Как найти площадь конуса трапеции - AvtoShod.ru - решение различных проблем

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить площадь поверхности прямого усеченного кругового конуса (боковую, полную и основания), а также разберем пример решения задачи для закрепления представленного теоретического материала.

Формулы вычисления площади усеченного конуса
- 1. Боковая поверхность
- 2. Основания
- 3. Полная площадь
Пример задачи

Формулы вычисления площади усеченного конуса

Примечание: иногда усеченный конус, также, называют коническим слоем.

1. Боковая поверхность

Чтобы найти площадь (S) боковой поверхности прямого усеченного кругового конуса, необходимо знать длину его образующей, а также радиусы двух оснований.

S_бок. = πRl + πrl = πl(R + r)

Примечание: в этой и других формулах ниже число π чаще всего округляется до 3,14.

2. Основания

Основаниями кругового усеченного конуса являются два круга, площади которых считаются таким образом:

S_осн.1 = πR²

S_осн.2 = πr²

Примечание: если вместо радиусов (R или r) даны соответсвующие им диаметры (d), их следует разделить на 2, чтобы получить нужные радиусы.

3. Полная площадь

Чтобы вычислить площадь полной поверхности усеченного конуса, требуется сложить площади его боковой поверхности и двух оснований.

S_полн. = πl(R + r) + πR² + πr² = π(lR + lr + R² + r²)

Пример задачи

Найдите площадь поверхности усеченного конуса, если известно, что радиусы его оснований равны 6 и 11 см, а длина образующей составляет 8 см.

Решение

Все известные значения для вычисления площади нам известны, так что остается лишь подставить их в формулы, приведенные выше.

S_бок. = 3,14 ⋅ 8 см ⋅ (6 см + 11 см) = 427,04 см²

S_осн.1 = 3,14 ⋅ (11 см)² = 379,94 см²

S_осн.2 = 3,14 ⋅ (6 см)² = 113,04 см²

S_полн. = 427,04 см² + 379,94 см² + 113,04 см² = 920,02 см²

Источник

Усеченный конус.

МБОУ «СШ № 43»г.Иваново,

учитель математики Шляпцева Н.Н.

Усеченным конусом называется часть полного конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Круги, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями усеченного конуса.

Образующей усеченного конуса называется часть образующей полного конуса, заключенная между основаниями. Высотой усеченного конуса называется расстояние между основаниями.

Пусть в конусе, высота которого известна, проведено сечение, находящееся на расстоянии три от вершины. Чему равна образующая получившегося усеченного конуса, если известна образующая полного конуса?

Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основанию.

Пусть дан усеченный конус, радиусы оснований и высота которого известны. Найдите образующую усеченного конуса.

Прямая, соединяющая центры оснований, называется осью усеченного конуса. Сечение, проходящее через ось, называется осевым . Осевое сечение является равнобедренной трапецией.

Найдите площадь осевого сечения, если известны радиус нижнего основания, высота и образующая.

Боковая поверхность усеченного конуса. Площадь боковой поверхности усеченного конуса.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую.

Доказательство:

Боковую поверхность усеченного конуса будем понимать как предел, к которому стремится боковая поверхность вписанной в этот конус правильной усеченной пирамиды, когда число боковых граней неограниченно увеличивается.

Доказательство:

Впишем в конус правильную пирамиду. Ее боковая поверхность состоит из трапеций.

Замечание:

Площадь боковой поверхности усеченного конуса можно рассматривать как разность между площадями боковых поверхностей двух конусов. Поэтому развертка усеченного конуса – это часть круглого кольца.

Усеченный конус получен от вращения прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основаниям, Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса, если известны основания и боковая сторона трапеции.

Задача.

Радиус меньшего основания усеченного конуса равен 5, высота равна 6, а расстояние от центра меньшего основания до окружности большего основания равно 10. Найдите площадь боковых поверхностей усеченного и полного конусов.

Решение:

Достроим усеченный конус до полного и проведем осевое сечение.

Решение:

1) Вычислим радиус большего основания.

Решение:

2) Найдем боковую сторону трапеции –образующую усеченного конуса.

Решение:

3) Используя подобие треугольников, найдем образующую полного конуса.

Решение:

4) Подставим найденные значения в формулы для площадей боковой поверхности полного и усеченного конусов.

Формула объема усеченного конуса.

Объем усеченного конуса равен сумме объемов трех конусов, имеющих одинаковую высоту с усеченным конусом, а основаниями: один – нижнее основание этого конуса, другой – верхнее, а третий – круг, радиус которого есть среднее геометрическое между радиусами верхнего и нижнего оснований.

Доказательство:

Поместим на верхнем основании усеченного конуса малый конус, дополняющий его до полного и рассмотрим объем его как разность объемов двух конусов.

Доказательство:

Вычислим высоту полного конуса из подобия треугольников.

Доказательство:

Объемы полного и дополнительного конусов относятся как кубы радиусов оснований.

Доказательство:

Вычтем из объема большого конуса объем малого конуса.

Найдите объем усеченного конуса, если известны его высота и радиусы оснований.

149 π

Подобные цилиндры и конусы.

Подобные цилиндры или конусы можно рассматривать как тела, полученные от вращения подобных прямоугольников или прямоугольных треугольников.

Сечение, параллельное основанию конуса, отсекает от него малый конус, подобный большому.

В цилиндре проведено сечение, параллельное основанию. Будет ли малый цилиндр, который отсекается этим сечением, подобен большому?

Площади боковых поверхностей подобных цилиндров и конусов относятся как квадраты радиусов или высот, а объемы – как кубы радиусов или высот.

В конусе, высота которого известна, проведено сечение, параллельное основанию. Известно также соотношение объемов малого и большого конусов. На каком расстоянии от основания находится сечение?

Радиусы оснований усеченного конуса относятся как 2:3. Высота конуса разделена на три равные части, и через точки деления проведены плоскости, параллельные основаниям. Найти, в каком отношении разделился объем усеченного конуса.

Задача.

Решение:

Зная, что радиусы оснований конуса относятся как два к трем, обозначим радиусы как 2а и 3а и рассмотрим осевое сечение конуса.

Решение:

1) Используя подобие, найдем радиусы проведенных сечений.

Решение:

2) Достроив усеченный конус до полного, найдем, какую часть от полного конуса составляют меньшие конусы.

V – объем наибольшего конуса

Решение:

3) Определим, какую часть от объема полного конуса составляют усеченные конусы, расположенные между соседними сечениями и найдем отношение объемов этих конусов.

Ответ:

V 1 :V 2 :V 3 = 127 : 168 : 217

Источник

Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная между двумя параллельными основаниями перпендикулярными его оси симметрии.Основаниями конуса являются геометрические круги.

Усеченный конус может быть получен в результате вращения прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, которая является ее высотой. Границей конуса является круг радиуса R, круг радиуса r и боковая поверхность конуса. Боковую поверхность конуса описывает боковая сторона трапеции во время ее вращения.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса через направляющую и радиусы его оснований

При нахождении площади боковую поверхность усеченного конуса целесообразней рассматривать как разность боковой поверхности конуса и боковой поверхности отсеченного конуса.

Пусть от данного конуса AMB отсекли конус A`MB`. Необходимо вычислить боковую площадь усеченного конуса AA`B`B. Известно, что радиусы его оснований AO=R, A`O`=r, образующая равна L.Обозначим MB` за x. Тогда боковая поверхность конуса A`MB` будет равна πrx. А боковая поверхность конуса AMB будет равна πR(L+x).
Тогда боковую поверхность усеченного конуса AA`B`B можно выразить через разность боковой поверхности конуса AMB и конуса A`MB`:
$S_bok={pi}R(L+x)-{pi}rx={pi}(RL+Rx-rx)={pi}(RL+x(R-r))$
Треугольники OMB и O`MB`– подобны по равенству углов ∠{MOB} = ∠{MO`B`} и ∠{OMB} = ∠{O`MB`}. Из подобия этих треугольников следует:
Воспользуемся производной пропорции. Имеем:
Отсюда находим x:
Подставив это выражение в формулу площади боковой поверхности, имеем: $S_bok={pi}(RL+{{rL}/{R-r}} (R-r) )={pi}(RL+rL)={pi}L(R+r)$
Таким образом, площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению числа π на его направляющую и сумму радиусов его оснований.
Формула площади боковой поверхности усеченного конуса имеет следующий вид: $S_bok={pi}L(R+r)$

Пример расчета площади боковой поверхности усеченного конуса, если известны его радиус и образующая
Радиус большего основания, образующая и высота усеченного конуса равны 7, 5 и 4 см соответственно. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию, с основаниями 2R и 2r. Образующая усеченного конуса, являющаяся боковой стороной трапеции, высота, опушенная на большое основание и разность радиусов основания усеченного конуса, образуют египетский треугольник. Это прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. По условию задачи образующая равна 5, а высота – 4, тогда разность радиусов основания усеченного конуса будет равна 3.
Имеем:
L=5
R=7
R=4
Формула площади боковой поверхности усеченного конуса имеет следующий вид:
$S_bok={pi}L(R+r)$
Подставив значения, имеем:
$S_bok=5{pi}(7+4)=27{pi}$

Площади боковой поверхности усеченного конуса через направляющую и средний радиус

Средний радиус усеченного конуса равен половине суммы радиусов его оснований:
$R_sr={R+r}/2$

Тогда формула площади боковой поверхности усеченного конуса может быть представлена следующим образом:
$S_bok=2{pi}LR_sr$
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению длины окружности среднего сечения на его образующую.

Площади боковой поверхности усеченного конуса через радиусы его основания и угол наклона образующей к плоскости основания

Если меньшее основание ортогонально спроектировать на большее основание, то тогда проекция боковой поверхности усеченного конуса будет иметь вид кольца, площадь которого вычисляется по формуле:
$S={pi}(R^2-r^2)={pi}(R-r)(R+r)$
Тогда: $S_bok={{pi}(R-r)(R+r)}/{cos{alpha}}$

Площади боковой поверхности усеченного конуса по Архимеду

$S_bok={pi}(sqrt{L(R+r)})^2$
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна площади такого круга, радиус которого является средней пропорциональной между образующей и суммой радиусов его оснований

Полная поверхность усеченного конуса

Полная поверхность конуса – это сумма площади его боковой поверхности и площади оснований конуса:

$S_poln=S_bok+S_{b.osn}+S_{m.osn}$

Основаниями конуса является круги с радиусом R и r. Их площадь равна произведению числа на квадрат их радиуса:
$S_{b.osn}={pi}R^2$
$S_{m.osn}={pi}r^2$
Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле:
$S_bok={pi}L(R+r)$
Тогда площадь полной поверхности усеченного конуса равна:
$S_poln={pi}L(R+r)+{pi}R^2+{pi}r^2={pi}(R^2+(R+r)L+r^2)$
Формула имеет следующий вид:
$S_poln={pi}(R^2+(R+r)L+r^2)$

Пример расчета площади полной поверхности усеченного конуса, если известны его радиус и образующая
Радиус основания усеченного конуса 1 и 7 дм, а диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны. Найдите площадь полную площадь усеченного конуса
Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобедренную трапецию, с основаниями 2R и 2r. То есть основания трапеции равны 2 и 14 дм соответственно. Так как диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, то высота равна полусумме ее оснований. Тогда:

Образующая усеченного конуса, являющаяся боковой стороной трапеции, высота, опушенная на большое основание и разность радиусов основания усеченного конуса, образуют прямоугольный треугольник.
По теореме Пифагора найдем образующую усеченного конуса:
$L=sqrt{h^2+(R-r)^2}=sqrt{8^2+(7-1)^2}=sqrt{64+36}=sqrt{100}=10$
Формула площади полной поверхности усеченного конуса имеет следующий вид:
$S_poln={pi}(R^2+(R+r)L+r^2)$
Подставив значения из условия задачи и найденные значения, имеем:
$S_poln={pi}(7^2+(7+1)10+1^2)={pi}(49+80+1)=130{pi}$

Источник

В данной теме выложены вспомогательные картинки для учеников и студентов с формулами площадей и объемов фигур. Ниже расположены основные формулы, которые потребуются при решении задач по геометрии на нахождение объемов и площадей поверхности таких фигур, как квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, треугольник, прямоугольный треугольник, трапеция, круг, куб, параллелепипед, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида, цилиндр, конус и шар.