Как найти произведение диагоналей параллелограмма

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Свойства диагоналей параллелограмма

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам:
Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:
$[A{{C}^{2}}+B{{D}^{2}}=2(A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}})]$
Площадь параллелограмма равна произведению длин диагоналей на синус угла между ними:
$[S={{d}_{1}}{{d}_{2}}sin alpha ]$

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Источник

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны равны и параллельны

2. Противоположные углы равны

3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам

1. Длина диагонали параллелограмма через стороны, известную диагональ и угол.

a, b — стороны параллелограмма

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α, β — углы параллелограмма

Формулы диагонали через стороны и углы параллелограмма (по теореме косинусов), (D, d):

Формулы диагонали через стороны и известную диагональ (по формуле- сумма квадратов диагоналей), (D, d):

2. Длина диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол.

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α, β — углы между диагоналями

S — площадь параллелограмма

Формулы диагонали через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями, (D, d):

Формулы площади параллелограмма

Формула периметра параллелограмма

Все формулы по геометрии

Подробности

Опубликовано: 03 ноября 2011

Обновлено: 13 августа 2021

Источник

From Wikipedia, the free encyclopedia

This article is about the quadrilateral shape. For the album by Linda Perhacs, see Parallelograms (album).

Parallelogram
This parallelogram is a rhomboid as it has no right angles and unequal sides.
Type	quadrilateral, trapezium
Edges and vertices	4
Symmetry group	C₂, [2]⁺,
Area	b × h (base × height); ab sin θ (product of adjacent sides and sine of the vertex angle determined by them)
Properties	convex

In Euclidean geometry, a parallelogram is a simple (non-self-intersecting) quadrilateral with two pairs of parallel sides. The opposite or facing sides of a parallelogram are of equal length and the opposite angles of a parallelogram are of equal measure. The congruence of opposite sides and opposite angles is a direct consequence of the Euclidean parallel postulate and neither condition can be proven without appealing to the Euclidean parallel postulate or one of its equivalent formulations.

By comparison, a quadrilateral with just one pair of parallel sides is a trapezoid in American English or a trapezium in British English.

The three-dimensional counterpart of a parallelogram is a parallelepiped.

The etymology (in Greek παραλληλ-όγραμμον, parallēl-ógrammon, a shape «of parallel lines») reflects the definition.

Special cases[edit]

Rectangle – A parallelogram with four angles of equal size (right angles).
Rhombus – A parallelogram with four sides of equal length. Any parallelogram that is neither a rectangle nor a rhombus was traditionally called a rhomboid but this term is not used in modern mathematics.^[1]
Square – A parallelogram with four sides of equal length and angles of equal size (right angles).

Characterizations[edit]

A simple (non-self-intersecting) quadrilateral is a parallelogram if and only if any one of the following statements is true:^[2]^[3]

Two pairs of opposite sides are parallel (by definition).
Two pairs of opposite sides are equal in length.
Two pairs of opposite angles are equal in measure.
The diagonals bisect each other.
One pair of opposite sides is parallel and equal in length.
Adjacent angles are supplementary.
Each diagonal divides the quadrilateral into two congruent triangles.
The sum of the squares of the sides equals the sum of the squares of the diagonals. (This is the parallelogram law.)
It has rotational symmetry of order 2.
The sum of the distances from any interior point to the sides is independent of the location of the point.^[4] (This is an extension of Viviani’s theorem.)
There is a point X in the plane of the quadrilateral with the property that every straight line through X divides the quadrilateral into two regions of equal area.^[5]

Thus all parallelograms have all the properties listed above, and conversely, if just one of these statements is true in a simple quadrilateral, then it is a parallelogram.

Other properties[edit]

Opposite sides of a parallelogram are parallel (by definition) and so will never intersect.
The area of a parallelogram is twice the area of a triangle created by one of its diagonals.
The area of a parallelogram is also equal to the magnitude of the vector cross product of two adjacent sides.
Any line through the midpoint of a parallelogram bisects the area.^[6]
Any non-degenerate affine transformation takes a parallelogram to another parallelogram.
A parallelogram has rotational symmetry of order 2 (through 180°) (or order 4 if a square). If it also has exactly two lines of reflectional symmetry then it must be a rhombus or an oblong (a non-square rectangle). If it has four lines of reflectional symmetry, it is a square.
The perimeter of a parallelogram is 2(a + b) where a and b are the lengths of adjacent sides.
Unlike any other convex polygon, a parallelogram cannot be inscribed in any triangle with less than twice its area.^[7]
The centers of four squares all constructed either internally or externally on the sides of a parallelogram are the vertices of a square.^[8]
If two lines parallel to sides of a parallelogram are constructed concurrent to a diagonal, then the parallelograms formed on opposite sides of that diagonal are equal in area.^[8]
The diagonals of a parallelogram divide it into four triangles of equal area.

Area formula[edit]

A parallelogram can be rearranged into a rectangle with the same area.

Animation for the area formula .

All of the area formulas for general convex quadrilaterals apply to parallelograms. Further formulas are specific to parallelograms:

A parallelogram with base b and height h can be divided into a trapezoid and a right triangle, and rearranged into a rectangle, as shown in the figure to the left. This means that the area of a parallelogram is the same as that of a rectangle with the same base and height:

The area of the parallelogram is the area of the blue region, which is the interior of the parallelogram

The base × height area formula can also be derived using the figure to the right. The area K of the parallelogram to the right (the blue area) is the total area of the rectangle less the area of the two orange triangles. The area of the rectangle is

$K_{{text{rect}}}=(B+A)times H,$

and the area of a single triangle is

${displaystyle K_{text{tri}}={frac {A}{2}}times H.,}$

Therefore, the area of the parallelogram is

$K=K_{{text{rect}}}-2times K_{{text{tri}}}=((B+A)times H)-(Atimes H)=Btimes H.$

Another area formula, for two sides B and C and angle θ, is

The area of a parallelogram with sides B and C (B ≠ C) and angle gamma at the intersection of the diagonals is given by^[9]

$K = frac{|tan gamma|}{2} cdot left| B^2 - C^2 right|.$

When the parallelogram is specified from the lengths B and C of two adjacent sides together with the length D₁ of either diagonal, then the area can be found from Heron’s formula. Specifically it is

$K=2sqrt{S(S-B)(S-C)(S-D_1)}$

where and the leading factor 2 comes from the fact that the chosen diagonal divides the parallelogram into two congruent triangles.

Area in terms of Cartesian coordinates of vertices[edit]

Let vectors $mathbf{a},mathbf{b}inR^2$ and let $V = begin{bmatrix} a_1 & a_2 \ b_1 & b_2 end{bmatrix} inR^{2 times 2}$ denote the matrix with elements of a and b. Then the area of the parallelogram generated by a and b is equal to .

Let vectors $mathbf{a},mathbf{b}inR^n$ and let $V = begin{bmatrix} a_1 & a_2 & dots & a_n \ b_1 & b_2 & dots & b_n end{bmatrix} inR^{2 times n}$ . Then the area of the parallelogram generated by a and b is equal to $sqrt{det(V V^mathrm{T})}$ .

Let points . Then the area of the parallelogram with vertices at a, b and c is equivalent to the absolute value of the determinant of a matrix built using a, b and c as rows with the last column padded using ones as follows:

${displaystyle K=left|,det {begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&1\b_{1}&b_{2}&1\c_{1}&c_{2}&1end{bmatrix}}right|.}$

Proof that diagonals bisect each other[edit]

To prove that the diagonals of a parallelogram bisect each other, we will use congruent triangles:

(alternate interior angles are equal in measure)

(alternate interior angles are equal in measure).

(since these are angles that a transversal makes with parallel lines AB and DC).

Also, side AB is equal in length to side DC, since opposite sides of a parallelogram are equal in length.

Therefore, triangles ABE and CDE are congruent (ASA postulate, two corresponding angles and the included side).

Therefore,

Since the diagonals AC and BD divide each other into segments of equal length, the diagonals bisect each other.

Separately, since the diagonals AC and BD bisect each other at point E, point E is the midpoint of each diagonal.

Lattice of parallelograms[edit]

Parallelograms can tile the plane by translation. If edges are equal, or angles are right, the symmetry of the lattice is higher. These represent the four Bravais lattices in 2 dimensions.

Lattices

Form	Square	Rectangle	Rhombus	Parallelogram
System	Square (tetragonal)	Rectangular (orthorhombic)	Centered rectangular (orthorhombic)	Oblique (monoclinic)
Constraints	α=90°, a=b	α=90°	a=b	None
Symmetry	p4m, [4,4], order 8n	pmm, [∞,2,∞], order 4n	p1, [∞⁺,2,∞⁺], order 2n
Form

Parallelograms arising from other figures[edit]

Proof without words of Varignon’s theorem:

An arbitrary quadrilateral and its diagonals.
Bases of similar triangles are parallel to the blue diagonal.
Ditto for the red diagonal.
The base pairs form a parallelogram with half the area of the quadrilateral, A_q, as the sum of the areas of the four large triangles, A_l is 2 A_q (each of the two pairs reconstructs the quadrilateral) while that of the small triangles, A_s is a quarter of A_l (half linear dimensions yields quarter area), and the area of the parallelogram is A_q minus A_s.

Automedian triangle[edit]

An automedian triangle is one whose medians are in the same proportions as its sides (though in a different order). If ABC is an automedian triangle in which vertex A stands opposite the side a, G is the centroid (where the three medians of ABC intersect), and AL is one of the extended medians of ABC with L lying on the circumcircle of ABC, then BGCL is a parallelogram.

Varignon parallelogram[edit]

The midpoints of the sides of an arbitrary quadrilateral are the vertices of a parallelogram, called its Varignon parallelogram. If the quadrilateral is convex or concave (that is, not self-intersecting), then the area of the Varignon parallelogram is half the area of the quadrilateral.

Tangent parallelogram of an ellipse[edit]

For an ellipse, two diameters are said to be conjugate if and only if the tangent line to the ellipse at an endpoint of one diameter is parallel to the other diameter. Each pair of conjugate diameters of an ellipse has a corresponding tangent parallelogram, sometimes called a bounding parallelogram, formed by the tangent lines to the ellipse at the four endpoints of the conjugate diameters. All tangent parallelograms for a given ellipse have the same area.

It is possible to reconstruct an ellipse from any pair of conjugate diameters, or from any tangent parallelogram.

Faces of a parallelepiped[edit]

A parallelepiped is a three-dimensional figure whose six faces are parallelograms.

References[edit]

^ «CIMT — Page no longer available at Plymouth University servers» (PDF). www.cimt.plymouth.ac.uk. Archived from the original (PDF) on 2014-05-14.
^ Owen Byer, Felix Lazebnik and Deirdre Smeltzer, Methods for Euclidean Geometry, Mathematical Association of America, 2010, pp. 51-52.
^ Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, «The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition», Information Age Publishing, 2008, p. 22.
^ Chen, Zhibo, and Liang, Tian. «The converse of Viviani’s theorem», The College Mathematics Journal 37(5), 2006, pp. 390–391.
^ Problem 5, 2006 British Mathematical Olympiad, [1].
^ Dunn, J.A., and J.E. Pretty, «Halving a triangle», Mathematical Gazette 56, May 1972, p. 105.
^ Weisstein, Eric W. «Triangle Circumscribing». Wolfram Math World.
^ ^a ^b Weisstein, Eric W. «Parallelogram.» From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Parallelogram.html
^ Mitchell, Douglas W., «The area of a quadrilateral», Mathematical Gazette, July 2009.

External links[edit]

Parallelogram and Rhombus — Animated course (Construction, Circumference, Area)
Weisstein, Eric W. «Parallelogram». MathWorld.
Interactive Parallelogram —sides, angles and slope
Area of Parallelogram at cut-the-knot
Equilateral Triangles On Sides of a Parallelogram at cut-the-knot
Definition and properties of a parallelogram with animated applet
Interactive applet showing parallelogram area calculation interactive applet

Источник

Учебный курс

Решаем задачи по геометрии

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых.

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Как выглядит параллелограмм

На приведенном рисунке параллелограмм обозначен синими линиями.

Элементы параллелограмма, указанные на рисунке:
ABCD — параллелограмм, у которого противолежащие стороны попарно параллельны ( AB параллельна CD, а BC параллельна AD)
BH — высота параллелограмма, опущенная из точки B на основание AD (на рисунке обозначена красным цветом)
AC и BD — диагонали параллелограмма.

Свойства параллелограмма

Противоположные стороны параллелограмма равны
Противоположные углы параллелограмма равны
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии параллелограмма
Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. (см. формулу ниже)
Сумма всех углов равна 360°
Средние линии параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей и делятся этой точкой пополам
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон (см. формулу ниже)

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий:

Противоположные стороны попарно равны
Противоположные стороны попарно параллельны и равны
Противоположные углы попарно равны
Диагонали делятся в точке их пересечения пополам
Сумма соседних углов равна 180 градусов
Две стороны равны и параллельны

Как найти площадь параллелограмма

Формулы нахождения площади параллелограмма приведены ниже:

То есть:

Площадь параллелограмма равна произведению длины одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону
Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними. Как видно из чертежа, произведение b sin α равно высоте, опущенной на другую сторону, что в итоге дает нам предыдущую формулу
Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними
Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними
Площадь параллелограмма также можно найти через формулу Герона, рассмотрев одну из диагоналей как треугольник и вычислив удвоенную площадь этого треугольника
Для нахождения полупериметра треугольника из предыдущей формулы мы используем две стороны параллелограмма и его диагональ. Поскольку каждая диагональ разбивает его на два равных треугольника, то не имеет значения, какую из диагоналей мы выберем

Как найти стороны параллелограмма

Стороны параллелограмма можно найти через:

Размеры диагоналей и угол между ними (формулы 1 и 2)
Через длины диагоналей и одну из сторон можно найти вторую (формулы 3 и 4)
Через высоту, опущенную на сторону и угол между сторонами (формулы 5 и 6)
Через площадь и высоту, опущенную на заданную сторону, можно найти величину этой стороны (Формулы 7 и

Как найти диагонали параллелограмма

Диагональ параллелограмма можно найти через длины его сторон и косинус угла между ними (Формулы 1-4)
Также диагональ может быть найдена через длины сторон и размер второй диагонали (Формулы 5-6)
Диагональ может быть найдена из площади, длины второй диагоналями и угла между ними (Формулы 7-8)

Как найти периметр параллелограмма

Периметр параллелограмма может быть найден:

через его стороны (Формула 1)
через одну из сторон и длину двух диагоналей (Формулы 2 и 3)
через сторону, высоту и угол между сторонами (Формулы 4-6)

Задачи с решениями про параллелограмм смотрите в уроках ниже:

Трапеция, описанная вокруг окружности |

Описание курса

| Параллелограмм. Задачи про площадь и стороны

Обсудить на форуме
Записаться на курсы
Обратиться к консультанту
Пройти тест
Полный список курсов обучения
Бесплатные видеоуроки
Нужна информация!

Источник

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Параллелограмм и его свойства

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна (360^circ).

Свойства параллелограмма:

(blacktriangleright) Противоположные стороны попарно равны;

(blacktriangleright) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;

(blacktriangleright) Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна (180^circ).

Признаки параллелограмма.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – параллелограмм:

(blacktriangleright) если противоположные стороны попарно равны;

(blacktriangleright) если две стороны равны и параллельны;

(blacktriangleright) если диагонали точкой пересечения делятся пополам;

(blacktriangleright) если противоположные углы попарно равны.

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание, к которому проведена эта высота.

Задание
1

#1783

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Периметр параллелограмма равен (100), его большая сторона равна (32). Найдите меньшую сторону параллелограмма.

Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, то его периметр равен удвоенной сумме его непараллельных сторон, тогда сумма большей и меньшей сторон равна (100 : 2 = 50), значит, меньшая сторона параллелограмма равна (50 — 32 = 18).

Ответ: 18

Задание
2

#1784

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Периметр параллелограмма равен (15). При этом одна сторона этого параллелограмма на (5) больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

У параллелограмма противоположные стороны равны. Пусть (BC = AB +
5), тогда периметр параллелограмма (ABCD) равен (AB + BC + CD + AD =
AB + AB + 5 + AB + AB + 5 = 4cdot AB + 10 = 15), откуда находим (AB
= 1,25). Тогда меньшая сторона параллелограмма равна (1,25).

Ответ: 1,25

Задание
3

#273

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В параллелограмме (ABCD): (BE) – высота, (BE = ED = 5). Площадь параллелограмма (ABCD) равна 35. Найдите длину (AE).

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда (35 = BE cdot AD = 5cdot(5 + AE)), откуда находим (AE = 2).

Ответ: 2

Задание
4

#1785

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Из точки (C) параллелограмма (ABCD) опустили перпендикуляр на продолжение стороны (AD) за точку (D). Этот перпендикуляр пересёк прямую (AD) в точке (E), причём (CE = DE). Найдите (angle B) параллелограмма (ABCD). Ответ дайте в градусах.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда (angle EDC = angle DCE). Так как (angle DEC = 90^{circ}), а сумма углов треугольника равна (180^{circ}), то (angle EDC =
45^{circ}), тогда (angle ADC = 180^{circ} — 45^{circ} =
135^{circ}). Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то (angle B = angle ADC = 135^{circ}).

Ответ: 135

Задание
5

#1686

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Диагональ (BD) параллелограмма (ABCD) перпендикулярна стороне (DC) и равна (4). Найдите площадь параллелограмма (ABCD), если (AD=5).

По теореме Пифагора находим: (AB^2=AD^2 — BD^2 = 25 — 16 = 9) (Rightarrow) (AB = 3). (S_{ABCD} = 4cdot3 = 12).

Ответ: 12

Задание
6

#1685

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В параллелограмме (ABCD): (P_{triangle AOB} = , (P_{triangle AOD} = 9), а сумма смежных сторон равна (7). Найдите произведение этих сторон параллелограмма (ABCD).

(P_{triangle AOB} = AO + OB + AB), (P_{triangle AOD} = AO + OD + AD), (BO = OD) (Rightarrow) (P_{triangle AOD} — P_{triangle AOB} = AD — AB = 1), но (AD + AB = 7) (Rightarrow) (AD = 4), (AB = 3) (Rightarrow) (ADcdot AB = 12).

Ответ: 12

Задание
7

#3617

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Стороны параллелограмма равны (9) и (15). Высота, опущенная на первую сторону, равна (10). Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой высота проведена. Следовательно, с одной стороны, площадь (S=9cdot 10), с другой стороны, (S=15cdot h), где (h) – высота, которую нужно найти.
Следовательно, [9cdot 10=15cdot hquadLeftrightarrowquad h=6]

Ответ: 6

Задачи из раздела «Геометрия на плоскости» являются обязательной частью аттестационного экзамена у выпускников средней школы. Теме «Параллелограмм и его свойства» в ЕГЭ традиционно отводится сразу несколько заданий. Они могут требовать от школьника как краткого, так и развернутого ответа с построением чертежа. Поэтому если одним из ваших слабых мест являются именно задачи на вычисление площадей параллелограмма или его сторон и углов, то вам непременно стоит повторить или вновь разобраться в материале.

Сделать это легко и эффективно вам поможет образовательный портал «Школково». Наши опытные специалисты подготовили необходимый теоретический материал, изложив его таким образом, чтобы школьники с любым уровнем подготовки смогли восполнить пробелы в знаниях и легко решить задачи ЕГЭ на вычисление площадей, сторон, углов или свойства биссектрисы параллелограмма. Найти базовую информацию вы можете в разделе «Теоретическая справка».

Чтобы успешно решить задачи ЕГЭ по теме «Параллелограмм и его свойства», предлагаем попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка заданий представлена в блоке «Каталог». Специалисты портала «Школково» регулярно дополняют и обновляют данный раздел.

Последовательно выполнять упражнения учащиеся из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. При необходимости любое задание можно сохранить в разделе «Избранное» и в дальнейшем вернуться к нему, чтобы обсудить с преподавателем.

УСТАЛ? Просто отдохни

Источник

Свойства диагоналей параллелограмма

Свойства диагоналей параллелограмма

Примеры решения задач

Special cases[edit]

Characterizations[edit]

Other properties[edit]

Area formula[edit]

Area in terms of Cartesian coordinates of vertices[edit]

Proof that diagonals bisect each other[edit]

Lattice of parallelograms[edit]

Parallelograms arising from other figures[edit]

Automedian triangle[edit]

Varignon parallelogram[edit]

Tangent parallelogram of an ellipse[edit]

Faces of a parallelepiped[edit]

See also[edit]

References[edit]

External links[edit]

Как выглядит параллелограмм

Свойства параллелограмма

Признаки параллелограмма

Как найти площадь параллелограмма

Как найти стороны параллелограмма

Как найти диагонали параллелограмма

Как найти периметр параллелограмма

Параллелограмм и его свойства

Не пропустите также: