Как найти площадь параллелограмма по клеткам огэ

Треугольники, четырёхугольники, многоугольники и их элементы

В 18 задании нас ждут задачи с четырехугольниками, а именно трапецией, ромбами и произвольными параллелограммами. Необходимо знать формулы вычисления площади всех вышеперечисленных четырехугольников, а также их свойства.

В демонстрационном варианте ОГЭ предлагается задание, связанное с нахождением площади фигуры.

Как найти площадь треугольника, трапеции, параллелограмма, круга и сектора?

С одной стороны, мы знаем соответствующие формулы. Для выполнения большинства заданий этого будет вполне достаточно, но иногда надо проявить и определенную сообразительность. В некоторых случаях будет разумно представить
заданную геометрическую фигуру как сумму или как разность более простых фигур. Безусловно, площадь измеряется в соответствующих единицах. Например, если длины сторон фигуры заданы в сантиметрах, то вычисляемая площадь автоматически измеряется в квадратных сантиметрах. Чтобы не загромождать условие задачи информацией, которая при ее решении фактически не используется, единицы измерения, если они не существенны, не указаны.

Ответом в задании 16 является целое число или конечная десятичная дробь.

Теория к заданию №18

Приступим к разбору теории.

Выпуклый четырехугольник:

Правильный многоугольник:

• Правильным многоугольником называется многоугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.
• Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и в него вписать окружность, причём центры этих окружностей совпадают.

Ниже я привожу формулы для вычисления элементов произвольного правильного многоугольника:

Разберем пример четырехугольника — ромб.

Параллелограмм, все стороны которого равны называется ромбом.

• Диагональ ромба является его осью симметрии.
• Диагонали взаимно перпендикулярны.
• Диагонали являются биссектрисами углов.

Трапеция:

Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие не параллельны, называется трапецией.

Ниже я разобрал типовые примеры 11 задания. Давайте приступим к их рассмотрению.

Разбор типовых вариантов задания №18 ОГЭ по математике

Первый вариант задания

Решение:

Найдем угол BAD — это сумма углов, на которые диагональ делит этот угол, поэтому:

∠BAD = 35° + 30° = 65°

Вспоминаем, что в параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают 180°.

Значит:

∠ABC = ∠ADC = 180 — 65 = 115°

∠BAD = ∠BCD = 65°

Так как нас просят найти меньший угол, то это 65.

Ответ: 65

Второй вариант задания

Решение:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований, умноженную на высоту. Основания нам известны из условия, необходимо самим найти высоту:

После проведения высоты, у нас получается прямоугольный треугольник. Прямоугольный — потому что высота проводится к основанию под углом 90 градусов. Один из углов равен 45°, значит, и второй тоже, так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°. Следовательно, треугольник равнобедренный.

Проведя еще одну высоту, мы получим прямоугольник в центре, та с противоположной стороной, равной основанию 3.

Так как трапеция равнобедренная, то и треугольники равны, значит оставшаяся длина делится пополам:

( 9 — 3 ) / 2 = 3

А так как треугольники равнобедренные, то и высота равна 3.

Отсюда можем найти площадь:

S = ( a + b ) • h / 2 = ( 3 + 9 ) • 3 / 2 = 18

Ответ: 18

Третий вариант задания

Решение:

Средняя линия трапеции является еще и средней линией для треугольников, на которые трапецию поделила её диагональ. Средняя линия треугольника равна половине основания, поэтому отрезки, на которые делит диагональ среднюю линию, будут равны:

10 / 2 = 5

11 / 2 = 5,5

Так как нас просят найти больший из отрезков, то ответ 5,5.

Ответ: 5,5

Демонстрационный вариант ОГЭ 2019

Решение:

Для решения необходимо помнить и знать формулу для вычисления площади трапеции, а это

«полусумма оснований умноженная на высоту»

Непонятно, зачем нам дана информация о значениях длин отрезков, тем не менее решение выглядит так:

1. Верхнее основание равно 7
2. Нижнее основание равно 9 + 12 = 21
3. Полусумма (21 + 7) / 2 = 14
4. Высота равна 12

Таким образом, площадь равна 14 • 12 = 168 см²

Ответ: 168

Четвертый вариант задания

Решение:

Площадь ромба будем искать по формуле:

S=ah,

где a – сторона ромба, h– высота, опущенная на сторону а.

По условию а=4.

Найдем h. Для этого рассмотрим  ∆ОКС и ∆АРС:

Здесь ОК || АР, причем ОК проходит через середину АС (т.к. АВСD ромб, то его диагонали в т.О делятся пополам). Значит, ОК – ср.линия ∆АРС. Поэтому АР=2ОК. Т.к. пор условию ОК=1, то АР=2·1=2. Т.о., h=АР=2.

Отсюда получаем:

S=4·1=4.

Ответ: 4

Пятый вариант задания

Решение:

Т.к. АК биссектриса, то углы ВАК и КАD равны. Обозначим ∠ВАК через х.

Поскольку АВСD параллелограмм, то ∠В+∠А=180⁰. Т.к. АК биссектриса, то ∠А=2х. Тогда ∠В=180⁰–2х.

Рассм. ∆АВК:

По теореме о сумме углов треуг-ка ∠ВАК+∠В+∠ВКА=180⁰.

По условию ∠ВКА = 41⁰.

Отсюда получаем:

х+ 180⁰–2х+41⁰=180⁰

х–2х=180⁰–180⁰–41⁰

–х=–41⁰

х=41⁰

Значит, искомый (острый) ∠А=2·41⁰=82⁰

Ответ: 82

Задание. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображен параллелограмм. Найдите его площадь.

Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:

S = a·h, где a – основание, h – высота.

Длину основания и длину высоты легко подсчитать по клеточкам:

a = 2, h = 8

S = 2 · 8 = 16

Ответ: 16

1) Построим па­рал­ле­ло­грам­м (ABCD), про­ве­дём диа­го­наль (AC), построим окружность, впи­сан­ную в тре­уголь­ник (ABC). Рас­сто­я­ния от точки (O) до точки (A) и пря­мых (AD) и (AC) со­от­вет­ствен­но равны 25, 9 и 7.

2) Сделаем дополнительные построения. Центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис, поэтому (AO), (BO), (CO)  — биссектрисы. Проведём касательные — (OK), (OM), (OL).  Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

3) Из прямоугольного треугольника (AOK) по теореме Пифагора найдём (AK):

AK=AO2−OK2=252−72=625−49=576=24.

5) Площадь треугольника (ABC) можно найти как произведение радиуса вписанной окружности на полупериметр:

SABC=AB+BC+AC2⋅OK=AL+LB+BM+MC+CK+AK2⋅OK;

так как (AL=AK), (BM=LB), (MC=CK), то

SABC=2⋅AL+2BM+2MC2⋅7=2⋅24+2BM+2MC2⋅7=24+BM+MC⋅7.

6) Площадь параллелограмма равна произведению высоты на основание:

SABCD=MH⋅BC=MO+OH⋅BM+MC=16BM+MC.

7) Рассмотрим треугольники (ABC) и (ACD): (AB) равно (CD), (AD) равно (BC), углы (ABC) и (ADC) равны, следовательно, треугольники (ABC) и (ACD) равны. Поэтому площадь треугольника (ABC) равна половине площади параллелограмма:

7⋅24+BM+MC=12⋅16BM+MC⇔BM+MC=168.

Площадь параллелограмма равна:

SABCD=MH⋅BC=16⋅168=2688.

Ответ: 2688.