Как найти период малых вертикальных колебаний

2018-05-31   

Найти период малых вертикальных колебаний тела массы $m$ в системе (рис.). Жесткости пружинок равны $chi_{1}$ и $chi_{2}$, а их массы пренебрежимо малы.

Решение:

Во время вертикального колебаний тело находится на расстоянии х от положения равновесия. В этот момент, если $x_{1}$ и $x_{3}$ являются дополнительными удлинениями верхних и нижних пружин относительно положения равновесия, то неуравновешенная сила на теле будет $chi_{2} x_{2}$, направленная вверх. Следовательно

$- chi_{2} x_{2} = m ddot{x}$ (1)

Мы также значем, что $x= x_{1} + x_{2}$ (2)

Поскольку пружины безмассовые, и изначально сила на пружине также равна нулю, поэтому

$chi_{1} x_{1} = chi_{2}x_{2}$ (3)

Решая уравнения (1), (2) и (3) одновременно, получаем

$- frac{ chi_{1} chi_{2} }{ chi_{1} + chi_{2} } x = m ddot{x}$

Таким образом $ddot{x} = — frac{( chi_{1} chi_{2} / chi_{1} + chi_{2} ) }{m}x$

Следовательно, искомый период колебаний $T = 2 pi sqrt{ m frac{ chi_{1} + chi_{2} }{ chi_{1} chi_{2} } }$

Механические колебания.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ : гармонические колебания; амплитуда, период, частота, фаза колебаний; свободные колебания, вынужденные колебания, резонанс.

Колебания — это повторяющиеся во времени изменения состояния системы. Понятие колебаний охватывает очень широкий круг явлений.

Колебания механических систем, или механические колебания — это механическое движение тела или системы тел, которое обладает повторяемостью во времени и происходит в окрестности положения равновесия. Положением равновесия называется такое состояние системы, в котором она может оставаться сколь угодно долго, не испытывая внешних воздействий.

Например, если маятник отклонить и отпустить, то начнутся колебания. Положение равновесия — это положение маятника при отсутствии отклонения. В этом положении маятник, если его не трогать, может пребывать сколь угодно долго. При колебаниях маятник много раз проходит положение равновесия.

Сразу после того, как отклонённый маятник отпустили, он начал двигаться, прошёл положение равновесия, достиг противоположного крайнего положения, на мгновение остановился в нём, двинулся в обратном направлении, снова прошёл положение равновесия и вернулся назад. Совершилось одно полное колебание. Дальше этот процесс будет периодически повторяться.

Амплитуда колебаний тела — это величина его наибольшего отклонения от положения равновесия.

Период колебаний — это время одного полного колебания. Можно сказать, что за период тело проходит путь в четыре амплитуды.

Частота колебаний — это величина, обратная периоду: . Частота измеряется в герцах (Гц) и показывает, сколько полных колебаний совершается за одну секунду.

к оглавлению ▴

Гармонические колебания.

Будем считать, что положение колеблющегося тела определяется одной-единственной координатой . Положению равновесия отвечает значение . Основная задача механики в данном случае состоит в нахождении функции , дающей координату тела в любой момент времени.

Для математического описания колебаний естественно использовать периодические функции. Таких функций много, но две из них — синус и косинус — являются самыми важными. У них много хороших свойств, и они тесно связаны с широким кругом физических явлений.

Поскольку функции синус и косинус получаются друг из друга сдвигом аргумента на , можно ограничиться только одной из них. Мы для определённости будем использовать косинус.

Гармонические колебания — это колебания, при которых координата зависит от времени по гармоническому закону:

(1)

Выясним смысл входящих в эту формулу величин.

Положительная величина является наибольшим по модулю значением координаты (так как максимальное значение модуля косинуса равно единице), т. е. наибольшим отклонением от положения равновесия. Поэтому — амплитуда колебаний.

Аргумент косинуса называется фазой колебаний. Величина , равная значению фазы при , называется начальной фазой. Начальная фаза отвечает начальной координате тела: .

Величина называется циклической частотой. Найдём её связь с периодом колебаний и частотой . Одному полному колебанию отвечает приращение фазы, равное радиан: , откуда

(2)

(3)

Измеряется циклическая частота в рад/с (радиан в секунду).

В соответствии с выражениями (2) и (3) получаем ещё две формы записи гармонического закона (1):

.

График функции (1), выражающей зависимость координаты от времени при гармонических колебаниях, приведён на рис. 1.

Рис. 1. График гармонических колебаний

Гармонический закон вида (1) носит самый общий характер. Он отвечает, например, ситуации, когда с маятником совершили одновременно два начальных действия: отклонили на величину и придали ему некоторую начальную скорость. Имеются два важных частных случая, когда одно из этих действий не совершалось.

Пусть маятник отклонили, но начальной скорости не сообщали (отпустили без начальной скорости). Ясно, что в этом случае , поэтому можно положить . Мы получаем закон косинуса:

.

График гармонических колебаний в этом случае представлен на рис. 2.

Рис. 2. Закон косинуса

Допустим теперь, что маятник не отклоняли, но ударом сообщили ему начальную скорость из положения равновесия. В этом случае , так что можно положить . Получаем закон синуса:

.

График колебаний представлен на рис. 3.

Рис. 3. Закон синуса

к оглавлению ▴

Уравнение гармонических колебаний.

Вернёмся к общему гармоническому закону (1). Дифференцируем это равенство:

. (4)

Теперь дифференцируем полученное равенство (4):

. (5)

Давайте сопоставим выражение (1) для координаты и выражение (5) для проекции ускорения. Мы видим, что проекция ускорения отличается от координаты лишь множителем :

. (6)

Это соотношение называется уравнением гармонических колебаний. Его можно переписать и в таком виде:

. (7)

C математической точки зрения уравнение (7) является дифференциальным уравнением. Решениями дифференциальных уравнений служат функции (а не числа, как в обычной алгебре).
Так вот, можно доказать, что:

-решением уравнения (7) является всякая функция вида (1) с произвольными ;

-никакая другая функция решением данного уравнения не является.

Иными словами, соотношения (6), (7) описывают гармонические колебания с циклической частотой и только их. Две константы определяются из начальных условий — по начальным значениям координаты и скорости.

к оглавлению ▴

Пружинный маятник.

Пружинный маятник — это закреплённый на пружине груз, способный совершать колебания в горизонтальном или вертикальном направлении.

Найдём период малых горизонтальных колебаний пружинного маятника (рис. 4). Колебания будут малыми, если величина деформации пружины много меньше её размеров. При малых деформациях мы можем пользоваться законом Гука. Это приведёт к тому, что колебания окажутся гармоническими.

Трением пренебрегаем. Груз имеет массу , жёсткость пружины равна .

Координате отвечает положение равновесия, в котором пружина не деформирована. Следовательно, величина деформации пружины равна модулю координаты груза.

Рис. 4. Пружинный маятник

В горизонтальном направлении на груз действует только сила упругости со стороны пружины. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось имеет вид:

. (8)

Если (груз смещён вправо, как на рисунке), то сила упругости направлена в противоположную сторону, и . Наоборот, если , то . Знаки и всё время противоположны, поэтому закон Гука можно записать так:

Тогда соотношение (8) принимает вид:

или

.

Мы получили уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором

.

Циклическая частота колебаний пружинного маятника, таким образом, равна:

. (9)

Отсюда и из соотношения находим период горизонтальных колебаний пружинного маятника:

. (10)

Если подвесить груз на пружине, то получится пружинный маятник, совершающий колебания в вертикальном направлении. Можно показать, что и в этом случае для периода колебаний справедлива формула (10).

к оглавлению ▴

Математический маятник.

Математический маятник — это небольшое тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити (рис. 5). Математический маятник может совершать колебания в вертикальной плоскости в поле силы тяжести.

Рис. 5. Математический маятник

Найдём период малых колебаний математического маятника. Длина нити равна . Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Запишем для маятника второй закон Ньютона:

,

и спроектируем его на ось :

.

Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. ), то:

.

Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. ), то:

.

Итак, при любом положении маятника имеем:

. (11)

Когда маятник покоится в положении равновесия, выполнено равенство . При малых колебаниях, когда отклонения маятника от положения равновесия малы (по сравнению с длиной нити), выполнено приближённое равенство . Воспользуемся им в формуле (11):

,

или

.

Это — уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором

.

Следовательно, циклическая частота колебаний математического маятника равна:

. (12)

Отсюда период колебаний математического маятника:

. (13)

Обратите внимание, что в формулу (13) не входит масса груза. В отличие от пружинного маятника, период колебаний математического маятника не зависит от его массы.

к оглавлению ▴

Свободные и вынужденные колебания.

Говорят, что система совершает свободные колебания, если она однократно выведена из положения равновесия и в дальнейшем предоставлена сама себе. Никаких периодических внешних
воздействий система при этом не испытывает, и никаких внутренних источников энергии, поддерживающих колебания, в системе нет.

Рассмотренные выше колебания пружинного и математического маятников являются примерами свободных колебаний.

Частота, с которой совершаются свободные колебания, называется собственной частотой колебательной системы. Так, формулы (9) и (12) дают собственные (циклические) частоты колебаний пружинного и математического маятников.

В идеализированной ситуации при отсутствии трения свободные колебания являются незатухающими, т. е. имеют постоянную амплитуду и длятся неограниченно долго. В реальных колебательных системах всегда присутствует трение, поэтому свободные колебания постепенно затухают (рис. 6).

Рис. 6. Затухающие колебания

Вынужденные колебания — это колебания, совершаемые системой под воздействием внешней силы , периодически изменяющейся во времени (так называемой вынуждающей силы).

Предположим, что собственная частота колебаний системы равна , а вынуждающая сила зависит от времени по гармоническому закону:

.

В течение некоторого времени происходит установление вынужденных колебаний: система совершает сложное движение, которое является наложением выужденных и свободных колебаний. Свободные колебания постепенно затухают, и в установившемся режиме система совершает вынужденные колебания, которые также оказываются гармоническими. Частота установившихся вынужденных колебаний совпадает с частотой
вынуждающей силы (внешняя сила как бы навязывает системе свою частоту).

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 7.

Рис. 7. Резонанс

Мы видим, что вблизи частоты наступает резонанс — явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний. Резонансная частота приближённо равна собственной частоте колебаний системы: , и это равенство выполняется тем точнее, чем меньше трение в системе. При отсутствии трения резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний, , а амплитуда колебаний возрастает до бесконечности при .

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Предлагаю решение некоторых задач на механические колебания  с
подробным пояснением, которые вам помогут при решении задач по домашнему
заданию, а так же подготовиться к контрольной работе. В конце пояснения решения
задач приводятся вопросы и задачи для самостоятельной подготовки.

За­да­ча 1

Пру­жин­ный ма­ят­ник со­вер­шил за 4 с 16 пол­ных ко­ле­ба­ний.
Необ­хо­ди­мо опре­де­лить пе­ри­од и ча­сто­ту ко­ле­ба­ний этого ма­ят­ни­ка.

Да­вай­те по­смот­рим на крат­кую за­пись этой за­да­чи и рас­смот­рим
ее ре­ше­ние. По­смот­ри­те, крат­кое усло­вие сле­ду­ю­щее.

Дано:                        
Ре­ше­ние:

N
=16                         

t = 4
c                         

n — ?

T —
?                           
Ответ: Т = 0,25 с, ν = 4 Гц.

Ре­ше­ние этой за­да­чи тоже до­ста­точ­но про­стое. Мы вос­поль­зу­ем­ся
урав­не­ни­ем, ко­то­рое дает воз­мож­ность опре­де­лить пе­ри­од, тем более,
что мы рас­смат­ри­ва­ли его уже в преды­ду­щей за­да­че – . .

Что ка­са­ет­ся ча­сто­ты, то в дан­ном слу­чае мы можем вос­поль­зо­вать­ся
не одной, а двумя фор­му­ла­ми. По вы­бо­ру, кому какая фор­му­ла боль­ше нра­вит­ся,
как удоб­ней вы­чис­лять эту ве­ли­чи­ну. Можно вос­поль­зо­вать­ся урав­не­ни­ем,
ко­то­рое свя­зы­ва­ет у нас ча­сто­ту и пе­ри­од. По­смот­ри­те, мы за­пи­са­ли
это урав­не­ние: .
А мы опре­де­лим ча­сто­ту, ис­поль­зуя те дан­ные, ко­то­рые у нас есть, т.е.
фор­му­лу ис­поль­зу­ем опре­де­ле­ния ча­сто­ты .

Обя­за­тель­но надо ска­зать об от­ве­те. Ответ: Т = 0,25 с, ν =
4 Гц.

Здесь мне бы хо­те­лось об­ра­тить вни­ма­ние на одну осо­бен­ность,
со­от­вет­ству­ю­щую ме­ха­ни­че­ским ко­ле­ба­ни­ям. В дан­ном слу­чае по­лу­ча­ет­ся
до­воль­но лю­бо­пыт­ная си­ту­а­ция, что если мы ча­сто­ту умно­жим на пе­ри­од,
то по­лу­чим Об­ра­ти­те вни­ма­ние на то, что для ме­ха­ни­че­ских ко­ле­ба­ний
это до­воль­но ха­рак­тер­ная осо­бен­ность.

 За­да­ча 2

Длина оке­а­ни­че­ской волны со­став­ля­ет 270 м, пе­ри­од
со­став­ля­ет 13,5 с. Опре­де­ли­те ско­рость рас­про­стра­не­ния волн.

Такая за­да­ча, свя­зан­ная с ме­ха­ни­че­ски­ми вол­на­ми, в
част­но­сти, с вол­на­ми оке­а­ни­че­ски­ми. Да­вай­те по­смот­рим на за­пись и
на ее ре­ше­ние. Она тоже не будет пред­став­лять собой ка­кой-ли­бо слож­но­сти.
Ко­неч­но, при усло­вии, что мы пом­ним урав­не­ние для вы­чис­ле­ния ука­зан­ных
ве­ли­чин. Итак, по­смот­ри­те.

Дано:                        
Ре­ше­ние:

l = 270
м                  
V = l * ν; .

Т = 13,5
с                   .

V =
?                          
Ответ: . 

Если мы пом­ним, что надо опре­де­лить ско­рость рас­про­стра­не­ния
волн, то в ре­ше­нии мы долж­ны за­пи­сать сле­ду­ю­щее урав­не­ние: V = l * ν.
Рас­смат­ри­вая вот это урав­не­ние, мы можем за­пи­сать сле­ду­ю­щее: ско­рость
рас­про­стра­не­ния волны может быть опре­де­ле­на как .
Если вме­сто ча­сто­ты мы под­ста­вим вы­ра­же­ние ,
то по­лу­чим урав­не­ние, ко­то­рое здесь за­пи­са­но: .
Под­став­ляя те­перь цифры, мы по­лу­чим .
Об­ра­ти­те вни­ма­ние на за­пись от­ве­та. Ответ: .
Тоже хо­те­лось бы об­ра­тить ваше вни­ма­ние на то, ка­ко­ва ско­рость рас­про­стра­не­ния
оке­а­ни­че­ских волн. Ведь =
72 км/ч. Так что об­ра­ти­те вни­ма­ние, какая ве­ли­чи­на этой ско­ро­сти.

 За­да­ча 3

Опре­де­ли­те, во сколь­ко раз будет от­ли­чать­ся длина
зву­ко­вой волны при пе­ре­хо­де из воз­ду­ха в воду. Счи­тать, что ско­рость
рас­про­стра­не­ния звука в воз­ду­хе 340 м/с, в воде 1450 м/с.

Да­вай­те по­смот­рим на крат­кую за­пись и на ре­ше­ние за­да­чи.
По­смот­ри­те, в дан­ном слу­чае усло­вие неболь­шое.

Дано:                        
Ре­ше­ние:

                
ν₁ =  ν₂Þ
Т₁ = Т₂

              
l= V ^. Т;  l₁ = V₁;  l₂ = V₂^. Т

__________               ; 

                                  
Ответ: n≈4,3 раза.

Опре­де­лить нам надо, во сколь­ко раз из­ме­ни­лась длина волны
при пе­ре­хо­де. Надо раз­де­лить длину волны в воде к длине волны в воз­ду­хе.
Итак, что пред­при­мем? Об­ра­щаю вни­ма­ние, что здесь после слова «ре­ше­ние»
на­пи­са­но до­ста­точ­но важ­ное вы­ра­же­ние ν₁ = ν₂. Когда мы об­суж­да­ли
это яв­ле­ние, мы го­во­ри­ли, что волна пе­ре­хо­дит из одной среды в дру­гую,
но при этом со­хра­ня­ет­ся ча­сто­та ко­ле­ба­ний. Ме­ня­ет­ся, ско­рость ме­ня­ет­ся,
длина волны ме­ня­ет­ся, а ча­сто­та ко­ле­ба­ния ча­стиц оста­ет­ся преж­ней.
По­смот­ри­те, в дан­ном слу­чае мы за­пи­сы­ва­ем, что ча­сто­та ко­ле­ба­ний
ча­стиц волны в воз­ду­хе ν₁ =
ν₂ ча­сто­те ко­ле­ба­ний
ча­стиц, ко­то­рые со­став­ля­ют волну в воде. Об­ра­ти­те вни­ма­ние: если ча­сто­ты
равны, то будут равны и пе­ри­о­ды ко­ле­ба­ний этих ча­стиц ν₁ = ν₂ Þ Т₁ = Т₂. Даль­ше, мы ис­поль­зу­ем
урав­не­ние, ко­то­рое нам встре­ча­лось в преды­ду­щей за­да­че

l= V * Т. За­пи­сы­ва­ем длину волны для воз­ду­ха l₁ = V₁ * Т и для воды l₂ = V₂ * Т. По­че­му в дан­ном слу­чае мы обо­зна­чи­ли
пе­ри­од Т и Т, т.е. без ин­дек­сов? Раз­го­вор идет о том, что пе­ри­о­ды у
нас оди­на­ко­вые, по­это­му мы их обо­зна­чи­ли одной ве­ли­чи­ной, одной бук­вой.
Те­перь раз­де­лим .

В этом слу­чае пе­ри­од ко­ле­ба­ний со­кра­тит­ся, и мы по­лу­ча­ем
зна­че­ние от­но­ше­ния длин волн .
Мы обо­зна­чи­ли это от­но­ше­ние бук­вой n и в от­ве­те за­пи­сы­ва­ем сле­ду­ю­щее,
что n≈4,3 раза. Во столь­ко будет от­ли­чать­ся длина волны.

 За­да­ча 4. В ре­зуль­та­те вы­стре­ла было услы­ша­но
эхо через 20 с после про­из­ве­ден­но­го вы­стре­ла. Опре­де­ли­те рас­сто­я­ние
до пре­гра­ды, если ско­рость звука со­став­ля­ла .

 В дан­ной за­да­че мы долж­ны учесть, что эхо – это от­ра­жен­ная
волна, зна­чит, звук дошел до пре­гра­ды и вер­нул­ся об­рат­но к на­блю­да­те­лю,
т.е. как раз в то место, где и был про­из­ве­ден вы­стрел. Итак, да­вай­те по­смот­рим
на ре­ше­ние за­да­чи. По­смот­ри­те, по­жа­луй­ста, мы за­пи­шем, что время от
мо­мен­та вы­стре­ла до того мо­мен­та, когда было услы­ша­но эхо, 20 с. Ско­рость
звука  со­став­ля­ло.
Опре­де­лить надо рас­сто­я­ние S до пре­гра­ды.

Дано:                                    
Ре­ше­ние:

t = 20
c                                  
S₁ = V * t; .

_________

S —
?                                       
Ответ: S=3400 м = 3,4 км.

Да­вай­те опре­де­лим­ся с тем, что имен­но за это время, за 20
с, волна про­шла опре­де­лен­ное рас­сто­я­ние. Это рас­сто­я­ние мы опре­де­лим
про­стым спо­со­бом: как рас­сто­я­ние, прой­ден­ное телом за опре­де­лен­ное
время с по­сто­ян­ной ско­ро­стью. В дан­ном слу­чае у нас волна, по­это­му мы
опре­де­ля­ем S₁ = V *
t, пол­ное рас­сто­я­ние, про­шед­шее вол­ной. Те­перь мы долж­ны от­ме­тить
то, что это рас­сто­я­ние мы долж­ны раз­де­лить обя­за­тель­но по­по­лам, .
По­че­му? Дело в том, что эхо – это от­ра­жен­ная волна. Зна­чит, волна зву­ко­вая
дошла до пре­гра­ды и вер­ну­лась об­рат­но, сле­до­ва­тель­но, .
Те­перь под­ста­вив сюда зна­че­ние для вы­чис­ле­ния ,
мы по­лу­ча­ем рас­сто­я­ние до пре­гра­ды .

Ответ, ко­то­рый мы здесь за­пи­шем: S=3400 м = 3,4 км. Рас­сто­я­ние
до­ста­точ­но боль­шое, но вы­стрел – это до­ста­точ­но гром­кий звук, и ин­тен­сив­но­сти
его хва­тит, чтобы дойти до пре­гра­ды и вер­нуть­ся об­рат­но.

 Задача 5.

Некоторая точка движется вдоль оси x по закону x = a sin² (ωt
— π/4). Найти: 
а) амплитуду и период колебаний; изобразить график x (t); 
б) проекцию скорости v_x как функцию координаты x; изобразить
график v_x (x).

Задача 6

Частица массы m находится в
одномерном потенциальном поле, где ее потенциальная энергия зависит от
координаты x как U (x) = U₀ (1 — cos ax), U₀ и
a — некоторые постоянные. Найти период малых колебаний частицы около положения
равновесия.

Задача 7

Найти период малых
вертикальных колебаний тела массы m в системе (рис. 4.4). Жесткости пружинок
равны χ₁ и χ₂, а их массы пренебрежимо малы.

Самостоятельная работа по вопросам
механических колебаний и волн

Задание 1. Механические волны
представляют собой … (колебания, распространяющиеся в упругой среде)
Задание 2. Поперечными волнами называют … (волны, в которых наблюдается
колебание частиц перпендикулярно линии распространения)
Задание 3. Продольными волнами являются … (волны, в которых колебание
частиц осуществляется вдоль линии распространения)
Задание 4. Волны поперечные способны распространяться … (в твёрдых
телах)
Задание 5. Продольные волны способны распространяться … (в твёрдых
телах, в жидкостях, а также в газах)
Задание 6. Может ли вещество и энергия переноситься при распространении
волны? (вещество — не может; энергия — может)
Задание 7. Звуковой волной называется … (волна, которая способна
распространяться в окружающем пространстве с частотой в интервале 16 Гц —
20 кГц)
Задание 8. От каких параметров зависит громкость звука? (от амплитуды
колебаний)
Задание 9. Каким показателем определяется высота тона? (определяется
частотой колебаний)
Задание 10. Возможно ли распространение в безвоздушном пространстве
звуковых волн? (не возможно)
Задание 11. Чем является ультразвуком? (это звук с частотой, превышающей
20 кГц)
Задание 12. Что называют инфразвуком? (это звук, частота которого менее 16
Гц)

Задача 13. Скорость
распространения волны равна 400 м/с, а длина её — 2 м. Вычислите, какое
количество полных колебаний будет совершено данной волной за время, равное 0,1
с?
Задача 14. Как
было замечено Васей: в течение 1 минуты ворона каркнула 45 раз. Вычислите
период колебаний, а также их частоту.
Задача 15. На
дискотеке Димой во время танца было замечено, что он подпрыгнул 120 раз за 5
минут. Рассчитайте период данных
колебаний и их частоту.