Как найти предел плюс бесконечности - AvtoShod.ru

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №8. Предел функции на бесконечности.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1)понятие бесконечности;

2) определение предела функции на плюс бесконечности;

2) определение предела функции на минус бесконечности;

3) правила вычисления пределов функции на бесконечности;

4) формулы вычисления предела функции на бесконечности;

5) нахождение горизонтальные, вертикальные, наклонные асимптоты.

Глоссарий по теме

Бесконечность – сколь угодно большое(малое), безграничное число.

Дробно-рациональная функция – это такая алгебраическая дробь, у которой числитель и знаменатель представляют собой многочлены некоторой степени.

Прямая линия называется асимптотой графика функции, если график функции неограниченно сближается с этой прямой при удалении точки графика в бесконечность.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Понятие «бесконечность» используется для характеристики безграничных, беспредельных, неисчерпаемых предметов и явлений, в нашем случае характеристика чисел.

Бесконечность – сколь угодно большое(малое), безграничное число.

Если рассмотреть координатную плоскость, то ось абсцисс(ординат) уходит на бесконечность, если ее безгранично продолжать влево или вправо (вниз или вверх).

Теперь давайте перейдем к пределу функции на плюс и минус бесконечности.

Предел функции на плюс бесконечности.

Пусть у нас есть функция y=f(x), область определения нашей функции содержит луч [a; +∞), и пусть прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на математическом языке:

Предел функции на минус бесконечности.

Посмотрим немного другой случай:

Пусть у нас есть функция y=f(x), область определения нашей функции содержит луч (-∞; a], и пусть прямая y=b является горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x), запишем все это на математическом языке:

Предел функции на бесконечности.

Так же наши соотношения могут выполняться одновременно:

Тогда принято записывать как:

Для вычисления предела на бесконечности пользуются несколькими утверждениями.

Основные свойства:

Для любого натурально числа m справедливо следующее соотношение:

Если и

а) Предел суммы равен сумме пределов:

б) Предел произведения равен произведению пределов:

в) Предел частного равен частному пределов:

г) Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

А теперь давайте перейдем к дробно — рациональной функции.

Дробно-линейная функция представляет собой частный случай дробно-рациональной функции.

Дробно-линейная функция – это такая алгебраическая дробь , у которой числитель и знаменатель представляют собой линейные функции.

Во всякой дробно-линейной функции можно выделить целую часть.

Прямая линия называется асимптотой графика функции, если график функции неограниченно сближается с этой прямой при удалении точки графика в бесконечность.

x=a уравнение вертикальной асимптоты

y=b уравнение горизонтальной асимптоты

y=kx+b уравнение наклонной асимптоты

Перейдем к практической части.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример1. Вычислить пределы функций:

а)

б)

в)

г)

Пример 2. Построим график функции .

Преобразуем функцию с выделением целой части:

Дробно-линейная функция имеет две асимптоты: горизонтальную и вертикальную.

y=2 горизонтальная асимптота

x=1 вертикальная асимптота, т.к.

Точки пересечения графика с осями координат:

при x=0 y=3 , точка (0; 3)

при y=0 x=1,5 , точка (1,5; 0)

Пример 3

Построить график функции .

Преобразуем функцию с выделением целой части

y=2x наклонная асимптота

X=0 вертикальная асимптота

функция ни четная, ни нечетная.

точки пересечения графика с осями координат:

Приy=0

, точка

с осью ординат график функции не пересекается, т.к. эта ось есть асимптота.

y’=0

x_кр=1

6) y(1)=3

7) Построим график

Источник

Определения
Пусть
на некотором числовом множестве
задана числовая
функция
и
число
— предельная
точка области
определения
.
Существуют различные определения для
односторонних пределов функции
в
точке
,
но все они эквивалентны.

Односторонний
предел по Гейне

Число
называется левосторонним
пределом (левым
пределом, пределом
слева)
функции
в
точке
,
если для всякой последовательности
,
состоящей из точек, меньших числа
,
которая сама сходится к числу
,
соответствующая последовательность
значений функции
сходится
к числу
.^[1]

Односторонний
предел по Коши

Число
называется левосторонним
пределом (левым
пределом, пределом
слева)
функции
в
точке
,
если для всякого положительного
числа
отыщется
отвечающее ему положительное число
,
такое, что для всех точек
из
интервала
справедливо
неравенство
.^[1]

Обозначения

Правосторонний
предел принято обозначать любым из
нижеследующих способов:

Аналогичным
образом для левосторонних пределов
приняты обозначения:

При
этом используются также сокращённые
обозначения:
- и
  для
  правого предела;
- и
  для
  левого предела.

Свойства

Основные
свойства односторонних пределов
идентичны свойствам
обычных пределов и
являются частными случаями свойств
пределов вдоль фильтра.
Для
существования (двустороннего) предела
функции необходимо
и достаточно,
чтобы оба односторонних предела
существовали и равнялись между собой.

21. Пределы функций в бесконечности. Бесконечный предел.

Пределы
на бесконечности

Предел
функции на бесконечности описывает
поведение значения данной функции,
когда её аргумент становится бесконечно
большим. Существуют различные определения
таких пределов, но они эквивалентны
между собой.

Предел
на бесконечности по Коши

Пусть
числовая функция
задана
на множестве
,
в котором отыщется сколь угодно большой
элемент, то есть для всякого
положительного
в
нём найдётся элемент, лежащий за
границами отрезка
.
В этом случае число
называется
пределом функции
на
бесконечности,
если для произвольного положительного
числа
отыщется
отвечающее ему положительное
число
такое,
что для всех точек, превышающих
по абсолютному
значению,
справедливо неравенство
.

Пусть
числовая функция
задана
на множестве
,
в котором для любого числа
найдётся
элемент, лежащий правее него. В этом
случае число
называется
пределом функции
на
плюс бесконечности,
если для произвольного положительного
числа
отыщется
отвечающее ему положительное
число
такое,
что для всех точек, лежащих правее
,
справедливо неравенство
.

Пусть
числовая функция
задана
на множестве
,
в котором для любого числа
найдётся
элемент, лежащий левее него. В этом
случае число
называется
пределом функции
на
минус бесконечности,
если для произвольного положительного
числа
отыщется
отвечающее ему положительное
число
такое,
что для всех точек, лежащих левее
,
справедливо неравенство
.

Окрестностное
определение по Коши

Пусть
функция
определена
на множестве
,
имеющем элементы вне любой окрестности нуля.
В этом случае точка
называется
пределом функции
на
бесконечности,
если для любой её малой окрестности
найдётся достаточно большая окрестность
нуля, что значения функции в точках,
лежащих вне этой окрестности нуля,
попадают в эту окрестность точки
.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Как решать пределы с бесконечностью

Рассмотрим основные типы неопределенностей пределов на бесконечности с примерами решений:

$ [frac{0}{0}] $
$ [infty — infty] $
$[frac{infty}{infty}]^{[infty]}$ и $[1 ^ infty] $

Пример 1

Вычислить предел функции, стремящейся к бесконечности $ lim limits_{x to infty} frac{x^3-4x+1}{x^3+x^2-2} $

Решение

Первым делом подставляем $ xto infty $ в предел, чтобы попытаться его вычислить.
$$ limlimits_{x to infty} frac{x^3-4x+1}{x^3+x^2-2} = frac{infty}{infty} = $$

Вычисление не дало результата, так как появилась неопределенность. Чтобы устранить её, вынесем за скобки в числителе и знаменателе $x$ с наибольшей степенью.

$$limlimits_{x to infty} frac{x^3(1 — frac{4}{x^2} + frac{1}{x^3})}{x^3(1+frac{1}{x}-frac{2}{x^3})} = limlimits_{x to infty} frac{1 — frac{4}{x^2} + frac{1}{x^3}}{1+frac{1}{x}-frac{2}{x^3}} = $$

Максимальная степень у $x^3$, поэтому вынесли именно её, а затем выполнили сокращение. Пользуясь тем, что $limlimits_{xto infty} frac{1}{x} = 0$ получаем ответ.

$$ = frac{1-0+0}{1+0-0} = frac{1}{1} = 1 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ limlimits_{x to infty} frac{x^3-4x+1}{x^3+x^2-2} = 1 $$

Пример 2

Решить предел с бесконечностью $limlimits_{xto infty} sqrt{x^2+1}-x$

Решение

Так как предел стремится к бесконечности, то подставляем её в функцию под знаком предела.

$$limlimits_{xto infty} sqrt{x^2+1}-x = [infty — infty] $$

Получили неопределенность. Для избавления от неё умножим и разделим функцию под знаком предела на сопряженную к ней. Она будет отличаться только одним знаком.

$$limlimits_{xto infty} sqrt{x^2+1}-x = limlimits_{xto infty} frac{(sqrt{x^2+1}-x)(sqrt{x^2+1}+x)}{sqrt{x^2+1}+x} = $$

По формуле разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $ сворачиваем числитель. А знаменатель пока не трогаем.

$$ = limlimits_{xto infty} frac{x^2+1 — x^2}{sqrt{x^2+1}+x} = limlimits_{xto infty} frac{1}{sqrt{x^2+1}+x} = $$

Снова подставляем бесконечность в предел и получаем $frac{1}{infty}$, что равняется нулю. Поэтому записываем сразу ответ.

$$ = limlimits_{xto infty} frac{1}{sqrt{x^2+1}+x} = frac{1}{infty} = 0 $$

Ответ

$$limlimits_{xto infty} sqrt{x^2+1}-x = 0 $$

Пример 3

Решить предел на бесконечности $limlimits_{x to infty} bigg (frac{3x-4}{3x+2} bigg)^frac{x+1}{2} $

Решение

При подстановке $x to infty $ в предел получаем неопределенность. $$ limlimits_{x to infty} bigg (frac{3x-4}{3x+2} bigg)^frac{x+1}{2} = bigg[frac{infty}{infty}bigg]^{[infty]} $$

Для решения примера понадобится формула второго замечательного предела. $$limlimits_{xto infty} bigg(1+frac{1}{x} bigg)^x = e qquad (1) $$

Из выражения, стоящего под знаком предела вычитаем единицу, чтобы его подстроить под формулу (1).

$$frac{3x-4}{3x+2} — 1 = frac{3x-4 — 3x — 2}{3x+2} = frac{-6}{3x+2} $$

Перепишем предел из условия задачи в новом виде и подставим в него $xto infty$.

$$ limlimits_{xto infty} bigg (1 + frac{-6}{3x+2} bigg )^frac{x+1}{2} = [1]^infty $$

Пользуясь формулой (1) проведем вычисление лимита. В скобках перевернем дробь.

$$limlimits_{xto infty} bigg (1 + frac{-6}{3x+2} bigg )^frac{x+1}{2} = limlimits_{xto infty} bigg (1 + frac{1}{frac{3x+2}{-6}} bigg )^frac{x+1}{2} = $$

По условиями формулы второго замечательного предела (1) в скобках знаменатель дроби должен быть равен степени за скобкой. Выполним преобразование степени. Для этого умножим и разделим на $frac{3x+2}{-6}$.

$$ = limlimits_{xto infty} bigg (1 + frac{1}{frac{3x+2}{-6}} bigg )^{frac{3x+2}{-6} cdot frac{-6}{3x+2} cdot frac{x+1}{2}} = limlimits_{x to infty} e^{frac{-6}{3x+2} cdot frac{x+1}{2}} = $$

Остаётся сократить степень экспоненты и найти её предел.

$$ = limlimits_{x to infty} e^frac{-3x-3}{3x+2} = e^{limlimits_{xto infty} frac{-3x-3}{3x+2}} = $$

Предел дроби равен отношению коэффициентов при старшей степени $x$.

$$ = e^frac{-3}{3} = e^{-1} = frac{1}{e} $$

Ответ

$$ limlimits_{x to infty} bigg (frac{3x-4}{3x+2} bigg)^frac{x+1}{2} = frac{1}{e} $$

Источник

В данной публикации мы рассмотрим одно из главных понятий математического анализа – предел функции: его определение, а также различные способы решения с практическими примерами.

Определение предела функции
Решение пределов
- С заданным числом
- С бесконечностью
- С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)
- С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)

Определение предела функции

Предел функции – величина, к которой стремится значение данной функции при стремлении ее аргумента к предельной для области определения точке.

Запись предела:

предел обозначается значком lim;
под ним добавляется, к какому значению стремится аргумент (переменная) функции. Обычно, это x, но не обязательно, например: “x→1″;
затем справа дописывается сама функция, например:

Таким образом, финальная запись предела выглядит выглядит так (в нашем случае):

Читается как “предел функции при икс, стремящемся к единице”.

x→1 – это значит, что “икс” последовательно принимает значения, которые бесконечно приближаются к единице, но никогда с ней не совпадут (ее не достигнут).

Решение пределов

С заданным числом

Давайте решим рассмотренный выше предел. Для этого просто подставляем единицу в функцию (т.к. x→1):

Таким образом, чтобы решить предел, сперва пробуем просто подставить заданное число в функцию под ним (если икс стремится к конкретному числу).

С бесконечностью

В данному случае аргумент функции бесконечно возрастает, то есть “икс” стремится к бесконечности (∞). Например:

Если x→∞, то заданная функция стремится к минус бесконечности (-∞), т.к.:

3 – 1 = 2
3 – 10 = -7
3 – 100 = -97
3 – 1000 – 997 и т.д.

Другой более сложный пример

Для того, чтобы решить этот предел, также, просто увеличиваем значения x и смотрим на “поведение” функции при этом.

При x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
При x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
При x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Таким образом при “икс”, стремящемся к бесконечности, функция x² + 3x – 6 неограниченно растет.

С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)

В данном случае речь идет про пределы, когда функция – это дробь, числитель и знаменатель которой представляют собой многочлены. При этом “икс” стремится к бесконечности.

Пример: давайте вычислим предел ниже.

Решение

Выражения и в числителе, и а знаменателе стремятся к бесконечности. Можно предположить, что в таком случае решение будет таким:

Однако не все так просто. Чтобы решить предел нам нужно сделать следующее:

1. Находим x в старшей степени для числителя (в нашем случае – это два).

2. Аналогичным образом определяем x в старшей степени для знаменателя (тоже равняется двум).

3. Теперь делим и числитель, и знаменатель на x в старшей степени. В нашем случае в обоих случаях – во второй, но если бы они были разные, следовало бы взять наибольшую степень.

4. В получившемся результате все дроби стремятся к нулю, следовательно ответ равен 1/2.

С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)

И в числителе, и в знаменателе представлены многочлены, однако, “икс” стремится к конкретному числу, а не к бесконечности.

В данном случае условно закрываем глаза на то, что в знаменателе стоит ноль.

Пример: Найдем предел функции ниже.

Решение

1. Для начала подставим в функцию число 1, к которому стремится “икс”. Получаем неопределенность рассматриваемого нами вида.

2. Далее раскладываем числитель и знаменатель на множители. Для этого можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, если они подходят, или решить квадратное уравнение.

В нашем случаем корнями выражения в числителе (2x² – 5x + 3 = 0) являются числа 1 и 1,5. Следовательно его можно представить в виде: 2(x-1)(x-1,5).

Знаменатель (x – 1) изначально является простым.

3. Получаем вот такой видоизмененный предел: