2} end{gather*}

г) ( f(x)=frac{x}{cosx}, x_0=pi ) begin{gather*} f'(x)=frac{x’cdot cosx-xcos’x}{cos^2x}=frac{cosx+xsinx}{cos^2x}\ f'(pi)=frac{cospi+pi sinpi}{cos^2pi}=frac{-1+picdot 0}{(-1)^2}=-1 end{gather*}

Пример 3. Решите уравнение:
a) ( y’cdot y+y^2=0), если (y=3cosx)
(y’=3cdot cos’x=-3sinx)
Подставляем: begin{gather*} -3sinxcdot 3cosx+(3cosx)^2=0\ -9sincosx+9cos^2x=0\ 9cosx(cosx-sinx)=0 end{gather*} Уравнение: begin{gather*} left[ begin{array}{l} cosx=0\ cosx-sinx=0 |:cosx end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=fracpi 2+pi k\ 1-tgx=0 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=fracpi 2+pi k\ tgx=1 end{array} right. Rightarrow left[ begin{array}{l} x=fracpi 2+pi k\ x=fracpi 4+pi k end{array} right. end{gather*} Ответ: (left{fracpi 2+pi k; x=fracpi 4+pi kright})

б) ( (y’)^2+y^2=1), если (y=1-cosx)
(y’=1′-cos’x=0+sinx=sinx)
Подставляем: begin{gather*} sin^2x+(1-cosx)^2=1\ sin^2x+1-2cosx+cos^2x=1\ 1-2cosx=0\ cosx=frac12\ x=pmfracpi 3+2pi k end{gather*} Ответ: (left{pmfracpi 3+2pi kright})

Рейтинг пользователей

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

Function	Derivative






	$frac{1}{sqrt{1-x^2}}$
	${displaystyle -{frac {1}{sqrt {1-x^{2}}}}}$
	${frac {1}{x^{2}+1}}$
	${displaystyle -{frac {1}{x^{2}+1}}}$
	${displaystyle {frac {1}{\|x\|{sqrt {x^{2}-1}}}}}$
	${displaystyle -{frac {1}{\|x\|{sqrt {x^{2}-1}}}}}$

The differentiation of trigonometric functions is the mathematical process of finding the derivative of a trigonometric function, or its rate of change with respect to a variable. For example, the derivative of the sine function is written sin′(a) = cos(a), meaning that the rate of change of sin(x) at a particular angle x = a is given by the cosine of that angle.

All derivatives of circular trigonometric functions can be found from those of sin(x) and cos(x) by means of the quotient rule applied to functions such as tan(x) = sin(x)/cos(x). Knowing these derivatives, the derivatives of the inverse trigonometric functions are found using implicit differentiation.

Proofs of derivatives of trigonometric functions[edit]

Limit of sin(θ)/θ as θ tends to 0[edit]

Circle, centre O, radius 1

The diagram at right shows a circle with centre O and radius r = 1. Let two radii OA and OB make an arc of θ radians. Since we are considering the limit as θ tends to zero, we may assume θ is a small positive number, say 0 < θ < ½ π in the first quadrant.

In the diagram, let R₁ be the triangle OAB, R₂ the circular sector OAB, and R₃ the triangle OAC. The area of triangle OAB is:

${displaystyle mathrm {Area} (R_{1})={tfrac {1}{2}} |OA| |OB|sin theta ={tfrac {1}{2}}sin theta ,.}$

The area of the circular sector OAB is ${displaystyle mathrm {Area} (R_{2})={tfrac {1}{2}}theta }$ , while the area of the triangle OAC is given by

${displaystyle mathrm {Area} (R_{3})={tfrac {1}{2}} |OA| |AC|={tfrac {1}{2}}tan theta ,.}$

Since each region is contained in the next, one has:

${displaystyle {text{Area}}(R_{1})<{text{Area}}(R_{2})<{text{Area}}(R_{3})implies {tfrac {1}{2}}sin theta <{tfrac {1}{2}}theta <{tfrac {1}{2}}tan theta ,.}$

Moreover, since sin θ > 0 in the first quadrant, we may divide through by ½ sin θ, giving:

$1 < frac{theta}{sintheta} < frac{1}{costheta} implies 1 > frac{sintheta}{theta} > costheta , .$

In the last step we took the reciprocals of the three positive terms, reversing the inequities.

Squeeze: The curves y = 1 and y = cos θ shown in red, the curve y = sin(θ)/θ shown in blue.

We conclude that for 0 < θ < ½ π, the quantity sin(θ)/θ is always less than 1 and always greater than cos(θ). Thus, as θ gets closer to 0, sin(θ)/θ is «squeezed» between a ceiling at height 1 and a floor at height cos θ, which rises towards 1; hence sin(θ)/θ must tend to 1 as θ tends to 0 from the positive side:

${displaystyle lim _{theta to 0^{+}}{frac {sin theta }{theta }}=1,.}$

For the case where θ is a small negative number –½ π < θ < 0, we use the fact that sine is an odd function:

${displaystyle lim _{theta to 0^{-}}!{frac {sin theta }{theta }} = lim _{theta to 0^{+}}!{frac {sin(-theta )}{-theta }} = lim _{theta to 0^{+}}!{frac {-sin theta }{-theta }} = lim _{theta to 0^{+}}!{frac {sin theta }{theta }} = 1,.}$

Limit of (cos(θ)-1)/θ as θ tends to 0[edit]

The last section enables us to calculate this new limit relatively easily. This is done by employing a simple trick. In this calculation, the sign of θ is unimportant.

${displaystyle lim _{theta to 0},{frac {cos theta -1}{theta }} = lim _{theta to 0}left({frac {cos theta -1}{theta }}right)!!left({frac {cos theta +1}{cos theta +1}}right) = lim _{theta to 0},{frac {cos ^{2}!theta -1}{theta ,(cos theta +1)}}.}$

Using cos²θ – 1 = –sin²θ,
the fact that the limit of a product is the product of limits, and the limit result from the previous section, we find that:

${displaystyle lim _{theta to 0},{frac {cos theta -1}{theta }} = lim _{theta to 0},{frac {-sin ^{2}theta }{theta (cos theta +1)}} = left(-lim _{theta to 0}{frac {sin theta }{theta }}right)!left(lim _{theta to 0},{frac {sin theta }{cos theta +1}}right) = (-1)left({frac {0}{2}}right)=0,.}$

Limit of tan(θ)/θ as θ tends to 0[edit]

Using the limit for the sine function, the fact that the tangent function is odd, and the fact that the limit of a product is the product of limits, we find:

${displaystyle lim _{theta to 0}{frac {tan theta }{theta }} = left(lim _{theta to 0}{frac {sin theta }{theta }}right)!left(lim _{theta to 0}{frac {1}{cos theta }}right) = (1)(1) = 1,.}$

Derivative of the sine function[edit]

We calculate the derivative of the sine function from the limit definition:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},sin theta =lim _{delta to 0}{frac {sin(theta +delta )-sin theta }{delta }}.}$

Using the angle addition formula sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α, we have:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},sin theta =lim _{delta to 0}{frac {sin theta cos delta +sin delta cos theta -sin theta }{delta }}=lim _{delta to 0}left({frac {sin delta }{delta }}cos theta +{frac {cos delta -1}{delta }}sin theta right).}$

Using the limits for the sine and cosine functions:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},sin theta =(1)cos theta +(0)sin theta =cos theta ,.}$

Derivative of the cosine function[edit]

From the definition of derivative[edit]

We again calculate the derivative of the cosine function from the limit definition:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},cos theta =lim _{delta to 0}{frac {cos(theta +delta )-cos theta }{delta }}.}$

Using the angle addition formula cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β, we have:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},cos theta =lim _{delta to 0}{frac {cos theta cos delta -sin theta sin delta -cos theta }{delta }}=lim _{delta to 0}left({frac {cos delta -1}{delta }}cos theta ,-,{frac {sin delta }{delta }}sin theta right).}$

Using the limits for the sine and cosine functions:

${displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }},cos theta =(0)cos theta -(1)sin theta =-sin theta ,.}$

From the chain rule[edit]

To compute the derivative of the cosine function from the chain rule, first observe the following three facts:

${displaystyle cos theta =sin left({tfrac {pi }{2}}-theta right)}$

${displaystyle sin theta =cos left({tfrac {pi }{2}}-theta right)}$

${displaystyle {tfrac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }}sin theta =cos theta }$

The first and the second are trigonometric identities, and the third is proven above. Using these three facts, we can write the following,

${displaystyle {tfrac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }}cos theta ={tfrac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }}sin left({tfrac {pi }{2}}-theta right)}$

We can differentiate this using the chain rule. Letting ${displaystyle f(x)=sin x, g(theta )={tfrac {pi }{2}}-theta }$ , we have:

${displaystyle {tfrac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }}f!left(g!left(theta right)right)=f^{prime }!left(g!left(theta right)right)cdot g^{prime }!left(theta right)=cos left({tfrac {pi }{2}}-theta right)cdot (0-1)=-sin theta }$

Therefore, we have proven that

${displaystyle {tfrac {operatorname {d} }{operatorname {d} !theta }}cos theta =-sin theta }$

Derivative of the tangent function[edit]

From the definition of derivative[edit]

To calculate the derivative of the tangent function tan θ, we use first principles. By definition:

$frac{operatorname{d}}{operatorname{d}!theta},tantheta = lim_{delta to 0} left( frac{tan(theta+delta)-tantheta}{delta} right) .$

Using the well-known angle formula tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 — tan α tan β), we have:

$frac{operatorname{d}}{operatorname{d}!theta},tantheta = lim_{delta to 0} left[ frac{frac{tantheta + tandelta}{1 - tanthetatandelta} - tantheta}{delta} right] = lim_{delta to 0} left[ frac{tantheta + tandelta - tantheta + tan^2thetatandelta}{delta left( 1 - tanthetatandelta right)} right] .$

Using the fact that the limit of a product is the product of the limits:

$frac{operatorname{d}}{operatorname{d}!theta},tantheta = lim_{delta to 0} frac{tandelta}{delta} times lim_{delta to 0} left( frac{1 + tan^2theta}{1 - tanthetatandelta} right) .$

Using the limit for the tangent function, and the fact that tan δ tends to 0 as δ tends to 0:

$frac{operatorname{d}}{operatorname{d}!theta},tantheta = 1 times frac{1 + tan^2theta}{1 - 0} = 1 + tan^2theta .$

We see immediately that:

$frac{operatorname{d}}{operatorname{d}!theta},tantheta = 1 + frac{sin^2theta}{cos^2theta} = frac{cos^2theta + sin^2theta}{cos^2theta} = frac{1}{cos^2theta} = sec^2theta , .$

From the quotient rule[edit]

One can also compute the derivative of the tangent function using the quotient rule.

$frac{operatorname{d}}{operatorname{d}!theta} tantheta = frac{operatorname{d}}{operatorname{d}!theta} frac{sintheta}{costheta} = frac{left(sinthetaright)^prime cdot costheta - sintheta cdot left(costhetaright)^prime}{ cos^2 theta } = frac{cos^2 theta + sin^2 theta}{cos^2 theta}$

The numerator can be simplified to 1 by the Pythagorean identity, giving us,

$frac{1}{cos^2 theta} = sec^2 theta$

Therefore,

$frac{operatorname{d}}{operatorname{d}!theta} tantheta = sec^2 theta$

Proofs of derivatives of inverse trigonometric functions[edit]

The following derivatives are found by setting a variable y equal to the inverse trigonometric function that we wish to take the derivative of. Using implicit differentiation and then solving for dy/dx, the derivative of the inverse function is found in terms of y. To convert dy/dx back into being in terms of x, we can draw a reference triangle on the unit circle, letting θ be y. Using the Pythagorean theorem and the definition of the regular trigonometric functions, we can finally express dy/dx in terms of x.

Differentiating the inverse sine function[edit]

We let

Where

$-frac{pi}{2}le y le frac{pi}{2}$

Then

Taking the derivative with respect to on both sides and solving for dy/dx:

{displaystyle cos ycdot {dy over dx}=1,!}

Substituting $cos y = sqrt{1-sin^2 y}$ in from above,

${displaystyle {sqrt {1-sin ^{2}y}}cdot {dy over dx}=1}$

Substituting x=sin y in from above,

${displaystyle {sqrt {1-x^{2}}}cdot {dy over dx}=1}$

${dy over dx}=frac{1}{sqrt{1-x^2}}$

Differentiating the inverse cosine function[edit]

We let

Where

Then

Taking the derivative with respect to on both sides and solving for dy/dx:

{displaystyle -sin ycdot {dy over dx}=1}

Substituting $sin y = sqrt{1-cos^2 y},!$ in from above, we get

${displaystyle -{sqrt {1-cos ^{2}y}}cdot {dy over dx}=1}$

Substituting in from above, we get

${displaystyle -{sqrt {1-x^{2}}}cdot {dy over dx}=1}$

${dy over dx} = -frac{1}{sqrt{1-x^2}}$

Alternatively, once the derivative of is established, the derivative of follows immediately by differentiating the identity so that .

Differentiating the inverse tangent function[edit]

We let

Where

$-frac{pi}{2} < y < frac{pi}{2}$

Then

Taking the derivative with respect to on both sides and solving for dy/dx:

Left side:

${displaystyle {d over dx}tan y=sec ^{2}ycdot {dy over dx}=(1+tan ^{2}y){dy over dx}}$

using the Pythagorean identity

Right side:

Therefore,

${displaystyle (1+tan ^{2}y){dy over dx}=1}$

Substituting in from above, we get

${displaystyle (1+x^{2}){dy over dx}=1}$

${dy over dx}=frac{1}{1+x^2}$

Differentiating the inverse cotangent function[edit]

We let

{displaystyle y=operatorname {arccot} x}

where . Then

Taking the derivative with respect to on both sides and solving for dy/dx:

${displaystyle {frac {d}{dx}}cot y={frac {d}{dx}}x}$

Left side:

${displaystyle {d over dx}cot y=-csc ^{2}ycdot {dy over dx}=-(1+cot ^{2}y){dy over dx}}$

using the Pythagorean identity

Right side:

Therefore,

${displaystyle -(1+cot ^{2}y){frac {dy}{dx}}=1}$

Substituting ,

${displaystyle -(1+x^{2}){frac {dy}{dx}}=1}$

${displaystyle {frac {dy}{dx}}=-{frac {1}{1+x^{2}}}}$

Alternatively, as the derivative of is derived as shown above, then using the identity ${displaystyle arctan x+operatorname {arccot} x={dfrac {pi }{2}}}$ follows immediately that

${displaystyle {begin{aligned}{dfrac {d}{dx}}operatorname {arccot} x&={dfrac {d}{dx}}left({dfrac {pi }{2}}-arctan xright)\&=-{dfrac {1}{1+x^{2}}}end{aligned}}}$

Differentiating the inverse secant function[edit]

Using implicit differentiation[edit]

Let

{displaystyle y=operatorname {arcsec} x mid |x|geq 1}

Then

${displaystyle x=sec ymid yin left[0,{frac {pi }{2}}right)cup left({frac {pi }{2}},pi right]}$

${displaystyle {frac {dx}{dy}}=sec ytan y=|x|{sqrt {x^{2}-1}}}$

(The absolute value in the expression is necessary as the product of secant and tangent in the interval of y is always nonnegative, while the radical ${displaystyle {sqrt {x^{2}-1}}}$ is always nonnegative by definition of the principal square root, so the remaining factor must also be nonnegative, which is achieved by using the absolute value of x.)

${displaystyle {frac {dy}{dx}}={frac {1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Using the chain rule[edit]

Alternatively, the derivative of arcsecant may be derived from the derivative of arccosine using the chain rule.

Let

${displaystyle y=operatorname {arcsec} x=arccos left({frac {1}{x}}right)}$

Where

and ${displaystyle yin left[0,{frac {pi }{2}}right)cup left({frac {pi }{2}},pi right]}$

Then, applying the chain rule to ${displaystyle arccos left({frac {1}{x}}right)}$ :

${displaystyle {frac {dy}{dx}}=-{frac {1}{sqrt {1-({frac {1}{x}})^{2}}}}cdot left(-{frac {1}{x^{2}}}right)={frac {1}{x^{2}{sqrt {1-{frac {1}{x^{2}}}}}}}={frac {1}{x^{2}{frac {sqrt {x^{2}-1}}{sqrt {x^{2}}}}}}={frac {1}{{sqrt {x^{2}}}{sqrt {x^{2}-1}}}}={frac {1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Differentiating the inverse cosecant function[edit]

Using implicit differentiation[edit]

Let

{displaystyle y=operatorname {arccsc} x mid |x|geq 1}

Then

${displaystyle x=csc y mid yin left[-{frac {pi }{2}},0right)cup left(0,{frac {pi }{2}}right]}$

${displaystyle {frac {dx}{dy}}=-csc ycot y=-|x|{sqrt {x^{2}-1}}}$

(The absolute value in the expression is necessary as the product of cosecant and cotangent in the interval of y is always nonnegative, while the radical ${displaystyle {sqrt {x^{2}-1}}}$ is always nonnegative by definition of the principal square root, so the remaining factor must also be nonnegative, which is achieved by using the absolute value of x.)

${displaystyle {frac {dy}{dx}}={frac {-1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Using the chain rule[edit]

Alternatively, the derivative of arccosecant may be derived from the derivative of arcsine using the chain rule.

Let

${displaystyle y=operatorname {arccsc} x=arcsin left({frac {1}{x}}right)}$

Where

and ${displaystyle yin left[-{frac {pi }{2}},0right)cup left(0,{frac {pi }{2}}right]}$

Then, applying the chain rule to ${displaystyle arcsin left({frac {1}{x}}right)}$ :

${displaystyle {frac {dy}{dx}}={frac {1}{sqrt {1-({frac {1}{x}})^{2}}}}cdot left(-{frac {1}{x^{2}}}right)=-{frac {1}{x^{2}{sqrt {1-{frac {1}{x^{2}}}}}}}=-{frac {1}{x^{2}{frac {sqrt {x^{2}-1}}{sqrt {x^{2}}}}}}=-{frac {1}{{sqrt {x^{2}}}{sqrt {x^{2}-1}}}}=-{frac {1}{|x|{sqrt {x^{2}-1}}}}}$

References[edit]

Bibliography[edit]

Handbook of Mathematical Functions, Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964)

Источник

Производная косинуса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная косинуса (
x
) равна минус синус (
x
).

(
(cos x)^{prime}=-sin x
)

Чтобы запомнить эту формулу, существует мнемоническое правило:

Синий косяк (производная синуса равна косинусу)

Косяк – синий (производная косинуса равна минус синусу)

Примеры решения задач на «косинусоидальном»

ПРИМЕР 1

Задача

Найти производную функции (
y(x)=-5 cos (3 x-7)
)

Решение

Требуемая производная
(
y^{prime}(x)=(-5 cos (3 x-7))^{prime}
)

Вынимаем константу (
(-5)
) для знака производной:
(
y^{prime}(x)=(-5 cos (3 x-7))^{prime}=-5 cdot(cos (3 x-7))^{prime}
)

Производная косинуса равна минус синус того же аргумента, и поскольку аргумент является более сложным выражением, чем просто (
mathbf{x}
), то мы умножаем все на производную от аргумента. То есть, мы имеем:

(
y^{prime}(x)=-5 cdot(cos (3 x-7))^{prime}=-5 cdot(-sin (3 x-7)) cdot(3 x-7)^{prime}=5 sin (3 x-7) cdot(3 x-7)^{prime}
)

Производная от разности равна разности производных:

(
y^{prime}(x)=5 sin (3 x-7) cdotleft[(3 x)^{prime}-(7)^{prime}right]
)

С первой производной, согласно правилу дифференцирования, мы помещаем три знака производной, а производная от 7 равна нулю как производная от константы:

(
y^{prime}(x)=5 sin (3 x-7) cdotleft[3 cdot(x)^{prime}-0right]=15 sin (3 x-7) cdot(x)^{prime}
)

Производная от независимой переменной х равна единице, поэтому, наконец, мы имеем
(
y^{prime}(x)=15 sin (3 x-7) cdot 1=15 sin (3 x-7)
)

Ответ (
y^{prime}(x)=15 sin (3 x-7)
)

ПРИМЕР 2

Задача

Найти производную функции (
y(x)=ln cos x
)

Решение

Требуемая производная

(
y^{prime}(x)=(ln cos x)^{prime}
)

Производная натурального логарифма равна единице, деленной на сублогарифмическую функцию: (
(ln x)^{prime}=frac{1}{x} y^{prime}(x)=(ln cos x)^{prime}=frac{1}{cos x} cdot(cos x)^{prime}
).

Производная косинуса равна минус синус: (
y^{prime}(x)=(ln cos x)^{prime}=frac{1}{cos x} cdot(-sin x)=-frac{sin x}{cos x}
)

В соответствии с тригонометрическими формулами отношение синуса к косинусу равно тангенсу: (
y^{prime}(x)=-operatorname{tg} x
)

Ответ (
y^{prime}(x)=-operatorname{tg} x
)

Источник

Производная косинуса

Формула

Примеры вычисления производной косинуса

Производные тригонометрических функций

п.1. Производная синуса

п.2. Производная косинуса

п.3. Производная тангенса и котангенса

п.4. Примеры

Рейтинг пользователей

Proofs of derivatives of trigonometric functions[edit]

Limit of sin(θ)/θ as θ tends to 0[edit]

Limit of (cos(θ)-1)/θ as θ tends to 0[edit]

Limit of tan(θ)/θ as θ tends to 0[edit]

Derivative of the sine function[edit]

Derivative of the cosine function[edit]

From the definition of derivative[edit]

From the chain rule[edit]

Derivative of the tangent function[edit]

From the definition of derivative[edit]

From the quotient rule[edit]

Proofs of derivatives of inverse trigonometric functions[edit]

Differentiating the inverse sine function[edit]

Differentiating the inverse cosine function[edit]

Differentiating the inverse tangent function[edit]

Differentiating the inverse cotangent function[edit]

Differentiating the inverse secant function[edit]

Using implicit differentiation[edit]

Using the chain rule[edit]

Differentiating the inverse cosecant function[edit]

Using implicit differentiation[edit]

Using the chain rule[edit]

See also[edit]

References[edit]

Bibliography[edit]

Производная косинуса

Не пропустите также: