Как найти погрешность суммы приближенных чисел

Погрешность суммы и разности приближенных чисел.

Теорема
1.1. Предельная
абсолютная погрешность суммы нескольких
приближенных чисел равна сумме предельных
абсолютных погрешностей слагаемых.

Теорема
1.2. Предельная
абсолютная погрешность разности
приближенных чисел равна сумме предельных
абсолютных погрешностей уменьшаемого
и вычитаемого.

Таким
образом, если
,,
то,.

Примеры.

1. (Здесь и в последующих
   задачах будем считать, что даны
   приближенные числа, но в записи которых
   все цифры верные в широком смысле.)

;;.

1. ;
   ;..

Лекция 3.

«Погрешность
произведения и частного приближенных
чисел.

Погрешность
возведения в степень и извлечения корня

из приближенных
чисел.

Оценка погрешности
результата вычислений по формуле.»

Погрешность
произведения и частного приближенных
чисел.

Теорема
1.3. Предельная относительная погрешность
произведения нескольких приближенных
чисел равна сумме предельных относительных
погрешностей сомножителей.

Теорема
1.4. Предельная
относительная погрешность частного от
деления двух приближенных чисел равна
сумме предельных относительных
погрешностей делимого и делителя.

Таким
образом, если
,,
то,.

Пример.

Найдем
относительную погрешность произведения
двух приближенных чисел:
;.
Из записи чисел определяем

;
.

Значит,
.
Мы здесь брали число знаков с запасом
в промежуточных результатах, но, округляя
в большую сторону, и окончательный
результат немного увеличили, чтобы
сделать его более простым по записи.

Погрешность возведения в степень и извлечения корня из приближенных чисел.

Теорема
1.5. Предельная
относительная погрешность степени
приближенного числа равна произведению
показателя степени на предельную
относительную погрешность основания.

Теорема
1.6. Предельная
относительная погрешность корня из
приближенного числа равна предельной
относительной погрешности подкоренного
числа, деленной на показатель корня.

Таким
образом,
,.

Пример.

Требуется
найти относительную погрешность объема
куба
,
гдеa–
длина ребра, измеренная с погрешностью
не более
.

Предельная
относительная погрешность
.

Оценка погрешности результата вычислений по формуле.

В практике вычислений
очень часто приходится оценивать
погрешность числового значения величины,
полученной в результате вычислений по
формуле, которая содержит не одно, а
несколько действий. Для оценки погрешности
в этом случае следует последовательно
применять теоремы о погрешностях.

Во всех задачах,
рассмотренных в данном параграфе, будет
задана формула, все составляющие которой
– приближенные числа (за редким
исключением), а найти нужно приближенный
результат и записать его так, чтобы в
записи все цифры были верными в широком
смысле, а также надо определить абсолютную
и относительную погрешности окончательного
результата.

Примеры.

1. ,
   где
   и
   вычислены приближенно с четырьмя
   верными значащими цифрами:
   ;.

Из записи числа
определяем

;
.

Значит,

.
,.

Мы
округляли промежуточные результаты в
сторону увеличения. Запишем ответ так,
чтобы в записи все цифры были верные:
.
Действительно,

.
.

Ответ:
,,.

1. ,
   где
   .

;
;;.
Округляя так, чтобы сохра­нить только
верные цифры, получаем:.
Действительно,..
Ответ:,,.

1. Вычисляют
   объем цилиндра по формуле
   .
   При этом принимают;см;см.

Так
как в
формуле участвует только умножение, то
проще начать с оценки относительной
погрешности. Из записи приближенных
чисел видно:

,
,.

Отсюда
получаем:
.;.
Округляя так, чтобы сохранить только
верные цифры, получаем:.
Действительно,

.
.

Ответ:
,,.

1. Вычисляют
   период колебания маятника по формуле
   .
   При этом полагают;см;.

Из
записи приближенных чисел видно:
,,.
Отсюда получаем:

.

,
.

Округляя
так, чтобы сохранить только верные
цифры, получаем:
.
Действительно,

.
.

Ответ:
,,.

1. Вычислить
   ,
   где;;;.

Здесь нужно
произвести сложение, при котором легко
определяется абсолютная погрешность,
и, кроме того, умножение и деление, при
которых легко определяется относительная
погрешность. Поэтому при оценке
погрешности надо будет переходить от
одного вида погрешности к другому.

Найдем
.
Для дальнейшего придется найти
относительную погрешность зна­менателя:.
Теперь можем найти относительную
погрешность искомого числаu.

.

,
.
Округляя так, чтобы сохранить только
верные цифры, получаем:.
Действительно,

.

Ответ:
,,.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Виды измерений

Если в формулы для расчётов входят несколько измеряемых величин, каждая со своими погрешностями, возникает вопрос, а как оценить погрешность результата?

Погрешность суммы величин

Пусть в результате измерений получено:

$$ x = x_0 pm Delta x, y = y_0 pm Delta y $$

Найдём границы для суммы этих величин: z = x+y

$$ {left{ begin{array}{c} x_0- Delta x le x le x_0 + Delta x \ y_0 — Delta y le y le y_0 + Delta y end{array} right.} Rightarrow (x_0+y_0 )-( Delta x+ Delta y) le x + y le (x_0+y_0 )+( Delta x + Delta y) $$

(О правилах сложения двух неравенств, см. §36 данного справочника).

Получаем:

$$ z = z _0 pm Delta z: z_0 = x_0+y_0, Delta z = Delta x + Delta y $$

При сложении приближенных величин их абсолютные погрешности складываются.

Погрешность разности величин

Пусть в результате измерений получено:

$$x = x_0 pm Delta x, y = y_0 pm Delta y $$

Найдём границы для разности этих величин: z = x-y

$$ {left{ begin{array}{c} x_0 — Delta x le x le x_0 + Delta x \ y_0 — Delta y le y le y_0+ Delta y end{array} right.} Rightarrow {left{ begin{array}{c} x_0- Delta x le x le x_0+ Delta x \ -(y_0- Delta y) ge — y ge -(y_0+ Delta y)end{array} right.} Rightarrow $$

$$ Rightarrow {left{ begin{array}{c} x_0 — Delta x le x le x_0 + Delta x \ y_0 — Delta y le y le y_0+ Delta y end{array} right.} Rightarrow $$

$$ (x_0-y_0 )-( Delta x+ Delta y) le x-y le (x_0+y_0 )+( Delta x+ Delta y) $$

Получаем:

$$ z = z_0 pm Delta z: z_0 = x_0-y_0, Delta z = Delta x + Delta y $$

При вычитании приближенных величин их абсолютные погрешности складываются.

Примеры

Пример 1. Найдите сумму и разность чисел x и y, а также относительные погрешности исходных величин и результатов:

$а) x = 8,7 pm 0,2; y = 5,3 pm 0,1$

$$ x_0 = 8,7, Delta x = 0,2 $$

$$ y_0 = 5,3, Delta y = 0,1 $$

Сумма:

$$ z = x+y = (8,7+5,3) pm (0,2+0,1) = 14,0 pm 0,3 $$

Разность:

$$ w = x-y = (8,7-5,3) pm (0,2+0,1) = 3,4 pm 0,3 $$

Относительные погрешности (округление с избытком):

$$ δ_x = frac{0,2}{8,7} cdot 100 text{%} approx 2,3 text{%}, δ_y = frac{0,1}{5,3} cdot 100 text{%} approx 1,9 text{%} $$

$$ δ_{x+y} = frac{0,3}{14,0} cdot 100 text{%} approx 2,2 text{%}, δ_{x-y} = frac{0,3}{3,4} cdot 100 text{%} approx 8,9 text{%} $$

$б) x = 1,47 pm 0,005; y = 1,338 pm 0,0005$

$$ x_0 = 1,47, Delta x = 0,005 $$

$$ y_0 = 1,338, Delta y = 0,0005 $$

Сумма:

$$ z = x+y = (1,47+1,338) pm (0,005+0,0005) = 2,808 pm 0,006 $$

Разность:

$$ w = x-y = (1,47-1,338) pm (0,005+0,0005) = 0,132 pm 0,006 $$

Относительные погрешности (округление с избытком):

$$ δ_x = frac{0,005}{1,47} cdot 100 text{%} approx 0,35 text{%}, δ_y = frac{0,0005}{1,338} cdot 100 text{%} approx 0,04 text{%} $$

$$ δ_{x+y} = frac{0,006}{2,808} cdot 100 text{%} approx 0,22 text{%}, δ_{x-y} = frac{0,006}{0,132} cdot 100 text{%} approx 4,6 text{%} $$

Пример 2. Найдите периметр прямоугольной площадки, если известны длины сторон (в м): a = 5, $12 pm 0,02$; b = 3, $17 pm 0,03$

Чему равна относительная погрешность периметра?

Периметр $P = 2(a+b) = 2(a_0+b_0 ) pm 2( Delta a+ Delta b)$

$$ a_0 = 5,12, b_0 = 3,17, Delta a = 0,02, Delta b = 0,03 $$

С учётом правил округления (см. §42 данного справочника):

$$ P = 2(5,12+3,17) pm 2(0,02+0,03) = 16,58 pm 0,1 approx 16,6 pm 0,1 (м) $$

Относительная погрешность:

$$ δ_P = frac{0,1}{16,6} cdot 100 text{%} approx ↑0,61 text{%} $$

Пример 3. Объём древесины с корой, поступившей в обработку, равен $0,78 pm 0,005 м^3$. Объём снятой коры $0,081 pm 0,001 м^3$. Чему равен объём полезной древесины?

$$ V_1 = 0,78 pm 0,005, V_2 = 0,081 pm 0,001 $$

$$ V = V_1-V_2 $$

$$ V_{10} = 0,78, V_{20} = 0,081, Delta V_1 = 0,005, Delta V_2 = 0,001 $$

$$V = (V_{10} — V_{20} ) pm (Delta V_1+ Delta V_2 ) $$

$$ V = (0,78-0,081) pm (0,005+0,001) = 0,699 pm 0,006 (м^3) $$

Лабораторная работа №1

Методы оценки погрешностей

  I.  Описание работы

Тема: Методы оценки погрешностей приближенных величин.

Задание 1. Округляя точные числа до трех значащих цифр, определить абсолютную и относительную погрешности полученных приближенных чисел.

Дано:

Найти:

Решение:

— приближенное значение числа A

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

Ответ: ;

Задание 2. Определить абсолютную погрешность приближенных чисел по их относительной погрешности .

Дано:

Найти:

Решение:

Абсолютная погрешность:

Ответ:

Задание 3. Решить задачу.

При измерении длины с точностью до 5 м получено км, а при определении другой длины с точностью до 0.5 см, получено метров. Какое измерение по своему качеству лучше?

Дано: Км, М, М, См

Сравнить: и

Решение: Итак, по 1-му измерению, результат Км = М с точностью до М ( — абсолютная погрешность величины ).

Тогда относительная погрешность: %

По 2-му измерению, результат Км с точностью до См =М ( — абсолютная погрешность величины ).

Тогда относительная погрешность: %

Так как , то измерение можно считать по качеству лучше, чем .

Ответ: измерение по качеству лучше, чем .

Задание 4. а) Определить количество верных знаков в числе , если известна его предельная абсолютная погрешность

Дано:

Найти:

Решение:

По определению, n первые значащие цифры являются верными в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда младшей цифры, считая слева направо.

Абсолютная погрешность: , поэтому значащие цифры 8 и 4 числа 0,00842 верны в узком смысле.

Ответ: число X имеет две верных цифры в узком смысле (8 и 4), то есть

Б) Определить количество верных знаков в числе , если известна его предельная относительная погрешность .

Дано: %

Найти:

Решение:

Предельная абсолютная погрешность:

Только первая значащая цифра 1 числа A верна в узком смысле.

Ответ: число A имеет одну верную цифру в узком смысле (1), то есть

Задание 5. Найти предельные относительные погрешности, допускаемые при взятии вместо чисел 3.1, 3.14, 3.1416:

А) считая, что у них все записанные знаки являются верными;

Б) зная, что

Провести сравнения погрешностей и сделать необходимые выводы.

Дано: , ,

Найти:

Решение:

А) :

Если считать, что все записанные знаки являются верными в узком смысле, то абсолютная погрешность:

Предельная абсолютная погрешность:

Тогда предельная относительная погрешность:

%

:

Если считать, что все записанные знаки являются верными в узком смысле, то абсолютная погрешность:

Предельная абсолютная погрешность:

Тогда предельная относительная погрешность:

%

:

Если считать, что все записанные знаки являются верными в узком смысле, то абсолютная погрешность:

Предельная абсолютная погрешность:

Тогда предельная относительная погрешность:

%

Б) Пусть (прервем запись числа на 7-м знаке после запятой и считаем полученное число точным значением числа ).

Тогда абсолютная погрешность первого представления числа : .

Относительная погрешность: %

Абсолютная погрешность второго представления числа : .

Относительная погрешность: %

Абсолютная погрешность третьего представления числа : %.

Относительная погрешность: %

Выводы:

1) Можно заметить, что , то есть ;

, то есть ;

, то есть

Иными словами, для трех чисел их «истинная» относительная погрешность ограничена предельной относительной погрешностью, определенной из условия верности знаков чисел. Причем, для каждого числа две оценки отличаются меньше, чем на порядок. Значит, предположение о верности всех знаков чисел Обосновано.

2) Сравнение относительных погрешностей чисел :

показывает,

Что числа Перечислены

В порядке увеличения точности представления числа ,

То есть точнее , точнее .

Ответ: а)

б)

Задание 6. Найти сумму приближенных чисел , , считая в них все знаки верными, т. е. что абсолютная погрешность каждого слагаемого не превосходит половины единицы младшего разряда этого слагаемого. Определить абсолютную и относительную погрешности суммы.

Дано: , ,

Найти:

Решение:

1) Считаем, что в числах , , все знаки верны в узком смысле, то есть

Число с наибольшей абсолютной погрешностью .

2) Остальные числа округлим, сохраняя один запасный десятичный знак по сравнению с ранее выделенным наименее точным слагаемым :

, абсолютная погрешность округления

, абсолютная погрешность округления

3) Сложим все эти числа, учитывая все сохраненные знаки:

4) Полученный результат округлим на один знак (формально):

, абсолютная погрешность округления

5) Полную абсолютную погрешность суммы будем складывать из трех компонентов:

A)  суммы предельных абсолютных погрешностей исходных чисел;

B)  абсолютной величины суммы ошибок округления слагаемых;

C)  заключительной погрешности округления результата.

— абсолютная погрешность суммы.

% — относительная погрешность суммы.

Ответ: ; %.

Задание 7. Найти предельную абсолютную и относительную погрешности при вычислении объема прямого кругового цилиндра, если значения его высоты и радиуса основания имеют все верные знаки.

Дано: ,

Найти:

Решение:

,

Примем

1) Так как в числах и все числа верны, то их абсолютные погрешности:

Число с наибольшей абсолютной погрешностью .

Число R округлим, сохраняя один запасный десятичный знак по сравнению с ранее выделенным наименее точным слагаемым :

, абсолютная погрешность округления (округления не требуется)

2) перемножим числа, учитывая все сохраненные знаки:

3) Полученный результат округляем, сохраняя столько значащих цифр, сколько верных цифр имеется в числе H, то есть 2 значащих цифры:

;

Абсолютная погрешность округления

4) Полную абсолютную погрешность произведения будем складывать из двух слагаемых:

A) предельной абсолютной погрешности произведения до его округления;

B) заключительной погрешности округления произведения.

Абсолютную погрешность произведения до округления вычислим на основе предварительно найденной относительной погрешности произведения округленных сомножителей:

%.

Полная абсолютная погрешность

Теперь перейдем к искомому объему.

(Здесь полученный результат округляем до трех значащих цифр).

— предельная абсолютная погрешность объема.

% — предельная относительная погрешность объема.

Ответ: , , %

Задание 8. Привести пример потери точности при вычитании двух близких чисел.

Решение:

Пусть и — два близких числа; примем, что у них одинаковое число знаков после запятой.

Считаем, что все знаки в числах и верны в узком смысле. Тогда абсолютные погрешности:

Относительные погрешности:

%

%

Так как , то

Абсолютная погрешность результата:

Относительная погрешность результата: %

При вычитании двух близких чисел и относительная погрешность возросла на 3 порядка!

Лабораторная работа №2

Метод Гаусса

  I.  Описание работы

Тема: Решение системы линейных неоднородных алгебраических уравнений методом Гаусса (схема единственного деления).

Задание. Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными с точностью искомых неизвестных до .

Промежуточные вычисления вести с двумя запасными знаками.

,

Решение:

Исходные данные и все результаты вычислений запишем в таблицу 1.

Прямой ход

1.  Записываем коэффициенты данной системы в трех строках и четырех столбцах раздела 1 таблицы 1.

2.  Суммируем все коэффициенты по строке и записываем сумму в столбце (столбец контроля), например .

3.  Делим все числа, стоящие в первой строке, на и результаты записываем в 4-й строке раздела 1.

4.  Вычисляем и делаем проверку, если вычисления ведутся с 6 и более знаками после запятой, то числа и не должны отличаться более, чем на единицу последнего разряда:

5.  По формулам вычисляем коэффициенты :

Результаты записываем в первые две строки раздела:

6.  Делаем проверку. Сумма элементов каждой строки не должна отличаться от более, чем на 1-2 единицы последнего разряда. Заметим, что ,

,

,

7.  Делим все элементы 1 строки раздела 2 на и результаты записываем в 3 строке раздела 2.

8.  Делаем проверку:

9.  По формулам вычисляем :

Результаты записываем в 1 строку раздела 3.

10. Делаем проверку:

,

11. Делим все элементы 1 строки раздела 3 на и результаты записываем в следующей (второй) строке этого раздела.

12.  Делаем проверку:

Обратный ход

1.  В разделе 4 записываем единицы

2.  Записываем .

3.  Для вычисления и используем лишь строки разделов, содержащие 1.

4.  Вычислим по формуле: .

5.  Вычислим по формуле:

.

6.  Аналогично проводим обратный ход в контрольной системе. Записываем ,

вычисляем и с заменой и на и соответственно:

Делаем обычную проверку по строкам – должно быть , с точностью до 1-2 единиц последнего разряда.

Действительно:

Заполним таблицу 1 результатами вычислений:

Таблица 1

Округлим полученное решение до , по требованию задачи:

Окончательную проверку точности полученного решения системы выполним подстановкой этого решения в систему. Должно получиться приближенное тождество с точностью до .

Ответ: