Как найти площадь параллелограмма вписанного в параллелограмм - AvtoShod.ru

Площади четырехугольников

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

φ – любой из четырёх углов между ними

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Четырехугольник	Рисунок	Формула площади	Обозначения
Прямоугольник		S = ab


Параллелограмм


Квадрат		S = a 2
	S = 4r 2


Ромб




Трапеция
	S = m h


Дельтоид		S = ab sin φ



Произвольный выпуклый четырёхугольник
Вписанный четырёхугольник

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник



Параллелограмм



Квадрат
	S = a 2 где a – сторона квадрата
	S = 4r 2


Ромб





Трапеция




Дельтоид

	где a и b – неравные стороны, φ₁ – угол между сторонами, равными a , φ₂ – угол между сторонами, равными b .


Произвольный выпуклый четырёхугольник

Вписанный четырёхугольник

Прямоугольник

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Параллелограмм

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Квадрат

где
a – сторона квадрата

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Трапеция

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,

Дельтоид

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b .

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Произвольный выпуклый четырёхугольник

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольник

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а h_a – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

Доказательство . Поскольку прямоугольный треугольник DFC равен прямоугольному треугольнику AEB (рис.26), то четырёхугольник AEFB – прямоугольник. Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

Доказательство . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,

(рис.6).

Доказательство . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Доказательство . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

Площадь вписанного четырехугольника

Как найти площадь вписанного четырехугольника?

I способ.

Площадь вписанного четырёхугольника может быть найдена по формуле Брахмагупты:

где p — полупериметр четырёхугольника, то есть

(формулу Герона можно рассматривать как частный случай этой формулы при d=0).

Площадь четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, можно найти как сумму площадей треугольников, например, ABC и ADC.

Из треугольника ABC по теореме косинусов

Аналогично, из треугольника ADC

Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность,

Приравниваем правы части равенств для AC²

Найдём синус этого угла, используя основное тригонометрическое тождество

(так как их сумма равна 180º, а sin(180º-α )=sinα).

В частных случаях: если в окружность вписан правильный четырёхугольник (то есть квадрат), прямоугольник либо четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны — решение задачи может быть упрощено.

Площадь любого четырёхугольника, в том числе, и вписанного, равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними:

В следующий раз рассмотрим конкретные примеры нахождения площади вписанного четырёхугольника.

Формулы площадей фигур

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте

Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.

где a — одна из сторон треугольника, h — высота, проведенная к стороне треугольника.

Формула площади треугольника по трем сторонам

Формула Герона формула для вычисления площади треугольника S по длинам его сторон a, b, c .

S = p p — a p — b p — c ,

где p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2
a, b, c — стороны треугольника.

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

S = 1 2 a · b · sin γ ,

где a, b — стороны треугольника,
γ — угол между сторонами a и b .

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

a, b, c — стороны треугольника,
R — радиус описанной окружности.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

где S — площадь треугольника,
r — радиус вписанной окружности,
p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2

Формулы площади квадрата

Формула площади квадрата по длине стороны

Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

где S — площадь квадрата,
a — длина стороны квадрата.

Формула площади квадрата по длине диагонали

Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

где S — площадь квадрата,
d — длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон.

где S — площадь прямоугольника,
a, b — длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте

Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

где S — площадь параллелограмма,
a, h — длины сторон параллелограмма.

Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними

Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

где S — площадь параллелограмма,
a, b — длины сторон параллелограмма,
α — угол между сторонами параллелограмма.

Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними

Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними.

S = d1 · d2 · sin β 2 = d1 · d2 · sin γ 2 ,

где S — площадь параллелограмма,
d1, d2 — длины диагоналей параллелограмма,
β , γ — угол между диагоналями параллелограмма.

Формулы площади ромба

Формула площади ромба по длине стороны и высоте

Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

где S — площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
h — длина высоты ромба.

Формула площади ромба по длине стороны и углу

Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.

где S — площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
α — угол между сторонами ромба.

Формула площади ромба по длинам его диагоналей

Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

где S — площадь ромба,
d1, d2 — длины диагоналей ромба.

Формулы площади трапеции

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две ( a, b ) стороны параллельны (основания), а две другие ( c, d ) стороны не параллельны (боковые стороны).

Формула Герона для трапеции

где S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
c, d — длины боковых сторон трапеции,
p = a + b + c + d 2 — полупериметр трапеции.

Формула площади трапеции по длине основ и высоте

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

где S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
h — высота трапеции.

Формулы площади дельтоида

Дельтоид — это выпуклый четырёхугольник, состоящий из двух различных равнобедренных треугольников с общим основанием, вершины которых лежат по разные стороны от этого основания.

Формула площади дельтоида по двум неравным сторонам и углу между ними

Площадь дельтоида равна произведению длин неравных сторон на синус угла между ними.

где S — площадь дельтоида,
a, b — длины неравных сторон дельтоида,
β — угол между неравными сторонами дельтоида.

Формула площади дельтоида по равным сторонам и углу между ними

Площадь дельтоида равна полусумме произведения каждой из пар равных сторон на синус угла между ними.

S = a 2 sin γ + b 2 sin α 2 ,

где S — площадь дельтоида,
a, b — длины сторон дельтоида,
α — угол между равными сторонами b ,
γ — угол между равными сторонами a .

Формула площади дельтоида по двум неравным сторонам и радиусу вписанной окружности

Площадь дельтоида равна произведению суммы неравных сторон на радиус вписанной окружности.

где S — площадь дельтоида,
a, b — длины неравных сторон дельтоида,
r — радиус вписанной окружности.

Формула площади дельтоида по двум диагоналям

Площадь дельтоида равна половине произведения длин двух диагоналей.

где S — площадь дельтоида,
d1, d2 — диагонали дельтоида.

Формулы площади произвольного выпуклого четырехугольника

Формула площади произвольного выпуклого четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними

Площадь произвольного выпуклого выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженной на синус угла между ними.

S = d1 · d2 · sin γ 2 ,

где S — площадь четырехугольника,
d1, d2 — диагонали четырехугольника,
γ — любой из четырёх углов между диагоналями.

Формула площади произвольного выпуклого четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов

где S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,
p = a + b + c + d 2 — полупериметр четырехугольника,
θ = α + β 2 — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.

Формула площади вписанного четырехугольника (формула Брахмагупты)

Если вокруг четырехугольника можно описать окружность, то его площадь равна

S = p — a p — b p — c p — d ,

где S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,
p = a + b + c + d 2 — полупериметр четырехугольника.

Формула площади четырехугольника с вписанной окружностью

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то его площадь равна:

где S — площадь четырехугольника,
r — радиус вписанной окружности,
p = a + b + c + d 2 — полупериметр четырехугольника.

Формула площади четырехугольника с вписанной и описанной окружностями

Если в четырехугольник можно вписать окружность, а также около него можно описать окружность, то его площадь равна:

где S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника.

Формулы площади круга

Формула площади круга через радиус

Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.

S = π r 2 ,

где S — площадь круга,
r — радиус круга.

Формула площади круга через диаметр

Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи.

где S — площадь круга,
d — диаметр круга.

Площадь сегмента круга

Площадь кругового сегмента через угол в градусах.

где S — площадь сегмента круга,
R — радиус круга,
α° — угол в градусах.

Площадь кругового сегмента через угол в радианах.

где S — площадь сегмента круга,
R — радиус круга,
α° — угол в радианах.

Формула площади эллипса

Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи.

где S — площадь эллипса,
a — длина большей полуоси эллипса,
b — длина меньшей полуоси эллипса.

источники:

Площадь вписанного четырехугольника

http://urokmatematiki.ru/reference-information/formuly-po-geometrii/formuly-ploshchadey-figur.php

Источник

Площадь параллелограмма

Алик Беникович Айрапетян

Эксперт по предмету «Калькуляторы»

Задать вопрос автору статьи

На данной странице вы можете ознакомиться с разнообразными вариантами формул для вычисления площади параллелограмма.

Здесь же размещены простые в использовании калькуляторы, с помощью которых можно быстро узнать, как найти площадь параллелограмма по двум сторонам, диагоналям и углу между ними, или через другие величины.

Приведены примеры решения подобных задач.

Рассмотрим задачу и разберёмся на примере, как найти площадь параллелограмма по стороне и высоте, опущенной на эту сторону.

Сделаем это для того, чтобы вы могли проследить за ходом решения и выявить ошибки в своих работах, а также для возможности сравнения своего ответа с ответом калькулятора.

Пример 1

Дано:
сторона параллелограмма = $5$ см, высота = $7$ см.

Найти:
площадь параллелограмма $S$.

Решение:
$S = 5 cdot 7 = 35$ см$^2$.

Ответ:
$S = 35$ см$^2$.

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Площадь параллелограмма по стороне и высоте, опущенной на эту сторону

Формула площади параллелограмма по стороне и высоте, опущенной на эту сторону:

$S = b cdot h1$, где

$S$ — площадь параллелограмма,

$b$ — сторона,

$h1$ — высота, опущенная на неё.

Площадь параллелограмма по двум сторонам и углу между ними

Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними:

$S = a cdot b cdot sin (α)$, где

$S$ — площадь параллелограмма,

$a$ — сторона номер один,

$b$ — сторона номер два,

$α$ — угол между сторонами $a$ и $b$.

Чтобы проверить свое понимание темы, рассмотрим также пример задачи на нахождение площади параллелограмма по основанию и высоте и также сверим свой ответ с результатом калькулятора.

Пример 2

Дано:
основание $a = 10$ см, высота $h = 7$ см.

Найти:
площадь параллелограмма $S$.

Решение:
$S = 10 cdot 7 = 70$ см$^2$.

Ответ:
$S = 70$ см$^2$.

Площадь параллелограмма по основанию и высоте

Формула площади параллелограмма по основанию и высоте:

$S = a cdot h$, где

$S$ — площадь параллелограмма,

$a$ — основание,

$h$ — высота.

Площадь параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними

Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между этими диагоналями:

$S = d1 cdot d2 cdot sin (α)$, где

$S$ — площадь параллелограмма,

$d1$ — первая диагональ,

$d2$ — вторая диагональ,

$α$ — угол между диагоналями $d1$ и $d2$.

В качестве ещё одного примера рассмотрим задачу на нахождение площади параллелограмма по вписанной окружности и стороне.

Пример 3

Дано:
сторона параллелограмма $a = 6$ см, радиус вписанной окружности = $5$ см.

Найти:
площадь параллелограмма $S$.

Решение:
$S = 2 cdot 6 cdot 5 = 60 $ см$^2$.

Ответ:
$S = 60 $ см$^2$.

Площадь параллелограмма по вписанной окружности и стороне

Формула площади параллелограмма по вписанной окружности и стороне:

$S = 2 cdot a cdot r$, где

$S$ — площадь параллелограмма,

$a$ — сторона,

$r$ — радиус вписанной окружности.

Площадь параллелограмма по вписанной окружности и углу между сторонами

Формула площади параллелограмма по вписанной окружности и углу между сторонами:

$S = frac{4 cdot R^2} {sin (α)}$, где

$S$ — площадь параллелограмма,

$R$ — радиус вписанной окружности,

$α$ — угол между сторонами.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата написания статьи: 10.06.2019

Источник

Площадь четырехугольника

Площадь произвольного четырехугольника, формулы и калькулятор для вычисления в режиме онлайн. Для вычисления площади произвольного четырехугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Ниже приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь произвольного четырехугольника или проверить уже выполненные вычисления.

В окончании статьи приведены ссылки для вычисления частных случаев четырехугольников: квадрата, трапеции, параллелограмма, прямоугольника, ромба.

Площадь четырехугольника по диагоналям и углу между ними

Площадь четырехугольника через стороны и углы между этими сторонами

При вычислении площади четырехугольника с использованием данной формулы, необходимо предварительно вычислить полупериметр четырехугольника по формуле:

Площадь четырехугольника вписанного в окружность, вычисляемая по Формуле Брахмагупты

Данная формула справедлива только для четырехугольников, вокруг которых можно описать окружность.

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность

Данная формула справедлива только для четырехугольников, в которые можно вписать окружность. Вписанная окружность должна иметь точки соприкосновения со всеми четырьмя сторонами четырехугольника.

Площадь четырехугольника в который можно вписать окружность, определяемая через стороны и углы между ними

Если в исходных данных угол задан в радианах, то для перевода в градусы вы можете воспользоваться «Конвертером величин». Или вычислить самостоятельно по формуле: 1 рад × (180/π) ° = 57,296°

Таблица с формулами площади четырехугольника

исходные данные (активная ссылка для перехода к калькулятору)	эскиз	формула
1	диагональ и угол между ними
2	стороны и углы между этими сторонами
3	стороны (по Формуле Брахмагупты)
4	стороны и радиус вписанной окружности
5	стороны и углы между ними

Площадь частных случаев четырехугольников

Для вычисления частных случаев четырехугольников можно воспользоваться формулами и калькуляторами, приведенными в других статьях сайта:

Определения

Четырехугольник – это геометрическая плоская фигура, образованная четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь четырехугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной четырьмя последовательно соединенными отрезками.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км 2 , м 2 , см 2 , мм 2 и т.д.

Формулы площадей фигур

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте

где a — одна из сторон треугольника, h — высота, проведенная к стороне треугольника.

Формула площади треугольника по трем сторонам

Формула Герона формула для вычисления площади треугольника S по длинам его сторон a, b, c .

S = p p — a p — b p — c ,

где p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2
a, b, c — стороны треугольника.

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

S = 1 2 a · b · sin γ ,

где a, b — стороны треугольника,
γ — угол между сторонами a и b .

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

a, b, c — стороны треугольника,
R — радиус описанной окружности.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

где S — площадь треугольника,
r — радиус вписанной окружности,
p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2

Формулы площади квадрата

Формула площади квадрата по длине стороны

Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

где S — площадь квадрата,
a — длина стороны квадрата.

Формула площади квадрата по длине диагонали

Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

где S — площадь квадрата,
d — длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон.

где S — площадь прямоугольника,
a, b — длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте

Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

где S — площадь параллелограмма,
a, h — длины сторон параллелограмма.

Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними

Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними

S = d1 · d2 · sin β 2 = d1 · d2 · sin γ 2 ,

Формулы площади ромба

Формула площади ромба по длине стороны и высоте

Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

где S — площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
h — длина высоты ромба.

Формула площади ромба по длине стороны и углу

Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.

где S — площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
α — угол между сторонами ромба.

Формула площади ромба по длинам его диагоналей

Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

где S — площадь ромба,
d1, d2 — длины диагоналей ромба.

Формулы площади трапеции

Формула Герона для трапеции

Формула площади трапеции по длине основ и высоте

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

где S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
h — высота трапеции.

Формулы площади дельтоида

Формула площади дельтоида по двум неравным сторонам и углу между ними

Площадь дельтоида равна произведению длин неравных сторон на синус угла между ними.

Формула площади дельтоида по равным сторонам и углу между ними

Площадь дельтоида равна полусумме произведения каждой из пар равных сторон на синус угла между ними.

S = a 2 sin γ + b 2 sin α 2 ,

Формула площади дельтоида по двум неравным сторонам и радиусу вписанной окружности

Площадь дельтоида равна произведению суммы неравных сторон на радиус вписанной окружности.

где S — площадь дельтоида,
a, b — длины неравных сторон дельтоида,
r — радиус вписанной окружности.

Формула площади дельтоида по двум диагоналям

Площадь дельтоида равна половине произведения длин двух диагоналей.

где S — площадь дельтоида,
d1, d2 — диагонали дельтоида.

Формулы площади произвольного выпуклого четырехугольника

Формула площади произвольного выпуклого четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними

S = d1 · d2 · sin γ 2 ,

Формула площади произвольного выпуклого четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов

Формула площади вписанного четырехугольника (формула Брахмагупты)

Если вокруг четырехугольника можно описать окружность, то его площадь равна

S = p — a p — b p — c p — d ,

Формула площади четырехугольника с вписанной окружностью

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то его площадь равна:

Формула площади четырехугольника с вписанной и описанной окружностями

где S — площадь четырехугольника,
a, b, c, d — длины сторон четырехугольника.

Формулы площади круга

Формула площади круга через радиус

Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.

S = π r 2 ,

где S — площадь круга,
r — радиус круга.

Формула площади круга через диаметр

Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи.

где S — площадь круга,
d — диаметр круга.

Площадь сегмента круга

Площадь кругового сегмента через угол в градусах.

где S — площадь сегмента круга,
R — радиус круга,
α° — угол в градусах.

Площадь кругового сегмента через угол в радианах.

где S — площадь сегмента круга,
R — радиус круга,
α° — угол в радианах.

Формула площади эллипса

Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи.

где S — площадь эллипса,
a — длина большей полуоси эллипса,
b — длина меньшей полуоси эллипса.

Площади четырехугольников

В данном разделе рассматриваются только выпуклые фигуры, и считается известной формула:

которая позволяет найти площадь прямоугольника прямоугольника с основанием a и высотой b.

Формулы для площадей четырехугольников

a и b – смежные стороны

d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Получается из верхней формулы подстановкой d=2R

R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

a – сторона квадрата

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

a и b – основания,
c и d – боковые стороны

a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b .

a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

φ – любой из четырёх углов между ними

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр,

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Четырехугольник	Рисунок	Формула площади	Обозначения
Прямоугольник		S = ab


Параллелограмм


Квадрат		S = a 2
	S = 4r 2


Ромб




Трапеция
	S = m h


Дельтоид		S = ab sin φ



Произвольный выпуклый четырёхугольник
Вписанный четырёхугольник

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Прямоугольник



Параллелограмм



Квадрат
	S = a 2 где a – сторона квадрата
	S = 4r 2


Ромб





Трапеция




Дельтоид

	где a и b – неравные стороны, φ₁ – угол между сторонами, равными a , φ₂ – угол между сторонами, равными b .


Произвольный выпуклый четырёхугольник

Вписанный четырёхугольник

Прямоугольник

где
a и b – смежные стороны

где
d – диагональ,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

где
R – радиус описанной окружности,
φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Параллелограмм

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a и b – смежные стороны,
φ – угол между ними

φ – любой из четырёх углов между ними

Квадрат

где
a – сторона квадрата

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Ромб

где
a – сторона,
h_a – высота, опущенная на эту сторону

где
a – сторона,
φ – любой из четырёх углов ромба

где
r – радиус вписанной окружности,
φ – любой из четырёх углов ромба

Трапеция

где
a и b – основания,
h – высота

φ – любой из четырёх углов между ними

где
a и b – основания,
c и d – боковые стороны ,

Дельтоид

где
a и b – неравные стороны,
φ – угол между ними

где
a и b – неравные стороны,
φ₁ – угол между сторонами, равными a ,
φ₂ – угол между сторонами, равными b .

где
a и b – неравные стороны,
r – радиус вписанной окружности

Произвольный выпуклый четырёхугольник

φ – любой из четырёх углов между ними

Вписанный четырёхугольник

где
a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Брахмагупты»

Вывод формул для площадей четырехугольников

Утверждение 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Доказательство . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а h_a – высота высота высота , опущенная на эту сторону (рис. 2).

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 .Площадь параллелограмма параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

Утверждение 4 . Площадь ромба ромба можно найти по формуле

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

что и требовалось доказать.

Утверждение 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания трапеции, а h – высота высота высота (рис.5).

что и требовалось доказать.

Утверждение 6 . Площадь трапеции трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции ,

(рис.6).

что и требовалось доказать.

Утверждение 7 . Площадь дельтоида, дельтоида, можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

источники:

http://urokmatematiki.ru/reference-information/formuly-po-geometrii/formuly-ploshchadey-figur.php

http://www.resolventa.ru/spr/planimetry/sqf.htm

Источник

Вывод
формулы площади параллелограмма сводится
к построению прямоугольника, равного
данному параллелограмму по площади.
Примем одну сторону параллелограмма
за основание, а перпендикуляр, проведенный
из любой точки противолежащей стороны
на прямую, содержащую основание будем
называть высотой параллелограмма. Тогда
площадь параллелограмма будет равна
произведению его основания на высоту.
[4, c.
254]

Теорема.
Площадь
параллелограмма равна произведению
его основания на высоту.

Доказательство.
Рассмотрим параллелограмм
с площадью.
Примем сторонуза
основание и проведем высотыи(рисунок 2.3.1). Требуется доказать, что.

Рисунок
2.3.1

Докажем
сначала, что площадь прямоугольника
также равна.
Трапециясоставлена из параллелограммаи треугольника.
С другой стороны, она составлена из
прямоугольника НВСК и треугольника.
Но прямоугольные треугольникии
равны
по гипотенузе и острому углу (их
гипотенузыиравны как противоположные стороны
параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как
соответственные углы при пересечении
параллельных прямыхисекущей),
поэтому их площади равны. Следовательно,
площади параллелограммаи прямоугольникатакже равны, то есть площадь прямоугольникаравна.
По теореме о площади прямоугольника,
но так как,
то.

Теорема
доказана.

Пример
2.3.1.

В
ромб со стороной
и острым углом
вписана окружность. Определить площадь
четырёхугольника, вершинами которого
являются точки касания окружности со
сторонами ромба.[5, c.
150]

Решение:

Радиус
вписанной в ромб
окружности (рисунок 2.3.2),
поскольку
Четырёхугольникявляется прямоугольником, так как его
углы опираются на диаметр окружности.
Его площадь,
где(катет, лежащий против угла),.

Рисунок
2.3.2

Итак,

Ответ:

Пример
2.3.2.

Дан
ромб
,
диагонали которого равны 3 см и 4 см. Из
вершины тупого угла
проведены высотыиВычислить площадь четырёхугольника

Решение:

Площадь
ромба

(рисунок 2.3.3).

Рисунок
2.3.3

Далее,
из
находим(см) и, следовательно,(см). Тогда изполучим:

(см).

Итак,

Ответ:

Пример
2.3.3.

Площадь
четырёхугольника равна

Найти площадь параллелограмма, стороны
которого равны и параллельны диагоналям
четырёхугольника.

Решение:

Так
как
и(рисунок 2.3.4), то– параллелограмм и, значит,.

Рисунок
2.3.4

Аналогично
получаем
откуда следует, что.

Ответ:
.

2.4 Площадь треугольника

Существует
несколько формул для вычисления площади
треугольника. Рассмотрим те, что изучаются
в школе.

Первая
формула вытекает из формулы площади
параллелограмма и предлагается учащимся
в виде теоремы. [4, c.
254]

Теорема.
Площадь треугольника равна половине
произведения его основания на высоту.

Доказательство.
Пусть
– площадь треугольника.
Примем сторонуза основание треугольника и проведем
высоту.
Докажем что:

Рисунок
2.4.1

Достроим
треугольник
до параллелограмматак, как показано на рисунке. Треугольникииравны по трем сторонам (– их общая сторона,икак противоположные стороны параллелограма),
поэтому их площади равны. Следовательно,
площадь S треугольника АВС равна половине
площади параллелограмма,
т.е.

Теорема
доказана.

Важно
обратить внимание учащихся на два
следствия, вытекающих из данной теоремы.
А именно:

площадь
прямоугольного треугольника равна
половине произведения его катетов.
если
высоты двух треугольников равны, то их
площади относятся как основания.

Эти
два следствия играют важную роль в
решении разного рода задач. С опорой на
данную доказывается еще одна теорема,
имеющая широкое применение при решении
задач.

Теорема.
Если
угол одного треугольника равен углу
другого треугольника, то их площади
относятся как произведения сторон,
заключающих равные углы.

Доказательство.
Пусть
и– площади треугольникови,
у которых углыиравны.

Рисунок
2.4.2

Докажем,
что:
.

Наложим
треугольник
.
на треугольниктак, чтобы вершинасовместилась с вершиной,
а стороныиналожились соответственно на лучии.

Рисунок
2.4.3

Треугольники
иимеют общую высоту,
поэтому,.
Треугольникиитакже имеют общую высоту –,
поэтому,.
Перемножая полученные равенства, получим.

Теорема
доказана.

Вторая
формула. Площадь
треугольника равна половине произведения
двух его сторон на синус угла между
ними.
Существует несколько способов
доказательства этой формулы, и я
воспользуюсь одним из них.

Доказательство.
Из
геометрии известна теорема о том, что
площадь треугольника равна половине
произведения основания на высоту,
опущенную на это основание:

В
случае остроугольного треугольника
.
В случае тупого угла.
Ho,
а поэтому.
Итак, в обоих случаях.
Подставив вместов геометрической формуле площади
треугольника,
получим тригонометрическую формулу
площади треугольника:

Теорема
доказана.

Третья
формула
для площади треугольника – формула
Герона

,
названа так в честь древнегреческого
ученого Герона Александрийского, жившего
в первом веке нашей эры. Эта формула
позволяет находить площадь треугольника,
зная его стороны. Она удобна тем, что
позволяет не делать никаких дополнительных
построений и не измерять углов. Ее вывод
основывается на второй из рассмотренных
нами формул площади треугольника и
теореме косинусов:
и
.

Далее
мы должны из второй формулы (теоремы
косинусов) выразить через
сначала,
а затем ии подставить в формулу для площади.

Прежде
чем перейти к реализации этого плана,
заметим, что

Точно
так же имеем:

Теперь
выразим косинус через
и:

Так
как любой угол в треугольнике больше
и меньше,
то. Значит,.

Теперь
отдельно преобразуем каждый из
сомножителей в подкоренном выражении.
Имеем:

Значит,

Подставляя
это выражение в формулу для площади,
получаем:

Тема
«Площадь треугольника» имеет большое
значение в школьном курсе математики.
Треугольник – простейшая из геометрических
фигур. Он является «структурным элементом»
школьной геометрии. Подавляющее
большинство геометрических задач
сводятся к решению треугольников. Не
исключение и задача о нахождении площади
правильного и произвольного
n-угольника.[6,c.238]

Пример
2.4.1.

Чему
равна площадь равнобедренного
треугольника, если его основание
,
а боковая сторона?

Решение:

–равнобедренный,

Рисунок
2.4.4

Проведём

по свойству равнобедренного треугольника
–
медиана и высота. Тогда

В
по
теореме Пифагора:

Находим
площадь треугольника:

Ответ:

Пример
2.4.2.

В
прямоугольном треугольнике биссектриса
острого угла делит противоположный
катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить
площадь треугольника.[7, c.
78]

Решение:

Пусть
(рисунок 2.4.5). Тогдаи(посколькуBD
–
биссектриса). Отсюда имеем
,
то есть.
Значит,

Рисунок
2.4.5

Ответ:

Пример
2.4.3.

Найти
площадь равнобедренного треугольника,
если его основание равно
,
а длина высоты, проведённой к основанию,
равна длине отрезка, соединяющего
середины основания и боковой стороны.

Решение:

По
условию,

–
средняя линия
(рисунок 2.4.6). Так какВимеем:

или

,
откудаСледовательно,

Рисунок
2.4.6

Ответ:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Параллелограмм и его свойства

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна (360^circ).

Свойства параллелограмма:

(blacktriangleright) Противоположные стороны попарно равны;

(blacktriangleright) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;

(blacktriangleright) Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна (180^circ).

Признаки параллелограмма.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – параллелограмм:

(blacktriangleright) если противоположные стороны попарно равны;

(blacktriangleright) если две стороны равны и параллельны;

(blacktriangleright) если диагонали точкой пересечения делятся пополам;

(blacktriangleright) если противоположные углы попарно равны.

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание, к которому проведена эта высота.

Задание
1

#1783

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Периметр параллелограмма равен (100), его большая сторона равна (32). Найдите меньшую сторону параллелограмма.

Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, то его периметр равен удвоенной сумме его непараллельных сторон, тогда сумма большей и меньшей сторон равна (100 : 2 = 50), значит, меньшая сторона параллелограмма равна (50 — 32 = 18).

Ответ: 18

Задание
2

#1784

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Периметр параллелограмма равен (15). При этом одна сторона этого параллелограмма на (5) больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

У параллелограмма противоположные стороны равны. Пусть (BC = AB +
5), тогда периметр параллелограмма (ABCD) равен (AB + BC + CD + AD =
AB + AB + 5 + AB + AB + 5 = 4cdot AB + 10 = 15), откуда находим (AB
= 1,25). Тогда меньшая сторона параллелограмма равна (1,25).

Ответ: 1,25

Задание
3

#273

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В параллелограмме (ABCD): (BE) – высота, (BE = ED = 5). Площадь параллелограмма (ABCD) равна 35. Найдите длину (AE).

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, проведённую к этому основанию, тогда (35 = BE cdot AD = 5cdot(5 + AE)), откуда находим (AE = 2).

Ответ: 2

Задание
4

#1785

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Из точки (C) параллелограмма (ABCD) опустили перпендикуляр на продолжение стороны (AD) за точку (D). Этот перпендикуляр пересёк прямую (AD) в точке (E), причём (CE = DE). Найдите (angle B) параллелограмма (ABCD). Ответ дайте в градусах.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда (angle EDC = angle DCE). Так как (angle DEC = 90^{circ}), а сумма углов треугольника равна (180^{circ}), то (angle EDC =
45^{circ}), тогда (angle ADC = 180^{circ} — 45^{circ} =
135^{circ}). Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то (angle B = angle ADC = 135^{circ}).

Ответ: 135

Задание
5

#1686

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Диагональ (BD) параллелограмма (ABCD) перпендикулярна стороне (DC) и равна (4). Найдите площадь параллелограмма (ABCD), если (AD=5).

По теореме Пифагора находим: (AB^2=AD^2 — BD^2 = 25 — 16 = 9) (Rightarrow) (AB = 3). (S_{ABCD} = 4cdot3 = 12).

Ответ: 12

Задание
6

#1685

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В параллелограмме (ABCD): (P_{triangle AOB} = , (P_{triangle AOD} = 9), а сумма смежных сторон равна (7). Найдите произведение этих сторон параллелограмма (ABCD).

(P_{triangle AOB} = AO + OB + AB), (P_{triangle AOD} = AO + OD + AD), (BO = OD) (Rightarrow) (P_{triangle AOD} — P_{triangle AOB} = AD — AB = 1), но (AD + AB = 7) (Rightarrow) (AD = 4), (AB = 3) (Rightarrow) (ADcdot AB = 12).

Ответ: 12

Задание
7

#3617

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Стороны параллелограмма равны (9) и (15). Высота, опущенная на первую сторону, равна (10). Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению высоты на сторону, к которой высота проведена. Следовательно, с одной стороны, площадь (S=9cdot 10), с другой стороны, (S=15cdot h), где (h) – высота, которую нужно найти.
Следовательно, [9cdot 10=15cdot hquadLeftrightarrowquad h=6]

Ответ: 6

Задачи из раздела «Геометрия на плоскости» являются обязательной частью аттестационного экзамена у выпускников средней школы. Теме «Параллелограмм и его свойства» в ЕГЭ традиционно отводится сразу несколько заданий. Они могут требовать от школьника как краткого, так и развернутого ответа с построением чертежа. Поэтому если одним из ваших слабых мест являются именно задачи на вычисление площадей параллелограмма или его сторон и углов, то вам непременно стоит повторить или вновь разобраться в материале.

Сделать это легко и эффективно вам поможет образовательный портал «Школково». Наши опытные специалисты подготовили необходимый теоретический материал, изложив его таким образом, чтобы школьники с любым уровнем подготовки смогли восполнить пробелы в знаниях и легко решить задачи ЕГЭ на вычисление площадей, сторон, углов или свойства биссектрисы параллелограмма. Найти базовую информацию вы можете в разделе «Теоретическая справка».

Чтобы успешно решить задачи ЕГЭ по теме «Параллелограмм и его свойства», предлагаем попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка заданий представлена в блоке «Каталог». Специалисты портала «Школково» регулярно дополняют и обновляют данный раздел.

Последовательно выполнять упражнения учащиеся из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. При необходимости любое задание можно сохранить в разделе «Избранное» и в дальнейшем вернуться к нему, чтобы обсудить с преподавателем.

УСТАЛ? Просто отдохни

Источник