Как найти предел от квадратного корня - AvtoShod.ru

Пределы с корнями: примеры решений

Среди задач на решение пределов попадаются пределы с корнями. В результате подстановки значения $ x $ в функцию получаются неопределенности трёх видов:

$ bigg [frac{0}{0} bigg ] $
$ bigg [frac{infty}{infty} bigg ] $
$ bigg [infty-infty bigg ] $

Перед тем, как приступить к решению определите тип своей задачи

Тип 1 $ bigg [frac{0}{0} bigg ] $

Для того, чтобы раскрывать такие неопределенности необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное к выражению содержащему корень.

Пример 1

Найти предел с корнем $$ lim limits_{x to 4} frac{x-4}{4-sqrt{x+12}} $$

Решение

Подставляем $ x to 4 $ в подпределельную функцию:

$$ lim limits_{x to 4} frac{x-4}{4-sqrt{x+12}} = frac{0}{0} = $$

Получаем неопределенность $ [frac{0}{0}] $. Домножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное к нему, так как он содержит корень: $ 4+sqrt{x+12} $

$$ = lim limits_{x to 4} frac{(x-4)(4+sqrt{x+12})}{(4-sqrt{x+12})(4+sqrt{x+12})} = $$

Используя формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $ приведем предел к следующему виду:

$$ = lim limits_{x to 4} frac{(x-4)(4+sqrt{x+12})}{16-(x+12)} = $$

Раскрываем скобки в знаменателе и упрощаем его:

$$ = lim limits_{x to 4} frac{(x-4)(4+sqrt{x+12})}{4-x} = $$

Сокращам функцию в пределе на $ x-4 $, имеем:

$$ = -lim limits_{x to 4} (4+sqrt{x+12}) = -(4+sqrt{4+12}) = -8 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ lim limits_{x to 4} frac{x-4}{4-sqrt{x+12}} = -8 $$

Тип 2 $ bigg [frac{infty}{infty} bigg ] $

Пределы с корнем такого типа, когда $ x to infty $ вычислять нужно по-другому в отличии от предыдущего случая. Необходимо определить старшие степени выражений числителя и знаменателя. Затем вынести самую старшую из двух степеней за скобки и сократить.

Пример 2

Решить предел с корнем $$ lim limits_{x to infty} frac{x^2+5x+2}{sqrt{x+6}} $$

Решение

Вставляем $ x to infty $ в предел и получаем $ [frac{infty}{infty}] $. Определяем, что в числителе старшая степень это $ x^2 $, а в знаменателе $ sqrt{x} $. Выносим их за скобки:

$$ lim limits_{x to infty} frac{x^2(1+frac{5x}{x^2}+frac{2}{x^2})}{x^2(sqrt{frac{x}{x^4}+frac{6}{x^4})}} = $$

Теперь выполняем сокращение:

$$ = lim limits_{x to infty} frac{1+frac{5x}{x^2}+frac{2}{x^2}}{sqrt{frac{1}{x^3}+frac{6}{x^4}}} = $$

Снова подставляем $ x to infty $ в предел, имеем:

$$ = frac{1 + 0 + 0}{ sqrt{0 + 0}} = lbrack frac{1}{0} rbrack = infty $$

Ответ

$$ lim limits_{x to infty} frac{x^2+5x+2}{sqrt{x+6}} = infty $$

Тип 3 $ bigg [infty-infty bigg ] $

Этот вид пределов часто попадается в дополнительных заданиях на экзамене. Ведь часто студенты не правильно вычисляют пределы такого типа. Как решать пределы с корнями данного вида? Всё просто. Необходимо умножить и разделить функцию, стоящую в пределе, на выражение сопряженное к ней.

Пример 3

Вычислить предел корня $$ lim limits_{x to infty} sqrt{x^2-3x}-x $$

Решение

При $ x to infty $ в пределе видим:

$$ lim limits_{x to infty} sqrt{x^2-3x}-x = [infty — infty] = $$

После домножения и разделения на сопряженное имеем предел:

$$ lim limits_{x to infty} frac{(sqrt{x^2-3x}-x)(sqrt{x^2-3x}+x)}{sqrt{x^2-3x}+x} = $$

Упростим числитель, используя формулу разности квадратов: $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $

$$ = lim limits_{x to infty} frac{(x^2-3x)-x^2}{sqrt{x^2-3x}+x} = $$

После раскрытия скобок и упрощения получаем:

$$ lim limits_{x to infty} frac{-3x}{sqrt{x^2-3x}+x} = $$

Далее выносим $ x $ за скобки и сокращаем:

$$ = lim limits_{x to infty} frac{-3x}{x(sqrt{1-frac{3}{x}}+1)} = lim limits_{x to infty} frac{-3}{sqrt{1-frac{3}{x}}+1} = $$

Снова подставляем $ x to infty $ в предел и вычисляем его:

$$ = frac{-3}{sqrt{1-0}+1} = -frac{3}{2} $$

Ответ

$$ lim limits_{x to infty} sqrt{x^2-3x}-x = -frac{3}{2} $$

Источник

Простое объяснение принципов решения пределов с корнями и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Основные свойства пределов с корнями

Для нахождения предела функции необходимо подставить в предел вместо Х то значение переменной, к которому стремится Х.

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Подробнее

Примеры решений пределов с корнями

Задание

Найти предел

$[lim_{xrightarrow infty}frac{2x^{2}-3x-4}{sqrt{4x^{4}+1}}]$

Решение

Мы имеем неопределенность вида

$[left[frac{infty}{infty} right]]$

Первый шаг – разделить числитель и знаменатель на ”х” в высшей степени. Старшая степень для числителя в данном случае равна двум.
Со знаменателем немного сложнее. Так как у нас корень, обращаем внимание только на самое ”старшее” слагаемое –

$[sqrt{4x^{4}}.]$

Число (4) – это константа, его тоже отбрасываем. Находим корень

$[sqrt{x^{4}}=x^{2}.]$

Так как числитель и знаменатель оказываются одного порядка роста, предел равен конечному числу, отличному от нуля.

$[lim_{xrightarrow infty}frac{2x^{2}}{2x^{2}}=1]$

Видим, что функции эквивалентны на бесконечности.

Оформляем решение:

$[lim_{xrightarrow infty}frac{2x^{2}-3x-4}{sqrt{4x^{4}+1}}=frac{infty}{infty}=lim_{xrightarrow infty}frac{{}frac{2x^{2}-3x-4}{x^{2}}} {frac{sqrt{4x^{4}+1}}{sqrt{x^{4}}}}=frac{2}{sqrt{4}}=frac{2}{2}=1]$

Ответ: 1

Задание

Найти предел с корнем

$[lim_{xrightarrow 4}frac{x-4}{4-sqrt{x+12}}]$

Решение

Подставляем

в подпредельную функцию:

$[lim_{xrightarrow 4}frac{x-4}{4-sqrt{x+12}}=frac{0}{0}=]$

Получаем неопределенность

$[left[frac{0}{0} right ]]$

Домножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряженное к нему –

так как он содержит корень.
Далее, пользуясь формулой разности квадратов

и раскрывая скобки, упрощаем предел. Последний шаг – сокращение функции на

$[lim_{xrightarrow 4}frac{(x-4)(4+sqrt{x+12})}{(4-sqrt{x+12})(4+sqrt{x+12})}=lim_{xrightarrow 4}frac{(x-4)(4+sqrt{x+12})}{16-(x+12)}=]$

$[= lim_{xrightarrow 4}frac{(x-4)(4+sqrt{x+12})}{4-x}=-lim_{xrightarrow 4}(4+sqrt{x+12})=-(4+sqrt{4+12})=-8]$

Ответ: -8

Задание

Решить предел с корнем

$[lim_{xrightarrow infty}frac{x^{2}+5x+2}{sqrt{x+6}}]$

Решение

Подставляем

в предел и получаем неопределённость вида

$[left[frac{infty}{infty} right ]]$

Как и в предыдущих примерах, находим старшую степень для числителя и знаменателя, и выносим её за скобки.

$[lim_{xrightarrow infty}frac{x^2 left(1+frac{5x}{x^2}+frac{2}{x^2}right)}{x^2(sqrt{frac{x}{x^4}+frac{6}{x^4}})}=lim_{x rightarrow infty}frac{1+frac{5x}{x^2}+frac{2}{x^2}}{sqrt{frac{1}{x^3}+frac{6}{x^4}}}=]$

И опять подставляем

в предел и решаем:

$[=frac{1+0+0}{sqrt{0+0}}=left[frac{1}{0}right]=infty]$

Ответ:

Задание

Вычислить предел корня:

$[lim_{xrightarrow infty}sqrt{x^2-3x}-x]$

Решение

Аналогично предыдущим примерам, подставляем

в предел и видим:

Находим сопряженное, в данном случае это

$[(sqrt{x^2-3x}+x).]$

Как и в примере №2, пользуясь формулой разности квадратов

и раскрывая скобки, упрощаем предел:

$[lim_{x rightarrow infty}frac{(sqrt{x^2-3x}-x)(sqrt{x^2-3x}+x)}{(sqrt{x^2-3x}+x)}=lim_{x rightarrow infty}frac{(x^2-3x)-x^2}{(sqrt{x^2-3x}+x)}]$

Раскрываем скобки и упрощаем. Затем выносим х за скобки и сокращаем:

$[lim_{x rightarrow infty}frac{3x}{sqrt{x^2-3x}+x}=lim_{x rightarrow infty}frac{-3x}{x(sqrt{1-frac{3}{x}}+1)}=]$

Как и в начале, подставляем в предел, получаем:

$[=frac{-3}{sqrt{1-0}+1}=-frac{3}{2}]$

Ответ:

$[- frac{3}{2}]$

Задание

Вычислить предел функции

$[lim_{xrightarrow 1}frac{x-1}{3-sqrt{x+8}}]$

Решение

Если подставить х=1, видно, что и числитель, и знаменатель обращаются в ноль. Получаем неопределенность вида

$[left[frac{0}{0} right ]]$

Как и в предыдущих примерах, первым шагом находим сопряжённое –

и домножаем на него числитель и знаменатель.

$[lim_{xrightarrow 1}frac{x-1}{3-sqrt{x+8}}cdotfrac{3+sqrt{x+8}}{3+sqrt{x+8}}]$

Применяем правило разности квадратов

и преобразовываем предел:

$[lim_{xrightarrow 1}frac{(x-1)(3+sqrt{x+8})}{3^2-(sqrt{x+8})^2}=lim_{xrightarrow 1}frac{(x-1)(3+sqrt{x+8})}{9-(x+8)}=]$

$[= lim_{xrightarrow 1}frac{(x-1)(3+sqrt{x+8})}{-(x-1)}]$

Сокращаем числитель и знаменатель на (x-1) и приходим к конечному ответу:

$[-lim_{xrightarrow 1}(3+sqrt{x+8})=3+sqrt{x+8}=6]$

Ответ: 6

Задание

Вычислить предел:

$[lim_{xrightarrow 3}frac{sqrt{x^2-5}-2}{x-3}]$

Решение:

Первый шаг – подставить в предел выражение

и убедиться, что выходит неопределённость вида

$[left[frac{0}{0} right]]$

Шаг второй – раскрываем нашу неопределенность путём умножения числителя и знаменателя на сопряжённое выражение, в данном случае –

$[(sqrt{x^2-5}+2)]$

$[lim_{xrightarrow 3}frac{sqrt{x^2-5}-2}{x-3}cdot frac{sqrt{x^2-5}+2}{sqrt{x^2-5}+2}=lim_{xrightarrow 3}frac{(x^2-9)}{(x-3)(sqrt{x^2-5}+2)}]$

Далее, пользуясь формулой разности квадратов раскладываем числитель:

$[lim_{xrightarrow 3}frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(sqrt{x^2-5}+2)}=lim_{xrightarrow 3}frac{(x+3)}{sqrt{x^2-5}+2}]$

Подставляем х=3 в предел и вычисляем:

$[=frac{3+3}{(sqrt{9-5}+2)}=frac{6}{4}=frac{3}{2}]$

Ответ:

$[frac{3}{2}]$

Задание

Вычислить предел

$[lim_{xrightarrow 3}frac{x^2-1}{sqrt{x+3}-2}]$

Решение

Как и в предыдущих заданиях, подставляем

и убеждаемся, что имеем дело с неопределённостью вида

$[left[frac{0}{0} right ]]$

Порядок действий стандартный. Избавляемся от иррациональности в знаменателе с помощью домножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение. В данном примере сопряжённое выражение имеет вид –

$[lim_{xrightarrow 3}frac{x^2-1}{sqrt{x+3}-2}cdot frac{sqrt{x+3}+2}{sqrt{x+3}+2}]$

Перемножаем знаменатель и сокращаем в числителе и знаменателе

$[lim_{xrightarrow 3}frac{(x^2-1)(sqrt{x+3}+2)}{x+3-4}=lim_{xrightarrow 3}frac{(x-1)(x+1)(sqrt{x+3}+2)}{x-1}]$

Подставляем, как и ранее, х=3 и находим ответ:

Ответ: 17,8

Задание

Определить предел функции

$[lim_{xrightarrow infty}(sqrt{x^2-4x}-sqrt{x^2+1})]$

Решение

Смотрим на функцию, подставляем

мы имеем дело с неопределённостью вида:

Начинаем работать с функциями, содержащими корень. Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение и упрощаем предел:

$[lim_{xrightarrow infty} frac{x^2-4x-(x^2+1)}{sqrt{x^2-4x}+sqrt{x^2+1}}=lim_{xrightarrow infty}frac{x(-4-frac{1}{x})}{x(sqrt{1-frac{4}{x}}+sqrt{1+frac{1}{x}})}]$

После преобразований получаем ответ:

$[=frac{-4}{1+1}=-2]$

Ответ: -2

Задание

Решить предел

$[lim_{xrightarrow 3}frac{sqrt{7-x}-2}{x-3}]$

Решение:

Подставляя

в выражение лимита, подтверждаем догадки, что перед нами неопределённость вида

$[left[frac{0}{0} right ]]$

Как и раньше, первый шаг – избавиться от иррациональности с помощью домножения числителя и знаменателя на соответствующее сопряженное выражение.

Раскрываем скобки и сокращаем выражения на

$[lim_{xrightarrow 3} frac{(sqrt{7-x}-2)cdot(sqrt{7-x}+2)}{(x-3)cdot(sqrt{7-x}+2)}=lim_{xrightarrow 3} frac{3-x}{(x-3)cdot(sqrt{7-x}+2)}=]$

$[lim_{xrightarrow 3} frac{-(x-3)}{(x-3)cdot(sqrt{7-x}+2)}=lim_{xrightarrow 3}frac{-1}{sqrt{7-x}+2}]$

Неопределённости

$[left[frac{0}{0} right ]]$

больше нет и ничего нам не мешает вычислить пример:

$[lim_{xrightarrow 3}frac{-1}{sqrt{7-x}+2}=frac{-1}{sqrt{7-3}+2}=-frac{1}{sqrt{4}+2}=-frac{1}{4}]$

Ответ:

$[- frac{1}{4}]$

Задание

Вычислить предел

$[lim_{xrightarrow 2}frac{sqrt[4]{5x+6}-2}{x^3-8}]$

Решение

Оба лимита числителя и знаменателя равны нулю, значит опять неопределённость вида

$[left[frac{0}{0} right ]]$

Находим сопряжённое к числителю и знаменателю число:

$[sqrt[4]{(5x+6)^3}+sqrt[4]{(5x+6)^2}cdot2+sqrt[4]{5x+6}cdot 2^2+2^3 =]$

$[=sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 cdot sqrt[4]{(5x+6)^2}+4 cdot sqrt[4]{5x+6}+8]$

Домножаем на полученное выражение числитель и знаменатель, раскрываем скобки и упрощаем:

$[lim_{xrightarrow 2}frac{sqrt[4]{5x+6}-2}{x^3-8}=]$

$[= left | frac{0}{0} right |=]$

$[= lim_{xrightarrow 2}frac{sqrt[4]{5x+6}-2)cdot left(sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 cdot sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 cdot sqrt[4]{5x+6}+8right )}{(x^3-8)cdotleft( sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 cdot sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 cdot sqrt[4]{5x+6}+8right )}=]$

$[=lim_{xrightarrow 2}frac{5x+6-16}{(x^3-8)cdotleft( sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 cdot sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 cdot sqrt[4]{5x+6}+8right )}=]$

$[= lim_{xrightarrow 2}frac{5x-10}{(x^3-8)cdotleft( sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 cdot sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 cdot sqrt[4]{5x+6}+8right )}]$

Раскладываем числитель и знаменатель:

Вычисляем предел:

$[lim_{xrightarrow 2}frac{5x-10}{(x^3-8)cdotleft( sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 cdot sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 cdot sqrt[4]{5x+6}+8right )} *]$

$[* lim_{xrightarrow 2}frac{5(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)cdotleft( sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 cdot sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 cdot sqrt[4]{5x+6}+8right )}=lim_{xrightarrow 2}frac{5}{(x^2+2x+4)cdotleft( sqrt[4]{(5x+6)^3}+2 cdot sqrt[4]{(5x+6)^3}+4 cdot sqrt[4]{5x+6}+8right )}=frac{5}{(2^2+2 cdot 2 +4)cdotleft( sqrt[4]{(5 cdot 2+6)^3}+2 cdot sqrt[4]{(5 cdot 2 +6)^3}+4 cdot sqrt[4]{5 cdot 2+6}+8right )}=frac{5}{384}]$

Ответ:

$[frac{5}{384}]$

Источник

Содержание:

Примеры с решением
Раскрытие неопределенностей вида

При вычислении предела вначале проверяют принадлежит ли точка области определения. Если то предел равен значению функции в точке

(это объясняется непрерывностью элементарной функции на своей области определения)

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Примеры с решением

Пример 1:

Вычислить:

б)

в)

Решение:

а)

б)

в)

Правило сохраняет силу, если Запись например, означает, что когда абсолютное значение

неограниченно возрастает, функция стремится к нулю (это ясно из графика функции).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 2:

Найти:

а)

б)

в)

Решение:

а)

б)

в)

Пример 3:

Найти

Решение:

При подстановке в значение функции вместосимвола бесконечности, результат может оказаться не конечным числом. Например:

Что считать ответом в этом случае?

При вычислении подобных пределов пользуются одним из следующих правил (в приводимых ниже формулах с означает число):

Приведенные формулы следуют из соображений здравого смысла. Например, первая из приведенных формул по существу утверждает, что если одна из функций становится очень большой и положительной, а другая ограничена, то сумма их становится очень большой и положительной.

Те же соображения приводят и к формальному доказательству: надо только вместо «очень больших» значений говорить о «больших любого заданного числа».

Применим эти правила для вычисления пределов, которые были оставлены без вычисления:

Соображениями здравого смысла руководствуются и при вычислении пределов от функций при Надо проследить ио графику функции куда стремится значение функции, если аргумент стремится к

Пример 4:

Вычислить:

а)

б)

в)

Решение:

а) При знаменатель неограниченно растет, т.е. является величиной бесконечно большой, а обратная величина бесконечно малой. Произведение бесконечно малой на ограниченную величину (постоянная — частный случай ограниченной еличины) есть величина бесконечно малая, и предел ее при равен нулю. Следовательно,

Этот же ответ получается при применении последнего из приведенных выше правил

б)

в)

Приведенные рассуждения не являются строгими. Однако они вполне достаточны для приложений и интуитивно понятны . Как уже было отмечено ранее, выражение при можно считать равным

Выражение взято в скобки, чтобы подчеркнуть условность записи.

Пример 5:

Найти:

а)

б)

в)

Решение:

а)

б)

в)

Имеются случаи, не охватываемые правилами из предыдущего параграфа. Не существует «общей формулы» для выражения . В самом деле, пусть где —целое число. Частное этих функций. при является частным бесконечно малых. Оно может стремиться к нулю (при), или (при ), или (при ). Поэтому выражение и подобные ему называются неопределенностями. К неопределенностям относятся следующие выражения:

Как для случая неопределенности вида встретившейся при сравнении бесконечно малых, здесь для раскрытия неопределенности уже недостаточно знать лишь пределы функций и а нужно учесть и закон их изменения. Примеры раскрытия неопределенностей приведены ниже.

Пример 6:

Найти

Решение:

Непосредственной подстановкой вместо аргумента его предельного значения вычислить предел нельзя, поскольку получается неопределенность вида

Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю. Нужно иметь в виду, что здесь не производится сокращение на нуль, что недопустимо. По определению предела функции аргумент стремится к своему предельному значению, никогда не принимая этого значения (вспомним, что в определении предела по Коши оэтому до перехода к пределу можно произвести сокращение на множитель, стремящийся к нулю. Имеем:

Пример 7:

Найти

Решение:

Пределы числителя и знаменателя при равны нулю

Разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители по формуле где и — корни трехчлена. Разложив на множители и знаменатель, сократим на получим

Пример 8:

Найти

Решение:

Пример 9:

Найти

Решение:

Пределы числителя и знаменателя при равны нулю. Умножим числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель и затем, сократив дробь на получим:

Пример 10:

Найти

Решение:

Когда числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю, получается неопределенность вида Желая избавится от иррациональности в знаменателе, преобразуем данное выражение:

Перейдя к пределу, получим

В предыдущих примерах неопределенность вида раскрывалась путем выделения в числителе и знаменателе общего множителя. Однако этот прием «срабатывает» не во всех случаях. Например, в случае предела неясно, как выделить общий множитель. Этот предел можно вычислить с помощью принципа замены эквивалентных. Вычислим этот предел другим способом — сведением к пределу

называемому 300 лет назад первым замечательным пределом. Доказательство равенства нетрудно и опирается оно не приводится.

Заметим, что выражение взято в скобки, поскольку писать нельзя! Скобки в записи подчеркивают ее условность. Равенство означает, что в данном конкретном случае неопределенность раскрыта и значение соответствующего предела равно единице.

Пример 11:

Найти

Решение:

Пример 12:

Найти

Решение:

Пример 13:

Найти

Решение:

При числитель и знаменатель — величины бесконечно большие. Поэтому при непосредственной подстановке символа вместо получаем выражение которое представляет собой неопределенность. Для вычисления предела этой функции нужно и числитель и знаменатель разделить на (наивысшую степень аргумента в знаменателе):

Пример 14:

Найти

Решение:

При непосредственной подстановке символа вместо получаем неопределенность вида Для вычисления предела этой функции нужно и числитель и знаменатель разделить на (наивысшую степень аргумента в знаменателе):

(при слагаемые — величины бесконечно малые и, следовательно, их пределы равны нулю).

Пример 14:

Наити

Решение:

Вообще, предел отношения полиномов при равен отношению коэффициентов при старших членах, если степени числителя и знаменателя одинаковы, и равен нулю или бесконечности, если степень числителя соответственно меньше или больше знаменателя.

Пример 15:

Найти

Решение:

Пример 16:

Найти

Решение:

В подобных примерах полезно иметь в виду, что функция где — многочлен степени стремится к бесконечности так же, как и функция Это позволяет выделить высшую степень входящую в данное выражение, и разделить числитель и знаменатель на эту степень В данном примере надо делить на

Неопределенности вида и путем преобразования можно привести к неопределенности вида или которая раскрывается уже известными способами.

Покажем на примерах, как находятся такие пределы.

Пример 17:

Найти

Решение:

Произведем вычитание дробей, получим

Пример 18:

Найти

Решение:

Пример 19:

Найти

Решение:

(сделали замену ).

Пример 20:

Найти

Ответ:

Раскрытие неопределенностей вида

Рассмотрим последовательность где

Может показаться, что неограниченное возрастание показателя степени должно повлечь неограниченное возрастание целочисленной функции Но рост показателя компенсируется тем, что основание стремится к В результате последовательность оказывается возрастающей и ограниченной. А всякая ограниченная и возрастающая последовательность имеет конечный предел. Предел, к торому стремится при обозначается

Обозначением числа и его широким применением во многих вопросах математики мы обязаны Эйлеру. Это число иррационально и с точностью до шестой значащей цифры равно

Функция имеет пределом число не только при целочисленных значениях но и тогда, когда стремится к бесконечности, пробегая числовую прямую непрерывно. Более того, аргументможет принимать как положительные, так и отрицательные значения, лишь бы неограниченно росло по абсолютному значению. Чтобы отмстить это обстоятельство, заменим букву буквой и напишем:

или короче

Этот предел часто используется в математике для раскрытия неопределенности и именуется вторым замечательным пределом

Пример 21:

Найти пределы:

а)

б)

Решение:

а)

б)

Пример 22:

Найти пределы

а)

б)

Решение:

а) При основание степени стремится к единице, а показатель стремится к бесконечности. Следовательно, имеем неопределенность вида Представим основание в виде суммы единицы и некоторой бесконечно малой величины:

тогда

б)

Число во многих случаях выгодно брать за основание логарифмов. Логарифм от с основанием носит название натурального логарифма и обозначается Показательная функция широко используется в науке и называется экспоненциальной. Другое обозначение этой функции —

Неопределенности вида и можно свести к неопределенности вида следующим образом:

Лекции:

Уравнение касательной. Угловой коэффициент
Вычислить криволинейный интеграл
Перпендикулярность плоскостей
Решение задач на нахождение пределов
Предел функции двух переменных в точке
Решение дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения первого порядка. Понятие о методе Рунге—Кутта
Усеченный конус. Поверхность усеченного конус
Функция Лагранжа
Признак Даламбера. Признак Коши. Критерий Коши сходимости ряда

Источник

Можно ли извлечь квадратный корень из предела.

Содержание

Какой самый простой способ найти предел
Как упростить пределы на бесконечности
Как решить предел шаг за шагом
Что означает утверждение, что lim N → ∞ an ∞
Что такое правило корня для пределов
Каковы 3 правила пределов
Какой самый простой способ найти предел
Как решать пределы до бесконечности с помощью радикалов
Можете ли вы взять квадратный корень из предела
Как найти предел уравнения с квадратным корнем

Рекомендую! Узнайте больше на странице: Как мы можем помочь бедным семьям в 2023.

Какой самый простой способ найти предел

Как найти предел квадрата.

Рекомендую! Узнайте в посту: Что вы получаете, когда набираете 99 очков в 2K22 в 2023?.

Как упростить пределы на бесконечности

Как решать пределы на бесконечности с помощью радикалов.

Рекомендую! Узнайте в посту: Будет ли Duolingo добавлять маратхи в 2023?.

Как решить предел шаг за шагом

Как найти предел уравнения с квадратным корнем.

Рекомендую! Узнайте здесь: Как приготовить чай из свежего гриба индюшиного хвоста в 2023.

Что означает утверждение, что lim N → ∞ an ∞

Как решать пределы на бесконечности с радикалами «Это читается как «предел f от x по мере приближения x к c равен L». Limn→0an=8 lim n → 0 a n = 8 означает, что члены an приближаются к 8 по мере того, как n становится большим. Вариант (iii) является ответом. Пример: limx→0=1x=∞ lim x → 0 = 1 x = ∞ означает, что член 1/x приближается к ∞ большому значению по мере того, как n становится все меньше и меньше. «.

Рекомендую! Прочитайте на странице: Какие игры входят в топ-5 в 2023.

Что такое правило корня для пределов

Можно ли извлечь квадратный корень из предела Закон корней для пределов гласит, что предел n-го корня функции равен n-му корню из предела функции. .

Каковы 3 правила пределов

Как найти предел квадрата Предел произведения равен произведению пределов. Предел квантора равен квантору пределов. Предел постоянной функции равен константе. .

Какой самый простой способ найти предел

Как найти предел квадрата.

Как решать пределы до бесконечности с помощью радикалов

Как решать пределы с помощью квадратных корней.

Можете ли вы взять квадратный корень из предела

Как решать пределы с квадратными корнями.

Как найти предел уравнения с квадратным корнем

Как решать пределы с квадратными корнями.

Источник

Среди примеров пределов функции часто встречаются функции с корнями, которые не всегда понятно как раскрывать. Проще когда есть пример границе с корневой функцией вида

Решение подобных пределов просто и понятно каждому.
Трудности возникают если есть следующие примеры функций с корнями.

Пример 1. Вычислить предел функции

При прямой подстановке точки x = 1 видно что и числитель и знаменатель функции

превращаются в ноль, то есть имеем неопределенность вида 0/0.
Для раскрытия неопределенности следует умножить выражение, содержащее корень на сопряженное к нему и применить правило разности квадратов. Для заданного примера преобразования будут следующими

Предел функции с корнями равен 6. Без приведенного правила ее трудно было бы найти.
Рассмотрим подобные примеры вычисления границы с данным правилом

Пример 2. Найти предел функции

Убеждаемся что при подстановке x = 3 получаем неопределенность вида 0/0.
Ее раскрываем умножением числителя и знаменателя на сопряженное к числителю.

Далее числитель раскладываем согласно правилу разности квадратов

Вот так просто нашли предел функции с корнями.

Пример 3. Определить предел функции

Видим, что имеем неопределенность вида 0/0.
Избавляемся ирациональносьти в знаменателе

Предел функции равна 8.

Теперь рассмотрим другой тип примеров, когда переменная в переделе стремится к бесконечности.

Пример 4. Вычислить предел функции

Много из Вас не знают как найти предел функции. Ниже будет раскрыта методика вычислений.
Имемем предел типа бесконечность минус бесконечность. Умножаем и делим на сопряженный множитель и используем правило разности квадратов

Границ функции равна -2,5.

Вычисление подобных пределов фактически сводится к раскрытию иррациональности , а затем подстановке переменной

Пример 5. Найти предел функции

Предел эквивалентен — бесконечность минус бесконечность
.
Умножим и разделим на сопряженное выражение и выполним упрощение

Пример 6. Чему равен предел функции?

Имеем неопределенность вида бесконечность минус бесконечность

Выполняем преобразования с корневыми функциями

предел функции равен -2.

Хорошо ознакомьтесь с методикой раскрытия неопределенностей, алгоритм достаточно прост и поможем найти сложную границу функции.

Источник

Пределы с корнями: примеры решений

Тип 1 $ bigg [frac{0}{0} bigg ] $

Тип 2 $ bigg [frac{infty}{infty} bigg ] $

Тип 3 $ bigg [infty-infty bigg ] $

Основные свойства пределов с корнями

Примеры решений пределов с корнями

Примеры с решением

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Пример 4:

Пример 5:

Пример 6:

Пример 7:

Пример 8:

Пример 9:

Пример 10:

Пример 11:

Пример 12:

Пример 13:

Пример 14:

Пример 14:

Пример 15:

Пример 16:

Пример 17:

Пример 18:

Пример 19:

Пример 20:

Раскрытие неопределенностей вида

Пример 21:

Пример 22:

Какой самый простой способ найти предел

Как упростить пределы на бесконечности

Как решить предел шаг за шагом

Что означает утверждение, что lim N → ∞ an ∞

Что такое правило корня для пределов

Каковы 3 правила пределов

Какой самый простой способ найти предел

Как решать пределы до бесконечности с помощью радикалов

Можете ли вы взять квадратный корень из предела

Как найти предел уравнения с квадратным корнем

Не пропустите также: