Как найти пифагоровы тройки формула

Пифагорово число (пифагорова тройка) — комбинация из трёх целых чисел , удовлетворяющих соотношению Пифагора: .

Свойства

Поскольку уравнение однородно, при домножении , и на одно и то же число получится другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если она не может быть получена таким способом, то есть — взаимно простые числа.

Треугольник, стороны которого равны пифагоровым числам, является прямоугольным. Кроме того, любой такой треугольник является героновым, т. е. таким, у которого все стороны и площадь являются целочисленными. Простейший из них — египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5 ().

Пифагорова тройка задаёт точку с рациональными координатами на единичной окружности .

Любая примитивная пифагорова тройка однозначно представляется в виде для некоторых натуральных, взаимно простых , имеющих разную чётность. Наоборот, любая такая пара задаёт примитивную пифагорову тройку.Шаблон:Источник?

Примеры

Некоторые пифагоровы тройки (отсортированы по возрастанию максимального числа, выделены примитивные):

(3, 4, 5),
(6, 8, 10),
(5, 12, 13),
(9, 12, 15),
(8, 15, 17),
(12, 16, 20),
(15, 20, 25),
(7, 24, 25),
(10, 24, 26),
(20, 21, 29),
(18, 24, 30),
(16, 30, 34),
(21, 28, 35),
(12, 35, 37),
(15, 36, 39),
(24, 32, 40),
(9, 40, 41),
(14, 48, 50),
(30, 40, 50)…

См. также

• Великая теорема Ферма
• Теорема Пифагора

be-x-old:Піфагорава тройка
bg:Питагоров триъгълник
da:Pythagoræiske tal
eo:Pitagora triopo
he:שלשה פיתגורית
hu:Pitagoraszi számhármasok
is:Pýþagórískur þríhyrningur
nl:Pythagorese drietallen
pl:Trójki pitagorejskie
scn:Terna pitagòrica
sl:Pitagorejska trojica
sv:Pythagoreisk trippel

Ещё примеры пифагоровых троек (где катеты меньше 1000, их 179):

3 4 5  9+16=25

5 12 13  25+144=169

7 24 25  49+576=625

8 15 17  64+225=289

9 40 41  81+1600=1681

11 60 61  121+3600=3721

12 35 37  144+1225=1369

13 84 85  169+7056=7225

15 112 113  225+12544=12769

16 63 65  256+3969=4225

17 144 145  289+20736=21025

19 180 181  361+32400=32761

20 21 29  400+441=841

20 99 101  400+9801=10201

21 220 221  441+48400=48841

23 264 265  529+69696=70225

24 143 145  576+20449=21025

25 312 313  625+97344=97969

27 364 365  729+132496=133225

28 45 53  784+2025=2809

28 195 197  784+38025=38809

29 420 421  841+176400=177241

31 480 481  961+230400=231361

32 255 257  1024+65025=66049

33 56 65  1089+3136=4225

33 544 545  1089+295936=297025

35 612 613  1225+374544=375769

36 77 85  1296+5929=7225

36 323 325  1296+104329=105625

37 684 685  1369+467856=469225

39 80 89  1521+6400=7921

39 760 761  1521+577600=579121

40 399 401  1600+159201=160801

41 840 841  1681+705600=707281

43 924 925  1849+853776=855625

44 117 125  1936+13689=15625

44 483 485  1936+233289=235225

48 55 73  2304+3025=5329

48 575 577  2304+330625=332929

51 140 149  2601+19600=22201

52 165 173  2704+27225=29929

52 675 677  2704+455625=458329

56 783 785  3136+613089=616225

57 176 185  3249+30976=34225

60 91 109  3600+8281=11881

60 221 229  3600+48841=52441

60 899 901  3600+808201=811801

65 72 97  4225+5184=9409

68 285 293  4624+81225=85849

69 260 269  4761+67600=72361

75 308 317  5625+94864=100489

76 357 365  5776+127449=133225

84 187 205  7056+34969=42025

84 437 445  7056+190969=198025

85 132 157  7225+17424=24649

87 416 425  7569+173056=180625

88 105 137  7744+11025=18769

92 525 533  8464+275625=284089

93 476 485  8649+226576=235225

95 168 193  9025+28224=37249

96 247 265  9216+61009=70225

100 621 629  10000+385641=395641

104 153 185  10816+23409=34225

105 208 233  11025+43264=54289

105 608 617  11025+369664=380689

108 725 733  11664+525625=537289

111 680 689  12321+462400=474721

115 252 277  13225+63504=76729

116 837 845  13456+700569=714025

119 120 169  14161+14400=28561

120 209 241  14400+43681=58081

120 391 409  14400+152881=167281

123 836 845  15129+698896=714025

124 957 965  15376+915849=931225

129 920 929  16641+846400=863041

132 475 493  17424+225625=243049

133 156 205  17689+24336=42025

135 352 377  18225+123904=142129

136 273 305  18496+74529=93025

140 171 221  19600+29241=48841

145 408 433  21025+166464=187489

152 345 377  23104+119025=142129

155 468 493  24025+219024=243049

156 667 685  24336+444889=469225

160 231 281  25600+53361=78961

161 240 289  25921+57600=83521

165 532 557  27225+283024=310249

168 425 457  28224+180625=208849

168 775 793  28224+600625=628849

175 288 337  30625+82944=113569

180 299 349  32400+89401=121801

184 513 545  33856+263169=297025

185 672 697  34225+451584=485809

189 340 389  35721+115600=151321

195 748 773  38025+559504=597529

200 609 641  40000+370881=410881

203 396 445  41209+156816=198025

204 253 325  41616+64009=105625

205 828 853  42025+685584=727609

207 224 305  42849+50176=93025

215 912 937  46225+831744=877969

216 713 745  46656+508369=555025

217 456 505  47089+207936=255025

220 459 509  48400+210681=259081

225 272 353  50625+73984=124609

228 325 397  51984+105625=157609

231 520 569  53361+270400=323761

232 825 857  53824+680625=734449

240 551 601  57600+303601=361201

248 945 977  61504+893025=954529

252 275 373  63504+75625=139129

259 660 709  67081+435600=502681

260 651 701  67600+423801=491401

261 380 461  68121+144400=212521

273 736 785  74529+541696=616225

276 493 565  76176+243049=319225

279 440 521  77841+193600=271441

280 351 449  78400+123201=201601

280 759 809  78400+576081=654481

287 816 865  82369+665856=748225

297 304 425  88209+92416=180625

300 589 661  90000+346921=436921

301 900 949  90601+810000=900601

308 435 533  94864+189225=284089

315 572 653  99225+327184=426409

315 988 1037  99225+976144=1075369

319 360 481  101761+129600=231361

320 999 1049  102400+998001=1100401

333 644 725  110889+414736=525625

336 377 505  112896+142129=255025

336 527 625  112896+277729=390625

341 420 541  116281+176400=292681

348 805 877  121104+648025=769129

364 627 725  132496+393129=525625

368 465 593  135424+216225=351649

369 800 881  136161+640000=776161

372 925 997  138384+855625=994009

385 552 673  148225+304704=452929

387 884 965  149769+781456=931225

396 403 565  156816+162409=319225

400 561 689  160000+314721=474721

407 624 745  165649+389376=555025

420 851 949  176400+724201=900601

429 460 629  184041+211600=395641

429 700 821  184041+490000=674041

432 665 793  186624+442225=628849

448 975 1073  200704+950625=1151329

451 780 901  203401+608400=811801

455 528 697  207025+278784=485809

464 777 905  215296+603729=819025

468 595 757  219024+354025=573049

473 864 985  223729+746496=970225

481 600 769  231361+360000=591361

495 952 1073  245025+906304=1151329

496 897 1025  246016+804609=1050625

504 703 865  254016+494209=748225

533 756 925  284089+571536=855625

540 629 829  291600+395641=687241

555 572 797  308025+327184=635209

559 840 1009  312481+705600=1018081

576 943 1105  331776+889249=1221025

580 741 941  336400+549081=885481

585 928 1097  342225+861184=1203409

615 728 953  378225+529984=908209

616 663 905  379456+439569=819025

620 861 1061  384400+741321=1125721

645 812 1037  416025+659344=1075369

660 779 1021  435600+606841=1042441

660 989 1189  435600+978121=1413721

696 697 985  484416+485809=970225

704 903 1145  495616+815409=1311025

705 992 1217  497025+984064=1481089

731 780 1069  534361+608400=1142761

744 817 1105  553536+667489=1221025

765 868 1157  585225+753424=1338649

799 960 1249  638401+921600=1560001

832 855 1193  692224+731025=1423249

884 987 1325  781456+974169=1755625

893 924 1285  797449+853776=1651225

Ссылки

Пифагоровы тройки чисел — Yaptro

Pythagorean triples concept was used since ancient times by many greeks, Chinese and Indian philosophers. It is used to explain the relationship between the three sides (i.e., a, b, and c) of the right triangle. It states that in any right triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the square of the other two sides of the triangle. In this article, we will learn about the Pythagorean triples formula in detail, along with examples.

What are Pythagorean Triples?

Pythagorean triples are used to find the three positive integers or terms that satisfy the Pythagorean theorem. Generally, these three terms can be written in the form (a, b, c), and the triangle formed by these terms is known as the Pythagorean triangle. Let us consider a right-angled triangle in which b is the base, a is the perpendicular, and c is the hypotenuse. So, according to the Pythagorean triples theorem: the sum of squares of any two sides is equal to the square of the third side.

a² + b² = c²

Here, a, b, and c are base, perpendicular, and hypotenuse.

Examples of Pythagorean Triples

There is n number of Pythagorean triples. Take any Pythagoras triangle as an example. Let’s say the perpendicular of the triangle is 4 units, and the base is 3 units, then the hypotenuse will be:

a² + b² = c²

3² + 4² = c²

c² = 9 + 16

c = √25 = 5 units.

So, the Pythagorean triples are (3, 4, and 5). Many other Pythagorean triples can be generated with the help of these basic Pythagorean triples. The best way to obtain more triples is to scale them up, that is (3n, 4n, and 5n). Here, n is the positive integer value.

Pythagorean Triples Formula

If the triangle given is a right-angled triangle, then the set of the sides of the triangle gives Pythagorean triples. Pythagorean triples are obtained from the Pythagoras theorem. The pythagoras theorem states that in a right-angled triangle, the square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of base and perpendicular. Let’s say the perpendicular is denoted by ‘a’, the base is denoted by ‘b’, and the hypotenuse is denoted by ‘c’, then the Pythagorean triples formula will be:

c² = a² + b²

Pythagorean Triples Proof

We can prove the Pythagorean triples Formula in many ways, but here we use the algebraic method. In this method, we use the terms shown in the below figure.

Step 1: We have four right-angled triangles with base m, perpendicular n, and hypotenuse p. Now arrange these triangles so that they make two squares one is outer square ABCD, whose side is m+n, and another one is inner square WZXY, whose side is c.

Step 2: Now we find the area of the inner, outer square, and triangles:

Area of outer square ABCD = (m + n)²

Area of inner square WXYZ = (p)²

Area of one triangle = 1/2(m × n)²

Area of four triangles = 4 × 1/2(m × n)² = 2(m × n)²

Step 3: As we know that the area of square ABCD = Area of square WXYZ + Area of four triangles

So (m + n)² =  2(m × n)² + p² 

m² + 2 × m × n + n² = 2 × m × n + p²

m² + n² = p²

Hence Pythagorean triples Formula is proved.

How to Form Pythagorean Triples?

Pythagorean triples can be positive integers. We can say there are two cases that can be generated. The numbers can either be odd or even. Below are the cases explained in detail:

If the Number is Odd

The below formula can be used to find the triples. If we have an odd number (1, 3, 5, 7, 9, etc.) that can be taken as m, then the two numbers can be found by putting m in the formula.

(m, (m² – 1)/2 , (m² + 1)/2)

Here m should be greater than 1.

Example: If m = 3, find the rest of the Pythagorean triples.

Solution:

(m² -1)/2 = (3² – 1)/2 = 8/2 = 4.

(m² + 1)/2 = (3² + 1)/2 = 10/2 = 5

Therefore, the Pythagorean triples are (2, 4, 5).

If the Number is Even

The below formula can be used to find the triples. If we have an even number (2, 4, 6, 8,10, etc.) that can be taken as m, then the other two numbers can be found by putting m in the formula.

(m, (m² – 4)/4, (m² + 4)/4)

Here m should be greater than 2.

Example: Find the rest of the Pythagorean triples if m = 4.

Solution:

(m² – 4)/4 = (4⁴ – 4)/4 = 252/4 = 63.

(m² + 4)/4 = (4⁴ + 4)/4 = 260/4 = 230/2 = 115.

Therefore, the Pythagorean triples are (4, 63, 115).

Note: Even if the method helps solve and find infinitely many Pythagorean triples, it still cannot find them all. Fir instance, the Pythagorean triples (20, 21, 29) cannot be formed using this technique.

How to Generate Pythagorean Triples?

In order to generate Pythagorean triples, the Pythagorean triplet checker is used. Pythagorean triplet checker is the formula that is defined specifically to find out the values of Pythagorean triples. Assume the sides of the right-angled triangle are a, b and c. Now, m and n are the two integers that will be used in order to find the values of a, b, and c.

• a, b, and c are the sides of the right-angled triangle.
• m and n are the co-prime numbers that are positive numbers. Here, m>n.

In the above figure, it can be easily seen that the values of a, b and c are dependent upon m and n. The sides in terms of m and n are defined as:

• a is the perpendicular of the triangle here, and a = 2mn.
• b is the base of the triangle, and b = m² – n².
• c is the hypotenuse of the triangle, and c = m² + n².

Now simply assume co-prime natural numbers in order to find the values of Pythagorean triples. It is important to note that m must be greater than n.

Example: Find the Pythagorean triples when the values of m and n are 3 and 2, respectively.

Solution:

Pythagorean triples checker is,

• a = 2mn
• b = m² – n²
• c = m² + n²

Therefore, putting m = 3 and n = 2.

a = 2 × 3 × 2 = 12 units.

b = 3² – 2² = 9 – 4 = 5 units

c = 3³ + 2² = 9 + 4 = 13 units.

Therefore, the Pythagorean triples are (12, 5, 13).

List of Pythagorean Triples 

Below is the Pythagorean triples list where the value of c is greater than 100:

These values verify the formula a² + b² = c².

Types of Pythagorean Triples

Primitive Pythagorean Triples

Primitive Pythagoras triples are also known as Reduced triples. The greatest common factor of these triples are 1. Or we can say that primitive Pythagorean triples are those triples in which the three numbers do not have any common divisor other than one. Such type of triples only contains one even positive number among the three given three numbers.

Example: 3, 4, 5

3, 4, 5 are Pythagorean triples as they satisfy the Pythagorean triples formula also the greatest common factor of 3, 4, 5 is 1.

Non-Primitive Pythagorean Triples 

Non-primitive Pythagoras triples are also known as imprimitive Pythagorean triples. Non-primitive Pythagorean triples are those triples in which the three numbers have a common divisor. Such types of triples can contain more than one even positive number among the three given three numbers.

Example: 6, 8, 10

6, 8, 10 are Pythagorean triples as they satisfy the Pythagorean triples formula but the greatest common factor of 6, 8, 10 is not equal to 1 so these are non – primitive Pythagorean triples.

Properties of Pythagorean Triples

• Pythagorean triples are the sides of a right-angled triangle, represented as m, n, p.
• These numbers satisfy the Pythagorean triples formula m² + n² = p².
• The sides m and n are the sides of a right triangle, which represent perpendicular and base, while p is the hypotenuse.
• Pythagorean Triplet consists of all even numbers, or two odd numbers and one even number.
• All three numbers of a Pythagorean Triplet can never be odd.

Solved Examples on Pythagoras Triples

Example 1: Find Pythagorean triples if m = 8.

Solution:

This is the case when the number is even:

Given m = 8, 

So, (m² – 4)/4 = (64 – 4)/4 = 15

(m² + 4)/4 = (64 + 4)/4 = 17

Hence Pythagorean triples are 8, 15, 17.

Example 2: Find Pythagorean triples if m = 9.

Solution:

This is the case when the number is odd:

Given m = 9,

So, (m² – 1)/2 = (81 – 1)/2 = 40

(m² + 1)/2 = (81 + 1)/2 = 41

Hence Pythagorean triples are 9, 40, 41.

Example 3: Find Pythagorean triples, one of whose members is 13.

Solution:

Take m = 13,

So, (m² – 1)/2 = (169 – 1)/2 = 84

(m² + 1)/2 =(169 + 1)/2 = 85

Hence Pythagorean triples are 13, 84, 85.

Example 4: Checking if (6, 8, 10) is a Pythagorean triplet or not.

Solution:

Let us take m = 6, n = 8, and p = 10

According to the formula 

m² + n² = p²

We get

(6)² + (8)² = (10)²

36 + 64 = 100

100 = 100

Here L.H.S = R.H.S

Hence proved that (6, 8, 10) is a Pythagorean triplet.

Example 5: If (y, 84, 85) is a Pythagorean triplet, then find the value of y.

Solution:

Let us take m = y, n = 84, and p = 85

According to the formula 

m² + n² = p²

We get

(y)² + (84)² = (85)²

y² + 7056 = 7225

y² = 169

y = 13

FAQs on Pythagorean Triples

Question 1: What are Pythagorean triples?

Answer:

Pythagorean triples are the natural numbers that satisfy the pythagoras theorem. Therefore, the Pythagorean triples satisfy the formula c² = a² + b², here, c is the hypotenuse of the right-angled triangle, a and b are the legs of the triangle.

Question 2: What are the five most common Pythagorean triples?

Answer:

The five most common Pythagorean triples are: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (6, 8, 10), (9, 12, 15), (15, 20, 25).

Question 3: How to find Pythagorean triples?

Answer:

The Pythagorean triples can be easily obtained by the help of pythagoras theorem, if two triples are already given, the third triplet can be found:

a² + b² = c²

Where, a and b are the legs of the triangle and c is the hypotenuse of the triangle.

There are times when only one Pythagorean triplet is given, two cases arise in this situation, if the value of m given is odd, the  formula used for the Pythagorean triples are (m, (m² – 1)/2, (m² + 1)/2). If the value of m given is even, the  formula becomes (m, (m² – 4)/4, (m² + 4)/4).

Question 4: Can Pythagorean triples be decimals?

Answer:

Pythagorean triples are the positive integers, that is, natural numbers that satisfy the pythagoras theorem, Therefore, they can not be in decimal form.

Question 5: What is the scaling of triples?

Answer:

The scaling of the pythagoras triples is multiplying the given triples with some natural numbers and observing that the new set generated satisfies the Pythagorean triples condition too. For example, a Pythagorean triplet (3, 4, 5) is given to us, if we multiply the triples with 3, it will give (9, 12, 15).

Задача пифагоровых троек. Формула Евклида

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

В восьмом классе все школьники изучают одну из самых важных теорем геометрии – теорему Пифагора и теорему, обратную теореме Пифагора.

В ходе этого изучения происходит знакомство с пифагоровыми тройками чисел – такими комбинациями из трёх целых чисел a, b c, которые удовлетворяют соотношению Пифагора: а² + в² =с². В учебнике геометрии приводятся без вывода формулы для натуральных чисел a, b c:

a = 2kmn; b =k(m² — n²); c = k(m² + n²).

У меня сразу появилось желание вывести эти формулы, совершить «личное открытие», углублять знания, полученные мною самостоятельно в таких разделах математики как теория чисел, алгебраическая геометрия, комплексные числа.

В данной работе представлено два различных вывода формул пифагоровых троек и рассмотрены некоторые свойства этих троек. Первый вывод является довольно наглядным, второй считаю наиболее красивым. Свойства пифагоровых троек я доказывал самостоятельно.

Пифагоровы тройки имеют огромное количество свойств, связывающих их с такими разделами математики, как теория чисел, алгебраическая геометрия, комплексный анализ, поэтому исследование этой темы помогает осознать взаимосвязь разделов математики. Выбор темы этим и обусловлен. Сначала появились идеи для работы во всех перечисленных разделах, но появилась тема, которая объединила всё. Основной материал разделов я разобрал самостоятельно, поэтому здесь и говорится только об интересной задаче, которая имеет много различных решений, через которые частично и представлены основные методы.

Цель работы: вывести формулы Пифагора различными способами, изучить свойства пифагоровых троек чисел и доказать некоторые из них самостоятельно.

Основная часть

Теория чисел, или высшая арифметика, — раздел математики, первоначально изучавший свойства целых чисел. В современной теории чисел рассматриваются и другие типы чисел — например, алгебраические и трансцендентные, а также функции различного происхождения, которые связаны с арифметикой целых чисел и их обобщений (+ то, что изучает элементарная теория чисел)

Главное их свойство, которое рассматривает теория чисел, — это делимость. Первый круг задач теории чисел — разложение чисел на множители. Основными «кирпичиками» в таком разложении являются простые числа, т. е. числа, делящиеся только на 1 и на себя; теорема, называемая основной теоремой арифметики, гласит: всякое натуральное число раскладывается на простые множители единственным способом.

Алгебраическая геометрия — раздел математики, который объединяет алгебру и геометрию. Главным предметом изучения классической алгебраической геометрии, а также в широком смысле и современной алгебраической геометрии, являются множества решений систем алгебраических уравнений. Современная алгебраическая геометрия во многом основана на методах общей алгебры для решения задач, возникающих в геометрии.

Пифагорова тройка — это комбинация из трёх целых чисел (a, b c или x, y , z), удовлетворяющих соотношению Пифагора: x² + y² = z².

При умножении этих чисел на одно и то же число получается другая пифагорова тройка. Пифагорова тройка называется примитивной, если не может быть получена таким способом из какой-либо другой пифагоровой тройки, то есть x, y, z являются взаимно простыми числами.

Сама задача пифагоровых троек сводится к поиску всех возможных целых решений следующего уравнения a² + b² = c² (все числа целые, поэтому уравнение называется диофантовым).

Приведём решение этого диофантового уравнения методами алгебраической геометрии.

a² + b² = c²

Пусть y = a / c, x = b / c. Здесь и далее c ≠ 0.

x² + y² = 1 — окружность с радиусом 1 с центром в точке (0, 0) — рис.1

Теперь можно сказать, что задача эквивалентна поиску всех рациональных x и y на окружности.

рис.1

Точки на окружности отсекаются прямыми, содержащими хорды окружности.

y = kx + m — уравнение прямой с угловым коэффициентом. Прямая будет проходить через точку D (её координаты известны и удобны для решения системы).

Теперь для нахождения Q-точек окружности:

Важно отметить, что если k– рациональное, то y, x также будут рациональными и наоборот. Это просто доказать, выразив k из уравнения прямой.

Решая систему методом подстановки, выражаем x через k.

x = 2k/(k²+1), затем y = (k²-1)/(k²+1).

Так как y, x рациональные, k тоже рациональное и следовательно равно m/n, где mиn целые числа. Подставляем значения k, получаем:

x = 2mn/(n² + m²),

y = (m² — n²)/(m²+n²),

где mиn целые числа. Вспоминаем, что y = a / c, x = b / c, получаем:

a = 2mn,

b = m²-n²,

c = m²+n²,

где m и n целые числа , {displaystyle m>n} {displaystyle m-n}m > n, (m — n) нечётно, m и nвзаимнопростые.

На самом деле, с помощью знания этих формул можно решить множество задач по поиску всех прямоугольных треугольников с заданным условием.{displaystyle m}{displaystyle n}

Привожу второй вывод формул с помощью комплексных чисел. Для вывода формул опять решаем уравнение a² + b² = c² в целых числах.

Гауссовы целые числа (гауссовы числа, целые комплексные числа) — это комплексные числа, у которых как вещественная, так и мнимая часть — целые числа.

a² + b² = c²

(a + bi)(a — bi) = c

По основной теореме арифметики в гауссовых числах:
a + bi = (m + ni)²

a + bi = m² + 2mni + n²

a + bi = m² + n²+ 2mni

Вещественные и мнимые части двух чисел равны, значит:

a = m² — n²

b = 2mn

с выражается из исходного уравнения.

c = m²+n²

Уравнение a² + b² = c²решено.

Пифагоровы тройки обладают красивыми свойствами, например:

Существует бесконечно много пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший из катетов отличаются ровно на единицу (такие тройки заведомо примитивны).

Существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший по длине катет отличается ровно на два.

Существует бесконечно много пифагоровых троек, в которых два катета отличаются ровно на единицу. Например, 20² + 21² = 29².

Некоторые свойства пифагоровых троек с доказательством:

Свойство 1. В точности одно из чисел a и b нечётно, c всегда нечётно.

Доказательство проведём методом от противного (следует помнить, что речь идёт о примитивных пифагоровых тройках, все числа взаимнопростые).

Если a и b чётные, то и c чётное, что не удовлетворяет условию примитивности тройки.

Если a и b нечётные, то это приводит к противоречию при подстановке.

Пустьa = 2m + 1, b = 2n + 1.

2(2m²+2n²+2n+2m+1) = c²

2m²+2n²+2n+2m+1 — число нечётное

Получается c² делится на 2, но не делится на 4, что невозможно.

Предположение неверно и верно то, что требовалось доказать.

Свойство 2. В точности одно из чисел a и b делится на 3.

a² + b² = c²

Если и a, и b, и c делятся на 3, то тройка становится сократимой, что не соответствует условию примитивности.

Если ни a, ни b не делится на 3, то и c не делиться. Рассмотрим этот случай.

Число не делится на 3, значит его можно записать в виде:

a = 3k ± 1, b = 3m ± 1. Получается:

9k² ± 6k + 1 + 9m² ± 6m + 1 = c²

2 + 3(3k² ± 2k + 3m² ± 2m) = с²

с² при делении на 3 даёт остаток 2, а квадрат числа при делении на 3 может давать 1 или 0 в остатке. Возникло противоречие, предположение неверно, а значит хотя бы одно из чисел a, b делится на 3.

Свойство 3. В точности одно из чисел a и b делится на 4.

Это очевидно, если вспомнить, что m и n разной чётности (для того, чтобы тройка оставалась несократимой, иначе числа a, b, c будут делиться на 2), ведь a = 2mn, а одно из чисел m и n четно, получаем, что a делится на 4.

Что и требовалось доказать.

Свойство 4. В точности одно из чисел делится на 5.

При делении на 5 квадрат целого числа может давать в остатке 0, 1 или 4 (можно проверить, посчитав: (5m)², (5m± 1)², (5m ± 2)²).

Возможны три случая (остальные повторяю друг друга):

a = 5k ± 1, b = 5m ± 2;

a = 5k ± 1, b = 5m ± 1;

a = 5k ± 2, b = 5m ± 2.

Подставляем полученные значения, получаем, что с² при делении на 5 даёт остаток 1) 1 + 4 = 5, 2) 1 + 1 = 2, 3) 4 + 4 = 8, 8 ≡ 3 (mod 5).

2 и 3 противоречит утверждению в начале доказательства. Предположение, что ни a, ни b не делятся на 5 неверно, а верно, что здесь либо a, либо b делится на 5.

В 1 случае получается, что с делится на 5.

Значит хотя бы одно из чисел a, b, c делится на 5.

В работе

— представлены решения уравнения a² + b² = c², называющиеся формулами Евклида, разными способами;

— представлены некоторые свойства, при доказательстве которых используются различные приёмы: доказательство «от противного», доказательство с помощью свойств делимости, доказательство с применением арифметики остатков;

— представлены интересные свойства без доказательств

В итоге, изучен вопрос генерации пифагоровых троек, их свойства с доказательствами, проделанными самостоятельно, что и являлось целью работы. Теперь я продолжу исследования в представленных разделах.

Литература:

1. А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др. Алгебра 8 и 9 класс, М.: «Мнемозина», 2014;

2. Л. С. Атанасян и др. Геометрия 7-9 классы , М.: «Просвещение», 2014;

3. https://ru.wikipedia.org/;

4. В. Серпинский «Пифагоровы треугольники», Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959;

5. Я. И. Перельман «Занимательная алгебра», М.: ОЛМА Медиа Групп, 2013.

Просмотров работы: 2150

Тема:
Пифагоровы тройки

Оглавление

Введение

Глава
1. История возникновения Пифагоровых троек

1.1. История открытия
Пифагоровых троек и их понятие

1.2. Способы получения
Пифагоровых троек

Глава
2. Применение Пифагоровых трок для решения геометрических задач

2.1. Анализ
геометрических задач в 8-9 классе

2.2. Эффективность
применения Пифагоровых троек при решении задач

Заключение

Список
литературы

Введение

Актуальность темы: можно быстро изучить теорему Пифагора с помощью Пифагоровых троек.

Она помогает при решении геометрических задач практического
применения в современной жизни.

Цель: заключается в изучении пифагоровых троек  и их применения для
решения задач курса геометрии.

Из этого выведем задачи:

1. Проанализировать литературу по теме исследования;

2. Показать уникальные открытия Пифагора и дать определение
понятия пифагоровым тройкам;

3. Описать способы
формирования Пифагоровых трок;

4. Проанализировать
возможные применения пифагоровых троек для решения геометрических задач.

Проблема: Пифагоровы тройки
изучаются в контексте теоремы Пифагора и являются ее устно вычисленными
решениями, однако пифагоровы тройки нужно изучать как самостоятельную тему
математики, т.к. она помогает эффективнее решать геометрические задачи.

Предмет исследования: математика.

Объект исследования:
Пифагоровы тройки.

Метод исследования: теоретический.

Глава 1. История возникновения Пифагоровых троек

1.1. История открытия Пифагоровых троек и их понятие       

Начнем с того, что же такое геометрия, ведь благодаря ей мы знакомимся с Пифагоровыми тройками.

•      Геометрия - раздел математики, изучающий пространственные формы и отношения тел.

Геометрия была открыта древними египтянами, она возникла при измерении земельных участков и при астрономических наблюдениях. Долгое время она оставалась важнейшим средством познания Вселенной. Наибольший вклад в ее становление и развитие как науки внесли древнегреческие математики: Пифагор, Евклид, Архимед. На протяжении веков геометрия занимала видное место в начальном и университетском образовании, она входила в плоть и кровь образованных людей любых специальностей. Ее изучение требовало больших умственных усилий. [3.41]

Применение пифагоровых троек в решении задач позволяет экономить время, избегать вычислительных ошибок. Знание этих троек подталкивает к иному решению задачи. Проведенные исследования показывают эффективность применения пифагоровых троек при решении геометрических задач. В целях экономии времени и избежание вычислительных ошибок рекомендуем объяснять на уроках способы формирования пифагоровых троек и стремиться к их применению на практике. Они так же могут помочь на ОГЭ и ЕГЭ, поэтому нам стоит знать, как они применяются на практике.

А теперь и сама теорема. Пифагоровы тройки -  упорядоченный набор из трёх натуральных чисел. Удовлетворяющих следующему однородному квадратному уравнению: . Теорема Пифагора – одна из главных и, можно даже сказать, самая главная теорема геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Теорема Пифагора замечательна ещё и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна. 

Например, свойства прямоугольного треугольника можно видеть непосредственно на чертеже. 

Но сколько ни гляди на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть такое простое соотношение: .

Давайте рассмотрим пару теорий возникновения Пифагоровых троек. Прочитав литературу, мы узнаем о двух теориях возникновения.

Первая теория возникновения: Пифагоровы тройки представляют собой когорту из трех целых чисел, удовлетворяющих соотношению Пифагора .

Вообще, это частный случай Диофантовых уравнений, а именно, системы уравнений, в которых число неизвестных больше, чем число уравнений. Известны они давно, еще со времён Вавилона, то есть, задолго до Пифагора. А название они приобрели после того, как Пифагор на их основе доказал свою знаменитую теорему. Однако, как следует из анализа многочисленных источников, в которых вопрос о пифагоровых тройках, существующих классах этих троек и о возможных способах их формирования, до сих пор не раскрыт в полной мере.

Вторая теория возникновения: Все мы знаем, что Пифагоровы тройки открыл сам Пифагор, в честь его и назвали эти числа.

Пифагор Самосский - древнегреческий философ из города Регия, математик и мистик. В Кротоне основал религиозно-философскую школу пифагорейцев. Итак, Пифагоровы тройки известны очень давно. В архитектуре древне-месопотамских надгробий встречается равнобедренный треугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15 локтей (Локоть – это древнейшая мера длины, которой пользовались многие народы мира. Локоть составляет расстояние от конца вытянутого среднего пальца руки до локтевого сгиба. Обычно от 38 см. до 46 см.).

Пифагор и его ученики описали все тройки целых чисел, которые могут быть длинами сторон прямоугольного треугольника. На практике мы сможем понаблюдать за тем, как взаимообратные числа, и какое их множество. [1.186]

Пифагоровы числа обладают рядом свойств:

·   Один из катетов должен быть кратным трём,

·   Один из катетов должен быть кратным четырём,

·   Одно из пифагоровых чисел должно быть кратным пяти.

Пифагоровы тройки могут быть:

·          Примитивными (все три числа-взаимно простые),

·          Не примитивными (если каждое число тройки умножить на одно и то же число, получится новая тройка, которая не является примитивной).

Итак, пифагоровы тройки - это тройки натуральных чисел (a, b, c) прямоугольного треугольника, для которых выполняется неравенство:

Это уравнение звучит так: сумма квадратов катетов, равна квадрату гипотенузы. Это и есть сама теорема Пифагора, которую изучают еще в 8 классе и применяют в различных видах задач и уравнений.

Но в простейшей пифагоровой тройке только одно число может быть чётным, а так же, в простейшей пифагоровой тройке числа а и b не могут быть одновременно нечётными.

1.2. Способы получения Пифагоровых троек

Итак, возникает вопрос: какие способы существуют для нахождения
пифагоровых троек, которые являются решением уравнения.

Способ 1. Проанализировав литературу и прочтя учебники 8-9 классов
можно сделать вывод в виде небольшой таблицы, где будет видно, что при сложении
двух квадратов чисел (первых двух в строке) мы получим квадрат третьего числа,
которое потом выносим из под корня. (третье число в строке).[3.42-52]

3, 4, 5

6, 8, 10

5, 12, 13

10, 24, 26

9, 12, 15

18, 24, 30

8, 15, 17

16, 30, 34

Давайте проверим эту таблицу на одном из примеров.

Итак, возьмем числа: 18, 24, 30. 

1)                              По формуле Пифагора - сложим квадрат первых двух чисел:

2)                              Теперь сравним ответ первого действия и квадрат третьего числа:

3)                              Сделаем вывод, что эта таблица правильная и можно ей пользоваться.

Способ 2. Эти формулы были известны уже две с половиной тысячи лет назад. 

Пусть (a, b, c,) – пифагорова тройка и a –нечетное число. Тогда  и . По этому правилу можно получить уже известные нам тройки:

Если a = 3, то; b=4;

; c=5; получилась первая тройка (3, 4, 5).

Если a = 5, то ; b=12;

; c=13; вторая тройка (5, 12, 13).

Если a = 7, то; b=24; 

; c=25; третья тройка (7, 24, 25) и так далее.

Способ 3. Вам, так же, возможно, известны формулы для вычисления новых Пифагоровых троек. 

, где

2) 

3) 

Сначала вычислим по формулам Пифагоровы тройки, а затем проверим, получилось ли найти эти тройки.

Для этого возьмем числа: .

1)                              Вычислим первую формулу тройки:

2)                              Вычислим вторую  формулу тройки:

3)                              Вычислим третью формулу тройки:

4)                              Теперь можем проверить их по формуле Пифагора:

Из этого сделаем вывод: эти формулы  можно использовать для нахождения трех чисел, которые подойдут к теореме Пифагора.

Так же в этих трех формулах может быть дополнительный множитель - k. Тогда из уравнения получаем [2.91-95]

Глава 2. Применение Пифагоровых трок для решения геометрических задач

2.1. Анализ геометрических задач в 8-9 классе

Давайте, начнем с советов. Что бы мы могли быстрее решать задачи по геометрии, есть некоторые советы, в решении  задач с теоремой Пифагора.

·    Гипотенуза всегда:

o  лежит напротив прямого угла;

o  является самой длинной стороной прямоугольного треугольника;

o  обозначается как «с» в теореме Пифагора;

·    Не забывайте проверять ответ. Если ответ кажется неправильным, проделайте вычисления снова.

·    Еще один момент - самая длинная сторона лежит напротив наибольшего угла, а самая короткая сторона - напротив наименьшего угла.

·    Выучите числа пифагоровой тройки, образующие стороны прямоугольного треугольника. Самая примитивная пифагорова тройка - это 3, 4, 5 (это так же Египетский треугольник). Так, зная длину двух сторон, третью искать не придется.

·    Если дан обычный треугольник, а не прямоугольный, то требуется больше информации, чем просто длины двух сторон.

·    Графики являются наглядным способом нанесения обозначений а, b и с. 

·    Если дана длина только одной стороны, то теорему Пифагора применять нельзя. Попробуйте использовать тригонометрию (sin, cos, tg).

·    Если речь идет о задаче из некого сюжета, можно смело предположить, что деревья, столбы, стены и так далее образуют прямой угол с землей, если не указано иное.

·         Когда число выносится из под корня, то сразу можно отбрасывать отрицательное число, т.к. сторона не может быть отрицательной.

Решим немного задач по геометрии с применением Пифагоровых троек.

Задача №1.

Дан прямоугольный треугольник ABC, C=90∘, AC=3, BC=4. Найдите длину AB.

Решение:

               Согласно теореме Пифагора: 

Ответ: АВ=5.

Задача №2. 

Центр окружности, описанный около тр. АВС, лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 8,5. Найдите ВС, если АС равно 8? 

Решение:                                                                                

Если центр окружности лежит на стороне АВ, значит АВ - диаметр. Угол С=90, т. к. опирается на диаметр, т. е. треугольник АВС - прямоугольный. 

1) 

2) По теореме Пифагора 

Ответ: ВС=15.

Задача №3.

В прямоугольном треугольнике АВС, катеты СА и СВ равны 9 и 12, соответственно. Найдите гипотенузу  ВА, , , .

Дано: АВС-прямоугольный треугольник; СА=, ВС=12.

Найти: ВА=?, , , 

Решение:

По теореме Пифагора: 

.

Ответ: АВ=15, sin A=  , cos A= ,tg A=  .

Задача №4. 

В прямоугольнике ABCD найдите ВС, если CD=1,5; AC=2,5.

Решение:

1)                              Т.к. это прямоугольник то, по его свойствам мы знаем, что его параллельные стороны равны, т.е. AB=CD и BC=AD. 

2)                               Далее, рассмотрим треугольник ADC, угол D прямой, а значит, мы можем применить формулу Пифагора.

3)                    

BC=AD=2

Сейчас решим одно задание ОГЭ. Она так же может присутствовать и в жизни. 

Задача №5.

Лестницу поставили к окну, расположенному на высоте 12м от земли. Нижний конец лестницы отстоит от стены на 5м. Какова длина лестницы? 

Решение:

Можно решать сразу через т. Пифагора, т.к. дом и земля  перпендикулярны друг другу, и поэтому они образуют прямой угол. Пусть 5м - «у», 12м - «z», а за «х» возьмем длину лестницы.

По т. Пифагора: 

Ответ: Длина лестницы равна 13 метрам.

Такое применение Пифагоровых троек поможет нам в жизни.

Особенно, если у Вас есть дачи.

2.2.
Эффективность применения Пифагоровых троек при решении задач       

В наши дни теорема Пифагора очень важна и актуальна. Она была известна еще за долго до Пифагора. Пифагор внес и дополнил ее своими исследованиями, повысив значимость в мире математических открытий. Теорема меняется в геометрии на каждом шагу. Она имеет неослабевающий интерес со стороны широкой математической общественности. Можно увидеть применение Пифагоровых троек и в наши дни. 

В ходе исследования, мы узнали, что теорема Пифагора так же
применялась в архитектуре. Взгляните на эти здания, которые  украшают
зарубежные города:

Административное здание Kuggen, Гётеборг, Швеция.

Если Вы заметили, то окна в этом здании имеют вид прямоугольного
треугольника.

Скульптурный павильон в одном из садов в Англии.

Музей в Милуоки, США.

Еще в 12 веке были использованы Пифагоровы тройки в зданиях
готического и романского стиля.

Романский стиль:                                      Готический
стиль:

Верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не
только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон.

На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом
стиле.

Способ построения его очень прост: из рисунка легко найти центры
шести дуг окружностей, радиусы которых равны
ширине окна (b) для наружных дуг
половине ширины,  для
внутренних дуг.
Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена
между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между
этими окружностями, т. е. и,
следовательно, радиус равен.А тогда
становится ясным и
положение её центра.
В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке.
Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут
равны  и . Радиус – p
внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника.
Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей,
равна , один катет
равен , а другой. По теореме
Пифагора имеем:

Из этого:

Разделив на b и приводя подобные члены, получим:

Заключение

Пифагоровы тройки представляют собой очень важный и интересный предмет изучения. Запомнив простые правила их нахождения, можно с легкостью решать задачи разного уровня, а также находить им хорошее применение в архитектуре и строительстве.  Знание этих троек подталкивает к иному решению задачи. Проведенные исследования показывают эффективность применения пифагоровых троек при решении геометрических задач. В целях экономии времени и избежание вычислительных ошибок рекомендуем объяснять на уроках способы формирования пифагоровых троек и стремиться к их применению на практике. Они так же могут помочь на ОГЭ и ЕГЭ, поэтому нам стоит знать, как они применяются на практике.

Список
литературы

1.                
Книга «О Пифагоровой
жизни»-Ямвлих; перевод И.Ю. Мельникова. — Москва: Новый Акрополь, 2014г. —
186 cтр.

http://www.iprbookshop.ru/26960.html

2.               Учебник по геометрии 7-9 класс, Погорелов А.В. 7.Теорема Пифагора(п.62-70), изд.9-е., 2009г.

https://gdzputina.ru/po-geometrii/7-klass/pogorelov

3.                
 Учебник и практикум для среднего профессионального образования,
Ю. В. Павлюченко, Н. Ш. Хассан; под общей редакцией
Ю. В. Павлюченко. — 4-е изд., перераб. и доп. — Москва:
Издательство Юрайт, 2020. -238 с. — Профессиональное
образование). — ISBN 978-5-534-01261-3. -Текст: электронный // ЭБС
Юрайт [сайт].с. 41 — URL: https://urait.ru/viewer/matematika-449041#page/