Как найти прилежащие стороны к углу биссектрисы

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон.

Это важнейшая теорема, о которой можно сказать: в учебнике нет, а на экзамене есть!
Конечно, в учебнике тоже есть. Хорошо спрятанная и никак не выделенная.

Не путать с определением биссектрисы!
Мы помним, что биссектриса – это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам : -)
Теперь серьезно. Биссектриса угла треугольника — это луч, который соединяет вершину треугольника с противоположной стороной, при этом разделяя угол пополам. Это определение биссектрисы.

А вот утверждение о том, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон, — свойство биссектрисы.

Пусть СР – биссектриса угла ВСА треугольника АВС. Покажем, что

Проведем АD параллельно ВС.

Углы ВСР и АDP равны как накрест лежащие. Значит, треугольники ВРС и АРD подобны по двум углам и Треугольник АСD – равнобедренный, так как углы АСD и СDА равны. Значит, Свойство биссектрисы доказано.

15
Мар 2013

Категория: ВидеоурокиПланиметрияСправочные материалы

Элементы треугольника. Биссектриса

2013-03-15
2015-11-24

Автор: egeMax |

комментария 2
| Метки: биссектриса

Теорема о биссектрисе треугольника. Доказательство

Теорема 1. Биссектриса при вершине треугольника делит противоположную сторону на две отрезки, пропорциональные сторонам, прилежащим к данной вершине. То есть если биссектриса при вершине A делит в точке D сторону BC на отрезки BD и CD (Рис.1), то имеет место следующее соотношение:

Доказательство (метод площадей 1). Из вершины A опущена биссектриса AD. Построим вершину треугольника AH. Найдем площади треугольников ABD и ACD:

Построим следующее соотношение

С другой стороны, площадь треугольников ABD и ACD можно найти используя следующие формулы:

Построим следующее соотношение используя формулы (6) и (7):

Из формул (5) и (8) получим соотношение (1).

Доказательство (метод площадей 2). С одной стороны, аналогично вышеизложенному имеем соотношение (5). Далее из точки D проведем вершины L и M для треугольников ABD и ACD (Рис.2).

Тогда площади треугольников ABD и ACD можно найти из формул:

Построим следующее соотношение

Из формул (5) и (11) получим соотношение (1).

Доказательство (через теорему синусов). Рассмотрим треугольник ABC. Из точки A проведем биссектрису AD (Рис.3):

Применяя теорему синусов для треугольников ABD и ACD можем записать:

Поделив (12) на (13) и учитывая, что ( small sin(180°-delta)=sin delta , ) (см. статью Формулы приведения тригонометрических функций онлайн) получим равенство (1).

Доказательство (через подобие треугольников). Рассмотрим треугольник ABC. Из точки A проведем биссектрису AD (Рис.4). Проведем перпендикуляры из вершин B и C на луч AD и обозначим точки пересечения через L и K.

Рассмотрим треугольники ABL и ACK. Эти треугольники подобны по двум углам (( small ∠ ALB= ∠ AKC ,;; ∠ BAL= ∠ CAK ) ). Тогда имеем:

Рассмотрим, далее, треугольники BLD и CKD. Они также подобны поскольку ( small ∠ BLD= ∠ CKD ,) а углы BDL и CDK равны так как они вертикальные. Тогда имеет место следующее соотношение:

Из равенств (14) и (15) получаем:

Пример. Даны стороны треугольника ABC: AB=18, AC=6, BC=20. Найти отрезки, полученные делением биссектрисей большой стороны треугольника.

Решение. Поскольку напротив самой большой стороны треугольника находится вершина A, то бисскетриса AD делит сторону BC на отрезки BD и CD. Тогда имеем:

Обозначим BD=x. Тогда CD=BC−x=20−x. Подставляя данные в уравнение (16), получим:

или

Методом перекресного умножения упростим (17) и решим:

Тогда BD=x=15,   CD=BC−x=20−x=5.

Ответ. BD=15,   CD=5.

Определение и свойства биссектрисы угла треугольника

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства биссектрисы угла треугольника, а также приведем пример решения задачи, чтобы закрепить представленный материал.

Определение биссектрисы угла треугольника

Биссектриса угла – это луч, который берет начала в вершине угла и делит данный угол пополам.

Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части. Такая биссектриса, также, называется внутренней.

Основание биссектрисы – точка на стороне треугольника, которую пересекает биссектриса. Т.е. в нашем случае – это точка D.

Внешней называется биссектриса угла, смежного с внутренним углом треугольника.

Свойства биссектрисы треугольника

Свойство 1 (теорема о биссектрисе)

Биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону в пропорции, равной отношению прилежащих к данному углу сторон. Т.е. для нашего треугольника (см. самый верхний рисунок):

Свойство 2

Точка пересечения трех внутренних биссектрис любого треугольника (называется инцентром) является центром вписанной в фигуру окружности.

Свойство 3

Все биссектрисы треугольника в точке пересечения делятся в отношении, равном сумме прилежащих к углу сторон, деленной на противолежащую сторону (считая от вершины).

Свойство 4

Если известны длины отрезков, образованных на стороне, которую пересекает биссектриса, а также две другие стороны треугольника, найти длину биссектрисы можно по формуле ниже (следует из теоремы Стюарта):

BD 2 = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC

Свойство 5

Внешняя и внутренняя биссектрисы одного и того же угла треугольника перпендикулярны друг к другу.

• CD – внутренняя биссектриса ∠ACB;
• CE – биссектриса угла, смежного с ∠ACB;
• ∠DCE равен 90°, т.е. биссектрисы CD и CE перпендикулярны.

Пример задачи

Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Применив теорему Пифагора мы можем найти длину гипотенузы (ее квадрат равен сумме квадратов двух катетов).
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
Следовательно, BC = 10 см.

Далее составляем пропорцию согласно Свойству 1, условно приняв отрезок BD на гипотенузе за “a” (тогда DC = “10-a”):

Избавляемся от дробей и решаем получившееся уравнение:
8a = 60 – 6a
14a = 60
a ≈ 4,29

Таким образом, BD ≈ 4,29 см, CD ≈ 10 – 4,29 ≈ 5,71 см.

Теперь мы можем вычислить длину биссектрисы, использую формулу, приведенную в Свойстве 4:
AD 2 = AB ⋅ AC – BD ⋅ DC = 6 ⋅ 8 – 4,29 ⋅ 5,71 ≈ 23,5.

Элементы треугольника. Биссектриса

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, заключенный между вершиной треугольника и противолежащей ей стороной.

Свойства биссектрисы

1. Биссектриса треугольника делит угол пополам.

2. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон ()

3. Точки биссектрисы угла треугольника равноудалены от сторон этого угла.

4. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — центре вписанной в этот треугольник окружности.

Некоторые формулы, связанные с биссектрисой треугольника

(доказательство формулы – здесь)
, где
— длина биссектрисы, проведённой к стороне ,
— стороны треугольника против вершин соответственно,
— длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону ,

Приглашаю посмотреть видеоурок, в котором демонстрируется применение всех указанных выше свойств биссектрисы.

Задачи, рассматриваемые в видеоролике:
1.В треугольнике АВС со сторонами АВ=2 см, ВС=3 см, АС=3 см проведена биссектриса ВМ. Найти длины отрезков АМ и МС
2. Биссектриса внутреннего угла при вершине А и биссектриса внешнего угла при вершине С треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите угол BMC, если угол В равен 40, угол С – 80 градусов
3. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник, считая стороны квадратных клеток равными 1

Возможно, вам будет интересен и этот небольшой видеоурок, где применяется одно из свойств биссектрисы

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Биссектриса — свойства, признаки и формулы

Базовым понятием и одним из наиболее интересных и полезных объектов школьной математики является биссектриса. С её помощью доказываются многие положения планиметрии, упрощается решение задач.

Известные свойства позволяют рассматривать геометрические фигуры с разных точек зрения. Появляется вариативность при выборе пути доказательств.

Становится возможным использование инструмента алгебры, например, свойство пропорции, нахождение неизвестных величин, решение алгебраических уравнений при рассмотрении геометрических вопросов.

Что такое биссектриса в геометрии

Рассматривают луч, выходящий из вершины угла или его часть (отрезок), который делит угол пополам. Такой луч (или, соответственно, отрезок) называется биссектрисой.

Часто для треугольников определение немного сужают, говоря об отрезке, соединяющем вершину угла, делящем его пополам, с точкой на противолежащей стороне. При этом рассматривается внутренняя область фигуры.

В то же время, часто при решении задач используются прямые, делящие внешние углы на два равных.

Биссектриса прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника одна из биссектрис образует равные углы, величины которых хорошо просчитываются (45 градусов).

Это помогает вычислять углы при решении задач, связанных с фигурами, которые можно представить в виде прямоугольных треугольников или прямоугольников.

В тупоугольном треугольнике биссектриса делит больший угол на равные части, величина которых меньше 90 0 .

Свойства биссектрисы треугольника

1. Каждая точка этой линии равноудалена от сторон угла. Часто эту характеристику выбирают в качестве определения, поскольку верно и обратное утверждение для любого произвольного треугольника. Это позволяет находить и радиус вписанной окружности.

2. Все внутренние отрезки, делящие углы пополам, пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в фигуру, т. е. точка пересечения находится на равных расстояниях от сторон.

Данное свойство позволяет решать целый класс разнообразных задач, выводить формулы для радиусов вписанных окружностей правильных многоугольников.

Благодаря этому утверждению, легко доказывается следующее правило:

Площадь описанного многоугольника равна:

где p – полупериметр, а r – радиус вписанной окружности.

Это позволяет находить решение не только планиметрических, но и стереометрических задач.

Важную роль играют внешние биссектрисы треугольника. Вместе с внутренними они образуют прямые углы;

3. Сумма величин двух прилежащих сторон, делённая на длину противолежащей стороны, задаёт отношение частей биссектрисы (считая от вершины), полученных точкой пересечения всех трёх соответствующих линий.

Некоторые виды геометрических фигур, в силу своих особенностей, порождают особые примечательные характеристики;

4. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, одновременно является медианой и высотой. Две другие – равны между собой.

В этом случае основание параллельно внешней биссектрисе.

Обратное положение также имеет место. Если прямая проведена параллельно основанию равнобедренного треугольника через некоторую вершину, то внешняя биссектриса при этой вершине является частью этой линии;

5. Для равностороннего многоугольника важной характеристикой считается равенство всех биссектрис;

6. У правильного треугольника все внешние биссектрисы параллельны сторонам;

7. Выделяют несколько особенностей, среди которых есть следующая теорема:

«Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам».

Обратное утверждение («Прямая делит сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам») выражает признаки того, что рассматриваемая линия является внутренней биссектрисой;

8. Разносторонний треугольник позволяет определить взаимное расположение его высоты, медианы и биссектрисы, проведённых из одной точки. В частности, медиана и высота располагаются по разные стороны от третьей линии.

Все формулы биссектрисы в треугольнике

В зависимости от исходных данных, длина биссектрисы, проведённой к стороне C, l_c, равна:

Примеры решения задач

Задача №1

В ΔABC ∠C = 90°, проведена биссектриса острого угла. Отрезок, соединяющий её основание с точкой пересечения медиан, перпендикулярен катету. Найти углы заданной фигуры.

Пусть ∠ACB = 90°, AD – биссектриса, BE – медиана, O – точка пересечения медиан, OD⊥BC.

Тогда OE : OB = 1 : 2по свойству медиан.

Так как OD⊥BC, то ODIIOC, следовательно, ΔBOD ∼ ΔBEC по второму признаку подобия, поэтому, по свойству подобных фигур, CD : DB = 1 : 2.

Это означает, что CA : AB = 1 : 2.

Так как катет равен половине гипотенузы, то ∠ABC = 30°, откуда ∠CAB = 60°.

Задача №2

Диагональ параллелограмма делит его острый угол пополам. Доказать, что этот параллелограмм является ромбом.

Так как ABCD – параллелограмм, то ∠DAC = ∠ACB, как накрест лежащие при параллельных прямых AD, BC и секущей AC.

По условию, ∠DAC = ∠ACB = ∠BAC, поэтому ΔACB равнобедренный, то есть AB = BC, следовательно, ABCD – ромб.

См. также биссектриса угла.

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне.

У биссектрис угла треугольника есть масса свойств, которые описываются через свойства треугольника. Это поможет в решении задач.

Свойства биссектрис треугольника

• Биссектриса треугольника, проведенная из данной вершины, тождественна биссектрисе соответствующего угла. Биссектриса угла треугольника, выходящая из его вершины, делит этот угол треугольника пополам 

• Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая расположена всегда в плоскости треугольника и является центром вписанной окружности. Примечание. Имеются ввиду биссектрисы внутренних углов треугольника.
  

Свойства биссектрис равнобедренного треугольника

• У равнобедренного треугольника медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию треугольника, совпадают

• Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья биссектриса одновременно является медианой и высотой того угла, из которого она выходит.

• В равнобедренном треугольнике две биссектрисы равны, а третья биссектриса является его медианой и высотой
  

• Одна и только одна биссектриса внешнего угла неравностороннего треугольника может быть параллельна противоположной стороне — основанию, если треугольник равнобедренный

Свойства биссектрис равностороннего треугольника

• У равностороннего треугольника все три биссектрисы внешних углов параллельны противоположным сторонам

• У равностороннего треугольника все три внутренние биссектрисы равны
• У равностороннего треугольника все три «замечательные» линии (высота, биссектриса и медиана) совпадают и три «замечательных» точки (точки ортоцентра, центра тяжести и центра вписанной и описанной окружностей) находятся в одной точке пересечения «замечательных» линий, т.е. тоже совпадают.

Формулы нахождения биссектрисы угла

a, b, c — стороны треугольника, при этом биссектриса проведена из угла, находящегося между сторонами a, b
α,β,γ — углы треугольника, противолежащие сторонам a,b,c соответственно
p — полупериметр треугольника (половина суммы всех его сторон)
c_a, c_b — отрезки, на которые биссектрисой, проведенной из угла c разбита сторона c

l_c — длина биссектрисы, проведенной к стороне c из угла γ.

Длина биссектрис треугольника может быть выражена через равенство с квадратом суммы всех его сторон.

Формулы нахождения расстояния от угла до точки пересечения биссектрис

где

l_co — длина отрезка, лежащего на биссектрисе от вершины угла до центра пересечения биссектрис
r — радиус окружности, вписанной в треугольник
R — радиус описанной окружности
a, b, c — стороны треугольника, при этом биссектриса проведена из угла, находящегося между сторонами a, b
γ — угол треугольника, противолежащий стороне c 
p — полупериметр треугольника (половина суммы всех его сторон) 

Примеры решения задач

Примечание. В данном уроке изложены задачи по геометрии о биссектрисе. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. Почти наверняка курс будет дополнен.

Задача.

Луч AD является биссектрисой угла A. На сторонах угла A отмечены точки B,C так что угол ADC равен углу ADB. Доказать, что AB=AC.

Решение.
Рассмотрим треугольники ADB и ADC. Сторона AD у них общая, углы DAC и DAB равны, так как биссектриса AD делит угол А пополам, а углы ADC и ADB равны по условию задачи. Таким образом, треугольники ADB и ADC равны по стороне и двум углам.

Следовательно AB = AC.

0
 

 Биссектриса угла |

Описание курса

| Биссектриса внешнего угла