Приближённые формулы
- Произведение двух чисел, близких к единице
- Квадрат и другие степени числа, близкого к единице
- Число, обратное числу, близкому к единице
- Квадратный корень из числа, близкого к единице
- Обобщение приближённых формул
- Примеры
Произведение двух чисел, близких к единице
При выведении формул для погрешностей произведения и частного (см. §45 данного справочника) мы использовали понятие «малых величин», влияние которых на результат настолько мало, что им можно пренебречь. Обычно они появляются в формулах как произведения небольших отклонений или степени отклонений. Их вклад в конечный результат «мал» в том смысле, что при округлении мы его всё равно отбрасываем.
Рассмотрим два числа x = 1+α, y = 1+β,
где |α|≪1,|β|≪1 — гораздо меньше единицы (сотые, тысячные и т.д.).
Найдём их произведение:
$$ xy = (1+α)(1+β) = 1+α+β+αβ $$
Произведение αβ $approx$ 0 пренебрежимо мало, и мы получаем:
$$ (1+α)(1+β) approx 1+α+β, quad |α|≪1, |β|≪1 $$
Например:
$1,012 cdot 1,004 approx 1+0,012+0,004 = 1,016$ – значение по приближенной формуле
$1,012 cdot 1,004 = 1,016048$ — точное значение
или
$0,997 cdot 1,003 approx 1-0,003+0,003 = 1,000$ – значение по приближенной формуле
$0,997 cdot 1,003 = 0,999991$ — точное значение
Квадрат и другие степени числа, близкого к единице
Используя формулу для произведения двух чисел, близких к единице, получаем приближенную формулу для квадрата, куба и других степеней таких чисел:
$$ (1+α)^2 approx 1+2α, quad |α|≪1 $$
$$ (1+α)^3 approx 1+3α, quad(1+α)^n approx 1+nα $$
Например:
Степень числа
По приближенной формуле
Расчет на калькуляторе
$1,011^2$
$ approx 1+2 cdot 0,011 = 1,022$
1,022121
$1,011^3$
$ approx 1+3 cdot 0,011 = 1,033$
1,033364331
$1,011^5$
$ approx 1+5 cdot 0,011 = 1,055$
1,056223…
При увеличении степени относительная погрешность возрастает, и точность вычислений падает.
Число, обратное числу, близкому к единице
Пусть $x = 1+α, quad |α|≪1$
Найдём $frac{1}{x}$:
$$ frac{1}{x} = frac{1}{1+α} = frac{1-α}{(1+α)(1-α)} = frac{1-α}{1- underbrace{α^2}_{approx text{0}}} approx 1-α $$
$$ frac{1}{1+α} approx 1-α, |α|≪1 $$
Например:
$ frac{1}{1,001} approx 1-0,001 = 0,999 $
Точное значение: $ frac{1}{1,001}$ = 0,(999000) — периодическая бесконечная дробь
Квадратный корень из числа, близкого к единице
Из формулы для квадрата числа, близкого у единице, получаем:
$$ 1+α approx Biggl( 1+ frac{a}{2} Biggr)^2 gt 0 $$
$$ sqrt{1+α} approx 1+ frac{a}{2}, quad |α|≪1 $$
Например:
$ sqrt{1,0014} approx 1+ frac{0,0014}{2} = 1,0007 $
Вычисление на калькуляторе даёт: $sqrt{1,0014}$ = 1,0006997551…
или
$ sqrt{0,981} approx 1- frac{0,019}{2} = 0,9905 $
Вычисление на калькуляторе даёт: $sqrt{0,981}$ = 0,990454441…
Обобщение приближённых формул
Формулы для чисел вида x = 1+α, |α|≪1, можно обобщить для чисел вида z = a+b, |b|≪|a|, т.к.
$$ |b|≪|a| Rightarrow frac{|b|}{|a|} ≪1 и frac{z}{a} = frac{a+b}{a} = 1+ frac{b}{a} $$
Заменой $frac{z}{a}$ = x, $frac{b}{a}$ = α одни числа приводятся к другим.
Квадрат
$(1+α)^2 approx 1+2α$
$ (a+b)^2 approx a^2+2ab $
Любая степень $n in Bbb N$
$(1+α)^n approx 1+nα$
$ (a+b)^n approx a^n+na^{n-1} b $
Квадратный корень
$ sqrt{1+α} approx 1+ frac{a}{2}$
$ sqrt{a+b} approx sqrt{a} + frac{b}{2sqrt{a}} $
Обратное число
$ frac{1}{1+α} approx 1-α$
$ frac{1}{a+b} approx frac{1}{a} — frac{b}{a^2} $
Примеры
Пример 1. Найдите приближенное значение выражения.
Сравните со значением, полученным с помощью калькулятора.
|
Приближенное значение |
Расчет на калькуляторе |
|
|
$а) 1,006^2$ |
$(1+0,006)^2 approx 1+2 cdot 0,006 = 1,012$ |
$ 1,006^2 = 1,012036 $ |
|
$б) sqrt{0,9997}$ |
$ sqrt{1-0,0003} approx 1- frac{1}{2} cdot 0,0003 = 0,99985$ |
$ sqrt{0,9997} = 0,9998499… $ |
|
$в) frac{1}{1,004} $ |
$ frac{1}{1,004} approx 1-0,004 = 0,996$ |
$ frac{1}{1,004} = 0,9960159…$ |
|
$г) 0,995^5$ |
$ (1-0,005)^5 approx 1-5 cdot 0,005 = 0,975$ |
$ 0,995^5 = 0,9752487… $ |
Пример 2. Найдите приближенное значение выражения, используя обобщенные приближенные формулы. Сравните со значением, полученным с помощью калькулятора.
|
Приближенное значение |
Расчет на калькуляторе |
|
|
$а) 4,04^2$ |
$(4+0,04)^2 approx 4^2+2 cdot 4 cdot 0,04 = 16,32$ |
$ 4,04^2 = 16,3216 $ |
|
$б) sqrt{255}$ |
$ sqrt{256-1} approx sqrt{256}- frac{1}{2sqrt{256}} = 16- frac{1}{32} approx $ = 16-0,03 = 15,97 |
$ sqrt{255} = 15,96871… $ |
|
$в) frac{1}{9,995} $ |
$ frac{1}{10-0,005} approx 1-0,004 = 0,996$ |
$ frac{1}{1,004} = 0,9960159…$ |
|
$г) 0,995^5$ |
$ (1-0,005)^5 approx 1-5 cdot 0,005 = 0,975$ |
$ 0,995^5 = 0,9752487… $ |
Содержание:
- Приближённые вычисления
- Абсолютная и относительная погрешности
- Выполнение действий над приближёнными числами
- Выполнение действий без точного учёта погрешности
Приближённые вычисления
Приближённые вычисления — вычисления, в которых данные и результат (или только результат) являются числами, приближенно представляющими истинные значения соответствующих величин. Числовые данные, полученные измерением реальных объектов, редко бывают точными значениями соответствующей величины, а обычно имеют некоторую погрешность
Абсолютная и относительная погрешности
При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближёнными значениями разных числовых величин. К ним относятся: результаты измерения разных величин с помощью приборов; значения полученные при считывании на графиках, диаграммах, номограммах; проектные данные; результаты округления чисел; результаты действий над приближёнными числами; табличные значения некоторых величин; результаты вычислений значений функции. Приближённые значения (приближение, приближённые числа) могут значительно отличаться от точных, либо быть близкими к ним.
Для оценки отклонения приближённых чисел от точных используют такие понятия как абсолютная и относительная погрешности.
Абсолютной погрешностью приближённой называется модуль разности между точным значением величины 
и её приближённым значением х, то есть
Пример.
Абсолютная погрешность приближённого числа 
числом 0,44 составляет
Если точное число неизвестно, то найти абсолютную погрешность 
невозможно. На практике вводят оценку допустимой при данных измерениях или вычислениях абсолютной погрешности, которую называют пределом абсолютной погрешности и обозначают буквой h. Считают, что h
. Как правило, предел абсолютной погрешности устанавливают из практических соображений, например, при измерениях пределом абсолютной погрешности считают наименьшее деление прибора.
При записи приближённых чисел часто используют понятия верной и сомнительной цифры.
Цифра 
называется верной, если предел абсолютной погрешности данного приближения не превышает единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В другом случае цифра называется сомнительной.
Например: в числе 
две цифры верны, поскольку погрешность 0,04 не превышает единицу разряда десятых. Цифры 9 и 7 верны, поскольку 
а цифры 4 и 6 являются сомнительными, поскольку 
В конечной записи приближённого числа сохраняют только верные цифры. Так число можно записать в виде 
, число 
в виде 
Если в десятичной дроби последние верные цифры — нули, то их оставляют в записи числа.
Например: если 
, то правильной записью числа будет 0,260.
Если в целом числе последние нули являются сомнительными, их исключают из записи числа.
Именно поэтому при работе с приближёнными числами широко используют стандартную форму записи числа.
Например: в числе 
верными являются три первые цифры, а два последних нуля — сомнительные цифры. Запись числа возможна только в виде:
Следовательно, в десятичной записи приближённого числа последняя цифра указывает на точность приближённости, то есть предел абсолютной погрешности не превышает единицу последнего разряда.
Например:
1. Запись 
означает, что 
, то есть предел абсолютной погрешности h=0,01.
2. Запись 
3. Если 
В десятичной записи числа значимыми цифрами называются все его верные цифры начиная с первой слева, отличной от нуля.
Например: в числе 1,13 — три значимых цифры, в числе 0,017 — две, в числе 0,303 — три, в числе 5,200 — четыре, в числе 25*103 — две значимых цифры.
При таком подходе к записи приближенного числа необходимо уметь округлять числа.
Правила округления чисел:
— Если первая цифра, которую отбрасываем является меньше пяти, то в основном разряде, который сохраняется цифра не меняется. Например: 879,673≈879,67.
— Если первая цифра, которую отбрасываем больше пяти, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 456,87≈456,9.
— Если первая цифра, которая отбрасывается пять и за ней есть ещё отличны от нуля, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 1246,5002≈1247.
— Если первая цифра, которая отбрасывается — пять и за ней нет больше никаких цифра, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 0,275≈0,28; 1,865≈1,86.
Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность приближения. Например, 
будет грубой ошибкой при измерении жука, и незначительной при измерении кита. Тоже самое можно сказать и про предел абсолютной погрешности. Качество (точность) приближённости лучше характеризуется относительной погрешностью.
Относительной погрешностью 
(омега) приближённости х величины 
называется отношением абсолютной погрешности 
этого приближения к модулю приближённого значения х, то есть
Поскольку абсолютная погрешность обычно бывает неизвестна, то на практике оценивают модуль относительной погрешности некоторым числом, которое не меньше чем этот модуль:
Число 
называется пределом относительной погрешности.
Предел относительной погрешности можно вычислить по формуле: 
Конечно относительная погрешность выражается в процентах.
С помощью относительной погрешности легко установить точность приближённости.
Пример 1. Найти относительную погрешность числа 
Решение: Имеем 
Следовательно 
Пример 2. Сравнить точность измерения толщины книги d (см) и высоты стола H (см), если известно, что 
.
Решение:
Как видим, точность измерения высоты стола значительно выше.
Выполнение действий над приближёнными числами
Результат арифметических действий над приближёнными числами является также приближённым числом.
Необходимо уметь устанавливать погрешности результатов вычислений. Их находят с точным и без точного учёта погрешностей исходных данных. Правила нахождения погрешностей результатов действий с точным учётом погрешности приведены в таблице (обозначения — 
исходные данные; 
пределы абсолютных погрешностей относительно чисел; 
пределы относительных погрешностей).
Пример 3. Вычислить приближение значения выражения 
и найти предел погрешностей результата.
Решение: находим значение квадрата числа 5,62 и квадратного корня из числа 18,50. 
Найдём границу относительной погрешности результата:
Граница абсолютной погрешности результата:
Ответ: 
Пример 4. Вычислить приближение значения выражения 
и найти предел погрешностей результата.
Решение: находим значение квадратного корня из числа 6,24 и 
, имеем:
Граница относительной погрешности результата:
Граница абсолютной погрешности результата: 
Ответ: 
Выполнение действий без точного учёта погрешности
Точный учёт погрешности усложняет вычисление. Поэтому, если не надо учитывать погрешность промежуточных результатов, можно использовать более простые правила.
Сложение и вычитание приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:
а) выделить слагаемое с наименьшим числом верных десятичных знаков;
б) округлить другие слагаемые так, чтобы каждое из них содержало на один десятичный знак больше чем выделенное;
в) выполнить действия, учитывая все сохранённые десятичные знаки;
г) результаты округлить и сохранить столько десятичных знаков, сколько их есть в приближённом числе с наименьшим числом десятичных знаков.
Умножение и деление приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:
а) выделить среди данных чисел, число с наименьшим количеством верных значимых цифр;
б) округлить оставшиеся данные так, чтобы каждое из них содержало на одну значащую цифру больше, чем в выделенном;
в) выполнить действия — сохранить все значимые цифры;
г) сохранять в результате столько значащих цифр, сколько их имеет выделенное число с наименьшим количеством верных значимых цифр.
При возведении в степень приближённого числа в результате сохраняют столько значимых цифр, сколько верных значимых цифр имеет основа степени.
При извлечении корня из приближённого числа в результате сохраняют столько верных цифр, сколько имеет подкоренное число.
Лекции:
- Уравнение сферы
- Пределы: примеры решения
- Площадь поверхности конуса
- Целые рациональные выражения
- Числовые ряды. Числовой ряд. Сумма ряда
- Свойства логарифмов
- Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- Скрещивающиеся прямые
- Скалярное призведение двух векторов
- Теоремы, связанные с понятием производной
ВИДЕО УРОК
Числа точные и приближённые.
В практической
деятельности люди постоянно имеют дело со значениями разных величин: длины,
площади, объема, массы, температуры и так далее.
Числа, встречающиеся
на практике, бывают двух видов. Одни дают истинное значение величины, другие –
только приблизительное. Первые называют точными, вторые – приближенными.
Точное значение
величины удается найти лишь в некоторых случаях.
ПРИМЕР:
Можно точно указать число вагонов железнодорожного
поезда.
Точно подсчитать, сколько учеников есть одновременно в
классе.
ПРИМЕР:
В книге 512 страниц, число 512 – точное.
В шестиугольнике 9 диагоналей, число
9 – точное.
В классе есть 29 учеников, число 29
– точное.
Однако по большей
части приходится иметь дело лишь с приближенными значениями величин.
Чаще всего удобно
пользоваться приближёнными числами вместо точных, тем более, что во многих
случаях точное число вообще найти невозможно. Числа, которые мы называем приближёнными, иначе говоря,
верными только приблизительно, но не совершенно точно, постоянно встречаются
нам в жизни на практике. Приближённые числа могут получаться, прежде всего, при
счёте предметов, если этих предметов слишком много и их почему – либо трудно
или даже нельзя подсчитать точно. Конечно, в результате счёта предметов могут
получаться и точные числа, если предметов не слишком много, если их число не
слишком быстро меняется и если их без затруднений можно подсчитывать.
ПРИМЕР:
Лишь приблизительно оценивают:
– количество зрителей телепередачи,
– количество перелетных птиц,
– количество деревьев в лесу.
ПРИМЕР:
Если же говорят, что расстояние от Москвы до Киева
равно 960 км, то здесь число 960 –
приближённое, так как с одной стороны, наши измерительные инструменты не
абсолютно точны, а с другой стороны, сами города имеют некоторую протяжённость.
Продавец взвесил на автоматических весах 50
г масла. Число 50 –
приближённое, так как весы нечувствительны к увеличению или уменьшению веса
на 0,5
г.
Приближенные
значения получаются в результате измерений.
Можно ли измерять длину рейки точно ? Нет.
Даже если услышите, что длина какой-то рейки равняется, например, 9,42783 м, не верьте этому. Ведь длину такой рейки с точностью до
сотой миллиметра нельзя измерять. Результат каждого измерения – приближенное
значение величины.
Невозможно, точно
измерять длину стержня. Ведь измерение мы проводим с помощью какого-то прибора
(линейки, штангенциркуля, микрометра, оптиметра (оптико-механический
измерительный прибор) и тому подобное), а точность измерения прибором всегда
ограничена. Кроме того, изготовляя прибор в заводских условиях, гарантируют
лишь ту или другую степень точности его изготовления. Наконец, выполняя
измерение, мы можем допускать ошибки, связанные с нашим опытом работы и личными
качествами.
Невозможно точно
измерять площадь земельного участка, температуру воздуха, скорость полета
самолета и так далее.
Приближенные значения получают при округлении истинных
значений величин.
Приближённые и
точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берётся только среднее
значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как
записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.
Верными называются такие цифры, разряд которых
превосходит абсолютную погрешность числа.
Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она
называется сомнительной.
ПРИМЕР:
Для дроби 3,6714 с
погрешностью 0,002 верными
будут цифры 3, 6, 7, а сомнительными 1 и 4.
В записи приближённого числа оставляют только верные цифры. Дробь будет
выглядеть таким образом – 3,67.
ПРИМЕР:
Число 2,19563 в
расчете, который не нуждается высокой точности, можно округлить, заменив его
числом 2,196 или даже числом 2,20,
которые являются приближенными значениями числа
2,19563
с излишком.
Итак, в разных
случаях и в разных обстоятельствах счёт предметов может приводить и к точному и
к приближённому числу.
Границы значения величины.
Всякое измерение
(длины, веса и так далее) выполняется только приблизительно. Иногда, даже в тех
случаях, когда можно установить истинное значение величины, бывает достаточно
знать лишь её приближённое значение. Между истинной величиной предмета и
числом, полученным при измерении (или подсчёте), бывает некоторая, хотя бы и
небольшая разность.
ПРИМЕР:
Рассмотрим процесс определения массы детали с
помощью рычажных весов и набора гирь, наименьшая из которых имеет массу 1 г.
С помощью двух взвешиваний установили, что масса детали
больше 20 г, но меньше
30 г.
Обозначим массу детали в граммах через m,
тогда результат взвешивания можно записать в виде двойного неравенства:
20 < m < 30.
Заменив потом гирю 10 г гирей 5 г, и убедимся, что масса детали больше 25 г,
То есть
25 < m < 30.
Положив на чашу весов с гирьками еще 2 г, заметим, что масса
детали меньше чем 27 г.
25 < m < 27.
Заменив гирю
2 г гирей 1 г, и определим, что
масса детали больше 26 г.
26 < m
< 27.
Поскольку более мелких гирь нет, то процесс определения
массы на этом этапе закончим.
Взвешиваниями мы нашли приближенные значения массы детали
в граммах:
26 г – приближённое значение с
недостачей,
27 г – приближённое значение с излишком.
Другими словами, мы установили границы значения массы в
граммах. Число 26 – нижняя граница, число
27 –
верхняя граница.
Заметим, что когда бы наименьшая гиря была бы равна 2
г, то границами значения массы детали в граммах были бы числа 25 г и 27 г, то есть масса была бы определена менее точно.
Зная пределы
значения некоторой величины, можно оценить значение другой величины, которая
зависит от первой.
ПРИМЕР:
Пусть известны приближенные значения (в см) с недостачей и с излишком длины а стороны равностороннего треугольника:
5,4 ≤ а ≤ 5,5.
Надо найти пределы периметра Р.
РЕШЕНИЕ:
Периметр равностороннего треугольника вычисляется по
формуле:
Р = 3а.
Из условия, что а ≥ 5,4 выплывает, что 3а
≥ 16,2.
Из условия, что а ≤ 5,5 выплывает, что 3а
≤ 16,5.
Числа 16,2 и 16,5
– приближенные значения периметра (в см) с недостачей и излишком:
16,2 ≤ Р ≤ 16,5.
Записать решение можно и так:
5,4 ≤ а ≤ 5,5,
5,4 ∙ 3 ≤ 3а ≤ 5,5 ∙ 3,
то есть
16,2 ≤ Р ≤ 16,5.
ПРИМЕР:
Пусть известны границы какого-то числа х:
3 < х < 6.
Надо оценить значение выражения 1/х.
РЕШЕНИЕ:
Из условия задачи определяем, что х –
число положительное.
Поскольку х ˃ 3, то
1/х < 1/3.
Поскольку х < 6, то
1/х ˃ 1/6.
Выходит, что
1/6 < 1/х < 1/3.
Заменим границы значения выражения 1/х десятичными дробями. Число 1/6 можно заменить лишь меньшим числом (любым приближением
с недостачей), а число 1/3 –
лишь больше (приближением с излишком). Поскольку
1/6 =
0,166…
1/3 =
0,333… ,
то границами значения выражения 1/х могут быть десятичные дроби 0,1 и 0,4.
0,1 < 1/х < 0,4.
Заменив нижнюю границу
числом 0,1, а верхнюю – числом 0,4, мы
расширили промежуток, которому принадлежат значения выражения 1/х.
Если бы мы сделали иначе, округлив бесконечные десятичные
дроби
0,166… и 0,333…
по известным правилам округления, то получили бы, что
0,2 < 1/х < 0,3.
Но тогда неизвестное нам точное значение выражения 1/х могло бы очутиться вне полученных границах.
Способ записи приближённых чисел.
Приближённые
значения обычно записывают так, чтобы по записи можно было судить о точности
приближения.
ПРИМЕР:
На рулоне обоев написано, что его длина равна
18 ±
0,3 м.
Эта запись означает, что длина рулона равна 18
м с точностью до 0,3
м, то есть точное значение длины может отличаться от
приближённого значения, равного 18 м, не более чем на
0,3 м.
Другими словами длина рулона должна находиться между
18
– 0,3 = 17,7 м и
18
+ 0,3 = 18,3 м.
ПРИМЕР:
Если измеряя длину
х
некоторой рейки, выявили, что она больше чем 6,427
м и меньше чем 6,429
м, то записывают:
х = 6,428 ± 0,001 м.
Говорят, что значение длины рейки найдено с точностью
до
0,001 м (одного миллиметра).
ПРИМЕР:
При приближённых вычислениях отличают запись 2,4 от 2,40, запись 0,02 от 0,0200 и так далее.
Запись 2,4 означает,
что верны только цифры целых и десятых, истинное же значение числа может быть,
например, 2,43 или 2,38 (при отбрасывании цифры 8 происходит округление в сторону увеличения
предшествующей цифры).
Запись 2,40 означает,
что верны и сотые доли, истинное число может быть 2,403 или 2,398, но не 2,421 и
не 2,382.
То же отличие производится и для целых чисел. Запись 382 означает, что все цифры верны, если же за
последнюю цифру ручаться нельзя, то число округляется, но записывается не в
виде 380,
а в виде 38
∙ 10. Запись же 380 означает, что
последняя цифра (0) верна.
Если в числе 4720 верны лишь первые
две цифры, его нужно записать в виде 47 ∙ 102,
или это число можно также записать в виде
4,7 ∙
103 и так далее.
Значащими
цифрами называются все верные цифры числа, кроме нулей, стоящих впереди числа.
ПРИМЕР:
В числе
0,00385 три значащие цифры.
В числе
0,03085 четыре значащие цифры,
В числе
2500 – четыре,
В числе
2,5 ∙
103 – две.
Число
значащих цифр некоторого числа называется его значностью.
Через то, что мы не
можем выполнить бесконечного процесса деления, то мы должны прекратить деление
на каком-либо десятичном знаке, то есть выполнить приближенное деление. Мы
можем, например, прекратить деление на первом десятичном знаке, то есть
ограничиться десятыми частями; в случае потребности мы можем остановиться на
втором десятичном знаке, ограничиться сотыми частями, и так далее. В таких
случаях говорят о приближенном превращении обычных дробей в десятичные. В этих
случаях говорят, что мы округляем бесконечную десятичную дробь. Округление
делается с той точностью, которая нужна для решения данной задачи.
Вычисления с приближенными
данными.
Вычисления с
приближенными данными постоянно используется в практических задачах, при этом
результат вычислений обычно округляют. Результат действий с приближёнными
числами есть тоже приближённое число. Выполняя некоторые действия над точными числами,
можно так же получить приближённые числа.
При сложении и вычитании приближённых чисел в
результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в
приближённом данном с наименьшим числом десятичных знаков, то есть оставляют в
результате столько знаков после запятой, сколько их содержится в менее точном
данном числе.
ПРИМЕР:
Пусть
х ≈ 17,2 и у
≈ 8,407.
Найдём приближённое значение суммы х
и у.
РЕШЕНИЕ:
Имеем:
х +
у ≈ 25,607.
Из данных приближённых значений 17,2
и 8,407
менее точным является первое. Округлив результат по первому данному, то
есть до десятых, получим:
х + у ≈ 25,6.
ПРИМЕР:
Пусть
х ≈ 6,784 и
у ≈ 4,91.
Найдём приближённое значение разности х
и у.
РЕШЕНИЕ:
Имеем:
х –
у ≈ 1,874.
Из данных приближённых значений 6,784
и 4,91
менее точным является второе. Округлив результат по второму данному, то есть.
до сотых, получим:
х –
у ≈ 1,87.
ПРИМЕР:
Найдите разность приближенных значений
х = 1,52
± 0,01 и
у = 0,27
± 0,02.
РЕШЕНИЕ:
Данным приближенным значением отвечают двойные
неравенства
1,51 ≤ х ≤ 1,53 и
0,25 ≤ у ≤ 0,29.
Умножим все части последнего двойного неравенства на –1, получим
–0,29 ≤ –у ≤ –0,25.
Прибавив это двойное неравенство к первому, получим
1,22 ≤ х – у ≤ 1,28, или
х – у = 1,25
± 0,03.
Несколько иначе
поступают при умножении и делении приближённых значений. Здесь округление
производится с учётом относительной точности данных. В
этом случае находят произведение или частное приближённых значений, и результат
округляют по менее точному данному, имея ввиду относительную точность. Для
этого исходные данные и полученный результат записывают в стандартном виде
а × 10n,
и множитель а результата округляют, оставляя в нём столько
знаков после запятой, сколько их имеет соответствующий множитель в менее точном
данном.
ПРИМЕР:
Пусть
х ≈ 0,86 и
у ≈ 27,1.
Найдём приближённое значение произведения х и у.
РЕШЕНИЕ:
Перемножив 0,86 и 27,1, получим:
ху ≈
23,306.
Запишем данные числа и результат в стандартном виде:
0,86 = 8,6 × 10-1;
27,1 = 2,71 × 101;
23,306 = 2,3306 × 101.
В множителе 8,6 одна цифра после запятой, а в множителе 2,71
две цифры после запятой. Округлим число 2,2306 по первому данному, то есть до десятых.
Получим:
ху ≈ 2,3 × 101 = 23.
ПРИМЕР:
Пусть
х ≈ 60,2 и
у ≈ 80,1.
Найдём приближённое значение произведения х и у.
РЕШЕНИЕ:
Известно, что все выписанные цифры верны, так что
истинные величины могут отличаться от приближённых лишь сотыми, тысячными и так
далее долями.
В произведении получаем
4822,02. Здесь
могут быть неверными не только цифры сотых и десятых, но и цифры единиц.
Пусть, например, сомножители получены округлением точных
чисел 60,23 и 80,14.
Тогда точное произведение будет 4826,8322, так что цифра единиц в приближённом произведении (2)
отличается от точной цифры (6) на 4 единицы.
ПРИМЕР:
Пусть
х ≈ 563,2 и
у ≈ 32.
Найдём приближённое значение частного х и у.
РЕШЕНИЕ:
Разделив 563,2 на 32, получим:
х :
у ≈ 17,6.
Запишем данные числа и результат в стандартном виде:
563,2 = 5,632 × 102;
32 = 3,2 × 10;
17,6 = 1,76 × 10.
Из этой записи видно, что число 1,76
следует округлить по второму данному, то есть до десятых. Получим:
х :
у ≈ 1,8 × 10
≈ 18.
При умножении и делении приближённых чисел нужно в
результатах сохранять столько значащих цифр, сколько их было в приближённом
данном с наименьшим числом значащих цифр.
Таким образом, при
сложении, вычитании, умножении и делении приближённых значений результат
округляется по менее точному данному. При этом при сложении и вычитании данные
числа записываются в десятичных дробях и менее точное данное определяется по
абсолютной точности, а при умножении и делении данные числа записываются в
стандартном виде и менее точное данное определяется по относительной точности.
Теория приближённых
вычислений позволяет:
– зная степень точности данных, оценить степень
точности результатов ещё до выполнения действий;
– брать данные с надлежащей степенью точности,
достаточной для обеспечения требуемой точности результата, но не слишком
большой, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчётов;
– рационализировать сам процесс вычисления,
освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры
результата.