Как найти производную функции arccos

Вывод производных arcsin(x) и arccos(x)

Здесь мы полагаем, что нам известны производные синуса и косинуса. Далее мы выводим производные арксинуса и арккосинуса, учитывая, что они являются обратными функциями к синусу и косинусу, соответственно.

Вывод производной арксинуса

По формуле производной обратной функции

Рассмотрим функцию арксинус от переменной x:
y = arcsin x.
Здесь независимая переменная x может принимать значения от – 1 до + 1:
.
Зависимая переменная y может принимать значения от – π/2 до + π/2:
.
Функция арксинус является обратной к функции синус:
x = sin y.

Для определения производной арксинуса, применим формулу производной обратной функции:
(1)   .

Производная синуса нам известна. Обычно ее записывают в следующем виде:
.
Здесь .
Поменяем местами обозначения переменных x и y. Тогда
,
где .
Подставим в формулу (1):
(2)   .
Здесь
y = arcsin x;
x = sin y.

Теперь выразим правую часть формулы (2) через переменную x. Для этого заметим, что поскольку , то . Тогда
.
Подставим в формулу (2):
.

Тем самым мы вывели формулу производной арксинуса:
.

Второй способ

Поскольку арксинус и синус являются обратными функциями по отношению друг к другу, то
(3)   .
Здесь .
Продифференцируем это уравнение по переменной x. То есть найдем производные левой и правой части и приравняем их друг к другу:
(4)   .

Производную правой части находим из таблицы производных:
.

Производную левой части находим по формуле производной сложной функции:
.
Здесь .
Поскольку , то . Поэтому
.
Тогда
.

Подставим в (4):
.
Отсюда
.

Вывод производной арккосинуса

Используя связь между арксинусом и арккосинусом

Производную арккосинуса легко получить из производной арксинуса, если воспользоваться связью между арксинусом и арккосинусом:
.
Отсюда
.

По формуле производной обратной функции

Также производную арккосинуса можно найти по формуле производной обратной функции.

Рассмотрим функцию арккосинус:
y = arccos x.
Здесь независимая переменная x может принимать значения от – 1 до + 1:
.
Зависимая переменная y может принимать значения от 0 до π:
.
Функция арккосинус является обратной к функции косинус:
x = cos y.

Применим формулу производной обратной функции:
(1)   .

Производная косинуса нам известна:
.
Здесь .
Поменяем местами обозначения переменных x и y. Тогда
,
где .
Подставим в формулу (1):
(5)   .
Здесь
y = arccos x;
x = cos y.

Теперь выразим правую часть формулы (5) через переменную x. Поскольку , то . Тогда
.
Подставим в формулу (5):
.

Таким образом, мы вывели формулу производной арккосинуса:
.

Второй способ

Поскольку арккосинус и косинус являются взаимно обратными функциями, то
(6)   . 2

Производная Arccos – Формула, Доказательство, Примеры

Производная arccos – это дифференцирование функции арккосинуса arccos x, которая равна -1/√(1-x ² ), где -1 < x < 1. Он записывается как производная от arccos x или производная от cos, обратная x, обозначаемая как d(arccos x)/dx = d(cos ^-1 x)/dx = -1/√(1-x ² ). Производная arccos — это процесс определения скорости изменения arccos x по отношению к переменной x. Следовательно, скорость изменения arccos x под определенным углом, то есть производная arccos x, определяется выражением -1/√(1-x ² ).

В этой статье мы выведем производную от arccos, используя различные методы, включая неявное дифференцирование и первый принцип дифференцирования. Мы также обсудим антипроизводную arccos x вместе с некоторыми примерами, использующими производную arccos.

1.	Что такое производное Arccos?
2.	Производная от Arccos x с использованием неявного дифференцирования
3.	Производная от Arccos x с использованием первого принципа дифференцирования
4.	Анти-производная Arccos
5.	Производная Cos, обратная x w.r.t. Инверсия греха x
6.	Часто задаваемые вопросы о производной Arccos

Что такое производное от Arccos?

Производная arccos x определяется как -1/√(1-x ² ), где -1 < x < 1. Ее также называют производной косинуса по обратной х, то есть производной функции арккосинуса. Производные всех обратных тригонометрических функций можно вычислить методом неявного дифференцирования. Поскольку производная от arccos x равна -1/√(1-x

2 ), поэтому график производной от cos, обратного x, будет графиком -1/√(1-x ² ).

Производная формулы Arccos

Производная функции — это наклон касательной к функции в точке касания. Следовательно, -1/√(1-x ² ) — функция наклона касательной к графику arccos x в точке касания. Простой способ запомнить производную arccos x состоит в том, чтобы знать тот факт, что производная arccos x является отрицательной производной sin, обратной x, а производная sin, обратной x, является отрицательной производной arccos x. Теперь мы напишем производную от arccos x математически. Математическое выражение для записи дифференцирования cos ^-1 x:

d(arccos x)/dx = d(cos

-1 x )/ dx = -1/√(1-x ² ), где -1 < x < 1

Производная от Arccos x с использованием неявного дифференцирования

Теперь мы докажем производную от arcos x, используя некоторые тригонометрические формулы и тождества. Предположим, что y = cos ^-1 x ⇒ cos y = x. Дифференцируйте обе части уравнения, потому что y = x по x, используя цепное правило.

cos у = х

⇒ d(cos y)/dx = dx/dx

⇒ -sin y dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/sin y —- (1)

Поскольку cos ² y + sin ² y = 1, мы имеем sin y = √(1 — cos ² y) = √(1 — x ² ) [Поскольку cos y = x]

Подставляя sin y = √( 1 — x ² ) в (1) имеем

dy/dx = -1/√(1 — x ² )

Поскольку x = -1, 1 составляет знаменатель √(1 — x ² ) равно 0, и, следовательно, производная не определена при x = -1 и x = 1, поэтому x не может быть -1 и 1.

Следовательно, производная arccos x равна -1/√(1 — x ² ), где -1 < x < 1

Производная Arccos x с использованием первого принципа дифференцирования

Теперь мы докажем производную от arccos, используя первый принцип дифференцирования. Для доказательства воспользуемся некоторыми формулами дифференцирования, обратными тригонометрическими формулами и тождествами типа:

• (f'(x)=lim_{hrightarrow 0}dfrac{f(x+h)-f( х)}{ч})
• arccos x + arcsin x = π/2 ⇒ arccos x = π/2 — arcsin x
• ( frac { mathrm {d} arcsin x} { mathrm {d} x} = lim_ {h rightarrow 0} dfrac { arcsin (x + h) — arcsin x} {h} )

Начнем доказательство производной от arccos x, используя первый принцип дифференцирования. 2}}end{align})

Таким образом, мы доказали производную от arccos, используя определение пределов, то есть первый принцип дифференцирования.

Анти-производное Arccos

Теперь, когда мы получили производную arccos, найдем первообразную arccos, то есть ∫arccos x dx = ∫cos ^-1 x dx, используя интегрирование по частям (ILATE).

∫cos ^-1 x = ∫cos ^-1 x · 1 dx

Используя интегрирование по частям,

∫f(x) . g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx − ∫(f′(x) ∫g(x) dx) dx + C

Здесь f(x) = cos ^-1 x и g (x) = 1.

∫cos ^-1 x · 1 dx = cos ^-1 x ∫1 dx — ∫ [d(cos ^-1 x)/dx ∫1 dx]dx + C

∫cos ^-1 x dx = cos ^-1 x . (x) — ∫ [-1/√(1 — x²)] x dx + C

Мы вычислим этот интеграл ∫ [-1/√(1 — x²)] x dx методом подстановки. Предположим, что 1-х ² = u. Тогда -2x dx = du (или) x dx = -1/2 du.

∫cos ^-1 x dx = x cos ^-1 x — ∫(-1/√u) (-1/2) du + C

= x cos ^-1 x — 1/2 ∫u ^-1/2

du + C

= x cos ^-1 x — (1/2) (u ^1/2 /(1/2)) + C

= x cos ^{— 1} x — √u + C

= x cos ^-1 x — √(1 — x²) + C

Следовательно, ∫cos ^-1 x dx = x cos ^-1 x — √( 1 — x²) + С

Производная Cos, обратная x w.

r.t. Грех Инверсия x

Мы знаем, что производная arccos x, т. е. cos, обратная x, равна -1/√(1 — x²), а производная sin, обратная x, равна 1/√(1 — x²). Чтобы определить производную обратного косинуса по отношению к sin inverse, мы разделим производные обеих функций.

d(cos ^-1 x)/dx = -1/√(1 — x²) — (1)

d(sin ^-1 x)/dx = 1/√(1 — x²) ) — (2)

Разделим (1) и (2), получим

[d(cos ^-1 x)/dx]/[d(sin ^-1 x)/dx] = [-1/√(1 — x²)]/[1/√(1 — x²)]

⇒ d(cos ^-1 x)/d(sin ^-1 x) = -1

Следовательно, производная cos, обратная по отношению к инверсия греха равна -1.

Важные замечания по производной Arccos

• Производная arccos x определяется как -1/√(1-x ² ), где -1 < x < 1
• Производная обратного косинуса относительно инверсия греха равна -1.
• ∫cos ^-1 x dx = x cos ^-1 x — √(1 — x²) + C

Темы, относящиеся к производной от Arccos

• Производная от Sin, обратная x
• Обратная формула Cos
• Обратные тригонометрические формулы

Часто задаваемые вопросы о производной Arccos

Что такое производная Arccos в тригонометрии?

Производная от arccos x в тригонометрии определяется выражением -1/√(1-x ² ), где -1 < x < 1.