Как найти площадь проекции равнобедренного треугольника - AvtoShod.ru

Ортогональное проецирование — определение и вычисление с примерами решения

Ортогональное проецирование:

Параллельное проецирование, направление которого перпендикулярно плоскости проекции, называется ортогональным проецированием. Проекция фигуры, образующаяся при ортогональном проецировании, называется ортогональной проекцией, или просто проекцией этой фигуры.

Поскольку ортогональное проецирование является особым видом параллельного проецирования, то для него выполняются все свойства последнего. Ортогональной проекцией прямой

Отметим, что прямые, перпендикулярные одной из параллельных плоскостей, перпендикулярны и остальным, поэтому ортогональное проецирование на одну из таких плоскостей будет ортогональным и на остальные плоскости. Очевидно, что ортогональные проекции фигуры на параллельные плоскости равны между собой.

Ортогональное проецирование также имеет только ему присущие свойства. Одно из них выражает теорема о площади ортогональной проекции многоугольника.

Площадь ортогональной проекции

Теорема 5

Площадь ортогональной проекции произвольного многоугольника на плоскость равна произведению площади самого многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Как пример многоугольника возьмем (рис. 6.41). Проекцией на плоскость является . Проведем высоту треугольника . По теореме
о трех перпендикулярах — высота . Угол — угол между плоскостью и плоскостью проекции. Пусть . Тогда

Учитывая, что прямоугольный , имеем:. Поэтому

Итак, . Теорема доказана.

Чтобы доказать теорему для произвольного многоугольника, его разбивают на треугольники. Тогда для каждого треугольника и его проекции можно записать равенство

где поскольку угол между плоскостями этих треугольников и плоскостью их проекций будет один и тот же. Все эти равенства сложим почленно:

Получим в левой части равенства площадь проекции многоугольника, а в правой — площадь самого многоугольника, умноженную на косинус угла между их плоскостями. Отсюда

Т.е. и для этого случая теорема истинна.

Пример:

Ортогональной проекцией треугольника является треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Плоскость треугольника образует с плоскостью проекции угол 60°. Вычислите площадь данного треугольника.

Воспользуемся рисунком 6.41. Известно, что площадь проекции треугольника вычисляют по формуле:

где — угол между плоскостью треугольника и плоскостью проекции.
По формуле Герона найдем площадь :

где — полупериметр треугольника, — его стороны.

Тогда

Рекомендую подробно изучить предметы:

Геометрия
Аналитическая геометрия
Начертательная геометрия

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Декартовы координаты на плоскости
Декартовы координаты в пространстве
Геометрические преобразования в геометрии
Планиметрия — формулы, определение и вычисление
Параллельность прямых и плоскостей
Перпендикулярность прямой и плоскости
Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости
Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Проекция многоугольника на плоскость

Площадь проекции многоугольника

Напомним, что углом между прямой и плоскостью называется угол между данной прямой и ее проекцией на плоскость (рис. 164).

Теорема. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла, образованного плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Каждый многоугольник можно разбить на треугольники, сумма площадей которых равна площади многоугольника. Поэтому теорему достаточно доказать для треугольника.

Пусть (Delta)АВС проектируется на плоскость р. Рассмотрим два случая:

а) одна из сторон (Delta)АВС параллельна плоскости р;

б) ни одна из сторон (Delta)АВС не параллельна р.

Рассмотрим первый случай: пусть [АВ] || р.

Проведем через (АВ) плоскость р₁ || р и спроектируем ортогонально (Delta)АВС на р₁ и на р (рис. 165); получим (Delta)АВС₁ и (Delta)А’В’С’.

По свойству проекции имеем (Delta)АВС₁ (cong) (Delta) А’В’С’, и поэтому

Проведем [CD₁] ⊥ [AB] и отрезок D₁C₁. Тогда [D₁C₁] ⊥ [AB], a (widehatC_<1>>) = φ есть величина угла между плоскостью (Delta) АВС и плоскостью р₁. Поэтому

и, следовательно, S_{(Delta)A’B’C’} = S_(Delta)ABC cos φ.

Перейдем к рассмотрению второго случая. Проведем плоскость р₁ || р через ту вершину (Delta)АВС, расстояние от которой до плоскости р наименьшее (пусть это будет вершина А).

Спроектируем (Delta)АВС на плоскости р₁ и р (рис. 166); пусть его проекциями будут соответственно (Delta)АВ₁С₁ и (Delta)А’В’С’.

Пусть (ВС) ( cap ) p₁ = D. Тогда

Задача. Через сторону основания правильной треугольной призмы проведена плоскость под углом φ = 30° к плоскости ее основания. Найти площадь образующегося сечения, если сторона основания призмы а = 6 см.

Изобразим сечение данной призмы (рис. 167). Так как призма правильная, то ее боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Значит, (Delta)АВС есть проекция (Delta)АDС, поэтому
$$ S_ <Delta ADC>= frac> = frac <4cosphi>$$
или
$$ S_ <Delta ADC>= frac<6cdot 6cdot sqrt3><4cdotfrac<sqrt3><2>> = 18 (см^2) $$

ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ И ЕЁ СВОЙСТВА

Рассмотрим плоскость p и пересекающую её прямую . Пусть А — произвольная точка пространства. Через эту точку проведём прямую , параллельную прямой . Пусть . Точка называется проекцией точки А на плоскость p при параллельном проектировании по заданной прямой .Плоскость p, на которую проектируются точки пространства называется плоскостью проекции.

p — плоскость проекции;

— прямая проектирования; ;

; ; ;

Ортогональное проектирование является частным случаем параллельного проектирования. Ортогональное проектирование — это такое параллельное проектирование, при котором прямая проектирования перпендикулярна плоскости проекции.Ортогональное проектирование широко применяется в техническом черчении, где фигура проектируется на три плоскости — горизонтальную и две вертикальные.

Определение: Ортогональной проекцией точки М на плоскость p называется основание М₁ перпендикуляра ММ₁, опущенного из точки М на плоскость p.

Обозначение: , , .

Определение: Ортогональной проекцией фигуры F на плоскость p называется множество всех точек плоскости, являющихся ортогональными проекциями множества точек фигуры F на плоскость p.

Ортогональное проектирование, как частный случай параллельного проектирования, обладает теми же свойствами:

При проектировании точка пространства отображается в точку плоскости проекции.

Каждая точка плоскости проекции отображается на себя.

;

Проекция прямой, не параллельной прямой проектирования, есть прямая, а проекция прямой, параллельной прямой проектирования, есть точка —точка пересечения проектируемой прямой и плоскости проекции.

p — плоскость проекции;

— прямая проектирования; ;

1) ;

2) , .

Проекции параллельных прямых параллельны.

Отношение длин проекций двух параллельных отрезков равно отношению длин проектируемых отрезков.

Какой фигурой может быть проекция:

a) прямой; b) плоскости; c) треугольника; d) окружности?

Всегда ли проекции параллельных прямых суть параллельные прямые?

На плоскости a даны две точки А и В. Отрезки и перпендикулярны к плоскости a . Найдите , если .

Дан ромб с острым углом и сторонами 25 см. Через одну из сторон проведена плоскость. Длина проекции другой стороны на эту плоскость равна 20 см. Найдите длины проекций диагоналей.

ПЛОЩАДЬ ПРОЕКЦИИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ

Теорема: Площадь проекции плоского многоугольника на некоторую плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

1 этап: Проектируемая фигура – треугольник АВС, сторона которого АС лежит в плоскости проекции a (параллельна плоскости проекции a).

Дано:

; ;

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. По теореме о трёх перпендикулярах ;

ВD – высота ; В₁D – высота ;

5. – линейный угол двугранного угла ;

;

6. ; ; ; ;

7. .

2 этап: Проектируемая фигура – треугольник АВС, ни одна из сторон которого не лежит в плоскости проекции a и не параллельна ей.

; ;

1. ; ;

2. ; ;

3. ;

4. ; ; ;

(1 этап);

5. ; ; ;

(1 этап);

;

6. ;

Этап: Проектируемая фигура – произвольный многоугольник.

Многоугольник разбивается диагоналями, проведёнными из одной вершины, на конечное число треугольников, для каждого из которых теорема верна. Поэтому теорема будет верна и для суммы площадей всех треугольников, плоскости которых образуют один и тот же угол с плоскостью проекции.

Замечание: Доказанная теорема справедлива для любой плоской фигуры, ограниченной замкнутой кривой.

1. Найти площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция его – правильный треугольник со стороной а.

2. Найти площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция его – равнобедренный треугольник с боковой стороной 10 см и основанием 12 см.

3. Найти площадь треугольника, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция его – треугольник со сторонами 9, 10 и 17 см.

4. Вычислить площадь трапеции, плоскость которой наклонена к плоскости проекции под углом , если проекция её – равнобедренная трапеция, большее основание которой 44 см, боковая сторона 17 см и диагональ 39 см.

5. Вычислить площадь проекции правильного шестиугольника со стороной 8 см, плоскость которого наклонена к плоскости проекции под углом .

6. Ромб со стороной 12 см и острым углом образует с данной плоскостью угол . Вычислить площадь проекции ромба на эту плоскость.

7. Ромб со стороной 20 см и диагональю 32 см образует с данной плоскостью угол . Вычислить площадь проекции ромба на эту плоскость.

8. Проекция навеса на горизонтальную плоскость есть прямоугольник со сторонами и . Найти площадь навеса, если боковые грани – равные прямоугольники, наклонённые к горизонтальной плоскости под углом , а средняя часть навеса – квадрат, параллельный плоскости проекции.

11. Упражнения по теме «Прямые и плоскости в пространстве»:

Стороны треугольника равны 20 см, 65 см, 75 см. Из вершины большего угла треугольника проведён к его плоскости перпендикуляр, равный 60 см. Найти расстояние от концов перпендикуляра до большей стороны треугольника.

2. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии см, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы, равные , а между собой – прямой угол. Найти расстояние между точками пересечения наклонных с плоскостью.

3. Сторона правильного треугольника равна 12 см. Точка М выбрана так, что отрезки, соединяющие точку М со всеми вершинами треугольника, образуют с его плоскостью углы . Найти расстояние от точки М до вершин и сторон треугольника.

4. Через сторону квадрата проведена плоскость под углом к диагонали квадрата. Найти углы, под которыми наклонены к плоскости две стороны квадрата.

5. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника наклонён к плоскости a, проходящей через гипотенузу, под углом . Доказать, что угол между плоскостью a и плоскостью треугольника равен .

6. Двугранный угол между плоскостями треугольников АВС и DВС равен . Найти АD, если АВ = АС =5 см, ВС = 6 см, ВD = DС = см.

Контрольные вопросы по теме «Прямые и плоскости в пространстве»

1. Перечислить основные понятия стереометрии. Сформулировать аксиомы стереометрии.

2. Доказать следствия из аксиом.

3. Каково взаимное расположение двух прямых в пространстве? Дать определения пересекающихся, параллельных, скрещивающихся прямых.

4. Доказать признак скрещивающихся прямых.

5. Каково взаимное расположение прямой и плоскости? Дать определения пересекающихся, параллельных прямой и плоскости.

6. Доказать признак параллельности прямой и плоскости.

7. Каково взаимное расположение двух плоскостей?

8. Дать определение параллельных плоскостей. Доказать признак параллельности двух плоскостей. Сформулировать теоремы о параллельных плоскостях.

9. Дать определение угла между прямыми.

10. Доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости.

11. Дать определения основания перпендикуляра, основания наклонной, проекции наклонной на плоскость. Сформулировать свойства перпендикуляра и наклонных, опущенных на плоскость из одной точки.

12. Дать определение угла между прямой и плоскостью.

13. Доказать теорему о трех перпендикулярах.

14. Дать определения двугранного угла, линейного угла двугранного угла.

15. Доказать признак перпендикулярности двух плоскостей.

16. Дать определение расстояния между двумя различными точками.

17. Дать определение расстояния от точки до прямой.

18. Дать определение расстояния от точки до плоскости.

19. Дать определение расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью.

20. Дать определение расстояния между параллельными плоскостями.

21. Дать определение расстояния между скрещивающимися прямыми.

22. Дать определение ортогональной проекции точки на плоскость.

23. Дать определение ортогональной проекции фигуры на плоскость.

24. Сформулировать свойства проекций на плоскость.

25. Сформулировать и доказать теорему о площади проекции плоского многоугольника.

источники:

http://razdupli.ru/teor/87_proekciya-mnogougolnika-na-ploskost.php

http://lektsia.com/4x44ad.html

Источник

19
Фев 2014

Категория: Справочные материалы

Площадь ортогональной проекции многоугольника

2014-02-19
2014-02-19

Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекций.

Докажем теорему для треугольника. Поскольку многоугольник разбивается на треугольники, сумма площадей которых есть площадь многоугольника, то и для многоугольника теорема будет верна.

Доказательство:

Пусть треугольник – проекция треугольника на проецируемую плоскость.

Докажем, что

$S_{A_1B_1C_1}=S_{ABC}cdot cosalpha$ ,

где – угол между плоскостями

Для этого разобьем треугольник на два треугольника c общей стороной , параллельной прямой пересечения плоскостей . (Частный случай, когда одна из сторон треугольника параллельна линии пересечения плоскостей , можно рассмотреть отдельно (самостоятельно)).

Проекция треугольника – треугольник . Причем .

Пусть – перпендикуляр к . Тогда по т. о трех перпендикулярах и – перпендикуляр к . Стало быть, – угол между плоскостями треугольников (проецируемого и проекции).

Пусть – точка пересечения и , – проекция т. на плоскость . Очевидно, – высота треугольника ( – высота треугольника ).

Из треугольника

$cosalpha =frac{B_1H}{BH}$

Но и

$frac{HT_1}{HT}=cosalpha$

Тогда $BT=BH-HT=frac{1}{cosalpha }(BH_1-HT_1)=frac{B_1T_1}{cosalpha}.$

Имеем: $S_{ABM}=frac{1}{2}BTcdot AM=frac{1}{2}cdot frac{B_1T_1}{cosalpha}cdot AM=frac{S_{A_1B_1M_1}}{{cosalpha}}.$

Аналогичные рассуждения – для пары треугольников и :

$S_{AMC}=frac{1}{2}CRcdot AM=frac{1}{2}cdot frac{C_1R_1}{cosalpha}cdot AM=frac{S_{A_1M_1C_1}}{{cosalpha}}$

(где – высота треугольника , – ее проекция)

Итак, суммируя площади треугольников и соответственно, получаем

$S_{ABC}=frac{S_{A_1B_1C_1}}{cosalpha}$

или

$S_{A_1B_1C_1}=S_{ABC}cdot cosalpha$

Что и требовалось доказать.

Пример.

Ребро куба равно 2 см. Через диагональ основания под углом $45^{circ}$ к плоскости основания проведена плоскость, пересекающая боковое ребро. Найти площадь сечения.

Решение:

Пусть плоскость сечения проведена через диагональ и пересекает боковое ребро () в точке .

По вышеуказанной теореме

$S_{BDT}=frac{S_{BCD}}{cosalpha},$

где треугольник – проекция треугольника на плоскость основания, – угол между плоскостями

$S_{BDT}=frac{2}{frac{sqrt2}{2}}=2sqrt2.$

Ответ:

Применение теоремы можно также посмотреть, например, в этой задаче.

Автор: egeMax |

Нет комментариев

Печать страницы

Источник

1) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1 см. Угол, лежащий напротив основания, равен 45°. Найдите площадь проекции этого треугольника на плоскость, если плоскость треугольника наклонена к плоскости проекции под углом 45°. 2) Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 5, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы 30°. Найдите сумму длин наклонных.

Получи верный ответ на вопрос 🏆 «1) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1 см. Угол, лежащий напротив основания, равен 45°. Найдите площадь проекции этого …» по предмету 📕 Математика, используя встроенную систему поиска. Наша обширная база готовых ответов поможет тебе получить необходимые сведения!

Найти готовые ответы

Главная » Математика » 1) Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 1 см. Угол, лежащий напротив основания, равен 45°. Найдите площадь проекции этого треугольника на плоскость, если плоскость треугольника наклонена к плоскости проекции под углом 45°.

Источник

22. C 2 № 485966. (Гущин) В правильной
четырехугольной призме  высота равна  а сторона основания равна  Точка  — середина
ребра  Найдите
расстояние от точки  до плоскости

Решение.

Рассмотрим треугольную пирамиду Ее объем можно выразить двумя
способами:

2) ,
где искомое
расстояние.

Приравняем выражения для объемов и выразим его:

Найдем площадь равнобедренного треугольника Проведем в нем высоту

Следовательно, искомое расстояние

Ответ:

C 2 № 504416. В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA = 5, а сторона основания AB = 4. Найдите площадь сечения пирамиды
плоскостью, проходящей через ребро AB перпендикулярно ребру SC .

Решение.

В треугольнике BCS проведём
высоту BK , тогда искомое сечение — треугольник ABK .
Пусть Q — площадь треугольника ABK . Сечение
из условия разбивает пирамиду на тетраэдры CAKB и SAKB .
Их суммарный объём

равен
объёму пирамиды.

Пусть — SO высота пирамиды. В треугольникеSCO имеем:

Объём пирамиды SABC равен

Приравнивая два найденных значения для объёма, получаем

Ответ: .

C 2 № 504437. В правильной
треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA =
6, а сторона основания AB = 4. Найдите площадь сечения
пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AB перпендикулярно
ребру SC .

Решение.

В треугольнике BCS проведём
высоту BK, тогда искомое сечение — треугольник ABK.
Пусть Q — площадь треугольника ABK. Сечение
из условия разбивает пирамиду на тетраэдры CAKB и SAKB .
Их суммарный объём

равен
объёму пирамиды.

Пусть — SO высота пирамиды. В треугольникеSCO имеем:

Объём пирамиды SABC равен

Приравнивая два найденных значения для объёма, получаем

Ответ: .

ЕГЭ
2015. Математика. Тип. экзам. вар. 36 вар._

Ященко_2015 -272с

2 способ (метод проекций)

C 2 (Гушин) № 484562. В кубе найдите косинус
угла между плоскостями и

Решение.

Пусть точка — центр куба, а — середина а — средняя линия треугольника , поэтому Треугольник — равносторонний, следовательно, искомый
угол равен углу

Примем длины ребер куба за . Найдем стороны треугольника Из треугольника находим из равностороннего
треугольника находим

поскольку — середина диагонали то Теперь применим к треугольнику теорему косинусов:

Ответ:

.
C 2 № 484565. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD,
все ребра которой равны 1, найдите синус угла между плоскостью SAD и
плоскостью, проходящей через точку A перпендикулярно
прямой BD.

Решение.

Пусть точка — центр основания, а — середина ребра Поскольку и плоскость перпендикулярна прямой Это значит, что плоскость и есть плоскость, проходящая
через точку перпендикулярно

Проведем отрезки и Так как треугольник правильный, Так как треугольник — равнобедренный, Следовательно, искомый
угол равен углу Найдем
стороны треугольника

По теореме косинусов:

Отсюда

Ответ:

Примечание.

Решение существенно упрощается, если заметить, что треугольник — прямоугольный:

(2
способ )

треугольник
АОS проекция
треугольника ASD на плоскость АSС.

S _AOS
= 1/2 AO · SO S _AOS = 1/4

SH —высота боковой
грани

Воспользуемся
отношением

Ответ:

10. C 2 № 500347. В правильной
треугольной призме  стороны
основания равны 1, боковые ребра равны 2, точка  — середина ребра  Найдите угол между
плоскостями  и

Решение.

Прямая пересекает прямую в точке . Плоскости и пересекаются по прямой . Из точки опустим перпендикуляр на прямую , тогда отрезок (проекция) перпендикулярен прямой . Угол является линейным углом двугранного
угла, образованного плоскостями и

Точка —
середина ребра ,
поэтому .

Из равенства треугольников и получаем:

В равнобедренном треугольнике угол равен , высота является биссектрисой, откуда

Из прямоугольного треугольника с прямым углом получаем:

,
тогда .

Ответ может быть представлен и в другой форме:

Ответ:

C 2 № 500064. В правильной
треугольной призме  стороны
основания равны 2, боковые ребра равны 3, точка  — середина ребра  Найдите угол между
плоскостями  и

Решение.

Прямая  пересекает
прямую  в
точке Плоскости  и  пересекаются по прямой  Из точки  опустим перпендикуляр  на прямую  тогда отрезок  (проекция ), по теореме о трех перпендикулярах,
перпендикулярен прямой  Угол  является линейным углом двугранного
угла, образованного плоскостями  и

Точка —
середина ребра поэтому

Из равенства треугольников и получаем:

В равнобедренном треугольнике угол равен , высота является высотой и биссектрисой, откуда

Из прямоугольного треугольника с прямым углом получаем:

,
тогда .

Ответ:

Замечание: Ответ
может быть представлен и в другой форме:

Использованные материалы:

ЕГЭ-2013. Решения заданий С2_Корянов А.Г,
Прокофьев А.А_2013 -102с

http://reshuege.ru/

ЕГЭ 2015. Математика. 50 вар. заданий_ред.
Ященко_2015 -248с

ЕГЭ 2015. Математика. Тип. экзам. вар. 36
вар._Ященко_2015 -272с

Источник

Ортогональная проекция равнобедренного треугольника есть равносторонний треугольник со стороной 6см,одна сторона которого является основанием данного равнобедренного треугольника.Найдите площадь равнобедренного треугольника,если его плоскость образует с плоскостью проектирования угол,равный 45 градусов.

Светило науки — 549480 ответов — 388270 раз оказано помощи

проекция равнобедренного треугольника есть равносторонний треугольник со стороной b=6см,
площадь равностороннего треугольника S=1/2 b^2 sin60 =1/2 6^2 √3/2=9√3 см2
если плоскость равнобедренного образует с плоскостью проектирования угол,равный 45 градусов, то площадь равнобедренного
Sp = S/cos45 = 9√3 / (1/√2) =9√6 см2
Ответ 9√6 см2

Источник

Ортогональное проецирование — определение и вычисление с примерами решения

Проекция многоугольника на плоскость

Площадь проекции многоугольника

ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ И ЕЁ СВОЙСТВА

Площадь ортогональной проекции многоугольника

Пример.

Не пропустите также: