Как найти площадь четырехугольника если известен периметр - AvtoShod.ru

Как вычислить площадь четырехугольника

Четырехугольник – замкнутая геометрическая фигура, обладающая двумя основными числовыми характеристиками. Это периметр и площадь, которая вычисляется по известной формуле, исходя из типа многоугольника и условий конкретной задачи.

Инструкция

Понятие четырехугольник является общим названием для нескольких геометрических фигур. Это параллелограмм, прямоугольник, квадрат, ромб и трапеция. Одни из них – частные случаи других, соответственно, формулы площадей вытекают одна из другой путем различных упрощений.

Вычислить площадь произвольного зависимости от его разновидности. Для этого достаточно знать длины диагоналей, которых у него две, а также величину угла между ними:S = 1/2•d1•d2•sin α.

Особенность параллелограмма – попарное равенство и параллельность противолежащих сторон. Существует несколько формул для нахождения его площади: произведение стороны на высоту, проведенную к ней, а также результат умножения длин двух смежных сторон на синус угла между ними:S = a•H;S = AB•BC•sin ABC.

Прямоугольник, ромб, квадрат – все это частные случаи параллелограмма. У прямоугольника каждый из четырех углов составляет 90°, ромб предполагает равенство всех сторон и перпендикулярность диагоналей, а квадрат обладает свойствами их обоих, т.е. все его углы прямые, а стороны равны.

Исходя из этих особенностей, площади каждого из описанных фигур определяются по формулам:S_прям = a•b – сторона b является одновременно и высотой;S_ромб = 1/2•d1•d2 – следствие из общей формулы произведения диагоналей при упрощении sin 90° = 1;S_кв = a² – стороны равны и являются одновременно высотами.

Трапеция отличается от других четырехугольников тем, что лишь две из ее противолежащих сторон параллельны. Однако они не равны между собой, а две другие стороны – не параллельны друг другу. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (параллельных сторон, обычно расположенных горизонтально) на высоту (вертикальный отрезок, соединяющий оба основания):S = (a + b)•h/2.

Кроме того, площадь трапеции можно вычислить, если известны все длины сторон. Это довольно громоздкая формула:S = ((a + b)/2)•√(c² — (((b — a)² + c² — d²)/(2•(b — a)))²), c и d – боковые стороны.

Источники:

как находить площадь четырехугольника

Источник

Четырёхугольник — это многоугольник, содержащий четыре вершины и четыре стороны. Никакие три вершины четырехугольника не лежат на одной прямой Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники

Площадь четырехугольника через диагонали и угол между ними

Диагональ четырехугольника d1

Диагональ четырехугольника d2

Формула расчета площади четырехугольника, через диагонали и угол между ними:

S=1/2⋅d1⋅d2⋅sinα∘

Площадь четырехугольника через стороны и углы между этими сторонами

Формула для вычисления площади четырехугольника через четыре его стороны и углы между этими сторонами:

p — периметр четырехугольника деленный на два.

Источник

Математика

5.5.5. Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора

Формулы площади выпуклого четырехугольника

1. Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними
Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженному на синус угла между ними:

(S=frac{1}{2}d_1d_2sinalpha)

где S — площадь четырехугольника,
d1, d2 — длины диагоналей четырехугольника,
α — угол между диагоналями четырехугольника.

2. Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности)
Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности

(S=pcdot r)

3. Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов

4. Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность

(S=sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)})

Источник

Формулы площади геометрических фигур

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте
Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
Формула площади треугольника по трем сторонам

Формула Герона

S = √p(p — a)(p — b)(p — c)
Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

где S — площадь треугольника,
a, b, c — длины сторон треугольника,
h — высота треугольника,
γ — угол между сторонами a и b,
r — радиус вписанной окружности,
R — радиус описанной окружности,

p = a + b + c — полупериметр треугольника.

2

Формулы площади квадрата

Формула площади квадрата по длине стороны
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

S = a²
Формула площади квадрата по длине диагонали
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.

где S — площадь квадрата,
a — длина стороны квадрата,
d — длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон

S = a · b

где S — Площадь прямоугольника,
a, b — длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

S = a · h
Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

S = a · b · sin α
Формула площади параллелограмма по двум диагоналям и углу между ними
Площадь параллелограмма равна половине произведения длин его диагоналей умноженному на синус угла между ними.

где S — Площадь параллелограмма,
a, b — длины сторон параллелограмма,
h — длина высоты параллелограмма,
d₁, d₂ — длины диагоналей параллелограмма,
α — угол между сторонами параллелограмма,
γ — угол между диагоналями параллелограмма.

Формулы площади ромба

Формула площади ромба по длине стороны и высоте
Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.

S = a · h
Формула площади ромба по длине стороны и углу
Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.

S = a² · sin α
Формула площади ромба по длинам его диагоналей
Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.

где S — Площадь ромба,
a — длина стороны ромба,
h — длина высоты ромба,
α — угол между сторонами ромба,
d₁, d₂ — длины диагоналей.

Формулы площади трапеции

Формула Герона для трапеции

S = a + b √(p-a)(p-b)(p-a-c)(p-a-d)

|a — b|
Формула площади трапеции по длине основ и высоте

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту

где S — площадь трапеции,
a, b — длины основ трапеции,
c, d — длины боковых сторон трапеции,

p = a + b + c + d — полупериметр трапеции.

2

Формулы площади выпуклого четырехугольника

Формула площади четырехугольника по длине диагоналей и углу между ними

Площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей умноженному на синус угла между ними:

где S — площадь четырехугольника,
d₁, d₂ — длины диагоналей четырехугольника,
α — угол между диагоналями четырехугольника.
Формула площади описанного четырехугольника (по длине периметра и радиусу вписанной окружности)

Площадь выпуклого четырехугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности

S = p · r
Формула площади четырехугольника по длине сторон и значению противоположных углов

S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d) — abcd cos²θ

где S — площадь четырехугольника,

a, b, c, d — длины сторон четырехугольника,

p = a + b + c + d2 — полупериметр четырехугольника,

θ = α + β2 — полусумма двух противоположных углов четырехугольника.
Формула площади четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность

S = √(p — a)(p — b)(p — c)(p — d)

Формулы площади круга

Формула площади круга через радиус
Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи.

S = π r²
Формула площади круга через диаметр
Площадь круга равна четверти произведения квадрата диаметра на число пи.

где S — Площадь круга,
r — длина радиуса круга,
d — длина диаметра круга.

Формулы площади эллипса

Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи.

S = π · a · b

где S — Площадь эллипса,

a — длина большей полуоси эллипса,

b — длина меньшей полуоси эллипса.

Источник

Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех вершин, три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, соединяющих их.

Существует множество четырехугольников. К ним относятся параллелограммы, квадраты, ромбы, трапеции. Найти площадь квадрата можно найти по сторонам, площадь ромба легко вычисляется по диагоналям. В произвольном четырехугольнике также можно использовать все элементы для вывода формулы площади четырехугольника. Для начала рассмотрим формулу площади четырехугольника через диагональ. Для того, чтобы ее использовать потребуются длины диагоналей и размер острого угла между ними. Зная необходимые данные можно проводить пример расчета площади четырехугольника по такой формуле:

$S={d_1 d_2 sin{alpha}}/2$

Половина произведения диагоналей и синуса острого угла между ними является площадью четырехугольника. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через диагональ.

Пусть дан четырехугольник с двумя диагоналями d1=5 см;d2=4см. Острый угол между ними равен α = 30°. Формула площади четырехугольника через диагонали легко применяется для известных условий. Подставим данные:
$S={5*4*0,5}/2=5{cm}^2$

На примере расчета площади четырехугольника через диагонали понимаем, что формула очень похожа на расчет площади параллелограмма.

Площадь четырехугольника по сторонам

Когда известны длины сторон фигуры, можно применить формулу площади четырехугольника по сторонам. Для применения этих расчетов потребуется найти полупериметр фигуры. Мы помним, что периметр – это сумма длин всех сторон. Полупериметр – это половина периметра. В нашем прямоугольнике со сторонами a, b, c, d формула полупериметра будет выглядеть так:
Зная стороны, выводим формулу. Площадь четырехугольника представляет собой корень из произведения разности полупериметра с длиной каждой стороны:

Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через стороны. Дан произвольный четырехугольник со сторонами a = 5 см, b = 4 см, с = 3 см, d = 6 см. Для начала найдем полупериметр:

используем найденное значение для расчета площади:
$S=sqrt{(9-5)(9-4)(9-3)(9-6)}=sqrt{4*5*6*3}=sqrt{360}=19{cm}^2$

Площадь четырехугольника, заданного координатами

Формула площади четырехугольника по координатам используется для расчета площади фигур, которые располагаются в системе координат. В этом случае для начала требуется расчет длин необходимых сторон. В зависимости от типа четырехугольника может меняться и сама формула. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника, используя квадрат, который лежит в системе координат XY.

Дан квадрат ABCD, расположенный в системе координат XY. Найти площадь фигуры, если координаты вершин A(2;10); B(10;8); C(8;0); D(0;2).

Мы знаем, что все стороны фигуры равны, и формула площади квадрата находится по формуле: S=a^2
Найдем одну из сторон, к примеру, AB: $AB=sqrt{{(x_b-x_a)}^2+{(y_b-y_a)}^2}$
Подставим значения в формулу: $AB=sqrt{{(8-2)}^2+{(8-10)}^2}=sqrt{36+4}=sqrt{40}=6,3$
Знаем, что все стороны одинаковые. Подставляем значение в формулу расчета площади: $S={6,3}^2=39,7$