Как найти приближенное значение числа с округлением

Алгебра

7 класс

Урок № 10

Приближения числа

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Приближённое значение числа.
• Приближение с недостатком, приближение с избытком.
• Округление действительных чисел.
• Арифметические действия с приближёнными значениями действительных чисел.

Тезаурус:

1. Если a < x < b, то a называют приближённым значением числа x с недостатком, b приближённым значением с избытком.
2. Приближение по недостатку и приближение по избытку называют округлением числа.
3. Округлить число с точностью до какого-то разряда – это значит, округлить число до того разряда, где находится значащая цифра, заменив следующие цифры нулями.
4. При округлении числа до какого-нибудь разряда цифры во всех следующих разрядах заменяют нулями, а стоящие после запятой ‑ отбрасывают.
5. Если следующая за разрядом, до которого округляем, цифра равна 5, 6, 7, 8, 9, то остающийся разряд увеличивают на 1. Если цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4, то остающийся разряд оставляют без изменения. 

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

При решении практических задач иногда невозможно указать точный результат. Если число a₁ мало отличается от числа a, то пишут: a ≈ a_1.

Говорят, что число a приближённо равно числу a₁ или a₁ –это приближение числа a.

Если a₁ < a, то a₁ называют приближением с недостатком.

Если a₁ > a, то a₁ называют приближением с избытком.

Действительные числа, задаваемые бесконечными десятичными дробями, заменяют конечными десятичными дробями.

Пример: пусть a = 2,3(28) или a = 2,32828… Отбросим все цифры, начиная со второй после запятой, получим 2,32. Увеличим дробь на 0,01, получим 2,33. Число a находится между ними: 2,32 < a < 2,33

Таким образом, a ≈ 2,32 или a ≈ 2,33.

2,32 – приближение числа с недостатком;

2,33 – приближение числа с избытком, с точностью до 0,01.

Более точное приближение числа a получим при приближении с точностью до 0,001. Тогда, 2,328 < a < 2,329

Если число отрицательное:

пусть b = —2,3(28) = -2,32828…, отбросим все цифры, начиная со второй после запятой, тогда –2,33 < b < -2,32.

-2,33 – приближение числа с недостатком;

-2,32 – приближение числа с избытком, с точностью до 0,01 или до единицы второго разряда.

Значащей цифрой десятичной дроби называют её первую (слева направо), отличную от нуля, цифру, а также все следующие за ней цифры. В числе 235000 все цифры значащие, в числе 0,302 значащие – три цифры после запятой.

Значащими цифрами являются:

– все ненулевые цифры;

– нули, содержащиеся между ненулевыми цифрами;

– нули, являющиеся представителями сохраненных десятичных разрядов при округлении.

Округление.

Округлить число с точностью до значащей цифры – это значит, округлить число до того разряда, где находится значащая цифра, заменив следующие цифры нулями.

Пример: 3,7523… округлите с точностью до 0,01.

3,75|23 ≈ 3,7500 ≈ 3,75.

Незначащие цифры, нули, нужно отбросить. При этом помним правило округления:

Если правее разряда, до которого округляем, стоит цифра 5, 6, 7, 8, 9, то цифру в разряде увеличиваем на 1.

Если правее разряда, до которого округляем, стоит цифра 0, 1, 2, 3, 4, то цифру в разряде не изменяем.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Задача 1.

Пусть: а = 23,1834567 и b = -4,2375.

Найдите сумму и разность с точностью до одной сотой.

Решение:

Чтобы вычислить приближённую сумму, разность двух чисел, надо округлить эти числа с одинаковой точностью, затем выполнить сложение или вычитание.

Решение: округляем до 0,01.

а =23,18|34567 ≈ 23,18 и b = -4,23|75 ≈ -4,24.

Находим:

а + b ≈ 23,18 + (-4,24) = 18,94.

а – b ≈ 23,18 – (-4,24) = 23,18 + 4,24 = 27,42..

Ответ: 18,94; 27,42.

Задача 2.

Пусть: а = 135,78665 и b = 0,0068751. Найдите произведение и частное чисел, округлите результат до третьей значащей цифры.

Решение.

Чтобы вычислить приближённо произведение, частное двух чисел, надо округлить эти числа с одинаковой точностью, затем выполнить умножение или деление, затем округлить результат до той же значащей цифры.

Округляем до третьей значащей цифры, получим:

а ≈ 136 и b ≈ 0,00688.

Находим:

а · b ≈ 136 · 0,00688 = 0,93568 ≈ 0,936.

а : b ≈ 136 : 0,00688 = 197|67,4 ≈ 19800.

Ответ: 0,936; 19800.

На этом уроке мы рассмотрим, как округлять числа. Округление бывает с избытком и недостатком. Округлять можно как целые, так и дробные числа. При этом мы получаем не точные, а примерные или приближённые значения.

Приближённые значения применяются в случаях, если невозможно вычислить точное значение или если точное значение не требуется.

Приближённые значения

Представьте, что вы смотрите на часы в комнате и они показывают два часа и две минуты. Но когда вы переходите в другую комнату, там на часах $13.59$. Какие-то из этих часов отстают или спешат… Но если вам не нужно совершенно точно указать время, то можно смело сказать, что часы показывают приблизительно два часа.

Другой пример. В интернете можно встретить информацию, что размер африканского слона около $300$ сантиметров. На самом деле есть слоны покрупнее и помельче, кто-то из них достигает почти четырёх метров, а слонихи обычно ростом $270-280$ см. И, конечно, никому не приходит в голову перемерить всех имеющихся слонов, чтобы указать их точные размеры. Вместо этого называют приблизительное или, говоря математическим языком, приближённое значение. Размеры слона округляют до $300$ сантиметров.

Правила округления натуральных чисел

Округлением натурального числа называют замену этого числа таким ближайшим по значению, у которого одна или несколько последних цифр в записи заменяется нулями.

Поэтому такой процесс и называется округление — число заканчивается на круглые нули.

При округлении используется вот такой знак:

Давайте рассмотрим принцип округления на примере слона Гектора. Его рост $320$ см, нужно округлить до сотен.

Подчёркиваем число в разряде сотен и смотрим на следующее число (разряд десятков). Это $2$, следовательно, заменяем все цифры после разряда сотен нулями, а число сотен оставляем без изменений.

А рост слонихи Офелии $275$ см. Давайте округлим его до десятков.

Подчёркиваем число десятков, смотрим на разряд справа (единицы). Это $5$. Заменяем число единиц нулями, а цифру в разряде десятков увеличиваем на $1$.

Обратите внимание, что когда мы округляли массу слона, у нас получилось меньшее число, а когда массу слонихи — большее.

Можно сказать, что $300$ — это приближение числа $320$ с недостатком, а $280$ — это приближение числа $275$ с избытком.

Округление десятичных дробей до целых. Общий принцип

Образавру подарили арбуз. Он решил его взвесить, но у него не было хороших весов. На тех, которые были, оказались только килограммовые деления. Вот что показали весы:

Арбуз весит больше $4$ кг, но немного меньше $5$ кг. Если обозначить массу арбуза буквой n, получается, что $4 < n < 5$

Число $4$ будет приближённым значением n с недостатком, а $5$ – приближённым значением n с избытком.

Между $4$ и $5$ нет натуральных чисел, получается, мы будем округлять дробное число либо до одного натурального числа, либо до другого.

Замену дробного числа ближайшим к нему натуральным числом или нулём называют округлением этого числа до целых.

Округление с избытком и недостатком

Если у числа n цифра десятых больше $5$, то число n ближе к большему значению, чем к меньшему, и его можно округлить до целых в большую сторону (также это называется «округлить с избытком»).

Почему мы сравниваем именно с $5$?

Потому что именно $5$ десятых равно удалено и от меньшего числа, и от большего.

Позже Образавр купил другие весы, чтобы взвесить арбуз точнее, и узнал, что он весит $4.8$ кг.

Так как масса арбуза почти равна $5$, то можно сказать, что его массу можно округлить до $5$ кг.

Образавру понравилось взвешивать и округлять. Он взвесил ещё и дыню, которую купил по дороге. Оказалось, дыня весит $3.1$ кг. Если округлять до целых, то масса дыни ближе к трём килограммам, чем к четырём.

Если у числа n цифра десятых меньше $5$, то число n ближе к меньшему значению, чем к большему, и его можно округлить до целых в меньшую сторону (также это называется «округлить с недостатком»).

А что же делать, если у числа ровно $5$ десятых? Например, кот Рыжик весит ровно $6,5$ кг. Число $6,5$ равно удалено и от $6$ кг, и от $7$ кг. Если мы хотим округлить массу Рыжика до целых, то чему она будет равна?

Условились, что если цифра десятых равна $5$, то число округляется в большую сторону, с избытком.

Следовательно, массу Рыжика также нужно будет округлить с избытком, и она будет приближённо равна $7$ кг.

Округление десятичных дробей до десятых, сотых и т.д.

Числа можно округлять и до других разрядов.

Марина забыла дома линейку. В школе она свернула тетрадный листок в клеточку в несколько раз, и на получившейся полоске бумаги сделала отметины и написала цифры. Марина знала, что одна клеточка – это $0.5$ см. У неё получилась линейка.

Правда, линейка получилась не очень точная. Например, когда ей понадобилось измерить отрезок, оказалось, что делений не хватает.

Можете ли сказать, чему приближённо равен отрезок АВ?

Показать ответ

Скрыть

Давайте потренируемся. Длина карандаша равна $17.72$ см. Нужно округлить эту дробь до десятых.

Показать решение

Скрыть

Чтобы округлить число $17.textcolor{blue}{7} textcolor{red}{2}$ до десятых, нам нужно заменить все цифры после разряда десятых нулями. В нашем случае это одна цифра. Сравним эту цифру с $5. $

$$2 < 5$$

Следовательно, округляем число в меньшую сторону, а число десятых оставляем без изменений.

Округление дробных чисел при переводе обыкновенных дробей в десятичные

При переводе обыкновенных дробей в десятичные иногда мы сталкиваемся с ситуацией, когда дробь не может быть представлена в виде десятичной.

Например, $frac{1}{6}$. Если мы разделим $1$ на $6$, калькулятор покажет вот такое число:

Известно, что дробь может быть переведена в десятичную только в том случае, если её знаменатель раскладывается на простые множители $2$ и $5. $

Получается, мы не можем представить дробь $frac{1}{6}$ в виде десятичной. Мы можем только найти приближённое значение.

Например, мы можем округлить число на рисунке 5 до тысячных.

Как это можно сделать?

Скрыть

Выделим число, до которого нужно округлить (тысячные) и то, которое следует за ним (десятитысячные).

$0.16 textcolor{blue}{6} textcolor{red}{6}66$

Посмотрим на число десятитысячных. Это $6. $

$$6 > 5$$

Следовательно, мы берём число тысячных и увеличиваем его на $1. $

У нас получается $0.167$

Приближённые значения приходят к нам на помощь, когда вычислить точное значение не представляется возможным. Но всё-таки в рамках школьного курса математики мы чаще имеем дело с точными цифрами, и, если есть возможность получить точный ответ, следует стараться это сделать.

Округление чисел

• Правила округления

Числа, с которыми нам приходится иметь дело в реальной жизни, бывают двух типов. Одни в точности передают истинную величину, другие — только приблизительную. Первые называют точными, вторые — приближёнными.

В реальной жизни чаще всего пользуются приближёнными числами вместо точных, так как последние обычно не требуются. Например, приближённые значения используются при указании таких величин как длина или вес. Во многих же случаях точное число найти невозможно.

Правила округления

Для получения приближённого значения, полученное в результате каких-либо действий число нужно округлить, то есть заменить его ближайшим круглым числом.

Числа всегда округляют до определённого разряда. Натуральные числа округляются до десятков, сотен, тысяч и т. д. При округлении чисел до десятков, их заменяют круглыми числами, состоящими только из целых десятков, у таких чисел в разряде единиц стоят нули. При округлении до сотен, числа заменяются на более круглые, состоящие только из целых сотен, то есть нули стоят уже и в разряде единиц, и в разряде десятков. И так далее.

Десятичные дроби можно округлять так же как и натуральные числа, то есть до десятков, сотен и т. д. Но также их можно округлять и до десятых, сотых, тысячных частей и т. д. При округлении десятичных знаков разряды не заполняются нулями, а просто отбрасываются. В обоих случаях округление производится по определённому правилу:

Если отбрасываемая цифра больше или равна  5,  то предыдущую нужно увеличить на единицу, а если меньше  5,  то предыдущая цифра не меняется.

Рассмотрим несколько примеров округления чисел:

• Округлить  43152  до тысяч. Здесь надо отбросить  152  единицы, так как справа от разряда тысяч стоит цифра  1,  то предыдущую цифру отставляем без изменений. Приближённое значение числа  43152,  округлённое до тысяч будет равно  43000.
• Округлить  43152  до сотен. Первая из отбрасываемых чисел  5,  значит предыдущую цифру увеличиваем на единицу:

  43152 ≈ 43200.

• Округлить  43152  до десятков:

  43152 ≈ 43150.

• Округлить  17,7438  до единиц:

  17,7438 ≈ 18.

• Округлить  17,7438  до десятых:

  17,7438 ≈ 17,7.

• Округлить  17,7438  до сотых:

  17,7438 ≈ 17,74.

• Округлить  17,7438  до тысячных:

  17,7438 ≈ 17,744.

Знак ≈ называют знаком приближённого равенства, он читается — приближённо равно.

Если при округлении числа результат получился больше начального значения, то полученное значение называется приближённым значением с избытком, если меньше — приближённым значением с недостатком:

7928 ≈ 8000,
число  8000  — приближённое значением с избытком,

5102 ≈ 5000,
число  5000  — приближённое значением с недостатком.

На этом уроке мы научимся округлять числа. А также
научимся записывать приближённые значения чисел.

Часто в жизни мы имеем дело с приближёнными записями
вычислений или измерений.

Например

Если мы измерим высоту дерева на школьном участке,
будет ли это целое число метров, дециметров, сантиметров? Скорее всего, нет.
Нужно ли нам с точностью до миллиметра знать длину участка, который надо
огородить забором? Конечно, нет.

А если вам задать вопрос «Сколько вам лет?» Как вы
на него ответите? Вы же не будите говорить «Мне 12
лет 1 месяц и 15
дней». Скорей всего вы просто скажите «Мне 12
лет!».

Аналогично и со временем. Если часы показывают 11 часов 58
минут 20 секунд и тут, сосед по парте,
спрашивает вас «Который час?». Вы же не станете говорить время с точностью до
секунд, а скорей всего скажите «около 12
часов».

В математике существует правило округления чисел.

Например

Начертите у себя в тетрадях отрезок АВ, равный 10-ти
клеткам. Представьте, что  по отрезку из точки А
идёт человечек. Пусть он прошел 3 клетки.
Можем ли мы сказать, что он прошёл весь путь или почти весь путь?

А если он прошёл 7
клеток. Что можно сказать теперь?

В каких их этих двух случаях человечек ближе к концу
пути? А в каком ближе к началу? Правильно!

Пройдя 7 клеток,
наш вымышленный человечек, ближе к концу пути. Из рисунка хорошо видно, что
пройденный путь ближе к 10 клеткам или ближе
к точке В.

Определение

10 клеток называют приближённым
значением с избытком.

А пройдя всего лишь 3
клеточки, наш человечек ближе к началу пути или к точке А, т.е. к числу 0.

Число 0 называют приближённым
значением с недостатком.

Посмотрите, на следующем слайде изображён отрезок CD.

Его длина расположена между цифрами 7 см и 8 см.
Значит, 7 – приближённое значение
длины отрезка CD
(в см) с недостатком, а 8 – приближённое
значение длины отрезка CD
с
избытком. Если длину отрезка обозначить буквой х, то получим 7
< x < 8.

Если a
< x
< b,то
число а называют приближённым значением числа х с недостатком, а число b
– приближённым значением числа х с избытком.

Длина отрезка CD ближе к 8
см, чем к 7 см. Она приближённо равна 8 см. Говорят, что число 8
получилось при округлении длины отрезка до целых.

Определение

Замену числа ближайшим к нему натуральным числом или
нулем называют округлением этого числа до целых.

Пример

Округлим число 1521
до десятков.

Округлить число можно и до других разрядов,
например, десятых, сотых, тысячных и т.д..

Пример

Округлим число 45, 49
до десятых.

Обратите внимание, что знак равно мы не можем
поставить. Ведь эти числа не равны. Когда округляют или записывают приближённое
значение, то ставят знак приближённо равно.

Теперь давайте разберёмся, как происходит процесс
округления чисел.

Например

Нужно округлить число 3481
до сотен.

Запомните правило округления:

Если следующая за остающимся числом
цифра равна 5, 6,
7, 8, или
9, то остающийся разряд увеличивают на 1.

А если эта цифра равна 0, 1, 2, 3, или 4, то остающийся разряд оставляют без изменения.
Все следующие за нужным разрядом цифры заменяют нулями,
а если они стоят после запятой, то их отбрасывают.

Примеры

Округлите число 132
до десятков.

Округлим число 295,19
до десятых.

Округлим число 4,283 до
сотых.

Давайте уточним, почему, когда число округляем до
целых, то нули пишутся, а когда округляем цифры после запятой, то нули
отбрасываем или не записываем. Смотрите, округлим числа 2013 до десятков, а число 20,13
до десятых.

Итоги

Итак, сегодня на уроке мы с вами научились округлять
числа и записывать приближённые значения чисел.