Как найти предел тригонометрических функций функции - AvtoShod.ru

Пределы с тригонометрическими функциями

Существует множество различных пределов тригонометрических функций. На помощь могут прийти основные методы вычисления:

Первый замечательный предел и его следствие с тангенсом $$limlimits_{xto 0} frac{sin x}{x} = 1, qquad limlimits_{xto 0} frac{tg x}{x} = 1$$
Тригонометрические преобразования и формулы
Таблица бесконечно малых эквивалентных функций
Правило Лопиталя

Рассмотрим примеры подробного решения тригонометрических пределов для разбора каждого способа. Стоит отметить, что все методы можно комбинировать в одной задаче между собой для ускорения процесса вычисления.

Пример 1

Решить предел с тригонометрическими функциями с помощью первого замечательного предела $limlimits_{xto 0} frac{tg 2x}{sin3x}$

Решение

Подставляя $x=0$ в предел получаем неопределенность $(frac{0}{0})$. Сделаем преобразования в числителе и знаменателе таким образом, чтобы появился замечательный предел.

$$ tg 2x = frac{tg 2x}{2x} cdot 2x $$ $$ sin 3x = frac{sin 3x}{3x} cdot 3x $$

Подставляем получившиеся преобразования, чтобы применить формулу первого замечательного предела.

$$ limlimits_{xto 0} frac{frac{tg 2x}{2x} cdot 2x}{frac{sin 3x}{3x} cdot 3x} = limlimits_{xto 0} frac{1 cdot 2x}{1 cdot 3x} = $$

Теперь остается только сократить $x$ и записать ответ.

$$ = frac{2x}{3x} = frac{2}{3} $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$limlimits_{xto 0} frac{tg 2x}{sin3x} = frac{2}{3}$$

Пример 2

Вычислить предел с помощью тригонометрического преобразования $limlimits_{xto 0} frac{sqrt{4+x}-2}{1-cos 3x}$

Решение

Обратим внимание на корень в числителе. От него нужно избавиться путём умножения и деления на сопряженное к нему число (отличающееся знаком между слагаемыми).

$$limlimits_{xto 0} frac{(sqrt{4+x}-2)(sqrt{4+x}+2)}{(1-cos 3x)(sqrt{4+x}+2)} = $$

Теперь с помощью формулы разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2 — b^2$ упростим числитель.

$$ = limlimits_{xto 0} frac{4+x-4}{(1-cos 3x)(sqrt{4+x}+2)} = limlimits_{xto 0} frac{x}{(1-cos 3x)(sqrt{4+x}+2)} $$

В этой задаче не обойтись без тригонометрической формулы $1-cos x = 2sin^2 frac{x}{2}$. Выполним по ней преобразование выражение в знаменателе.

$$1-cos 3x = 2sin^2 frac{3x}{2}$$

$$ = limlimits_{xto 0} frac{x}{2sin^2 frac{3x}{2} (sqrt{4+x}+2)} = $$

Видим, что в знаменателе появился синус, а это значит, что можно избавиться от него с помощью первого замечательного предела. Как в предыдущем примере одновременно умножаем и делим на аргумент синуса.

$$ sin^2 frac{3x}{2} = (sin frac{3x}{2})^2 = (frac{sin frac{3x}{2}}{frac{3x}{2}} cdot frac{3x}{2})^2 $$

Подставляем преобразование синуса, чтобы применить замечательный предел.

$$ = limlimits_{xto 0} frac{x}{2(frac{sin frac{3x}{2}}{frac{3x}{2}} cdot frac{3x}{2})^2 (sqrt{4+x}+2)} = limlimits_{xto 0} frac{x}{frac{9x^2}{2}(sqrt{4+x}+2)} = $$

Выносим константу перед пределом и сокращаем $x$ в числителе и знаменателе.

$$ = frac{2}{9} limlimits_{xto 0} frac{1}{x(sqrt{4+x}+2)} = frac{2}{9} cdot (frac{1}{0}) = infty $$

Ответ

$$limlimits_{xto 0} frac{sqrt{4+x}-2}{1-cos 3x} = infty$$

Пример 3

Найти предел с помощью логарифмирования $limlimits_{xto 0} (tg x)^{sin x} $

Решение

Подставляя $x=0$ получаем неопределенность (0^0). Под пределом показательно-степенная функция, поэтому нужно воспользоваться логарифмированием и свести к неопределенности $(frac{infty}{infty})$, чтобы затем воспользоваться правилом Лопиталя.

$$limlimits_{xto 0} e^{sin x ln(tg x)} = limlimits_{xto 0} e^{frac{ln(tg x)}{frac{1}{sin x}}} = e^frac{infty}{infty} = $$

Берем производные числителя и знаменателя дроби, стоящей в показателе экспоненты.

$$ bigg(frac{ln(tg x)}{frac{1}{sin x}}bigg)’ = frac{frac{frac{1}{cos^2 x}}{tg x}}{-frac{cos x}{sin^2 x}} = frac{frac{1}{sin x cos x}}{-frac{cos x}{sin^2 x}} = -frac{sin x}{cos^2 x}$$

Подставляем полученное выражение под знак предела и применяем свойство предела для показательной функции.

$$ = limlimits_{xto 0} e^{ -frac{sin x}{cos^2 x}} = e^{-limlimits_{xto 0} frac{sin x}{cos^2 x} } = $$

Теперь, подставляя $x=0$ в предел, вычисляем окончательный ответ.

$$ = e^{-frac{0}{1}} = e^0 = 1 $$

Ответ

$$limlimits_{xto 0} (tg x)^{sin x} = 1$$

Пример 4

Взять предел путем замены на бесконечно малые эквивалентные функции $limlimits_{xto 0} frac{xarcsin 3x}{1-cos 2x}$

Решение

Итак, в пределе неопределенность ноль делить на ноль. Выполним замены на эквивалентные функции.

$$ arcsin 3x sim 3x $$ $$1-cos 2x sim 2x^2 $$

Подставляем в предел и получаем готовый ответ.

$$limlimits_{xto 0} frac{xarcsin 3x}{1-cos 2x} = limlimits_{xto 0} frac{xcdot 3x}{2x^2} = limlimits_{xto 0} frac{3x^2}{2x^2} = frac{3}{2} $$

Ответ

$$limlimits_{xto 0} frac{xarcsin 3x}{1-cos 2x} = frac{3}{2}$$

Источник

Простое объяснение принципов решения пределов тригонометрических функций и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения пределов тригонометрических функций

Для тригонометрических функций существует много разных пределов, но как правило, все они вычисляются, опираясь на первый замечательный предел и его следствия.

Первый замечательный предел выглядит следующим образом:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{sinx}{x}=1]$

Следствия первого замечательного предела

Главным следствием первого замечательного предела считают:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{tgx}{x}=1]$

Также следствиями являются:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{1 - cosx}{x^2}=1]$

$[lim_{xrightarrow 0}frac{arcsinx}{x}=1]$

$[lim_{xrightarrow 0}frac{arctgx}{x}=1]$

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Цена работы

Примеры решения пределов тригонометрических функций

Задание

Найти предел функции:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{sin(10x)}{3x}=]$

Решение

Заменим значение х на число, к которому стремится функция:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{sin(10x)}{3x}=begin{bmatrix}0\0end{bmatrix}=?]$

Так как мы пришли на неопределённость вида 0/0, преобразуем синус так, чтобы он стал вида первого замечательного предела:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{frac{sin(10x)}{10x}cdot 10x}{3x}=lim_{xrightarrow 0}frac{frac{sin(10x)}{10x}cdot 10}{3}]$

Мы знаем, что первый замечательный предел равен единице, следовательно

$[lim_{xrightarrow 0}frac{sin(10x)}{10x}=1]$

Таким образом найдём предел функции:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{frac{sin(10x)}{10x}cdot 10}{3}=frac{1cdot 10}{3}=frac{10}{3}]$

Задание

Найти предел функции:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{3x^2-5x}{sin3x}=]$

Решение

При замене х на число, к которому он стремится, снова получаем неопределённость

$[lim_{xrightarrow 0}frac{3x^2-5x}{sin3x}=begin{bmatrix}frac{0}{0}end{bmatrix}]$

Данную задачу можно решить, применив правило Лопиталя.

Найдём производные числителя и знаменателя функции и решим задачу:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{6x-5}{3cos3x}=frac{0-5}{3cdot 1}=-frac{5}{3}]$

Задание

Найти предел функции:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{1-cos2x}{4x^2}]$

Решение

При подстановке нуля получим неопределённость типа 0/0:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{1-cos2x}{4x^2}=frac{1-1}{0}=frac{0}{0}]$

Воспользуемся свойством

$[frac{1-cost}{2}=sin^2left(frac{t}{2} right)]$

Преобразуем функцию и упростим её:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{1-cos2x}{4x^2}=lim_{xrightarrow 0}frac{frac{2cdot (1-cos2x)}{2}}{4x^2}=lim_{xrightarrow 0}frac{2sin^2x}{4x^2}=lim_{xrightarrow 0}frac{sin^2x}{2x^2}]$

Вынесем константу ½ за лимит и, пользуюсь свойством первого замечательного предела, найдём передел данной функции:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{sin^2x}{2x^2}=frac{1}{2}lim_{xrightarrow 0}left(frac{sinx}{x} right)^2=frac{1}{2}cdot 1^2=frac{1}{2}cdot 1=frac{1}{2}]$

Задание

Найти предел функции:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{sin7x}{x^2+pi x}=]$

Решение

Если заменить x на число, придём к неопределённости 0/0:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{sin7x}{x^2+pi x}=left[ frac{0}{0}right]]$

Для решения данного примера применим правило Лопиталя и заменим х на число в производных:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{7cos7x}{2x+pi}=left[ frac{7cos0}{2 cdot0 + pi } =frac{7cdot 1}{pi }right]=frac{7}{pi}]$

Задание

Вычислить предел функции:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{cosx-cos5x}{2x^2}=]$

Решение

Для решения данного примера воспользуемся свойством разности косинусов:

$[cosalpha -cosbeta =-2cdot sinfrac{alpha +beta }{2}cdot sinfrac{alpha -beta }{2}]$

и получим

$[lim_{xrightarrow 0}frac{-2cdot sin3xcdot sin2x}{2x^2}=]$

Вынесем минус за лимит, дабы не потерять и продолжим решение. Для решения задачи приведём функцию к виду первого замечательного предела. Для этого нужно разделить дробь на множители и добавить в знаменатель коэффициент, равный коэффициенту в числителе. А потом упростим выражение:

$[-lim_{xrightarrow 0}frac{sin3x}{x}cdot frac{sin2x}{x}=-lim_{xrightarrow 0}frac{sin3x}{frac{3x}{3}}cdot frac{sin2x}{frac{2x}{2}}=-lim_{xrightarrow 0}frac{3sin3x}{3x}cdot frac{2sin2x}{2x}=]$

Снова вынесем константы за лимит и получим вид первого замечательного предела, с помощью которого приходим к искомому решению:

$[-6lim_{xrightarrow 0}frac{sin3x}{3x}cdot frac{sin2x}{2x}=-6cdot 1cdot 1=-6]$

Задание

Вычислить предел функции:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{sinx-tgx}{x^3}=]$

Решение

При подстановке х снова получаем неопределённость

$[lim_{xrightarrow 0}frac{sinx-tgx}{x^3}=left[ frac{0}{0} right]]$

Значит будем искать передел путём приведения к виду первого замечательного предела.

Представим тангенс в виде частного синуса х и косинуса х

$[lim_{xrightarrow 0}frac{sinx-tgx}{x^3}=lim_{xrightarrow 0}frac{sinx-frac{sinx}{cosx}}{x^3}=lim_{xrightarrow 0}frac{sinx(1-frac{1}{cosx})}{x^3}=]$

Приведём к общему знаменателю и разделим выражение на множители следующим образом:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{sinx(1-frac{1}{cosx})}{x^3}=lim_{xrightarrow 0}frac{sinx}{x}cdot lim_{xrightarrow 0}frac{1-frac{1}{cosx}}{x^2}]$

Мы видим первый замечательный предел, а значит, можем упростить до:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{sinx}{x}=1]$

Далее снова приведём числитель к общему знаменателю:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{1-frac{1}{cosx}}{x^2}=lim_{xrightarrow 0}frac{frac{cosx-1}{cosx}}{x^2}=lim_{xrightarrow 0}frac{cosx-1}{x^2cdot cosx}=]$

Вновь разделим на множители и подставим значение х во второй косинус:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{cosx-1}{x^2}cdot lim_{xrightarrow 0}frac{1}{cosx}=lim_{xrightarrow 0}frac{cosx-1}{x^2}cdot 1=]$

Таким образом нам остаётся разобраться с первым числителем. Поменяем местами 1 и косинус и вынесем минус за лимит.

Далее воспользуемся формулой понижения степени и найдём решение:

$[-lim_{xrightarrow 0}frac{1-cosx}{x^2}=-lim_{xrightarrow 0}frac{2sin^2frac{x}{2}}{x^2}=-lim_{xrightarrow 0}2cdot left( frac{sinfrac{x}{2}}{x}right)^2=-2lim_{xrightarrow 0}left( frac{sinfrac{x}{2}}{frac{2x}{2}}right)^2=-frac{1}{2}cdot 1^2=-frac{1}{2}]$

Задание

Вычислить предел функции:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{sin3x}{tg2x}]$

Решение

При простом вычислении получаем неопределённость

$[lim_{xrightarrow 0}frac{sin3x}{tg2x}=left[frac{0}{0} right ]]$

Следовательно, будем вычислять предел, опираясь на правило первого замечательного предела. Приведём тангенс к виду частного синуса и косинуса:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{sin3x}{tg2x}=lim_{xrightarrow 0}frac{sin3x}{frac{sin2x}{cos2x}}=lim_{xrightarrow 0}frac{sin3x cdot cos2x}{sin2x}=]$

Разделим пример на множители.

Приведём синусы к виду первого замечательного предела и получим ответ:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{sin3x}{sin2x}cdot lim_{xrightarrow 0}cos2x=lim_{xrightarrow 0}frac{frac{3xcdot sin3x}{3x}}{frac{2xcdot sin2x}{2x}}cdot 1=lim_{xrightarrow 0}frac{3x}{2x}cdot frac{frac{sin3x}{3x}}{frac{sin2x}{2x}}=frac{3}{2}cdotfrac{1}{1}=frac{3}{2}]$

Задание

Найти предел функции:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{sin^2x-tg^2x}{x^4}=]$

Решение

При подставлении числа на место х приходим к неопределённости типа 0/0:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{sin^2x-tg^2x}{x^4}=left[frac{0}{0} right ]]$

Преобразуем tg, приведем выражение к общему знаменателю cos x, вынесем общий множитель – sin x за скобку:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{sin^2x-tg^2x}{x^4}=lim_{xrightarrow 0}frac{sin^2x-frac{sin^2x}{cos^2x}}{x^4}=lim_{xrightarrow 0}frac{frac{sin^2xcdot cos^2x-sin^2x}{cos^2x}}{x^4}=]$

$[= lim_{xrightarrow 0}frac{frac{-sin^2x(1-cos^2x)}{cos^2x}}{x^4}=]$

Используя следствие из первого замечательного предела, преобразим выражение и избавимся от тангенса.

Затем вновь приведем функцию к следствию первого замечательного предела и найдем ответ:

$[lim_{xrightarrow 0}frac{-tg^2x}{x^2}cdot frac{frac{1-cos^2x}{cos^2x}}{x^2}=lim_{xrightarrow 0}- left(frac{tgx}{x} right)^2cdot frac{frac{sin^2x}{cos^2x}}{x^2}=]$

$[= lim_{xrightarrow 0} left(-1^2 cdot frac{tg^2x}{x^2} right)=lim_{xrightarrow 0}left(-left(frac{tgx}{x} right)^2 right)=lim_{xrightarrow 0}left(-left(1 right )^2 right )=-1]$

Задание

Найти предел функции:

$[lim_{xrightarrow 0} left(1-x right) cdot tgfrac{pi x}{2}]$

Решение

При подстановке числа видим неопределённость.

$[lim_{xrightarrow 0} left(1-x right) cdot tgfrac{pi x}{2}=left[ 0 cdot infty right ]]$

Следовательно, искать предел будем, опираясь на правило первого замечательного предела. Для этого заменим переменную, которая будет стремиться к нулю:

Подставим в функцию:

$[lim_{trightarrow 0}tcdot tgfrac{pileft(1-t right)}{2}=lim_{trightarrow 0}t cdot tg left(frac{pi}{2}-frac{pi t}{2} right)=]$

Опираясь на свойства тригонометрии, заменим тангенс.

$[lim_{trightarrow 0}t cdot tg left(frac{pi}{2}-frac{pi t}{2} right)=lim_{trightarrow 0}t cdot ctg left(frac{pi t}{2} right)=lim_{trightarrow 0}frac{t cdot cos left(frac{pi t}{2} right )}{sin left(frac{pi t}{2} right )}=]$

Зная, что предел косинуса нуля = 1, преобразуем пример и приведём к виду первого замечательного предела.

Найдём ответ.

$[lim_{trightarrow 0}frac{t cdot cos left(frac{pi t}{2} right )}{sin left(frac{pi t}{2} right )}=lim_{trightarrow 0}frac{t cdot 1 cdot frac{pi}{2} cdot frac{2}{pi}}{sin left(frac{pi t}{2} right )}=frac{2}{pi}lim_{trightarrow 0}left(frac{sinleft(frac{pi t}{2} right )}{frac{pi t}{2}} right )^{-1}=frac{2}{pi} cdot left(1 right )^{-1}=frac{2}{pi}]$

Задание

Вычислить предел функции:

$[lim_{trightarrow 0}frac{arcsin3x}{2x}=]$

Решение

Здесь так же получим неопределённость:

$[lim_{trightarrow 0}frac{arcsin3x}{2x}=left[frac{0}{0} right ]]$

Значит, введём новую переменную t:

$[x=frac{1}{3}sint]$

Подставим получившиеся значения в пример и найдём предел:

$[lim_{trightarrow 0}frac{t}{2 cdot sin3x}=lim_{trightarrow 0}frac{t}{2 cdot frac{1}{3}sint}=frac{3}{2}lim_{trightarrow 0}left( frac{sint}{t}right )^{-1}=frac{3}{2}]$

Источник

Решение пределов с тригонометрией. Примеры с решением

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Определение пределов относится в вводному курсу математического анализа. Будем считать, что основные определения о числовых последовательностях, функциях и пределах читателю известны.

Многие задачи в математическом анализе требуют умения решать пределы с тригонометрией.

Обычно под пониманием решения предела с тригонометрией понимается решение первого замечательного предела ($xto 0$). В подробностях теоретической части о замечательных пределах разбираться здесь не будем. Условимся, что нам уже известно и графическое представление, и определение первого замечательного предела, и теоремы о пределах. Основная задача данной статьи — продемонстрировать примеры решений пределов с тригонометрией. Поэтому перейдём сразу к ним.

Примеры с первым замечательным пределом

Пример 1

Нужно найти

Рисунок 1. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Имеем неопределённость вида $[frac{0}{0}]$. Займёмся преобразованием дроби и воспользуемся теоремами о пределе произведения и первом замечательном пределе.

Рисунок 2. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 2

Найдём

Рисунок 3. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Чтобы вычислить этот предел воспользуемся первым замечательным пределом, а также непрерывностью функции косинуса $x$ и теоремой о пределе произведения:

Рисунок 4. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 3

Рисунок 5. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Воспользуемся определением функции тангенс $x$, непрерывностью функции косинус $x$ и первым замечательным пределом:

Рисунок 6. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример с таблицей сравнения бесконечно малых функций

Следующий пример будет основан на свойствах эквивалентных бесконечно малых функций. Для решения напомним таблицу сравнения бесконечно малых функций:

Рисунок 7. Таблица сравнения бесконечно малых функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 4

Найдём

Рисунок 8. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Заменим числитель и знаменатель эквивалентными бесконечно малыми из приведённой таблицы:

Рисунок 9. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 13.05.2023

Источник

Пределы тригонометрических функций чаще всего находятся с помощью 1-го замечательного предела и следствий из него. Проиллюстрируем решение пределов тригонометрических функций на конкретных примерах. Сам 1й замечательный предел

$[mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{sin x}}{x} = 1]$

и одно из его следствий (есть и другие, но о них — позже):

$[mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{tgx}}{x} = 1]$

(Здесь угол x выражен в радианах). Итак, примеры на пределы тригонометрических функций, которые решаются через 1й замечательный предел.

Найти пределы:

$[1)mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{sin (10x)}}{{3x}} = left[ {frac{0}{0}} right] = ?]$

чтобы раскрыть неопределенность вида ноль на ноль, используем 1й замечательный предел:

$[ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{frac{{sin (10x)}}{{10x}} cdot 10x}}{{3x}} = ]$

Сокращаем числитель и знаменатель на x:

$[ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{frac{{sin (10x)}}{{10x}} cdot 10}}{3} = ]$

Так как по 1-му замечательному пределу

$[mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{sin (10x)}}{{10x}} = 1,]$

окончательно получаем, что

$[ = frac{{1 cdot 10}}{3} = frac{{10}}{3}.]$

$[2)mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{{sin }^2}5x}}{{7{x^2}}} = left[ {frac{0}{0}} right] = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{{(frac{{sin 5x}}{{5x}})}^2} cdot 25{x^2}}}{{7{x^2}}} = ]$

$[ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{{(frac{{sin 5x}}{{5x}})}^2} cdot 25}}{7} = frac{{{1^2} cdot 25}}{7} = frac{{25}}{7}.]$

$[3)mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{tg(9x)}}{{sin (15x)}} = left[ {frac{0}{0}} right] = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{frac{{tg(9x)}}{{9x}} cdot 9x}}{{frac{{sin (15x)}}{{15x}} cdot 15x}} = frac{{1 cdot 9}}{{1 cdot 15}} = frac{3}{5}.]$

Решение пределов тригонометрических функций зачастую требует привлечения тригонометрических формул. Например, из тригонометрической единицы следует, что

$[1 - {cos ^2}alpha = {sin ^2}alpha ]$

$[4)mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{1 - {{cos }^2}4x}}{{3x cdot tg5x}} = left[ {frac{0}{0}} right] = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{{sin }^2}4x}}{{3x cdot tg5x}} = ]$

$[ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{{(frac{{sin 4x}}{{4x}})}^2} cdot 16{x^2}}}{{3x cdot frac{{tg5x}}{{5x}} cdot 5x}} = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{{(frac{{sin 4x}}{{4x}})}^2} cdot 16}}{{3 cdot frac{{tg5x}}{{5x}} cdot 5}} = frac{{16}}{{15}}.]$

$[5)mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{6{x^2}}}{{1 - cos 10x}} = left[ {frac{0}{0}} right] = ]$

используем формулу

$[1 - cos alpha = 2{sin ^2}frac{alpha }{2}]$

$[ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{6{x^2}}}{{2{{sin }^2}5x}} = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{3{x^2}}}{{{{(frac{{sin 5x}}{{5x}})}^2} cdot 25{x^2}}} = frac{3}{{25}}.]$

В следующем пункте пределы тригонометрических функций будем находить с помощью следствий из 1-го замечательного предела.

Источник

Добавил:

Upload

Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Предмет:

Файл:

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

510.96 Кб

Скачать

=[tg x x, sin x x ï ðè x →0]= lim	x	− lim	x	= lim	1	− lim	1	=[∞ −∞].

x→0 x3	x→0 x3	x→0 x2	x→0 x2

При вычислении пределов, содержащих тригонометрические функции, как правило, приходится обращаться к таблице эквивалентностей, предварительно преобразовав выражение с помощью тригонометрических формул.

sin

2 x

Пример 2.20. Вычислить

lim

x→0 arcsin

2 x

sin

Решение.

lim

x→0 arcsin

= sin

ï ðè x →0 = lim

= 1 .

, arcsin

= lim

2 2

x→0

x→0 x2

Пример 2.21. Вычислить

lim tg x −sin x .

x→0

Решение. Вычислить этот предел в 2.4 не удалось. Рассмотрим другой путь рассуждений. С помощью преобразований перейдем в числителе от разности бесконечно малых к произведению бесконечно малых и заменим эквивалентными в произведении.

sin x

lim tg x −sin x =

= lim cos x −sin x =

lim sin x −sin xcos x =

x→0

x3 cos x

sin x(1 −cos x)

при x →0]= lim

= lim

sin x x, 1 −cos x

x3 cos x

x→0

x→0 x3 cos x

= lim

= 1 .

2cos x

x→0

В некоторых случаях применение тригонометрических преобразований позволяет раскрыть неопределенность, не обращаясь к таблице эквивалентностей.

cos

−sin

Пример 2.22. Вычислить

lim

cos x

x→2

Решение. Так как cos

−sin π

−

= 0

и cos

= 0 , то имеем неоп-

ределенность 00 . Имеет смысл преобразовать знаменатель по формуле

cos x = cos2 2x −sin2 2x , а потом разложить знаменатель на множители как раз-

ность квадратов. После сокращения общего множителя в числителе и знаменателе, неопределенность уйдет:

cos

−sin

cos

−sin

lim

= lim

cos x

x→π2

x→π2 cos2

−sin2

cos

−sin

= limπ

x→2 cos

−sin

cos

+sin

x→2 cos

+sin

− x

tg x .

Пример 2.23. Вычислить lim

x→

Решение.

Известно,

что

lim tg x = ∞.

Выражение, стоящее под знаком

x→π

предела, дает неопределенность 0 ∞ при x → π2 . Уничтожить неопределен-

ность только посредством преобразований, как это было сделано примере 2.22, не удастся. Сделаем замену переменной так, чтобы новая переменная

стремилась к нулю. Положим y = x −	π	, y →0	при	x →	π	, а	x = y +	π	. Да-
	2						2			2
				π	= −ctg y :
лее воспользуемся формулой приведения tg y +	2

lim

∞]=

y = x −

, y →0

= lim

− x tg x =[0

(−y)tg y +

x→π 2

y→0

= lim y ctg y = lim	y cos y	=[sin y y, y →0]= lim	y cos y	= lim cos y =1.
sin y	y
y→0	y→0	y→0	y→0

Замечание. Предел lim sin 3x также вычисляется путем замены пере- x→πsin 2x

менной: y = x −π и последующим применением формул приведения. Однако было бы ошибкой сразу прибегнуть к таблице эквивалентностей: sin 3x 3x, sin 2x 2x . Дело в том, что аргументы данных функций – 2x и 3x не являются бесконечно малыми при x → π.

2.6.Пределы выражений, содержащих показательную, логарифмическую и степенную функции

Пример 2.24. Вычислить lim 3x −3−x . x→0 x

Решение. Так как 30 =1, то выражение, стоящее под знаком предела, при x →0 дает неопределенность 00 . Воспользуемся свойствами показательной

функции: ax a y = ax+y ,

a−x =

и преобразуем числитель дроби следую-

3x 3x −1

32x −1

щим образом: 3x −3−x =

3x −

. Тогда

lim

3x −3−x

32x −1

2xln 3 при x →0]= lim

2xln 3

= lim

x→0

x→0 3x x

= lim 2 ln 3

= 2 ln 3

= 2ln 3 .

x→0 3x

x ln (x + 2)

Пример 2.25. Вычислить

lim

−ln x .

x→∞

Решение. В скобках воспользуемся свойством логарифмической функ-

ции: loga N1 −loga N2 = loga N1 и выделим в аргументе логарифма единицу:

ln (x + 2)−ln x = ln	x + 2			2				2
	= ln 1	+		Легко видеть, что	ln 1	+		→ln1 = 0 , а
x
			x				x

выражение α(x) = 2x →0 при x →∞. По таблице эквивалентностей имеем:

при x →∞,

lim

x ln (x + 2)−ln x =

ln 1

x→∞

x + 2

=[∞ 0]= lim x

= lim xln

= lim xln 1 +

= 2 .

x→∞

Пример 2.26. Вычислить lim

ln x −1 .

x→e

x −e

Решение. Поскольку по определению логарифма ln e =1, надо раскрыть

неопределенность

0 . Введем новую переменную, так чтобы она стремилась

к нулю и сделаем замену в пределе:

ln (y +e)−1

lim

ln x −1

= 0

=[y = x −e, y →0 при x →е, x = y + e]= lim

x −e

x→e

y→0

[

ln e =1 =

lim

ln (y +e)−ln e

ln N −ln N

= ln

]

y→0

при y

lim

= ln

→0

= lim

y→0

Пример 2.27. Вычислить lim

3 x4

−1

5 x

−1

x→1

	y +e
	ln
e
lim		=
	y
y→0

= e−1.

Решение. Применим к степенным выражениям соотношение

= x n

и сделаем в пределе замену

y = x −1 с целью воспользоваться эквивалентно-

стью (y +1)m −1 m y при y →0 . Тогда lim

3 x4 −1

x→1

5 x −1

−1

(y +1)

−1 =

= lim

=[y = x −1, y →0 ï ðè x →1, x = y +1]= lim

−1

y→0

−1

x→1 x5

(y +1)5

4 y

4 5

= (y +1)3 −1

(y +1)5

−1

y ï ðè y →0

= lim

y→0

Соседние файлы в папке 1k2s_all

Источник

Пределы с тригонометрическими функциями

Алгоритм решения пределов тригонометрических функций

Примеры решения пределов тригонометрических функций

Решение пределов с тригонометрией. Примеры с решением

Примеры с первым замечательным пределом

Пример с таблицей сравнения бесконечно малых функций

2.6.Пределы выражений, содержащих показательную, логарифмическую и степенную функции

Не пропустите также: