Как найти произведение векторов если они перпендикулярны

Заказать задачи по любым предметам можно здесь от 10 минут

Векторное произведение векторов

Определение

Определение

Векторным произведением векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $ является вектор $ overline{c} $, который расположен перпендикулярно к плоскости, образуемой векторами $ overline{a} $ и $ overline{b} $. Само произведение обозначается как $ [overline{a},overline{b}] $, либо $ overline{a} times overline{b} $.

векторное произведение векторов

Векторное произведение векторов, формула которого зависит от исходных данных задачи, можно найти двумя способами.

Формула

Формула 1

Если известен синус угла между векторами $ overline{a} $ и $ overline{b} $, то найти векторное произведение векторов можно по формуле:

$$ [overline{a},overline{b}] = |overline{a}| cdot |overline{b}| cdot sin (overline{a},overline{b}) $$
Формула 2

В случае когда векторы $ overline{a} $ и $ overline{b} $ заданы в координатной форме, то их произведение определяется по формуле:

$$ overline{a} times overline{b} = begin{vmatrix} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 end{vmatrix} $$

где векторы $ overline{i},overline{j},overline{k} $ называются единичными векторами соответствующих осей $ Ox, Oy, Oz $.

Определитель во второй формуле можно раскрыть по первой строке:

$$ overline{a} times overline{b} = begin{vmatrix} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ a_1 & a_2 & a_3 \ b_1 & b_2 & b_3 end{vmatrix} = overline{i} (a_2 b_3 — a_3 b_2) — overline{j} (a_1 b_3 — a_3 b_1) + overline{k} (a_1 b_2 — a_2 b_1) $$

Итого вторая формула приобретает окончательный короткий вид:

$$ overline{a} times overline{b} = (a_2 b_3 — a_3 b_2; a_3 b_1 — a_1 b_3; a_1 b_2 — a_2 b_1) $$

Свойства

  1. При изменении порядка множителей меняется знак на противоположный: $$ [overline{a},overline{b}] = -[overline{b},overline{a}] $$
  2. Вынос константы за знак произведения: $$ lambda [overline{a},overline{b}] = [lambda overline{a}, overline{b}] = [overline{a}, lambda overline{b}] $$
  3. $$ [overline{a}+overline{b}, overline{c}] = [overline{a},overline{c}] + [overline{b}, overline{c}] $$

Примеры решений

Пример 1

Найти векторное произведение векторов, заданных координатами

$$ overline{a} = (2,1,-3) $$ $$ overline{b} = (1,2,-1) $$
Решение

Составляем определитель, первая строка которого состоит из единичных векторов, а вторая и третья из координат векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $:

$$ overline{a} times overline{b} = begin{vmatrix} overline{i} & overline{j} & overline{k} \ 2&1&-3\1&2&-1 end{vmatrix} = overline{i} (-1+6) — overline{j}(-2+3) + overline{k}(4-1) = 5overline{i} — overline{j} + 3overline{k} $$

Полученный ответ можно записать в удобном виде:

$$ overline{a} times overline{b} = (5, -1, 3) $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ overline{a} times overline{b} = (5, -1, 3) $$

Геометрический смысл

  • Модуль векторного произведения векторов $ overline{a} $ и $ overline{b} $ в геометрическом смысле равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах: $$ S_{parall} = |overline{a} times overline{b}| $$
  • Половина этого модуля это площадь треугольника: $$ S_Delta = frac{1}{2} |overline{a} times overline{b} | $$
  • Если векторное произведение равно нулю $ overline{a} times overline{b} = 0 $, то векторы коллинеарны.

 

    Пример 2
    Найти площадь треугольника по заданным векторам $$ overline{a} = (2,1,3) $$ $$ overline{b} = (-1,2,1) $$
    Решение

    Используя геометрический смысл, в частности вторую формулу находим половину модуля векторного произведения векторов.

    Находим определитель:

    $$ begin{vmatrix} overline{i}&overline{j}&overline{k}\2&1&3\-1&2&1 end{vmatrix} = overline{i}(1-6) — overline{j}(2+3) + overline{k}(4+1) = -5overline{i} — 5overline{j} + 5overline{k} $$

    Вычисляем модуль полученного вектора как корень квадратный из суммы квадратов координат этого вектора:

    $$ |overline{a} times overline{b}| = sqrt{(-5)^2 + (-5)^2 + 5^2} = sqrt{25 + 25 + 25} = sqrt{75} $$

    По формуле нахождения площади треугольника имеем:

    $$ S_Delta = frac{1}{2} |overline{a} times overline{b}| = frac{1}{2} sqrt{75} = 4.33 $$
    Ответ
    $$ S_Delta = 4.33 $$
    Источник

    План урока:

    Угол между векторами

    Понятие скалярного произведения векторов

    Скалярное произведение в координатах

    Определение перпендикулярности векторов и прямых

    Вычисление угла между векторами

    Свойства скалярного произведения

    Угол между векторами

    Любую пару векторов можно отложить от одной точки. Если при этом вектора не сонаправлены друг с другом, то они образуют некоторый угол. Его и именуют углом между векторами.

    1 skalyarnoe proizvedenie

    Если же пара векторов сонаправлена, то принято считать, что угол между такими векторами составляет 0°.

    На рисунке показаны два вектора, a и b. Чтобы определить угол между a и b, надо отложить их от одной и той же точки:

    2 skalyarnoe proizvedenie

    В приведенном примере угол составил 135°. Для обозначения этого угла может быть использована такая запись:

    3 skalyarnoe proizvedenie

    Задание. В квадрате АВСD проведены диагонали, они пересекаются в точке О. Определите, какой угол образуют вектора:

    4 skalyarnoe proizvedenie

    Так как в квадрате диагонали пересекаются под углом 90°, а со сторонами образуют угол 45°, то мы легко определим, что

    5 skalyarnoe proizvedenie

    Здесь нам помог тот факт, что вектора из пунктов а) и б) изначально отложены из одной точки. С пунктом в) ситуация сложнее. Надо отложить от точки А вектор ОА и определить угол, образующийся при этом:

    6 skalyarnoe proizvedenie

    Пусть после откладывания вектора ОА от А получился вектора АА’. Нам надо найти ∠ВАА’. Нам уже известен ∠ОАВ, который является смежным с ∠ВАА’, поэтому можно записать равенство:

    7 skalyarnoe proizvedenie

    Ответ: а) 45°; б) 90°; в) 135°.

    Понятие скалярного произведения векторов

    Большое распространение в науке получила математическая операция, именуемая скалярным произведением векторов. В геометрии оно помогает находить угол между векторами, а в физике вычислять некоторые физические величины. В рамках школьной программы его используют для нахождения работы, совершенной той или иной силой. В рамках же более сложных дисциплин, с которыми мало кто сталкивается, оно применяется в квантовой механике и специальных разделах математики – тензорной алгебре, теории многообразий и т. п. Ввел его в науку Уильям Гамильтон в 1846 г, который разрабатывал теорию особых чисел – кватерионов. Они, кстати, используются компьютерами для расчетов трехмерной графики в играх и других приложениях.

    Прежде, чем мы научимся применять на практике скалярное произведение, сначала сформулируем правило, позволяющее вычислить его.

    8 skalyarnoe proizvedenie

    Например, пусть есть вектора a и b, причем даны их длины:

    9 skalyarnoe proizvedenie

    Угол между a и b тоже известен и составляет 60°, это записывается таким образом:

    10 skalyarnoe proizvedenie

    Задание. Вычислите скалярное произведение векторов d и f, если их длины составляют 6 и 10 соответственно, а угол между векторами равен 45°.

    Решение. Просто подставляем числа из условия в формулу:

    11 skalyarnoe proizvedenie

    Задание. АВС – равносторонний треугольник со стороной 4. Каково скалярное произведение векторов АВ и АС?

    Решение. Все углы в равностороннем треугольнике равны 60°, поэтому и угол между АВ и АС также составляет 60°.

    12 skalyarnoe proizvedenie

    Ответ: 8.

    Напомним, что косинус, взятый от острого угла – это положительная величина, а косинус тупого угла – это отрицательное число. У прямого же угла косинус равен нулю. Это означает, что по знаку скалярного произведения можно определить тип угла между векторами.

    13 skalyarnoe proizvedenie

    Часто скалярное произведение применяется в физике. Например, с его помощью рассчитывается работа, совершаемая силой при перемещении того или иного тела. И сила, и перемещение – это векторные величины. Чтобы найти работу силы, надо скалярно перемножить вектора силы и перемещения:

    14 skalyarnoe proizvedenie

    Эта формула отражает физический смысл скалярного произведения.

    Задание. Под воздействием силы 10Н тело переместилось в горизонтальном направлении на 3 метра. При этом сила образует угол 60° с направлением перемещения тела. Какую работу совершила сила?

    Решение.

    15 skalyarnoe proizvedenie

    Скалярное произведение в координатах

    Оказывается, что для перемножения векторов достаточно знать только их координаты.

    16 skalyarnoe proizvedenie

    Докажем эту формулу. Сначала рассмотрим случай, когда один из перемножаемых векторов, например a, является нулевым. Тогда у него нулевая длина и нулевые координаты:

    17 skalyarnoe proizvedenie

    Теперь рассмотрим случай, когда оба перемножаемых вектора ненулевые. Тогда отложим их от некоторой точки О и, если вектора неколлинеарны, то мы получим ∆ОАВ:

    18 skalyarnoe proizvedenie

    Для частных случаев, когда a и b коллинеарны (то есть либо сонаправлены, либо противоположно направлены), эта формула также справедлива. Если aи b сонаправлены, то угол α принимается равным нулю (и cosα = 1):

    19 skalyarnoe proizvedenie

    Если же a и b направлены противоположно, то α = 180° (и cosα = – 1):

    20 skalyarnoe proizvedenie

    Итак, мы убедились, что в любой ситуации формула (1) справедлива. При этом вектор АВ можно представить как разность a и b:

    21 skalyarnoe proizvedenie

    Если вектор а имеет координаты {x1; у1}, а координаты b– это {x2; у2},то координаты их разности a – b будут записываться в виде {х1 – х2;у1 – у2}. С учетом этого (2) примет вид

    22 skalyarnoe proizvedenie

    В результате нам удалось доказать формулу скалярного произведения через координаты:

    23 skalyarnoe proizvedenie

    Задание. Перемножьте скалярно вектораa и b, если определены их координаты:

    24 skalyarnoe proizvedenie

    Ответ: а) 23; б) 0; в) 5.

    Определение перпендикулярности векторов и прямых

    Напомним, что скалярное произведение оказывается нулевым исключительно в случае перпендикулярности векторов. Это позволяет использовать его для проверки перпендикулярности векторов.

    Задание. Проверьте, являются ли перпендикулярными вектора:

    25 skalyarnoe proizvedenie

    Решение. В каждом случае мы должны скалярно перемножить пару векторов. Если результат окажется нулевым, то можно сделать вывод о перпендикулярности векторов. В противном случае они не перпендикулярны. Первый вектор будет обозначать буквой а, а второй – буквой b:

    26 skalyarnoe proizvedenie

    Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет.

    Задание. При каком значении переменной х вектора а{4; 5} и b{x; – 6} окажутся перпендикулярными?

    Решение. Перемножим скалярно вектора и получим некоторое выражение с переменной x:

    27 skalyarnoe proizvedenie

    Найдем, при каком х это выражение обращается в нуль, то есть вектора становятся перпендикулярными:

    28 skalyarnoe proizvedenie

    Задание. Определите, перпендикулярны ли прямые АВ и CD, если даны координаты точек: А(3; 8), В(4; 10), С(7;12) и D(5;13).

    Решение. В этой задаче сначала надорассчитать координаты векторов АВ и CD по координатамих начальной и конечной точки:

    29 skalyarnoe proizvedenie

    Мы вычислили координаты векторов: АВ{1; 2} и CD{– 2; 1}. Теперь мы можем проверить их перпендикулярность, скалярно перемножив вектора:

    30 skalyarnoe proizvedenie

    Мы получили ноль. Это означает, что АВ и CD – перпендикулярные вектора. Значит, и прямые, на которых они лежат, также перпендикулярны.

    Ответ: перпендикулярны.

    Задание. Перпендикулярны ли друг другу прямые, задаваемые уравнениями

    31 skalyarnoe proizvedenie

    Названия точкам в данном примере присвоены произвольно. На следующем шаге по координатам точек мы находим координаты векторов, лежащих на исследуемых прямых:

    32 skalyarnoe proizvedenie

    Полученный ноль показывает, что исходные прямые перпендикулярны.

    Ответ: перпендикулярны.

    В случае, когда прямые заданы уравнениями, необязательно проделывать столь длительные вычисления для определения их перпендикулярности. Есть теорема, сокращающая объем вычислений.

    33 skalyarnoe proizvedenie

    Докажем это утверждение. Пусть две прямые заданы уравнениями

    34 skalyarnoe proizvedenie

    Найдем какие-нибудь точки этих прямых. Для этого подставим в уравнения значения х = 0 и х = 1:

    35 skalyarnoe proizvedenie

    Прямые окажутся перпендикулярными исключительно в том случае, если это выражение будет нулевым. Это условие перпендикулярности можно записать как уравнение:

    36 skalyarnoe proizvedenie

    В результате мы получили доказываемую нами формулу.

    Задание. Проверьте, какие из этих пар прямых перпендикулярны:

    37 skalyarnoe proizvedenie

    Решение. В каждом случае надо просто перемножить угловые коэффициенты прямых, то есть числа, стоящие перед переменной х. Другие числа в этих уравнениях (свободные коэффициенты) никак не влияют на перпендикулярность. Если вычисленное произведение окажется равным (– 1), то из этого будет вытекать перпендикулярность прямых.

    38 skalyarnoe proizvedenie

    Вычисление угла между векторами

    Мы научились по координатам векторов определять, перпендикулярны ли они. Однако в более общем случае можно рассчитать угол и между двумя неперпендикулярными векторами.

    В самом деле, по известным координатам векторов легко как рассчитать длину каждого из них, так и скалярно перемножить вектора. Тогда из формулы скалярного произведения можно выразить значение косинуса угла между векторами:

    39 skalyarnoe proizvedenie

    Зная же косинус, можно рассчитать и сам угол, используя специальные таблицы либо функцию арккосинуса на калькуляторе.

    Задание. Вычислите угол между векторами а{3; 4} и b{8; 15}.

    Решение. Сначала рассчитываем длины векторов:

    40 skalyarnoe proizvedenie

    Задание. Точки А(2; 8), В(– 1; 5) и С(3; 1) соединили отрезками и получили ∆АВС. Вычислите угол ∠А в ∆АВС.

    Решение.∠А данного треугольника представляет собой угол между двумя векторами АВ и АС. Вычислим координаты этих векторов:

    41 skalyarnoe proizvedenie

    Осталось лишь с помощью калькулятора найти сам ∠А:

    42 skalyarnoe proizvedenie

    Свойства скалярного произведения

    Существует несколько важных свойств скалярного произведения. Эти свойства очень схожи с законами алгебры, которые используются при работе с обычными числами.

    43 skalyarnoe proizvedenie

    Переместительный закон легко доказать, опираясь только на определение операции скалярного произведения:

    44 skalyarnoe proizvedenie

    Задание. Известно, что угол между векторами a и с составлет 60°, так же как и угол между векторами b и с. Определены и длины векторов:

    45 skalyarnoe proizvedenie

    Задание. Найдите скалярное произведение векторов p и q, если

    46 skalyarnoe proizvedenie

    Решение. Сначала надо перемножить вектора и раскрыть при этом скобки также, как они раскрываются при перемножении обычных чисел:

    47 skalyarnoe proizvedenie

    Примечание. Иногда скалярное произведение вектора на самого себя именуют скалярным квадратом.

    Тогда выражение (1) примет вид:

    48 skalyarnoe proizvedenie

    В сегодняшнем уроке мы узнали, что такое скалярное произведение. Оно имеет много приложений в физике и других науках, в частности, с его помощью вычисляется работа. В геометрии оно помогает вычислять углы между векторами, а значит, и между прямыми. В будущем, при более углубленном изучении геометрии, вы узнаете о существовании других типов произведений векторов – векторном и смешанном.

    Источник

    Все курсы > Линейная алгебра > Занятие 1

    Материалы по линейной алгебре используют определения и примеры следующих курсов:

    • 3Blue1Brown⧉
    • Khan Academy: Linear Algebra⧉
    • Linear Algebra⧉, PCA⧉, ICL
    • Linear Algebra⧉, MIT
    • Matrix Methods for Data Analysis and Machine Learning⧉, MIT
    • Matrix Algebra for Engineers⧉

    На первом занятии мы более подробно рассмотрим понятие вектора и векторного пространства.

    Ноутбук к сегодняшнему занятию⧉

    Понятие вектора

    Вектор (vector) — это направленный отрезок, и для нас будет важно, что любой вектор обладает длиной (magnitude) и направлением (direction). Например, возьмем вот такой двумерный вектор $textbf{v}$

    $$ textbf{v} = begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} $$

    На курсе мы будем обозначать векторы полужирной строчной буквой, например $textbf{v}$, а матрицы заглавной буквой, например, А.

    Вектор $textbf{v}$ удобно изобразить на координатной плоскости, исходящим из начала координат.

    v = np.array([4, 3])

    ax = plt.axes()

    plt.xlim([0, 5])

    plt.ylim([0, 5])

    plt.grid()

    ax.arrow(0, 0, v[0], v[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’)

    plt.annotate(‘v’,

                 xy=(v[0]/2, v[1]/2),

                 xytext=(10, —10),

                 textcoords=‘offset points’,

                 fontsize = 16)

    plt.show()

    вектор на плоскости, исходящий из начала координат

    Добавлю, что вектор — частный случай матрицы. В случае вектор-столбца речь идет о матрице размерностью n x 1. В случае вектор-строки — 1 x n. Вектор $textbf{v}$ — это матрица 2 х 1.

    Операции над векторами

    Сложение векторов

    Складывать векторы очень несложно. Достаточно сложить их компоненты или координаты.

    $$ begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} + begin{bmatrix} 2 \ -1 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 6 \ 2 end{bmatrix} $$

    a = np.array([4, 3])

    b = np.array([2, —1])

    a_plus_b = a + b

    a_plus_b

    Графически, если поставить начало второго вектора в конец первого, сложение можно представить как расстояние от начала первого вектора до конца второго. Своего рода путь, пройденный двумя векторами.

    ax = plt.axes()

    plt.xlim([0, 7])

    plt.ylim([0, 7])

    plt.grid()

    arrow_a = ax.arrow(0, 0, a[0], a[1], width = 0.02, head_width = 0.2, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’)

    arrow_b = ax.arrow(a[0], a[1], b[0], b[1], width = 0.02, head_width = 0.2, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘g’, ec = ‘g’)

    arrow_a_plus_b = ax.arrow(0, 0, a_plus_b[0], a_plus_b[1], width = 0.02, head_width = 0.2, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘b’, ec = ‘b’)

    plt.legend([arrow_a, arrow_b, arrow_a_plus_b], [‘вектор a’, ‘вектор b’, ‘вектор a + b’], prop = {‘size’: 16})

    plt.show()

    сложение двух векторов

    Сложение векторов ассоциативно $textbf{a} + textbf{b} = textbf{b} + textbf{a}$.

    Умножение на скаляр

    Умножение на скаляр просто удлиняет или укорачивает вектор.

    $$ 2 cdot textbf{v} = 2 cdot begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 8 \ 6 end{bmatrix} $$

    v = np.array([4, 3])

    double_v = 2 * v

    double_v

    ax = plt.axes()

    plt.xlim([0, 10])

    plt.ylim([0, 10])

    plt.grid()

    ax.arrow(0, 0, double_v[0], double_v[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘b’, ec = ‘b’)

    plt.annotate(‘2v’, xy=(double_v[0], double_v[1]), xytext=(10, —10), textcoords=‘offset points’, fontsize = 16)

    ax.arrow(0, 0, v[0], v[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’)

    plt.annotate(‘v’, xy=(v[0], v[1]), xytext=(10, —10), textcoords=‘offset points’, fontsize = 16)

    plt.show()

    умножение на скаляр

    Умножение на отрицательное число не только удлиняет или укорачивает вектор, но и переворачивает его направление.

    $$ -0,5 cdot textbf{v} = -0,5 cdot begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} = begin{bmatrix} -2 \ -1,5 end{bmatrix} $$

    v = np.array([4, 3])

    neg_half_v = —0.5 * v

    neg_half_v

    ax = plt.axes()

    plt.xlim([—5, 5])

    plt.ylim([—5, 5])

    plt.grid()

    ax.arrow(0, 0, neg_half_v[0], neg_half_v[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘b’, ec = ‘b’)

    plt.annotate(‘-0.5v’, xy=(neg_half_v[0], neg_half_v[1]), xytext=(10, —10), textcoords=‘offset points’, fontsize = 16)

    ax.arrow(0, 0, v[0], v[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’)

    plt.annotate(‘v’, xy=(v[0], v[1]), xytext=(10, —10), textcoords=‘offset points’, fontsize = 16)

    plt.show()

    умножение на отрицательное число

    Очевидно, что умножение на −1 просто переворачивает направление вектора, но не меняет его длины.

    $$ -1 cdot textbf{v} = -1 cdot begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} = begin{bmatrix} -4 \ -3 end{bmatrix} $$

    v = np.array([4, 3])

    neg_one_v = —1 * v

    neg_one_v

    ax = plt.axes()

    plt.xlim([—5, 5])

    plt.ylim([—5, 5])

    plt.grid()

    ax.arrow(0, 0, neg_one_v[0], neg_one_v[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘b’, ec = ‘b’)

    plt.annotate(‘-v’, xy=(neg_one_v[0], neg_one_v[1]), xytext=(10, —10), textcoords=‘offset points’, fontsize = 16)

    ax.arrow(0, 0, v[0], v[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’)

    plt.annotate(‘v’, xy=(v[0], v[1]), xytext=(10, —10), textcoords=‘offset points’, fontsize = 16)

    plt.show()

    умножение на минус один

    Вычитание и деление на число

    Вычитание векторов можно представить как сумму первого вектора со вторым вектором, умноженным на −1.

    $$ begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} + left( -1 cdot begin{bmatrix} 2 \ -1 end{bmatrix} right) = begin{bmatrix} 2 \ 4 end{bmatrix} $$

    a = np.array([4, 3])

    b = np.array([2, —1])

    b_neg = —1 * b

    a_minus_b = a + b_neg

    b_neg, a_minus_b

    (array([-2,  1]), array([2, 4]))

    Графически мы сначала находим вектор $textbf{-b}$ (зеленая стрелка), а затем прибавляем его к вектору $textbf{a}$ (красная стрелка).

    plt.figure(figsize = (8, 8))

    ax = plt.axes()

    plt.xlim([0, 7])

    plt.ylim([0, 7])

    plt.grid()

    arrow_a = ax.arrow(0, 0, a[0], a[1], width = 0.02, head_width = 0.2, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’)

    arrow_b_neg = ax.arrow(a[0], a[1], b_neg[0], b_neg[1], width = 0.02, head_width = 0.2, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘g’, ec = ‘g’)

    arrow_b = ax.arrow(a[0], a[1], b[0], b[1], width = 0.0001, head_width = 0.1, head_length = 0.1, length_includes_head = True, fc = ‘black’, ec = ‘black’, linestyle = ‘—‘)

    arrow_a_minus_b = ax.arrow(0, 0, a_minus_b[0], a_minus_b[1], width = 0.02, head_width = 0.2, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘b’, ec = ‘b’)

    plt.legend([arrow_a, arrow_b_neg, arrow_b, arrow_a_minus_b], [‘вектор a’, ‘вектор -b’, ‘вектор b’, ‘вектор a+(-b)’], prop = {‘size’: 16})

    plt.show()

    вычитание векторов

    Остается добавить, что деление вектора на число, это всего лишь умножение на обратное число (multiplicative inverse). Разделим вектор $textbf{v}$ на семь.

    $$ frac{textbf{v}}{7} = begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} cdot frac{1}{7} = begin{bmatrix} frac{4}{7} \ frac{3}{7} end{bmatrix} $$

    v = np.array([4, 3])

    v * (1/7)

    array([0.57142857, 0.42857143])

    Тот факт, что мы выразили вычитание через сложение и умножение на скаляр, а деление через умножение на обратное число позволило нам остаться в пределах операций сложения и умножения на скаляр.

    Видео про векторы⧉.

    Длина вектора

    Длину или норму вектора (norm, length, magnitude or size of a vector) рассчитать не сложно, достаточно вспомнить теорему Пифагора. Снова возьмем вектор $textbf{v}$

    $$ textbf{v} = begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} $$

    v = np.array([4, 3])

    ax = plt.axes()

    plt.xlim([0, 5])

    plt.ylim([—0.01, 5])

    plt.grid()

    ax.arrow(0, 0, v[0], v[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’)

    plt.annotate(‘v’, xy=(v[0]/2, v[1]/2), xytext=(10, —10), textcoords=‘offset points’, fontsize = 16)

    ax.hlines(y = 0, xmin = 0, xmax = 4, linewidth = 3, color = ‘b’, linestyles = ‘—‘)

    ax.vlines(x = 4, ymin = 0, ymax = 3, linewidth = 3, color = ‘g’, linestyles = ‘—‘)

    plt.show()

    координаты вектора и сам вектор образуют прямоугольный треугольник

    Как видно на графике, вектор $textbf{v}$, смещение вдоль оси x и смещение вдоль оси y образуют прямоугольный треугольник. Значит, длина вектора (гипотенуза) равна квадратному корню из суммы квадратов смещений (катетов или в нашем случае координат).

    $$ ||textbf{v}|| = sqrt{4^2 + 3^2} = sqrt{25} = 5 $$

    Для n-мерного вектора ничего не меняется.

    $$ ||textbf{v}|| = sqrt{v_1^2 + v_2^2 + dots + v_n^2} $$

    Например, найдем длину трехмерного вектора $textbf{w}$.

    $$ textbf{w} = begin{bmatrix} 6 \ 3 \ 2 end{bmatrix} rightarrow ||textbf{w}|| = sqrt{6^2 + 3^2 + 2^2} = sqrt{49} = 7 $$

    Единичный вектор

    Вектор с длиной, равной единице, называют единичным вектором (unit vector). Примерами единичных векторов, с которыми мы будем часто встречаться в пространстве $ R^2 $, являются следующие два вектора

    $$ hat{i} = begin{bmatrix} 1 \ 0 end{bmatrix}, hat{j} = begin{bmatrix} 0 \ 1 end{bmatrix} $$

    Единичный вектор принято обозначать строчной буквой с знаком циркумфлекса, «крышечки» (hat).

    Проверим, равна ли их длина единице.

    $$ ||hat{i}|| = sqrt{1^2 + 0^2} = sqrt{1} = 1, ||hat{j}|| = sqrt{0^2 + 1^2} = sqrt{1} = 1 $$

    Интересно, что с помощью векторов $ hat{i}, hat{j} $ можно выразить любой другой вектор в $ R^2 $. Например, вектор $textbf{v}$ можно представить как

    $$ 4 begin{bmatrix} 1 \ 0 end{bmatrix} + 3 begin{bmatrix} 0 \ 1 end{bmatrix} = begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} rightarrow 4hat{i} + 3 hat{j} $$

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    13

    14

    15

    16

    17

    v = np.array([4, 3])

    i = np.array([1, 0])

    j = np.array([0, 1])

    ax = plt.axes()

    plt.xlim([—0.07, 4.5])

    plt.ylim([—0.07, 4.5])

    plt.grid()

    ax.arrow(0, 0, v[0], v[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’)

    plt.annotate(‘v’, xy=(v[0]/2, v[1]/2), xytext=(10, —10), textcoords=‘offset points’, fontsize = 16)

    ax.arrow(0, 0, i[0], i[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘g’, ec = ‘g’)

    ax.arrow(0, 0, j[0], j[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘g’, ec = ‘g’)

    plt.show()

    вектор, как линейная комбинация базисных векторов

    Это обстоятельство нам пригодится в будущем.

    Нормализация вектора

    Длина нормализованного вектора равна единице. Для того чтобы нормализовать вектор, достаточно разделить вектор на его длину. Создадим единичный вектор $hat{v}$ для вектора $textbf{v}$.

    $$ hat{v} = frac{textbf{v}}{||textbf{v}||} = frac{1}{5} cdot begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix} = begin{bmatrix} frac{4}{5} \ frac{3}{5} end{bmatrix} $$

    v = np.array([4, 3])

    v * (1/np.linalg.norm(v))

    Скалярное произведение

    Важной операцией над векторами является уже знакомое нам скалярное произведение (dot product). В качестве напоминания того, как работает скалярное произведение приведем несложный пример. Пусть даны два вектора $textbf{v}$ и $textbf{w}$.

    $$ textbf{v} = begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix}, textbf{w} = begin{bmatrix} 2 \ 1 end{bmatrix} $$

    Найдем их скалярное произведение.

    $$ textbf{v} cdot textbf{w} = 4 cdot 2 + 3 cdot 1 = 11 $$

    Как вы видите, мы перемножаем компоненты векторов и складываем получившиеся произведения.

    Скалярное произведение как длина вектора

    Интересно, что корень из скалярного произведения вектора на самого себя есть его длина.

    $$ sqrt{ textbf{v} cdot textbf{v} } = sqrt{4 cdot 4 + 3 cdot 3 } = sqrt{ 4^2 + 3^2 } = sqrt{25} = 5 $$

    v = np.array([4, 3])

    np.sqrt(v.dot(v))

    Угол между векторами

    Помимо этого скалярное произведение определяется как произведение длин векторов на косинус угла между ними.

    $$ mathbf a cdot mathbf b = ||a|| cdot ||b|| cdot cos(theta) $$

    Именно это свойство привело нас к расчету косинусного расстояния между векторами.

    $$ cos(theta) = frac{mathbf a cdot mathbf b}{||a|| cdot ||b||} $$

    Выведем эту формулу. Для начала вспомним теорему косинусов.

    теорема косинусов

    $$ c^2 = a^2 + b^2-2ab cdot cos(theta) $$

    Теперь представим, что у нас не стороны треугольника, а векторы. Если сторону а обозначить как вектор $ textbf{a} $, сторону b — как вектор $ textbf{b} $, то сторона с станет разностью между $ textbf{a} $ и $ textbf{b} $. Чтобы убедиться в этом, найдите $ textbf{-b} $ и приставьте его к окончанию $ textbf{a} $.

    треугольник из векторов

    Выразим теорему косинусов через длины векторов.

    $$ || a-b ||^2 = ||a||^2 + ||b||^2-2 cdot ||a|| cdot ||b|| cdot cos(theta) $$

    Помня, что длина есть скалярное произведение вектора на самого себя, мы можем выразить левую часть $ || a-b || $ как

    $$ (a-b)(a-b) = a cdot a-a cdot b-b cdot a + (-b) cdot (-b) = ||a||^2-2ab + ||b||^2 $$

    Поместим результат в исходное выражение.

    $$ ||a||^2-2ab + ||b||^2 = ||a||^2 + ||b||^2-2 cdot ||a|| cdot ||b|| cdot cos(theta) $$

    Сократив подобные члены получим

    $$ a cdot b = ||a|| cdot ||b|| cdot cos(theta) $$

    Выводы. Из тригонометрии мы помним, что косинус 90 градусов равен нулю. Как следствие, скалярное произведение перпендиклярных (правильнее сказать ортогональных (orthogonal)) векторов $ textbf{a} perp textbf{b} $ равно нулю.

    $$ a cdot b = ||a|| cdot ||b|| cdot cos(90) = 0 $$

    Очевидно, что если угол между двумерными векторами меньше 90 градусов, косинус, а значит и скалярное произведение положительны. В противном случае — отрицательны. Для n-мерных векторов положительное скалярное произведение говорит, что они в целом смотрят в одну строну, отрицательное — противоположные.

    Для коллинеарных (сонаправленных) векторов скалярное произведение равно произведению их длин, потому что косинус нуля равен единице.

    $$ a cdot b = ||a|| cdot ||b|| cdot cos(0) = ||a|| cdot ||b|| $$

    Добавлю, что если $ textbf{a} $ и $ textbf{b} $ — единичные векторы, то косинус угла между векторами просто равен его их скалярному произведению.

    $$ cos(theta) = a cdot b $$

    Рассчитаем косинусное расстояние для векторов

    $$ textbf{v} = begin{bmatrix} 4 \ 3 end{bmatrix}, textbf{w} = begin{bmatrix} 1 \ 7 end{bmatrix} $$

    a = np.array([4, 3])

    b = np.array([1, 7])

    numerator = np.dot(a, b)

    aLen = np.linalg.norm(a)

    bLen = np.linalg.norm(b)

    denominator = aLen * bLen

    cosine = numerator / denominator

    angle = np.arccos(cosine) * 360/2/np.pi

    cosine, angle

    (0.7071067811865475, 45.00000000000001)

    from scipy.spatial import distance

    1 — distance.cosine([4, 3], [1, 7])

    Внешнее произведение

    Под внешним произведением (outer product) понимается умножение вектор-столбца на вектор-строку по обычным правилам матричного умножения. Результатом такого произведения будет матрица, а не число, как в случае скалярного произведения.

    внешнее произведение

    Источник: Википедия⧉

    Ортогональность векторов

    Еще раз продемонстрируем, почему если векторы ортогональны, их скалярное произведение будет равно нулю. Возьмем три вектора, образовывающих прямоугольный треугольник.

    Тогда, по теореме Пифагора,

    $$ || mathbf x ||^2 + || mathbf y ||^2 = || mathbf x + mathbf y ||^2 $$

    $$ mathbf x^T mathbf x + mathbf y^T mathbf y = (mathbf x + mathbf y)^T (mathbf x + mathbf y) $$

    $$ mathbf x^T mathbf x + mathbf y^T mathbf y = mathbf x^T mathbf x + mathbf y^T mathbf y + mathbf x^T mathbf y + mathbf y^T mathbf x $$

    $$ mathbf x^T mathbf x + mathbf y^T mathbf y = mathbf x^T mathbf x + mathbf y^T mathbf y + 2 mathbf x^T mathbf y $$

    $$ mathbf 0 = 2 mathbf x^T mathbf y $$

    $$ mathbf x^T mathbf y = mathbf 0 $$

    Проекция вектора на вектор

    Подойдем к скалярному произведению с другой стороны. Рассмотрим два вектора $ textbf{a} $ и $ textbf{b} $ и найдем проекцию первого вектора на второй.

    проекция вектора на вектор

    Проекция через угол между векторами

    Говоря неформально, проекцией вектора $ textbf{a} $ на вектор $ textbf{b} $ будет такой участок вектора $ textbf{b} $, что расстояние от точки A до точки B минимально. Минимальным оно будет, если угол OAB будет равен 90 градусов. Получается прямоугольный треугольник. Найдем отрезок OB.

    $$ cos(theta) = frac {OB}{OA} = frac {OB}{||a||} rightarrow OB = ||a|| cdot cos(theta) $$

    Выразим то же самое через формулу скалярного произведения, заменив $||a|| cdot cos(theta) $ на OB.

    $$ b cdot a = ||b|| cdot ||a|| cdot cos(theta) rightarrow b cdot a = ||b|| cdot OB $$

    Так мы нашли длину проекции OB. Ее называют числовой или скалярной проекцией (scalar projection).

    $$ frac{b cdot a}{||b||} = ||a|| cdot cos(theta) = OB $$

    Более того, если длина вектора $ textbf{b} $ равна единице, то длина проекции OB просто равна скалярному произведению.

    $$ ||b|| = 1 rightarrow b cdot a = OB $$

    Это объясняет, почему скалярное произведение еще называют projection product.

    Очевидное и тем не менее интересное примечание. Обратите внимание на связь понимания скалярного произведения как проекции одного вектора на другой и произведения длин векторов на косинус угла между ними. Если векторы перпендикулярны, проекция одного вектора на другой равна нулю, а значит и произведение проекции второго вектора на первый равно нулю.

    перпендикулярные векторы

    Предположим, нас интересует не только длина проекции, но и ее направление. В этом случае говорят про векторную проекцию (vector projection).

    векторная проекция

    Она выражается как произведение нормализованного вектора $ textbf{b} $ на длину проекции (то есть скалярную проекцию) OB.

    $$ proj_mathbf{b} textbf{a} = OB cdot hat{b} $$

    Перепишем OB через скалярное произведение, а $hat{b}$ через частное вектора $ textbf{b} $ на его длину.

    $$ proj_mathbf{b} textbf{a} = frac{b cdot a}{||b||} cdot frac{b}{||b||} $$

    Таким образом, можно сказать, что векторная проекция показывает, длину вектора $ textbf{a} $ в направлении вектора $ textbf{b} $.

    Пример. Возьмем два вектора a и b и найдем вначале скалярную, затем векторную проекцию вектора a на вектор b.

    a = np.array([3, 4])

    b = np.array([1, 1])

    scalar_proj_a_on_b = np.dot(a, b) / np.linalg.norm(b)

    scalar_proj_a_on_b

    vector_proj_a_on_b = scalar_proj_a_on_b * (b / np.linalg.norm(b))

    vector_proj_a_on_b

    a = np.array([3, 4])

    b = np.array([1, 1])

    proj = np.array([3.5, 3.5])

    ax = plt.axes()

    plt.xlim([—0.07, 4.5])

    plt.ylim([—0.07, 4.5])

    plt.grid()

    ax.arrow(0, 0, a[0], a[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’)

    ax.arrow(0, 0, b[0], b[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘k’, ec = ‘k’)

    ax.arrow(0, 0, proj[0], proj[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘g’, ec = ‘g’)

    plt.show()

    пример нахождения скалярной и векторной проекции

    Матрица проекции

    Векторную проекцию можно выразить с помощью матрицы проекции $P$.

    $$ proj_mathbf{b} textbf{a} = P cdot mathbf a = frac{mathbf b mathbf b^T}{mathbf b^T mathbf b} cdot mathbf a $$

    В знаменателе находится скалярное произведение и результатом умножения будет число. В числителе — внешнее произведение и результатом будет матрица. Найдем внешнее произведение из примера выше.

    b_bT = np.outer(b, b)

    b_bT

    Найдем скалярное произведение.

    Создадим матрицу проекции $P$ и умножим ее на вектор $mathbf a$.

    Симметрия скалярного произведения

    Продемонстрируем с точки зрения проекции, почему $a cdot b = b cdot a $. Возьмем два вектора a и b.

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    13

    14

    15

    16

    17

    18

    19

    20

    21

    a = np.array([1, 3])

    b = np.array([4, 1])

    i = np.array([1, 0])

    j = np.array([0, 1])

    ax = plt.axes()

    plt.xlim([—0.07, 4])

    plt.ylim([—0.07, 4])

    plt.grid()

    ax.arrow(0, 0, a[0], a[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘r’, ec = ‘r’)

    ax.arrow(0, 0, b[0], b[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘k’, ec = ‘k’)

    ax.arrow(0, 0, i[0], i[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘g’, ec = ‘g’)

    ax.arrow(0, 0, j[0], j[1], width = 0.02, head_width = 0.1, head_length = 0.2, length_includes_head = True, fc = ‘g’, ec = ‘g’)

    ax.plot([0, 4], [0, 4], linestyle = ‘dashed’)

    plt.show()

    симметрия скалярного произведения

    Выше мы сказали, что $ a cdot b = OB cdot ||b|| $. То есть скалярное произведение вектора a на вектор b равно произведению проекции a на b, умноженной на длину вектора b.

    Продемонстрируем, что произведение проекции вектора a на вектор b, умноженное на длину вектора b, равно произведению проекции вектора b на вектор a, умноженному на длину вектора a.

    $$ proj_ba times || b || = proj_ab times || a || $$

    scalar_proj_a_on_b = np.dot(a, b) / np.linalg.norm(b)

    scalar_proj_a_on_b * np.linalg.norm(b)

    scalar_proj_b_on_a = np.dot(b, a) / np.linalg.norm(a)

    scalar_proj_b_on_a * np.linalg.norm(a)

    np.dot(a, b), np.dot(b, a)

    Видео про скалярное произведение векторов⧉.

    Векторное произведение

    Векторное произведение (cross product) задано только в трехмерном пространстве. Результатом такого произведения будет вектор, перпендикулярный каждому из исходных векторов. Приведем иллюстрацию из Википедии⧉.

    векторное произведение

    Математически векторное произведение задается формулой

    $$ a times b = || a || || b || sin(theta) $$

    Геометрически — это площадь параллелограмма, сформированного из исходных векторов a и b.

    векторное произведение как площадь параллелограмма

    Приведем пример.

    a = [1, 2, 3]

    b = [4, 5, 6]

    np.cross(a, b)

    Подведем итог

    Сегодня мы ввели понятие вектора, познакомились с базовыми операциями с векторами, в частности, изучили скалярное произведение векторов и научились находить скалярную и векторную проекцию одного вектора на другой.

    Перейдем к рассмотрению векторного пространства.

    Источник

    Онлайн калькуляторы

    На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

    Справочник

    Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

    Заказать решение

    Не можете решить контрольную?!
    Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

    Векторное произведение векторов

    Определение и формула векторного произведения векторов

    Векторное произведение векторов

    Если векторы bar{a} и bar{b} заданы своими координатами: bar{a}=left(a_{1} ;; a_{2} ;; a_{3} right), bar{b}=left(b_{1} ;; b_{2} ;; b_{3} right), то их векторное произведение вычисляется по формуле:

        [left[bar{a},; bar{b}right]=bar{a}times bar{b}=left|begin{array}{ccc} bar{i} & bar{j} & bar{k} \ a_{1} & a_{2} & a_{3} \ b_{1} & b_{2} & b_{3} end{array}right|,]

    где bar{i},; bar{j},; bar{k} – орты координатных осей Ox,; Oy,; Oz соответственно.

    Если раскрыть этот определитель по первой строке:

        [left[bar{a},; bar{b}right]=bar{a}times bar{b}=left|begin{array}{ccc} bar{i} & bar{j} & bar{k} \ a_{1} & a_{2} & a_{3} \ b_{1} & b_{2} & b_{3} end{array}right|begin{array}{c} {leftarrow } \ {} \ {} end{array}=bar{i}cdot left|begin{array}{cc} a_{2} & a_{3} \ b_{2} & b_{3} end{array}right|-bar{j}cdot left|begin{array}{cc} a_{1} & a_{3} \ b_{1} & b_{3} end{array}right|+bar{k}cdot left|begin{array}{cc} a_{1} & a_{2} \ b_{1} & b_{2} end{array}right|=]

        [=bar{i}cdot left(a_{2} b_{3} -a_{3} b_{2} right)-bar{j}cdot left(a_{1} b_{3} -a_{3} b_{1} right)+bar{k}cdot left(a_{1} b_{2} -a_{2} b_{1} right),]

    то получаем, что

        [bar{c}=left[bar{a},; bar{b}right]=left(a_{2} b_{3} -a_{3} b_{2} ;; a_{1} b_{3} -a_{3} b_{1} ;; a_{1} b_{2} -a_{2} b_{1} right)]

    Свойства векторного произведения векторов

    1. Геометрический смысл векторного произведения. Модуль векторного произведения двух векторов bar{a} и bar{b} равен площади параллелограмма построенного на этих векторах:

        [S_{parall} =left|bar{a}times bar{b}right|]

    2. Векторное произведение двух ненулевых векторов bar{a} и bar{b} равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.

    3. left[bar{a},; bar{b}right]=-left[bar{b},; bar{a}right].

    4. left[lambda bar{a},; bar{b}right]=left[bar{a},; lambda bar{b}right]=lambda cdot left[bar{a},; bar{b}right].

    5. left[bar{a}+bar{b},; bar{c}right]=left[bar{a},; bar{c}right]+left[bar{b},; bar{c}right].

    Понравился сайт? Расскажи друзьям!

    Источник

    Понравилась статья? Поделить с друзьями:

    Не пропустите также:

  1. Как найти свою семью мультик
  2. Как найти автошколу на госуслугах
  3. Как найти матрицу преобразования суммы
  4. Как составить режим моего дня пример
  5. Как найти раздатчика листовок

    6. 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии