Как найти профильный след прямой

Следы прямой

Следами прямой называют точки её пересечения с плоскостями проекций. В зависимости от того, какую плоскость проекций пересекает прямая в данной точке, различают горизонтальный, фронтальный и профильный след.

Прямые, занимающие общее положение, пересекают три плоскости проекций, линии уровня – две, а проецирующие прямые – одну.

Алгоритм построения следов на эпюре

Найдем следы прямой a, заданной отрезком AB. Как видно на рисунке ниже, AB занимает общее положение, поэтому для решения задачи необходимо построить проекции трех точек.

1. Горизонтальный след H_a. Продлим фронтальную проекцию прямой a до пересечения с осью X в точке H_a». Полученная точка – фронтальная проекция горизонтального следа. По линии связи на a’ найдем точку H_a‘. Она является горизонтальной проекцией горизонтального следа и совпадает с т. H_a.
2. Фронтальный след F_a. Продлим горизонтальную проекцию a’ до пересечения с осью X в точке F_a‘. Полученная точка – горизонтальная проекция фронтального следа*. По линии связи на прямой a» найдем точку F_a«. Она является фронтальной проекцией фронтального следа и совпадает с т. F_a.
3. Профильный след W_a строится аналогично. Для нахождения двух его проекций, W_a» и W_a‘, необходимо продлить a» и a’ до пересечения с осью Z.

На следующем рисунке показано построение следов горизонтали b​, заданной отрезком CD. Как и другие линии уровня, горизонталь пересекает только две плоскости проекций.

Несмотря на то, что рассмотренный нами алгоритм универсален, лучше понять смысл геометрических построений позволяет наглядное изображение прямой в пространстве.

Примечание

* Фронтальный след прямой по определению является точкой, которая лежит во фронтальной плоскости. Её координата Y равна нулю. Из этого следует, что горизонтальная проекция F’ фронтального следа находится на оси X.

Примечание:
Следы прямых необходимы для построения
следов плоскостей.

Точки
в которых заданная прямая пересекает
плоскости проекций называют следами
прямой.

При
наличии на чертеже трех плоскостей
проекций (π₁
, π₂
и

π₃)
мы можем иметь три следа заданной прямой:

Точку
пересечения заданной прямой с
горизонтальной плоскостью проекций
называют горизонтальным
следом прямой.

Точку
пересечения заданной прямой с фронтальной
плоскостью проекций называют фронтальным
следом прямой.

Точку
пересечения заданной прямой с профильной
плоскостью проекций называют профильным
следом прямой.

2.5.5.1 Обозначение следов прямых на чертежах

Горизонтальные
следы: M
(M’
M’’
M’’’),
M₁
(M₁’
M₁’’
M₁’’’)……

Фронтальные
следы: N
(N’
N’’
N’’’),
N₁
(N₁’
N₁’’
N₁’’’)……

Профильные
следы: P
(P’
P’’
P’’’),
P₁
(P₁’
P₁’’
P₁’’’)……

2.5.5.2 Построение следов прямых на чертежах

2.5.5.2.1 Модель построения следов прямой общего положения (рис.29)

Рис.
29

Модель
построения следов прямой общего положения

Если
фронтальная
проекция прямой пересекает ось OX
и профильная
проекция прямой пересекает ось OY,
то
мы построим горизонтальный след (M).

Если
фронтальная
проекция прямой пересекает ось OX
и профильная
проекция прямой пересекает ось OY,
то
мы построим горизонтальный след (M).

Если
горизонтальная
проекция прямой пересекает ось OX
и
профильная
проекция прямой пересекает ось OZ,
то
мы построим фронтальный след (N).

Если
фронтальная
проекция прямой пересекает ось OZ
и
горизонтальная
проекция
пересекает ось OY,
то
мы построим профильный след (P).

Очевидно,
что одна из координат
«следа»
равна нулю.

Для
горизонтального следа прямой –
(M)

координата
(Z
=0).

Для
фронтального следа прямой –

(N)

координата
(Y=0).

Для
профильного следа прямой –
(P)

координата
(X=0).

2.5.5.2.2 Построения следов прямой общего на чертеже в трех проекциях (рис.30)

Рис.
30

Чертеж
построения следов прямой общего положения
(AB)

Для
нахождения следа прямой ее нужно
продолжить
до момента, когда хотя бы одна из проекций
прямой пересечет
ось проекций (рис.30).

Задан
чертеж отрезка прямой общего положения
│AB
│.

Алгоритм
решения задачи:

Продолжим
прямую до момента, когда ее фронтальная
проекция пересекает ось OX,
а её
профильная
проекция пересекает ось OY,
тогда
мы построим горизонтальный след (M)
(Z_M
=0) (обратите
внимание, координата {-Y_M}
горизонтального следа (M)
имеет отрицательный
знак
).

Продолжим
прямую до момента, когда ее горизонтальная

проекция
пересекает ось OX
и
профильная
проекция прямой пересекает ось OZ,
тогда
мы построим фронтальный след (N)
(Y_N
=0).

Продолжим
прямую до момента, когда ее фронтальная
проекция прямой пересекает ось OZ
и
горизонтальная
проекция
пересекает ось OY,
то
мы построим профильный след (P)
(X_P
=0).

2.5.5.2.3 Построение следов линий уровня

Линии
уровня не имеют одноименных следов.

Горизонтальная

прямая (AB)
имеет два следа –
фронтальный
след
(N)
(Y_N
=0)
и профильный
след
(P)
–
не
показан).

Фронтальная
прямая
(CD)

имеет два следа –
горизонтальный

след (M)
(Z_M
=0) и
профильный
след
(P)
–
не
показан.

Рис.
31

Построение следов линий уровня

Профильная
прямая (EF)
имеет два следа –
горизонтальный
след (M)
(Z_M
=0)
и фронтальный
след
(N)
(Y_N
=0).

Примечание:
Горизонтальная прямая (AB)
и фронтальная прямая (CD)
построены в системе двух плоскостей
проекций (π₁
, π₂),
поэтому их профильные следы (P_AB
и
P_CD)
не показаны.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

2.4. Следы прямой линии

Следом прямой линии называется точка её пересечения с плоскостью проекций. На комплексном чертеже существуют три следа прямой линии. Горизонтальный (Н), фронтальный (F) и профильный (P).Следы прямой являются точками частного положения и H ⊂ π1, F ⊂ π2, P ⊂ π3.

В системе двух плоскостей проекций π1 и π2 прямая линия в общем случае имеет два следа (рис. 2.11 а):

1. Горизонтальный след прямой линии Н (Н1, Н2) – точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций АВ ∩ π1; Фронтальный след прямой линии F (F1, F2) – точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций АВ ∩ π2.

2. В системе трёх плоскостей проекций π1,π2 и π3 у прямой линии общего положения появляется третий след – профильный (рис. 2.11. в).

Профильный след прямой линии Р (Р2, Р3) – точка пересечения прямой b с фронтальной плоскостью проекций π3.

Рассмотрим правила нахождения горизонтального и фронтального следов прямой линии в двухкартинной системе плоскостей проекций (рис. 2.11, a).

Для нахождения горизонтального следа прямой линии а необходимо:

1) продолжить фронтальную проекцию прямой а2 , ограниченной отрезком АВ, до пересечения с осью Х (получим точку НХ ≡ Н2);

2) восстановить перпендикуляр в точке НХ к оси Х (провести линию проекционной связи перпендикулярную к оси Х);

3) продолжить горизонтальную проекцию прямой а1 до пересечения с перпендикуляром;

4) полученная точка пересечения и будет являться горизонтальным следом Н ≡ Н1 прямой а.

Для нахождения фронтального следа прямой а необходимо:

1) продолжить горизонтальную проекцию прямой а1 до пересечения с осью Х (точка FX ≡ F1);

2) восстановить перпендикуляр в точке FX к оси Х;

3) продолжить фронтальную проекцию прямой а2 до пересечения с перпендикуляром;

4) полученная точка пересечения является фронтальным следом F ≡ F2 прямой а.

a

б в

Рис. 2.11. Изображение следов прямой линии: а – в пространстве; б, в – на комплексном чертеже

Для нахождения профильного следа прямой b необходимо использовать ось Z (на рис. 2.11. в):

1) продолжить фронтальную проекцию прямой b2 до пересечения с осью Z (точка РZ ≡ Р2);

2) восстановить перпендикуляр в точке РZ к оси Z;

3) продолжить профильную проекцию прямой b3 до пересечения с перпендикуляром;

4) полученная точка пересечения является профильным следом Р ≡ Р3 прямой b.

В начертательной геометрии считается, что наблюдатель расположен в первом пространственном углу на бесконечном расстоянии от плоскостей проекций, поэтому видимыми геометрическими фигурами будут только те, которые расположены в первом октанте.

Проекции этих фигур в ортогональных и аксонометрических проекциях показываются сплошными линиями. Фигуры, расположенные в других пространственных углах, не видны наблюдателю, и их проекции показываются штриховыми линиями.

2.1. Задание прямой на эпюре

Прямая на чертеже может быть задана изображением прямой, точкой и направлением, отрезком прямой и двумя пересекающимися плоскостями.

а                                                                  б
Рисунок 2.1 – Проекции прямой

Прямоугольной проекцией отрезка в общем случае является отрезок (второе свойство центрального и параллельного проецирования). На чертеже прямая m (Рисунок 2.1, а) и отрезок АВ (Рисунок 2.1, б) произвольно наклонены к плоскостям проекций. Такие прямые называются прямыми общего положения.

Прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения.

Длина прямоугольной параллельной проекции отрезка общего положения всегда меньше длины самого отрезка.

2.2. Прямые частного положения

Прямая, параллельная или перпендикулярная какой-либо плоскости проекций, называется прямой частного положения.

Прямые, параллельные плоскостям проекций, называются прямыми уровня.

Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной прямой или горизонталью (Рисунок 2.2).

Рисунок 2.2 – Эпюр горизонтали

Если отрезок параллелен плоскости проекций π₁, то его фронтальная проекция А₂В₂ параллельна оси проекций π₁/π₂, а горизонтальная проекция отрезка А₁В₁ определяет истинную величину АВ:

А₂А₀=В₂В₀
А₂В₂ || π₂/π₁

Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной прямой или фронталью (Рисунок 2.3).

Рисунок 2.3 – Эпюр фронтали

Если отрезок параллелен плоскости проекций π₂, то его горизонтальная проекция параллельна оси проекций π₂/π₁, а фронтальная проекция отрезка C₂D₂ определяет истинную величину CD.

С₁А₀=D₁D₀

C₁D₁ || π₂/π₁

Прямая GH, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной прямой (Рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 – Эпюр профильной прямой

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими.

Прямая EF, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально-проецирующей (Рисунок 2.4).

Прямая KL, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций, называется фронтально-проецирующей (Рисунок 2.4).

Прямая MN, перпендикулярная профильной плоскости проекций, называется профильно-проецирующей (Рисунок 2.4).

Рисунок 2.4 – Эпюры проецирующих прямых (EF, KL, MN) и профильной прямой GH

2.3. Метод прямоугольного треугольника

Метод прямоугольного треугольника позволяет по эпюру отрезка прямой общего положения определить его истинную величину.

Рассмотрим положение отрезка  АВ относительно горизонтальной плоскости проекций π₁ (Рисунок 2.5).

Рисунок 2.5 – Определение истинной величины отрезка общего положения

На рисунке 2.5, а:

АА₁ – расстояние от точки А до плоскости проекций π₁;

ВВ₁ – расстояние от точки В до плоскости проекций π₁;

А₁В₁ – проекция отрезка АВ на π₁;

∠(AB; AK)=∠(AB; A₁B₁)=α – угол наклона прямой АВ к плоскости проекций π₁.

ΔАКВ – прямоугольный треугольник, в котором:

АК=А₁В₁ – катет, равный горизонтальной проекции отрезка АВ;

ВК=ВВ₁–АА₁=Δ₁ – второй катет, равный разности расстояний от концов отрезка АВ до плоскости π₁ (то есть, разности координат Z точек А и В);

АВ – гипотенуза ΔАКВ – истинная величина.

При известных координатах концов отрезка общего положения можно на эпюре определить его истинную величину (Рисунок 2.5, б) на любой из плоскостей проекций.

Рисунок 2.6 – Определение истинной длины и угла наклона отрезка AB к плоскости проекций π₂

2.4. Точка и прямая

Если точка принадлежит прямой, то её проекции:

1. Принадлежат одноимённым проекциям данной прямой;
2. Лежат на одной линии связи.

Рисунок 2.7 – Принадлежность точки прямой
Точка С принадлежит отрезку АВ (Рисунок 2.7), так как:

• С₁∈А₁В₁;
• С₂∈А₂В₂;
• С₁С₂⊥π₂/π₁;

Если точка делит отрезок в каком-либо отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции данного отрезка в том же отношении:

{frac{A_2C_2}{C_2B_2}=frac{A_1C_1}{C_1B_1}=frac{AC}{CB}}
Справедливо и обратное утверждение.

Упражнение

Разделить точкой К отрезок EF в соотношении EK:KF=1:3 (Рисунок 2.8)

Рисунок 2.8 – Деление отрезка в заданном отношении
Решение:

• 1. Проведём произвольную прямую из любого конца любой проекции отрезка, например, Е₂.
  2. Отложим  на этой прямой от точки Е₂ равные отрезки, количество которых равно сумме чисел, составляющих дробь (в нашем примере 1+3=4).
  3. Соединим последнюю точку 4 с другим концом фронтальной проекции отрезка – точкой F₂.
  4. Из точки 1 проведём прямую, параллельную прямой (4—F₂) до пересечения с проекцией E₂F₂, таким образом будет найдена фронтальная проекция искомой точки К₂.
  5. Горизонтальную проекцию точки К₁ получим путём построения линии проекционной связи до пересечения её с горизонтальной проекцией отрезка.

  Упражнение

  Определить принадлежность  точки С отрезку прямой АВ (Рисунок 2.9).
  
  Рисунок 2.9а – Решение упражнения 2. Способ 1.

  
  Рисунок 2.9б – Решение упражнения 2. Способ 2.

  Ответ: точка С не принадлежит отрезку АВ, так как не выполняется условие принадлежности точки прямой.

  2.5. Следы прямой

  След прямой – точка пересечения прямой с плоскостью проекций.

  Прямая общего положения в общем случае может быть три следа:

  • горизонтальный след M₁– точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций π₁;
  • фронтальный след N₂– точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций π₂;
  • профильный  след L₃ – точка пересечения прямой с профильной плоскостью проекций π₃.

  След прямой является точкой частного положения, поскольку он принадлежит плоскости проекций, следовательно, след прямой всегда совпадает с одной из своих проекций:

  • горизонтальный след совпадает со своей горизонтальной проекцией M≡M₁,
  • фронтальный – с фронтальной проекцией N≡N₂,
  • профильный – с профильной проекцией L≡L₃ (Рисунок 2.10).

  

  Рисунок 2.10 – Построение следов отрезка прямой АВ

  Построим следы отрезка АВ с плоскостями проекций (Рисунки 2.10, 2.11).

  Для построения горизонтального следа прямой АB необходимо:

  1. Продолжить фронтальную проекцию прямой АB до пересечения с осью X, точка пересечения М₂ является фронтальной проекцией горизонтального следа;
  2. Из точки М₂ провести линию проекционной связи до его пересечения с горизонтальной проекцией прямой АB или её продолжением. Точка пересечения М₁ и будет являться горизонтальной проекцией горизонтального следа, которая совпадает с самим следом М.

  Чтобы построить фронтальный след отрезка АB прямой, необходимо:

  1. Продолжить горизонтальную проекцию прямой АB до пересечения с осью X, точка пересечения N₁ является горизонтальной проекцией фронтального следа;
  2. Из точки N₁ провести линию проекционной связи до его пересечения с фронтальной проекцией прямой АB  или ее продолжением. Точка пересечения N₂ и будет являться фронтальной проекцией фронтального следа, которая совпадает с самим следом N.

  Ниже приводим алгоритм построения следов отрезка прямой АВ:

  A₁B₁ ∩ xO =N₁;       Y_N=0;                   N ∈ xOz (π₂)      ⇒      AB ∩ xOz=N

  A₂B₂ ∩ xO =M₂;       Z_M=0;                  M ∈ xOy (π₁)     ⇒      AB ∩ xOy=M

  A₁B₁ ∩ yO =L₁;        X_L=0;                   L ∈ yOz (π₃)     ⇒      AB ∩ yOz=L

  A₂B₂ ∩ zO =L₂;

  
  Рисунок 2.11 – Эпюр построения следов отрезка прямой АВ

  Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, не имеет следа на плоскости, которой она параллельна, и пересекает только две плоскости. Прямая, параллельная двум плоскостям проекций (проецирующая прямая), имеет только один след, совпадающий с проекцией прямой на плоскость, к которой она перпендикулярна.

  2.6. Взаимное расположение прямых

  Две прямые в пространстве могут быть:

  • параллельными;
  • пересекающимися;
  • скрещивающимися.

  Параллельные прямые – прямые, пересекающиеся в несобственной точке.

  Если прямые в пространстве параллельны, то их ортогональные проекции взаимно параллельны, или сливаются, или представляют собой точки, на одной из плоскостей проекций (Рисунок 2.12).

  
  Рисунок 2.12 – Параллельные прямые
  Пересекающиеся прямые – прямые, имеющие одну общую точку.

  Если прямые в пространстве пересекаются, то на чертеже одноименные проекции прямых пересекаются, при этом проекции точки пересечения прямых лежат на одной линии проекционной связи и делят соответствующие проекции отрезков прямых в равных отношениях (Рисунок 2.13).

  {{A_2B_2}cap{C_2D_2}=K_2}

   {{A_1B_1}cap{C_1D_1}=K_1}

   {frac{A_2K_2}{K_2B_2}=frac{A_1K_1}{K_1B_1}}

   {frac{C_2K_2}{K_2D_2}=frac{C_1K_1}{K_1D_1}}

   
  Рисунок 2.13 – Пересекающиеся прямые

  Скрещивающиеся прямые – прямые, не имеющие общих точек и не удовлетворяющие признакам параллельных и пересекающихся прямых (Рисунок  2.14).

  
  Рисунок 2.14 — Скрещивающиеся прямые

  2.7. Проекции плоских углов

  Угол между двумя пересекающимися прямыми проецируется в истинную величину, если плоскость этого угла параллельна плоскости проекций.

  
  Рисунок 2.15

  По проекциям (Рисунок 2.15) нельзя судить о величине угла между двумя прямыми. На чертежах видно, что острый угол может проецироваться в виде тупого, а тупой – в виде острого.

  Теорема о проецировании прямого угла в частном случае

  Теорема. Если одна из сторон прямого угла параллельна какой-либо плоскости, а другая – этой плоскости не перпендикулярна, то на эту плоскость прямой угол проецируется в виде прямого угла (Рисунок 2.16, а и б).

  Обратная теорема. Если одна из двух пересекающихся прямых параллельна некоторой плоскости проекций и проекции этих прямых на эту же плоскость пересекаются под прямым углом, то в пространстве эти прямые взаимно перпендикулярны.

  

  Рисунок 2.16 – Проецирование прямого угла

  Дано: две пересекающиеся под прямым углом прямые АВ ⊥ ВС,

  причём ВС // π₁ (Рисунок 2.16,б).

  Доказательство:

  1. Проведём через отрезок АВ проецирующую плоскость – σ, σ⊥π₁;
  2. Прямые АВ и ВВ₁ лежат в плоскости σ;
  3. ВС⊥ВВ₁ так как ВС//π₁, а ВВ₁⊥π₁;
  4. Следовательно, ВС⊥σ, а значит ВС перпендикулярна и любой прямой, лежащей в плоскости σ, в частности А₁В₁;
  5. Следовательно В₁С₁⊥σ;
  6. Так как В₁С₁//ВС, то В₁С₁⊥А₁В₁.

  2.8. Задачи для самостоятельного решения

  1. Построить отрезок прямой  АВ // π₁,  равный 35 мм и наклонённый к π₂ под углом 25° (Рисунок 2.17).

  
  Рисунок 2.17

  2. Построить отрезок прямой CD по координатам его концов С (20; 15; 30), D (70; 40; 15) и определить истинную величину отрезка и углы наклона его к плоскостям проекций π₂ и π₁.

  3. Постройте проекции отрезков частного положения, расположенных под углом 30° к плоскости проекций π₁ и 45° — к плоскости проекций π₂.

  4. Определите взаимное положение прямых и постройте пересечение прямых АВ и CD прямой EF//π₂/π₁ (Рисунок 2.18).

  

  Рисунок 2.18