На практике часто возникают задачи, которые требуют умения строить сечения геометрических фигур различной формы и находить площади сечений. В данной статье рассмотрим, как строятся важные сечения призмы, пирамиды, конуса и цилиндра, и как рассчитывать их площади.
Объемные фигуры
Из стереометрии известно, что объемная фигура совершенно любого типа ограничена рядом поверхностей. Например, для таких многогранников, как призма и пирамида, этими поверхностями являются многоугольные стороны. Для цилиндра и конуса речь идет уже о поверхностях вращения цилиндрической и конической фигур.
Вам будет интересно:Что значит слыть: толкование, синонимы
Если взять плоскость и пересечь ею произвольным образом поверхность объемной фигуры, то мы получим сечение. Площадь его равна площади части плоскости, которая будет находиться внутри объема фигуры. Минимальное значение этой площади равно нулю, что реализуется, когда плоскость касается фигуры. Например, сечение, которое образовано единственной точкой, получается, если плоскость проходит через вершину пирамиды или конуса. Максимальное значение площади сечения зависит от взаимного расположения фигуры и плоскости, а также от формы и размеров фигуры.
Ниже рассмотрим, как рассчитывать площади образованных сечений для двух фигур вращения (цилиндр и конус) и двух полиэдров (пирамида и призма).
Цилиндр
Круговой цилиндр является фигурой вращения прямоугольника вокруг любой из его сторон. Цилиндр характеризуется двумя линейными параметрами: радиусом основания r и высотой h. Ниже схематически показано, как выглядит круговой прямой цилиндр.
Для этой фигуры существует три важных типа сечения:
- круглое;
- прямоугольное;
- эллиптическое.
Эллиптическое образуется в результате пересечения плоскостью боковой поверхности фигуры под некоторым углом к ее основанию. Круглое является результатом пересечения секущей плоскости боковой поверхности параллельно основанию цилиндра. Наконец, прямоугольное получается, если секущая плоскость будет параллельна оси цилиндра.
Площадь круглого сечения рассчитывается по формуле:
S1 = pi*r2
Площадь осевого сечения, то есть прямоугольного, которое проходит через ось цилиндра, определяется так:
S2 = 2*r*h
Сечения конуса
Конусом является фигура вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Конус имеет одну вершину и круглое основание. Его параметрами также являются радиус r и высота h. Пример конуса, сделанного из бумаги, показан ниже.
Видов конических сечений существует несколько. Перечислим их:
- круглое;
- эллиптическое;
- параболическое;
- гиперболическое;
- треугольное.
Они сменяют друг друга, если увеличивать угол наклона секущей плоскости относительно круглого основания. Проще всего записать формулы площади сечения круглого и треугольного.
Круглое сечение образуется в результате пересечения конической поверхности плоскостью, которая параллельна основанию. Для его площади справедлива следующая формула:
S1 = pi*r2*z2/h2
Здесь z — это расстояние от вершины фигуры до образованного сечения. Видно, что если z = 0, то плоскость проходит только через вершину, поэтому площадь S1 будет равна нулю. Поскольку z < h, то площадь изучаемого сечения будет всегда меньше ее значения для основания.
Треугольное получается, когда плоскость пересекает фигуру по ее оси вращения. Формой получившегося сечения будет равнобедренный треугольник, сторонами которого являются диаметр основания и две образующие конуса. Как находить площадь сечения треугольного? Ответом на этот вопрос будет следующая формула:
S2 = r*h
Это равенство получается, если применить формулу для площади произвольного треугольника через длину его основания и высоту.
Сечения призмы
Призма — это большой класс фигур, которые характеризуются наличием двух одинаковых параллельных друг другу многоугольных оснований, соединенных параллелограммами. Любое сечение призмы — это многоугольник. В виду разнообразия рассматриваемых фигур (наклонные, прямые, n-угольные, правильные, вогнутые призмы) велико и разнообразие их сечений. Далее рассмотрим лишь некоторые частные случаи.
Если секущая плоскость параллельна основанию, то площадь сечения призмы будет равна площади этого основания.
Если плоскость проходит через геометрические центры двух оснований, то есть является параллельной боковым ребрам фигуры, тогда в сечении образуется параллелограмм. В случае прямых и правильных призм рассматриваемый вид сечения будет представлять собой прямоугольник.
Пирамида
Пирамида — это еще один многогранник, который состоит из n-угольника и n треугольников. Пример треугольной пирамиды показан ниже.
Если сечение проводится параллельной n-угольному основанию плоскостью, то его форма будет в точности равна форме основания. Площадь такого сечения вычисляется по формуле:
S1 = So*(h-z)2/h2
Где z — расстояние от основания до плоскости сечения, So — площадь основания.
Если секущая плоскость содержит вершину пирамиды и пересекает ее основание, то мы получим треугольное сечение. Для вычисления его площади необходимо обратиться к использованию соответствующей формулы для треугольника.
Как вычислить площадь сечения
При решении задач по геометрии приходится вычислять площади и объемы фигур. Если сделать в любой фигуре сечение, обладая информацией о параметрах самой фигуры, можно найти и площадь этого сечения. Для этого необходимо знать специальные формулы и обладать пространственным мышлением.
Вам понадобится
- Линейка, карандаш, ластик.
Инструкция
Шар является частным случаем простейшей объемной фигуры. Через него можно провести бесконечное количество сечений, и любое из них окажется кругом. Это произойдет независимо от того, насколько близко сечение расположено к центру шара. Вычислить площадь получившегося сечения проще всего в том случае, если оно проведено точно через центр шара, радиус которого известен. В таком случае площадь сечения равна:S=πR^2.
Другой фигурой, площадь сечения которой требуется найти в задачах по геометрии, является параллелепипед. Он имеет ребра и грани. Гранью называется одна из плоскостей параллелепипеда (куба), а ребром — сторона. Параллелепипед, у которого ребра и грани равны, называется кубом. Все сечения куба — квадраты. Зная это свойство, вычислите площадь сечения-квадрата:S=a^2, где a — ребро куба и сторона сечения.
Если в условиях задачи приведен обычный параллелепипед, у которого все грани являются разными, сечение может быть как квадратом, так и прямоугольником с различными сторонами. Сечение, проведенное параллельно двум квадратным граням, является квадратом, а сечение, проведенное параллельно двум прямоугольным — прямоугольником. Если сечение проходит через диагонали параллелепипеда, оно также является прямоугольником.
умножения диагонали нижнего основания на высоту параллелепипеда:S=d*h, где d — диагональ основания, h — высота основания.
Конус — одна из тех фигур вращения, сечения которой могут иметь различную форму. Если рассечь конус параллельно нижнему основанию, сечением будет круг, а если провести сечение параллельно пополам через вершину конуса, получится треугольник. В других случаях сечениями будут трапециевидные фигуры.Если сечением является круг, вычисляйте его площадь по следующей формуле:S=πR^2.Площадь сечения, представляющего собой треугольник, равно произведению половины основания на высоту:S=1/2f*h , где f — основание треугольника, h — высота треугольника.
Источники:
- как найти площадь получившейся фигуры
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
|
Осевым сечением конуса в треугольнике, является не что иное, как произведение его длины и высоты. То есть по сути, это все внутренне пространство, которое есть внутри треугольника, а так как его образует как длина этого самого треугольника, так и его радиус, то для того что бы его найти, нужно две эти величины, просто между собой, перемножить. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Степан-16 6 лет назад Осевым сечением конуса является равнобедренный треугольник. Соответственно, площадь осевого сечения будет определяться формулой площади треугольника и равна половине произведения основания треугольника (или диаметра окружности — основания конуса) на высоту треугольника (или конуса). Если проще, то: произведению радиуса основания конуса на его высоту.
Anklav 8 лет назад Вообразите себе конус и разделите его на две части сверху вниз. Это будет треугольник . А формулу, как найти площади его, вы знаете: S = 1/2D h = R * h На самом деле, нахождение площади сечения в случаях в стереометрии сводится к понятиям обычной геометрии на плоскости
Ксарфакс 6 лет назад Определение из курса стереометрии: Осевое сечение — это сечение трёхмерной фигуры плоскостью, которая проходит через ось этой фигуры. Для конуса осевым сечением будут являться треугольник.
Таким образом, для нахождения площади осевого сечения конуса необходимо найти площадь данного треугольника. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к данному основанию. Высота треугольника будет совпадать с высотой конуса, она равна h. Основание треугольника будет равно диаметру окружности d (окружность является основанием конуса). Таким образом, S = 0,5*d*h. Так как половина диаметра окружности — это радиус, то формулу можно переписать в следующем виде: Sсеч = R*h.
Пчела Жужа 6 лет назад Площадь осевого сечения конуса можно высчитать, применив формулу S=1/2d*h=Rh, где S является площадью осевого сечения, R является радиусом, d является диаметром конуса, а h — это высота конуса. Стоит отметить, что осевым сечением является треугольник.
Площадь осевого сечения конуса вычисляется по формуле: S=1/2*(h*2r),где h -это высота,r-это радиус основания.Например.если высота конуса равна 5 см, а радиус основания равен 2,5 см, то площадь осевого сечения будет равна S=0.5*(5*2*2.5)=12.5 cm
Антон75 8 лет назад Осевое сечение конуса — это треугольник.Следовательно, площадь осевого сечения конуса равна произведению высоты конуса на радиус основания. S=h*r
Oleg74 8 лет назад При осевом сечении конуса плоскость проходит через вершину данного конуса , а самим сечением получается треугольник. Площадью такого сечения является половина диаметра или радиуса, умноженного на высоту. То есть формула вычисления такой площади выглядит так : S = 1/2D h = R h где D — это диаметр конуса ( основания ), R — радиус основания, а h — это высота конуса и треугольника, соответственно.
moreljuba 6 лет назад В первую очередь хочу отметить тот факт, что осевое сечение конуса представляет собой треугольник. Этот факт означает что от нас требуется найти площадь данного треугольника. Найдём площадь вот по этой формуле: В данной формуле диаметр конуса — это D. Радиус основания — это R, а высотой конуса здесь является h.
timurovec 8 лет назад Для ответа необходимо хорошее пространственное представление. Если конус разделить от вершины до средины основания , мы получим фигуру треугольника. А площадь треугольника высчитывается произведением высоты на длину нижней стороны , деленную на два , в данном случае это радиус.
Ksyusha26 8 лет назад Надо сказать, что сечение представляет собой ни что иное, как треугольник. То есть найти площадь осевого сечения конуса можно найти с помощью следующей формулы: S=1/2d*h=Rh. D признается диаметром конуса, R признается радиусом основания, h является высотой конуса Знаете ответ? |
Сечения трехмерных фигур — площади и периметр
Умеешь строить сечения трехмерных фигур – точно не пропадешь.
В этой статье я расскажу тебе об алгоритме построения сечений и разберу пример!
Поехали!
Алгоритм определения площади и периметра сечения объемных фигур
- Нарисовать сечение.
- Определить фигуру, которая получилась в этом сечении.
- Вспомнить формулы площади/периметра этой фигуры.
- Найти площадь/периметр фигуры.
Стандартное сечение имеет вид треугольника, круга или четырехугольника. Следовательно, нам необходимо искать площади именно этих фигур.
Площадь сечения
Площадь треугольника
Площадь круга
Площадь прямоугольника
Пример решения задачи
Диаметр основания конуса ( displaystyle left( AB right)) равен ( displaystyle 
см.
Длина образующей ( displaystyle left( AC; BC right)) равна ( displaystyle 5) см (линия от вершины конуса до любой точки его основания).
Найдите площадь осевого сечения этого конуса.
Осевое сечение конуса – это равнобедренный треугольник ( displaystyle left( ABC right)), высота которого совпадает с высотой конуса ( displaystyle left( CO right)), а основание ( displaystyle left( AB right)) является диаметром основания конуса.
Значит, ( displaystyle S) осевого сечения конуса =( displaystyle S) треугольника ( displaystyle ABC).
Вспомним формулу площади треугольника:
| ( displaystyle S=frac{(COcdot AB)}{2} ) | begin{matrix} AB -длина стороны треугольника \ CO — высота, опущенная на сторону AB \ end{matrix} |
Найдем высоту ( displaystyle Delta ABC):
Рассмотрим ( displaystyle Delta COA).
т.к. ( displaystyle OC) – высота ( displaystyle Delta ABC rightarrow angle COA=90{}^circ rightarrow Delta COA) – прямоугольный.
( displaystyle AO=frac{AB}{2}=frac{8}{2}=4) (т.к. ( displaystyle AO) – радиус окружности, ( displaystyle AB) – диаметр).
Найдем ( displaystyle AC):
По теореме Пифагора:
( displaystyle A{{C}^{2}}=C{{O}^{2}}+A{{O}^{2}}; C{{O}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{O}^{2}}={{5}^{2}}-{{4}^{2}}=9см; CO=sqrt{9}=3см)
Подставим получившиеся значения в формулу площади:
( displaystyle {{S}_{ABC}}=frac{left( COcdot AB right)}{2}=frac{3cdot 8}{2}=)( displaystyle 12см{{ }^{2}})
Площадь осевого сечения этого конуса равна ( displaystyle 12см{{ }^{2}}).
Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+
Алексей Шевчук — ведущий мини-групп
математика, информатика, физика
+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи
alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи
- тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
- автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
- закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
- репетиторский стаж — c 2003 года;
- в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
- отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».
Сечение цилиндра: определение, виды, его образующая
Содержание:
- Кратко о цилиндре
- Осевое сечение
- Как найти площадь сечения
- Осевое сечение наклонного цилиндра
-
Примеры задач
- Задача 1
- Задача 2
Кратко о цилиндре
Цилиндр — это геометрическая фигура, которая ограничена цилиндрической поверхностью и двумя плоскими окружностями.
Также можно сказать, что это тело вращения, возникающее при вращении прямоугольника вокруг его стороны.
Осевое сечение
Это сечение фигуры плоскостью, проходящей через ее ось. Оно является прямоугольником. Таким образом, любое сечение, параллельное оси цилиндра (и перпендикулярное его основанию), становится прямоугольником. Сторонами этой фигуры будет диаметр цилиндра и высота его оси.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Как найти площадь сечения
Формула 1
(S = d*h,)
где (d) — диаметр, а (h) — высота всей фигуры.
Также есть формулы для расчета площади сечения, параллельного оси геометрического тела (но не пересекающего ее).
Формула 2
(S = a*h, )
где (a) — хорда.
Осевое сечение наклонного цилиндра
Сечение наклонного цилиндра по оси представляет собой параллелограмм. Его стороны нам уже известны: одна из них равна диаметру d, как и в случае с прямой фигурой. Другая — длина образующего отрезка. Ее мы можем обозначить буквой b.
Для точного определения всех параметров параллелограмма недостаточно знать только длины его сторон. Для расчета площади фигуры нам понадобится один из ее углов. Допустим, что острый угол между плоскостью и направляющий равен α. Тогда формула S параллелограмма будет выглядеть следующим образом:
(S = d * b * sin(α))
Примеры задач
Рассмотрим пару задач на осевое сечение с решениями.
Задача 1
Дан круглый прямой цилиндр. Его осевое сечение является квадратом. Вопрос: чему равна S сечения, если площадь поверхности всего цилиндра — 100 см²?
Решение
Чтобы найти S квадрата, нужно сначала определить радиус или диаметр окружности цилиндра. Для этого вспомним формулу для нахождения площади самого цилиндра:
(Sц = 2pi * r * (r + h))
Так как осевое сечение — квадрат, значит радиус основания в два раза меньше высоты фигуры. В таком случае, формула будет выглядеть так:
(Sц = 2pi * r * (r + 2r) = 6 * pi * r²)
Исходя из этого, будем выражать радиус:
(r = √(Sц / (6*pi)))
Если сторона квадратного сечения равна диаметру основания цилиндра, то для определения площади квадрата S используем формулу:
(S = (2*r)2 = 4*r2 = 2*Sц/ (3*pi))
Подставим известные данные ((Sц = 100см^2)) и получим площадь сечения (S = 21,23 см²).
Ответ: (S = 21,23 см²).
Задача 2
Дано: ABCD — осевое сечение цилиндра. Площадь сечения (Sc) равна (10 м²), а площадь основания (Sо— 5 м²). Найти высоту цилиндра.
Решение
Так как площадь основания — круг, то (Sо = pi * r²). Тогда (r = √(Sо/pi) = √(5/pi).)
Так как площадь сечения — прямоугольник, то (Sc = AB * BC = h * 2r.) Тогда (h = Sc/(2r) = 10/(2√(5/pi)) = 5√(pi/5) = √(5pi).)
Ответ: (h = √(5pi).)
Насколько полезной была для вас статья?
Рейтинг: 5.00 (Голосов: 1)
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так