Как найти период малых колебаний диска - AvtoShod.ru

2018-05-31

Найти период малых крутильных колебаний системы, состоящей из двух дисков, насаженных на тонкий стержень с коэффициентом кручения $k$. Моменты инерции дисков относительно оси стержня равны $I_{1}$ и $I_{2}$.

Решение:

Предположим, что диск 1 поворачивается на угол $theta_{1}$, а диск 2 — на угол $theta_{2}$ в противоположном направлении. Тогда полное кручение стержня $= theta_{1} + theta_{2}$

и вращательная потенциальная энергия $= frac{1}{2} chi ( theta_{1} + theta_{2})^{2}$

Кинетическая энергия системы (пренебрегая моментом инерции стержня) является

$frac{1}{2} I_{1} dot{ theta}_{1}^{2} + frac{1}{2} I_{2} dot{ theta}_{2}^{2}$

Таким образом, полная энергия стержня

$E = frac{1}{2} I_{1} dot{ theta}_{1}^{2} + frac{1}{2} I_{2} dot{ theta}_{2}^{2} + frac{1}{2} chi ( theta_{1} + theta_{2} )^{2}$

Мы можем положить полный момент импульса стержня равным нулю, так как частота, связанная с вращением всей системы, должна быть нулевой (и известна).

Таким образом, $I_{1} theta_{1} = I_{2} dot{ theta}_{2}$ или $frac{ dot{ theta}_{1} }{1 / I_{1} } = frac{ dot{ theta}_{2} }{ 1/I_{2} } = frac{ dot{ theta}_{1} + dot{ theta}_{2} }{ 1/I_{1} + 1/I_{2} }$

Тогда, $dot{ theta}_{1} = frac{I_{2} }{I_{1} + I_{2} } ( dot{ theta}_{1} + dot{ theta}_{2} )$ и $dot{ theta}_{2} = frac{I_{1}}{I_{1} + I_{2} } ( dot{ theta}_{1} + dot{ theta}_{2} )$

и $E = frac{1}{2} frac{I_{1}I_{2} }{I_{1} + I_{2} } ( dot{ theta}_{1} + dot{ theta }_{2} )^{2} + frac{1}{2} chi ( theta_{1} + theta_{2} )^{2}$

Угловое колебание и соответствующая этому частота

$omega^{2} = frac{ chi}{ frac{I_{1}I_{2} }{I_{1} + I_{2} } } = frac{ chi}{I^{ prime} }$ и $T = 2 pi sqrt{ frac{I^{ prime} }{ chi} }$, где $I^{ prime} = frac{I_{1}I_{2} }{I_{1} + I_{2} }$

Источник

S упругости, вызывающие колебания дисков, рассмот- [c.296]

Определить коэффициент вязкости жидкости р,, если амплитуда вынужденных колебаний диска при резонансе равна (р. [c.348]

Так кяк но условию задачи при данной частоте р наблюдается резонанс, причем амплитуда вынужденных крутильных колебаний диска равна ф, то по вышеуказанной формуле [c.348]

Это—дифференциальное уравнение свободных крутильных колебаний диска на проволоке, которое после обозначения = принимает вид [c.225]

Задача 306. Решить предыдущую задачу в предположении, что диск совершает колебания в вязкой жидкости, причем момент силы сопротивления движению пропорционален угловой скорости диска /я =—Рф, где р — постоянная (р 0). Определить закон колебаний диска. [c.226]

Коэффициент, стоящий при синусе, является переменной угловой амплитудой крутильных колебаний диска при наличии момента сопротивления движению, т. е. [c.227]

Коэффициент, стоящий при аргументе t под знаком синуса, является круговой частотой крутильных колебаний диска при наличии момента сил сопротивления движению [c.227]

Определить число и величины угловых амплитуд колебаний диска до остановки, если его момент инерции относительно оси г, проходящей вдоль проволоки, равен / = 0,5 кг- см- сек . [c.230]

Решение. Ввиду наличия момента силы трения, крутильные колебания диска будут затухать. Движение прекратится в том крайнем положении диска, в котором момент силы трения окажется больше или равным упругому моменту проволоки. [c.230]

Решение задачи осложняется тем, что при переменах направления вращения диска меняется направление момента силы трения, который, будучи величиной постоянной, должен в дифференциальном уравнении колебаний диска менять знак. Поэтому приходится составлять дифференциальные уравнения колебаний диска при движении в каждом из направлений (по и против часовой стрелки) в отдельности. При этом значения угла поворота и угловой скорости диска в моменты, когда данное дифференциальное уравнение утрачивает силу, оказываются начальными условиями для последующего дифференциального уравнения. [c.231]

Это дифференциальное уравнение вынужденных крутильных колебаний диска. [c.234]

Определить период малых колебаний диска. [c.351]

Определить период колебаний диска, если при горизонтальном положении радиуса ОА пружина не напряжена. [c.351]

Определить амплитуду вынужденных колебаний диска, считая упругий коэффициент нити при кручении равным с, а момент сил трения равным аф (а — постоянная). [c.352]

Считая, что мотор вращается с угловой скоростью со и что при горизонтальном положении отрезка OjB пружина ЛВ находится в недеформированном состоянии, определить амплитуду вынужденных колебаний диска, если на него действуют силы сопротивления, момент которых относительно оси вращения пропорционален угловой скорости диска ([д. — коэффициент пропорциональности). Массой вала и отклонением пружины от вертикали пренебречь коэффициент жесткости вала на кручение принять равным с,. [c.466]

Задача 1326 (рис. 722). Диск радиусом R укреплен на конце упругого горизонтального вала, заделанного на другом конце, и совершает вынужденные крутильные колебания под действием возмущающего момента M = Hs npt. К диску в его верхней точке шарнирно прикреплен астатический маятник с точечной массой т и длиной /, удерживаемый спиральной пружиной, не показанной на рисунке. Считая, что при вертикальном положении маятника пружина не напряжена, и пренебрегая трением, определить жесткость пружины, необходимую для того, чтобы маятник служил динамическим гасителем (т. е. чтобы амплитуда вынужденных колебаний диска была равна нулю). Найти также наибольший угол отклонения маятника относительно диска. [c.474]

Однородный сплошной диск массы М закреплен в вертикальной плоскости с помощью шарнира О и пружины жесткости с. В положении равновесия диаметр ОА диска вертикален, а пружина горизонтальна и не деформирована. Определить период т малых колебаний диска около положения его равновесия. [c.162]

Величина k представляет собой частоту свободных колебаний диска. [c.273]

Значение ш, соответствующее резонансу, называется критической угловой скоростью. Критическая угловая скорость равна частоте свободных колебаний диска. Переходя от критической угловой скорости к частоте вращения в оборотах в минуту, получаем [c.274]

Диск катится без проскальзывания по внутренней поверхности параболоида вращения. Найти частоту линейных колебаний диска при движении в вертикальной плоскости. [c.208]

И, следовательно, период малых колебаний диска будет [c.695]

Переход жидкого гелия в сверхтекучее состояние. В жидком гелии Не при температурах ниже Т = 2,19 К обнаруживаются необычные свойства. Если измерять вязкость гелия методом протекания через щели, то она оказывается равной нулю. При измерениях же этой вязкости методом крутильных колебаний дисков ее величина оказывается конечной, хотя и меньшей, чем в Не выше Гх (Hel). Эти и некоторые другие свойства Не ниже 7 достаточно хорошо объяснены в рамках двухкомпонентной модели, согласно которой ниже Т Не состоит из нормальной компоненты, ведущей себя как обычная жидкость, и особой сверхтекучей компоненты. Первая их этих компонент объясняет опыты с крутильными колебаниями, вторая — с протеканием через щели. Измерение теплоемкости вблизи Тх выявили ее Х-образный характер. Таким образом, Т>. оказалась температурой фазового перехода, причем II рода.. [c.261]

Определить ш — круговую частоту колебания диска. Решение. Жесткости стержней при кручении [c.382]

По формуле (225) круговая частота колебания диска [c.383]

Способ Релея. При рассмотрении колебаний упругих систем с одной и с несколькими степенями свободы мы, как правило, пренебрегали массой упругого элемента по сравнению с колеблющейся сосредоточенной массой. Это имело место и в случае вертикальных колебаний груза, подвешенного на пружине (см. рис. 537), и в случае крутильных колебаний диска на валу (рис. 545), и в случае поперечных колебаний грузов, расположенных на балке (рис. 555), и в других случаях. Хотя эти упрош,ения во многих практических случаях не вносят особых погрешностей в получаемые решения, тем не менее для некоторых технических задач желательно более детально рассмотреть точность этих приближений. Чтобы оценить влияние принятых упрощений на получаемое значение частоты колебаний упругой системы, воспользуемся приближенным методом Релея. [c.641]

Известное применение на практике получили также вискозиметры других типов. Из их числа назовем вискозиметры, основанные на затухании колебаний диска, подвешенного на тонкой нити и помещенного в сосуд с жидкостью, и вискозиметры, в которых вязкость определяется по времени равномерного падения шарика (обычно стального) в вертикальной прозрачной трубке, заполненной исследуемой жидкостью. [c.125]

Пример 27. На цилиндрическом валу постоянного поперечного сечения (рис. 42) длиной 2I = 50 см, закрепленном одним концом, насажены два одинаковых диска с моментами инерции 7i = 72 = 50 кгм . Один из дисков насажен посередине вала, а другой —на его свободном конце. Полярный момент инерции сечения вала Ур = 602 см, а модуль сдвига 0 = 8,3- 10 н/см . Определить, пренебрегая массой вала, частоты fei и fea и формы свободных крутильных колебаний дисков. [c.93]

Определить свободные крутильные колебания дисков С и О, накладывающихся на их вращения вместе с валами, полагая, что моменты инерции дисков А п В велики по сравнению с моментами инерции дисков С и О, а потому, в первом приближении, можно принять, что диски Л и В вращаются равномерно с угловой скоростью (О. [c.124]

Решение. Для вычисления амплитуд вынужденных колебаний дисков необходимо знать обобщенные возмущающие силы, соответствующие обобщенным координатам (p и (р2 [c.132]

Для получения уравнений вынужденных крутильных колебаний дисков вычисляем амплитуды составляющих гармонических колебаний этих дисков по формуле (28.4). Тогда [c.138]

Определив из уравнения частот величины частот главных крутильных колебаний системы и подставляя их в уравнения (36.3), получаем соотношения между амплитудами колебаний дисков в каждом из главных колебаний, которые определяют формы главных колебаний (рис. 80). При помощи этих графиков устанавливают узловые сечения, т. е. сечения вала, которые остаются неподвижными. [c.191]

Для установления форм главных колебаний вала вычисляем отношение амплитуд колебаний дисков в каждом из главных колебаний, пользуясь уравнениями (36.3). [c.195]

Откладывая амплитуды колебаний дисков условно перпендикулярными к оси вала и соединяя концы построенных отрезков последовательно прямыми линиями, получаем графики, изображающие формы главных колебаний вала (рис. 80). [c.196]

Диск, подвещенный к упругой проволоке, совершает крутильные колебания в жидкости. Момент инерции диска относительно оси проволоки равен /. Момент, необходимый для закручивания проволоки на один радиан, равен с. Момент сопротивления движению равен aSo), где а — коэффициент вязкости жидкости, 5 — сумма площадей верхнего и нижнего оснований диска, U) — угловая скорость диска. Определить период колебаний диска в жидкости. [c.281]

Для определения коэффициента вязкости жидкости наблюдают колебания диска, подвешенного к упругой проволоке в жидкости. К диску приложен внешний момент, равный Aio sin р/ (AIq = onst), при котором наблюдается явление резонанса. Момент сопротивления движению диска в жидкости равен aSo), где а — коэффициент вязкости жидкости, 5 — сумма площадей верхнего и нижнего оснований диска, oi — угловая скорость диска. Определить коэффициент а вязкости жидкости, если амплитуда вынужденных колебаний диска при резонансе равна фо- [c.283]

Е5 результате приведенный к диску вибрационный момент М(1) = ih «» (с крутильная жесткость участка вала между двигателем и диском) возбуждает крутильные колебания диска. [c.291]

Пример 164. Для определения коэффициента вязкости жидкости наблюдают колебания диска, подвешенного на упругой вертикальной проволоке в жидкости. К диску приложен переменный момент, равный /М sin (/ /) (УИ = onst), при котсором наблюдается явление резонанса. Момент сопротивления движению диска в жидкости равен S o, где р, — коэффициент вязкости жидкости, S — сумма площадей верхнего и нижнего оснований диска, ш — его угловая скорость. [c.348]

Пример 164. Диск массы т насажен на упругий невесомый вал, причем центр тяжести диска находится на осевой линии вала в точке О, расно-тоженной на расстояниях а и й от опор вала (рис. 459, о). Определить свободные колебания диска, учитывая его повороты при изгибе вала. Момент [c.578]

Для того чтобы стало ясно, какой физический смысл содержится в этом разделении, рассмотрим следующий конкретный пример. Металлический диск подвешен горизонтально на цилиндрической пружине, прикрепленной к центру диска (рис. 1, а). Когда диск совершает пертикальные колебания, которые возникнут, например, если мы оттянем диск вниз и сразу отпустим его (рис. 1, б), то период колебаний не зависит сколько-нибудь заметно от размеров и формы диска и определяется упругостью пружины и массой диска. Когда диск совершает крутильные колебания вокруг вертикальной оси, которые возникнут, например, если мы повернем диск вокруг вертикальной оси на некоторый угол, а затем сразу отпустим его (рис. 1, в), то опыт [юказывает, что период колебаний диска, помимо упругих свойств пружин ) , зависит от размеров, формы и массы диска, но не зависит от его упругих свойств. А если нас интересует вопрос о периоде тех звуковых колебаний, которые будет совершать диск после удара по [c.12]

Определить зависимость пертсода малых колебаний диска около положения равновесия от амплитуды а, сохранив в уравнении движения члены, содержащие трегьго степень перемещения. [c.439]

Однородный диск массой закреплен на упругом стержне ООх (рис. 178) и может совершать крутильные колебания вокр>т вертикальной оси. По ободу диска движется точка М массой otj по закону MqM = = s = asin ot. Найти вынужденные колебания диска, если стержень закручивается на один радиан при статическом действии приложенной к концу О пары сил с моментом с mi — i кг, = 0,4 кг, а = 1 см, г = 20 см, (О =14 рад/с, с = 80 Н-см/рад. [c.209]

Пример 59. Определить амплитуды и формы вынужденных колебаний дисков, описанных в примере 56 и изображенных на рис. 79, вызываемых действием возмущающего момента Л1=50соз200 (н-м), полагая этот момент последовательно приложенным к каждому из дисков. [c.198]

Источник

Механические колебания.

Гармонические колебания.
Уравнение гармонических колебаний.
Пружинный маятник.
Математический маятник.
Свободные и вынужденные колебания.

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ : гармонические колебания; амплитуда, период, частота, фаза колебаний; свободные колебания, вынужденные колебания, резонанс.

Колебания — это повторяющиеся во времени изменения состояния системы. Понятие колебаний охватывает очень широкий круг явлений.

Колебания механических систем, или механические колебания — это механическое движение тела или системы тел, которое обладает повторяемостью во времени и происходит в окрестности положения равновесия. Положением равновесия называется такое состояние системы, в котором она может оставаться сколь угодно долго, не испытывая внешних воздействий.

Например, если маятник отклонить и отпустить, то начнутся колебания. Положение равновесия — это положение маятника при отсутствии отклонения. В этом положении маятник, если его не трогать, может пребывать сколь угодно долго. При колебаниях маятник много раз проходит положение равновесия.

Сразу после того, как отклонённый маятник отпустили, он начал двигаться, прошёл положение равновесия, достиг противоположного крайнего положения, на мгновение остановился в нём, двинулся в обратном направлении, снова прошёл положение равновесия и вернулся назад. Совершилось одно полное колебание. Дальше этот процесс будет периодически повторяться.

Амплитуда колебаний тела — это величина его наибольшего отклонения от положения равновесия.

Период колебаний — это время одного полного колебания. Можно сказать, что за период тело проходит путь в четыре амплитуды.

Частота колебаний — это величина, обратная периоду: nu =1/T . Частота измеряется в герцах (Гц) и показывает, сколько полных колебаний совершается за одну секунду.

к оглавлению ▴

Гармонические колебания.

Будем считать, что положение колеблющегося тела определяется одной-единственной координатой . Положению равновесия отвечает значение x=0 . Основная задача механики в данном случае состоит в нахождении функции x(t) , дающей координату тела в любой момент времени.

Для математического описания колебаний естественно использовать периодические функции. Таких функций много, но две из них — синус и косинус — являются самыми важными. У них много хороших свойств, и они тесно связаны с широким кругом физических явлений.

Поскольку функции синус и косинус получаются друг из друга сдвигом аргумента на pi /2 , можно ограничиться только одной из них. Мы для определённости будем использовать косинус.

Гармонические колебания — это колебания, при которых координата зависит от времени по гармоническому закону:

(1)

Выясним смысл входящих в эту формулу величин.

Положительная величина является наибольшим по модулю значением координаты (так как максимальное значение модуля косинуса равно единице), т. е. наибольшим отклонением от положения равновесия. Поэтому — амплитуда колебаний.

Аргумент косинуса называется фазой колебаний. Величина alpha , равная значению фазы при t=0 , называется начальной фазой. Начальная фаза отвечает начальной координате тела: $x_{0}=Acos alpha$ .

Величина называется omega циклической частотой. Найдём её связь с периодом колебаний и частотой . Одному полному колебанию отвечает приращение фазы, равное 2 pi радиан: , откуда

$omega = frac{displaystyle 2pi }{displaystyle T}$ (2)

(3)

Измеряется циклическая частота в рад/с (радиан в секунду).

В соответствии с выражениями (2) и (3) получаем ещё две формы записи гармонического закона (1):

$x=Acos(frac{displaystyle 2pi t }{displaystyle T}+ alpha), x=Acos(2 pi nu t + alpha)$ .

График функции (1), выражающей зависимость координаты от времени при гармонических колебаниях, приведён на рис. 1.

Рис. 1. График гармонических колебаний

Гармонический закон вида (1) носит самый общий характер. Он отвечает, например, ситуации, когда с маятником совершили одновременно два начальных действия: отклонили на величину $x_{0}$ и придали ему некоторую начальную скорость. Имеются два важных частных случая, когда одно из этих действий не совершалось.

Пусть маятник отклонили, но начальной скорости не сообщали (отпустили без начальной скорости). Ясно, что в этом случае $x_{0}=A$ , поэтому можно положить alpha=0 . Мы получаем закон косинуса:

График гармонических колебаний в этом случае представлен на рис. 2.

Рис. 2. Закон косинуса

Допустим теперь, что маятник не отклоняли, но ударом сообщили ему начальную скорость из положения равновесия. В этом случае $x_{0}=0$ , так что можно положить . Получаем закон синуса:

График колебаний представлен на рис. 3.

Рис. 3. Закон синуса

к оглавлению ▴

Уравнение гармонических колебаний.

Вернёмся к общему гармоническому закону (1). Дифференцируем это равенство:

$v_{x}=dot{x}=-Aomega sin(omega t+alpha )$ . (4)

Теперь дифференцируем полученное равенство (4):

$a_{x}=ddot{x}=-Aomega^{2} cos(omega t+alpha )$ . (5)

Давайте сопоставим выражение (1) для координаты и выражение (5) для проекции ускорения. Мы видим, что проекция ускорения отличается от координаты лишь множителем $-omega^{2}$ :

$a_{x}=-omega^{2}x$ . (6)

Это соотношение называется уравнением гармонических колебаний. Его можно переписать и в таком виде:

$ddot{x}+omega^{2}x=0$ . (7)

C математической точки зрения уравнение (7) является дифференциальным уравнением. Решениями дифференциальных уравнений служат функции (а не числа, как в обычной алгебре).
Так вот, можно доказать, что:

-решением уравнения (7) является всякая функция вида (1) с произвольными ;

-никакая другая функция решением данного уравнения не является.

Иными словами, соотношения (6), (7) описывают гармонические колебания с циклической частотой omega и только их. Две константы определяются из начальных условий — по начальным значениям координаты и скорости.

к оглавлению ▴

Пружинный маятник.

Пружинный маятник — это закреплённый на пружине груз, способный совершать колебания в горизонтальном или вертикальном направлении.

Найдём период малых горизонтальных колебаний пружинного маятника (рис. 4). Колебания будут малыми, если величина деформации пружины много меньше её размеров. При малых деформациях мы можем пользоваться законом Гука. Это приведёт к тому, что колебания окажутся гармоническими.

Трением пренебрегаем. Груз имеет массу , жёсткость пружины равна .

Координате x=0 отвечает положение равновесия, в котором пружина не деформирована. Следовательно, величина деформации пружины равна модулю координаты груза.

Рис. 4. Пружинный маятник

В горизонтальном направлении на груз действует только сила упругости vec F со стороны пружины. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось имеет вид:

$ma_{x}=F_{x}$ . (8)

Если x>0 (груз смещён вправо, как на рисунке), то сила упругости направлена в противоположную сторону, и $F_{x}<0$ . Наоборот, если x<0 , то $F_{x}>0$ . Знаки и $F_{x}$ всё время противоположны, поэтому закон Гука можно записать так:

$F_{x}=-kx$

Тогда соотношение (8) принимает вид:

$ma_{x}=-kx$

или

$a_{x}=-frac{displaystyle k}{displaystyle m}x$ .

Мы получили уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором

$omega ^{2}=frac{displaystyle k}{displaystyle m}$ .

Циклическая частота колебаний пружинного маятника, таким образом, равна:

$omega =sqrt{frac{displaystyle k}{displaystyle m}}$ . (9)

Отсюда и из соотношения находим период горизонтальных колебаний пружинного маятника:

$T=2 pi sqrt{frac{displaystyle m}{displaystyle k}}$ . (10)

Если подвесить груз на пружине, то получится пружинный маятник, совершающий колебания в вертикальном направлении. Можно показать, что и в этом случае для периода колебаний справедлива формула (10).

к оглавлению ▴

Математический маятник.

Математический маятник — это небольшое тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити (рис. 5). Математический маятник может совершать колебания в вертикальной плоскости в поле силы тяжести.

Рис. 5. Математический маятник

Найдём период малых колебаний математического маятника. Длина нити равна . Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

Запишем для маятника второй закон Ньютона:

и спроектируем его на ось :

$ma_{x}=T_{x}$ .

Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. x>0 ), то:

$T_{x}=-Tsinvarphi =-Tfrac{displaystyle x}{displaystyle l}$ .

Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. x<0 ), то:

$T_{x}=Tsinvarphi =-Tfrac{displaystyle x}{displaystyle l}$ .

Итак, при любом положении маятника имеем:

$ma_{x}=-Tfrac{displaystyle x}{displaystyle l}$ . (11)

Когда маятник покоится в положении равновесия, выполнено равенство T=mg . При малых колебаниях, когда отклонения маятника от положения равновесия малы (по сравнению с длиной нити), выполнено приближённое равенство . Воспользуемся им в формуле (11):

$ma_{x}=-mgfrac{displaystyle x}{displaystyle l}$ ,

или

$a_{x}=-frac{displaystyle g}{displaystyle l}x$ .

Это — уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором

$omega ^{2}=frac{displaystyle g}{displaystyle l}$ .

Следовательно, циклическая частота колебаний математического маятника равна:

$omega =sqrt{frac{displaystyle g}{displaystyle l}}$ . (12)

Отсюда период колебаний математического маятника:

$T=2pi sqrt{frac{displaystyle l}{displaystyle g}}$ . (13)

Обратите внимание, что в формулу (13) не входит масса груза. В отличие от пружинного маятника, период колебаний математического маятника не зависит от его массы.

к оглавлению ▴

Свободные и вынужденные колебания.

Говорят, что система совершает свободные колебания, если она однократно выведена из положения равновесия и в дальнейшем предоставлена сама себе. Никаких периодических внешних
воздействий система при этом не испытывает, и никаких внутренних источников энергии, поддерживающих колебания, в системе нет.

Рассмотренные выше колебания пружинного и математического маятников являются примерами свободных колебаний.

Частота, с которой совершаются свободные колебания, называется собственной частотой колебательной системы. Так, формулы (9) и (12) дают собственные (циклические) частоты колебаний пружинного и математического маятников.

В идеализированной ситуации при отсутствии трения свободные колебания являются незатухающими, т. е. имеют постоянную амплитуду и длятся неограниченно долго. В реальных колебательных системах всегда присутствует трение, поэтому свободные колебания постепенно затухают (рис. 6).

Рис. 6. Затухающие колебания

Вынужденные колебания — это колебания, совершаемые системой под воздействием внешней силы F(t) , периодически изменяющейся во времени (так называемой вынуждающей силы).

Предположим, что собственная частота колебаний системы равна $omega_{0}$ , а вынуждающая сила зависит от времени по гармоническому закону:

$F(t)=F_{0}cos omega t$ .

В течение некоторого времени происходит установление вынужденных колебаний: система совершает сложное движение, которое является наложением выужденных и свободных колебаний. Свободные колебания постепенно затухают, и в установившемся режиме система совершает вынужденные колебания, которые также оказываются гармоническими. Частота установившихся вынужденных колебаний совпадает с частотой
omega вынуждающей силы (внешняя сила как бы навязывает системе свою частоту).

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 7.

Рис. 7. Резонанс

Мы видим, что вблизи частоты $omega=omega_{r}$ наступает резонанс — явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний. Резонансная частота приближённо равна собственной частоте колебаний системы: $omega_{r} approx omega_{0}$ , и это равенство выполняется тем точнее, чем меньше трение в системе. При отсутствии трения резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний, $omega_{r} = omega_{0}$ , а амплитуда колебаний возрастает до бесконечности при $omega Rightarrow omega_{0}$ .

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Механические колебания.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

google.com/+ВикторЦекунов
Репетитор по математике, физике (Минск): Виктор Иванович.

Высшая математика и физика для студентов.
Профессиональный репетитор окажет помощь в решении задач, подготовит к экзаменам. Занятия в Серебрянке, индивидуально. (90 мин)
= 20 $.
Тел: +375(29) 127 61 86.

___________________________________________________________________________________

Оказываю
платные услуги: решение задач по физике. Оплата WebMoney.
Заказы направляйте сюда: Платные услуги

___________________________________________________________________________________

4.1.
Механические колебания.

            4.1.1. Гармонические колебания.
            4.1.2. Свободные затухающие колебания.
            4.1.3. Вынужденные колебания. Резонанс.

4.2. Электрические колебания.

4.3. Упругие волны. Акустика.

4.4. Электромагнитные волны. Излучение.
_______________________________________________________________________________________________

4.1. Механические колебания. 4.1.1. Гармонические колебания.

4.1.1-1.
Частица совершает гармоническое колебание с амплитудой А и периодом Т = 12 с.
Найти время t₁ , за
которое смещение частицы изменяется от 0 до А/2.

Решение:
Т = 12 с
х(0) = 0
х(t₁) =
А/2                                           (1)
t₁ – ?
Так как начальное положение частицы х(0) = 0, то частица колеблется по закону
синуса с начальной фазой ϕ₀ = 0:
x = Asin(ωt + ϕ₀) или

x = Asinωt,                                          (2)
где ω = 2π/T –
круговая частота.
С учётом условия (1), запишем (2) в виде:
х(t₁) = Asin(ωt₁);
А/2 = Asin( (2π/T)t₁ );
1/2 = sin(2πt₁/T);    2πt₁/T = π/6. Отсюда
t₁ = T/12.
t₁
= 12/12 = 1 с.
Ответ: t₁ = T/12 = 1 c.

4.1.1-2.
Определить период Т простых гармонических колебаний диска радиусом R = 40
см около горизонтальной оси, проходящей через образующую диска.

Решение:
R = 0,4
м
T − ?
В данном случае диск − это физический маятник, период колебаний которого
определим по формуле:

, (1)

где −

I
момент инерции диска относительно оси вращения, проходящей через точку подвеса
А (см. рис.); x = AO = R −
расстояние от точки подвеса до центра тяжести О диска; m −
масса диска; g = 9,8
м/с² − ускорение свободного падения.
Момент инерции I₀ диска относительно оси симметрии диска:
I₀ = mR²/2.
По
теореме Штейнера:
I = I₀ + mR². Имеем
I = mR²/2 + mR² = 3mR²/2. Тогда по (1)

4.1.1-3.
Материальная точка движется согласно уравнению r(t) = A(icosωt + jsinωt), где
A = 0,5
м, ω = 5
с⁻¹. Изобразите на рисунке траекторию движения. Определите модуль скорости и
модуль нормального ускорения.

Решение:
r(t) = A(icosωt + jsinωt)                                   (1)
A = 0,5
м
ω = 5
с⁻¹
v − ?
a_n − ?
Представим (1) в виде:
r(t) = iAcosωt + jAsinωt    (1*)
Радиус вектор r(t)
точки: r(t) = ix + jy, где x, y −
проекции радиус вектора соответственно на оси OX и OY; i, j −
единичные векторы (орты), направленные соответственно по оси OX и OY.
Тогда (1*) примет вид
ix + jy = iAcosωt + jAsinωt,
отсюда получим два уравнения
x = Acosωt, (*)
y = Asinωt.                                                       (**)

Возведём их в квадрат
x² = A²cos²ωt,
y² = A²sin²ωt.
Сложим эти уравнения
x² + y² = A²cos²ωt + A²sin²ωt или x² + y² = A²(cos²ωt + sin²ωt).
Отсюда, т.к. cos²ωt + sin²ωt = 1,
получим уравнение траектории движения точки
x² + y² = A².    (2)

Уравнение (2) − это уравнение окружности радиусом R = A = 0,5
м с центром в начале координат (см. рис.).
Найдём проекции скорости v_x и v_y. Для этого продифференцируем x и y из
(*) и (**) по времени t:
v_x = x_tʹ = (Acosωt)_tʹ = — Aωsinωt;
v_y = y_tʹ = (Asinωt)_{_t}ʹ = Aωcosωt.
Тогда квадрат скорости
v² = v_x² + v_y² или v² = (-
Aωsinωt)² + (Aωcosωt)² или
v² = A²ω²(sin²ωt + cos²ωt) или v² = A²ω².
Отсюда модуль скорости v:
v = Aω.                                                               (3)
v =
0,5·5 = 2,5 м/с².
Модуль нормального ускорения a_n:   a_n = v²/R или, с учётом (3) и R = A, получим a_n = A²ω²/A или
a_n = Aω².
a_n =
0,5·5² = 12,5 м/с².
Ответ: траектория − окружность радиусом R = A = 0,5
м с центром в начале координат, v = Aω = 2,5 м/с², a_n = Aω² = 12,5 м/с².

_______________________________________________________________________________________________

            4.1.2. Свободные затухающие колебания.

4.1.2-1.
Амплитуда затухающих колебаний уменьшилась в n = 100
за 15 с. Чему равен коэффициент затухания β?

Решение:
t = 15 c
n = 100

A = A₀/n       (*)
β – ?
Зависимость амплитуды А затухающих колебаний от времени t:
A = A₀e^—^β^t,                                        (1)
где A₀ –
начальная амплитуда; β – коэффициент затухания.
Имеем из (1) и (*):
A₀/n = A₀e^—^β^t;   1/n = e^—^β^t; e^β^t = n; βt = ln(n)
отсюда
β = ln(n)/t.
β =
ln(100)/15 = 0,307 1/c.
Ответ: β = ln(n)/t = 0,307 1/c.

4.1.2-2. Найти
логарифмический декремент затухания тонкого стержня, подвешенного за один из
его концов, если за промежуток времени t = 5
мин его полная механическая энергия уменьшилась в n = 4·10² раз. Длина
стержня L = 50 см.Решение:
t = 5 мин = 300 с
n = 400
L = 0,5
м
λ − ?
В данном случае стержень − это физический маятник.
Логарифмический декремент затухания λ
λ = βT, (1)
где β –
коэффициент затухания, T− период колебаний стержня.

1. Найдём коэффициент затухания

β.
Связь частот ω и ω₀:
ω² = ω₀² — β². (2)
ω –
частота затухающих колебаний; ω₀ – собственная частота колебаний.
Зависимость от времени t полной механической энергии Е физического маятника:
Е = E₀e^-2^βt,
где E₀ – начальная (при t = 0) полная механическая энергия.
Отсюда имеем
n = Е₀/Е = Е₀/(E₀e^-2^βt) = 1/(e^-2^βt) =
e²^βt.
Получили n = e²^βt.
Прологарифмируем это равенство Ln(n) = 2βt. Отсюда
β = Ln(n)/(2t). (3)

2. Найдём период Т затухающих колебаний.
Оценим коэффициент

β² по (3).
β = Ln(400)/(2·300)
= 0,009986, отсюда
β² = (0,009986)² ≈ 0,0000997.
Собственная частота колебаний физического маятника:

, (4)

где J = mL²/3 –
момент инерции стержня относительно оси вращения, m –
масса стержня, g – ускорение свободного падения, d = L/2 –
расстояние от точки подвеса до центра тяжести стержня.
Подставим всё в (4) и, после упрощения, получим

. (4*)

По (4*) оценим ω₀²:
ω₀² = 3·9,8/(2·0,5) = 29,9.
Так как β² << ω₀²,
то, пренебрегая β², из (2) следует ω ≈ ω₀ , поэтому период затухающих колебаний T
T = 2π/ω = 2π/ω₀ или

. (4**)
Подставим в (1) найденные β из (3) и Т из (4**) и, после упрощения, получим

= 0,01157.

4.1.2-3. Логарифмический
декремент затухания тела, колеблющегося с частотой 50 Гц, равен 0,02.
Определите: время, за которое амплитуда колебаний тела уменьшится в 20
раз; число колебаний тела, чтобы произошло подобное уменьшение амплитуды.Решение:
ν = 50 Гц
λ =
0,02
n = 20
t − ?
N − ?
1. Пусть β –
коэффициент затухания; T = 1/ν – период, ν – частота колебаний. Логарифмический декремент
затухания λ:
λ = βT или λ = β/ν,
отсюда
β = λν. (1)
Амплитуда А затухающих колебаний
A = A₀·e^—βt,
где A₀ −
начальная амплитуда (при t = 0).
Подставим сюда из условия задачи A = A₀/n:
A₀/n = A₀·e^—βt,
отсюда e^βt = n и,
после логарифмирования, βt = Ln(n), отсюда
t = ( Ln(n) )/β и, с
учётом (1),
t = ( Ln(n) )/(λν).                                                  (2)

2. Число колебаний N за время t:
N = t/T = tν = (
и, с учётом (2), ) = ν( Ln(n) )/(λν) или
N = ( Ln(n) )/λ.                                                     (3)

3. Вычисления по формулам (2) и (3):
t = ( Ln(20)
)/(0,02·50) ≈ 3 с.
N = ( Ln(20)
)/0,02 ≈ 150.
Ответ: t = ( Ln(n) )/(λν) ≈ 3
с;    N =( Ln(n) )/λ ≈
150.

4.1.2-4. Составьте
дифференциальное уравнение гармонических свободных затухающих крутильных
колебаний механической системы.Решение:
Пусть
система (например, тонкий однородный диск, подвешенный в горизонтальном
положении к упругой нити) совершает крутильные колебания относительно
закреплённой оси Z (ось нити). Пусть на диск действует упругая сила,
проекция момента которой на ось Z равна
Mz = — kϕ,                                                                   (1)

где k −
постоянная, ϕ −
угол поворота из положения равновесия. Знак “минус” указывает на то, что при
отклонении системы на угол ϕ, момент упругой силы возвращает систему к положению
равновесия. Поместим диск в вязкую среду ( например, жидкость ). Момент силы
сопротивления Mc,
действующий на диск, пропорционален угловой скорости ϕʹ:
Mc = — ηϕʹ,
(2)
где η −
постоянная.
Уравнение динамики вращательного движения диска имеет вид
Iϕʹʹ = Mz + Mc,
(3)
где I –
момент инерции диска относительно оси вращения.
С учётом (1) и (2), уравнение (3) примет вид Iϕʹʹ = —
kϕ — ηϕʹ,
отсюда
ϕʹʹ + (η/I)ϕʹ + (k/I)ϕ = 0.
Применив обозначения 2β = η/I, ω₀² = k/I, перепишем последнее уравнение:
ϕʹʹ + 2βϕʹ + ω₀²ϕ = 0.
Это дифференциальное уравнение описывает затухающие крутильные колебания
механической системы.
Ответ: ϕʹʹ + 2βϕʹ + ω₀²ϕ = 0.

4.1.2-5.
Найти добротность Q осциллятора, у которого отношение резонансной частоты ω_рез
к частоте затухающих колебаний ω равно η.

Решение:
ω_рез/ω = η (*)
Q − ?
Пусть β − коэффициент затухания, ω₀ − собственная частота колебаний, T = 2π/ω −
период затухающих колебаний, λ = βT = 2πβ/ω − логарифмический декремент
затухания. Тогда добротность Q:
Q = π/λ = π/(2πβ/ω), или
Q = ω/(2β). (1)
Связь частот ω и ω₀:
ω² = ω₀² — β².                               (2)
Формула для резонансной частоты ω_рез:
ω_рез² = ω₀² — 2β².                         (3)
Из (2) вычтем (3)
ω² — ω_рез² = (ω₀² — β²) — (ω₀² — 2β²), или
ω² — ω_рез² = ω₀² — β² — ω₀² + 2β², или
ω² — ω_рез² = β².                            (**)
С учётом условия (*) имеем ω_рез = ωη. Тогда (**) примет вид
ω² — ω²η² = β², или
ω²(1 — η²) = β², отсюда

Подставляя полученное выражение ω в (1), окончательно получим:

___________________________________________________________________________________

4.1.3. Вынужденные колебания. Резонанс.

4.1.3-1.
Осциллятор массы m движется по закону x = Asinωt под действием вынуждающей силы
Fₓ = F₀cosωt. Найти коэффициент затухания β осциллятора.

Решение:
m,
x = Asinωt,
Fₓ = F₀cosωt,
β − ?
Установившееся смещение х(t) осциллятора при вынужденных колебаниях:
x = Acos(ωt — ϕ), (1)

где амплитуда А колебаний

(2)

(3)

ω₀ − собственная частота колебаний осциллятора,
f₀ = F₀/m. (*)
Так как по условию смещение х(t) осциллятора x = Asinωt, то из (1) следует: ϕ =
π/2
(т. к. cos(ωt — π/2) = sinωt). Тогда из (3) имеем:

или отсюда ω₀² — ω² = 0 и из (2), с учётом (*), имеем:

отсюда

4.1.3-2.
При неизменной амплитуде вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний при
частотах ω₁ = 100 с⁻¹ и ω₂ = 300 с⁻¹ оказывается одинаковой. Найти резонансную
частоту ω_рез.

Решение:
F₀ = const (амплитуда
вынуждающей
силы)
ω₁ = 100 с⁻¹
ω₂ = 300 с⁻¹
А₁ = А₂
ω_рез − ?
Амплитуда А вынужденных колебаний:

(*)

где f₀ =

F₀/m, m − масса
осциллятора, β − коэффициент затухания, ω₀ −
собственная частота колебаний, ω − частота вынужденных колебаний.
При постоянной
амплитуде вынуждающей силы F₀ (и,
следовательно, постоянной f₀) из (*) при двух разных частотах ω₁
и ω₂ получаем две амплитуды А₁ и А₂ вынужденных колебаний:

С учётом условия А₁ = А₂ , получим

Отсюда, приравнивая знаменатели и, возводя полученное равенство в квадрат,
получим
(ω₀² — ω₁²)² + 4β²ω₁² = (ω₀² — ω₂²)² + 4β²ω₂² или
ω₀⁴ — 2ω₀²ω₁²+ ω₁⁴ + 4β²ω₁² = ω₀⁴ — 2ω₀²ω₂² + ω₂⁴ + 4β²ω₂² или
— 2ω₀²ω₁²+ ω₁⁴ + 4β²ω₁² = — 2ω₀²ω₂² + ω₂⁴ + 4β²ω₂² или
2ω₀²(ω₂² — ω₁²) + (ω₁⁴ — ω₂⁴) + 4β²(ω₁² — ω₂²) = 0 или
— 2ω₀²(ω₁² — ω₂²) + (ω₁² — ω₂²)(ω₁² + ω₂²) + 4β²(ω₁² — ω₂²) = 0 и, после
деления на (ω₁² — ω₂²) ≠ 0:
— 2ω₀² + ω₁² + ω₂² + 4β² = 0. (1)
Формула для резонансной частоты ω_рез:

отсюда ω₀² = ω_рез² + 2β² и подставим в (1)
— 2(ω_рез² + 2β²) + ω₁² + ω₂² + 4β² = 0 или
— 2ω_рез² + ω₁² + ω₂² = 0, отсюда

_______________________________________________________________________________________________ 4.2. Электрические колебания.4.2-1.
Небольшая магнитная стрелка совершает малые колебания вокруг оси,
перпендикулярной направлению внешнего магнитного поля. При изменении индукции
этого поля период колебаний стрелки уменьшился в η = 5
раз. Во сколько раз и как изменилась индукция поля? Затухание колебаний
пренебрежимо мало.

Решение:
T₁/T₂ = η = 5
B₂/B₁ − ?
Момент сил М, действующий на стрелку со стороны магнитного
поля
М = [B·Pm],
где Pm −
вектор магнитного момента стрелки.
Модуль момента сил
М = B·Pm·sinϕ, где ϕ –
угол между векторами B и Pm.
При малых колебаниях угол ϕ очень мал и sinϕ ≈ ϕ. Тогда
М = B·Pm·ϕ.
При повороте стрелки на угол ϕ возникает момент сил М, стремящийся вернуть стрелку в
положение равновесия, т.е. М = — B·Pm·ϕ. Если J – момент инерции стрелки относительно оси вращения,
то основное уравнение динамики вращательного движения примет вид
Jϕ’’ = M или Jϕ’’ = —
B·Pm·ϕ отсюда
ϕ’’ + (B·Pm/J)·ϕ = 0. (1)
Если ω – циклическая
частота колебаний, то сравнивая (1) с уравнением гармонических колебаний
ϕ’’ + ω²ϕ = 0,
получим
ω² = B·Pm/J,
отсюда
ω = √(B·Pm/J).
Тогда период T
колебаний
T = 2π/ω или
T = 2π√( J/(B·Pm) ). (2)
На основе (2) для разных B₁ и B₂ получим соответствующие T₁ и T₂
T₁ = 2π√( J/(B₁·Pm) )
T₂ = 2π√( J/(B₂·Pm) ).
Отсюда
T₁/T₂ = √(B₂/B₁) и
отсюда
B₂/B₁ = (T₁/T₂)² = η² =
25. Итак
B₂/B₁ = η² =
25.
Ответ: индукция магнитного поля увеличится в η² = 25
раз.

4.2-2. Индуктивность
катушки равна 0,125 Гн. Уравнение колебаний силы ток в ней имеет вид:
i = 0,4cos(1000t), где
все величины выражены в системе СИ. Определить амплитуду напряжения на катушке.

Решение:
L = 0,125 Гн
i = 0,4cos(1000t). (1)
U_m − ?
Уравнение колебаний силы тока в катушке имеет вид:
i = I_mcos(ωt). (2)
Из (1) и (2) имеем
I_m = 0,4
А − амплитуда силы тока в катушке; ω = 1000 с⁻¹− частота.
Индуктивное сопротивление катушки: XL = ωL .
По закону Ома
I_m = U_m/XL,
отсюда
U_m= XL·I_m или
U_m = ωL·I_m.
U_m
= 1000·0,125·0,4 = 50 В.
Ответ: U_m = 50 В.4.2-3. Электрический
колебательный контур состоял из последовательно соединенных катушки с
индуктивностью L = 0,8
Гн и конденсатора емкостью С. Сопротивление катушки и соединительных проводов
было равно R =
2000 Ом. После того, как часть витков в катушке замкнулась накоротко,
индуктивность ее уменьшилась в n = 7 раз, частота собственных колебаний в контуре
возросла в k = 3
раза, а коэффициент затухания этих колебаний не изменился. Определить емкость
конденсатора.Решение:
L = 0,8 Гн
R =
2000 Ом
L₂ = L/n
n = 7
ω₂ = kω
k = 3
β = const
C − ?
Коэффициент затуханий β = R/(2L).
ω и ω₂ −
начальная и конечная частоты собственных колебаний в контуре, где
ω = √(
1/(LC) — β² ) =
√( 1/(LC) — R²/(4L²) );
ω₂ = √(
1/(L₂C) — β² ) =
√( n/(LC) — R²/(4L²) ).
Возведём в квадрат равенство ω₂ = kω, получим ω₂² = k²ω² или
n/(LC) — R²/(4L²) = k²( 1/(LC) — R²/(4L²) ),
отсюда
C = 4L(k² — n)/( R²(k² — 1)
).
C =
4·0,8·(3² — 7)/( 2000²·(3² — 1) ) = 2·10⁻⁷ Ф.
Ответ: C = 4L(k² — n)/( R²(k² — 1) ) = 2·10⁻⁷ Ф.

4.2-4.
Ток в колебательном контуре зависит от времени как I = I_msinω₀t, где I_m = 9,0
мА, ω₀ = 4,5·10⁴ с⁻¹. Ёмкость конденсатора С = 0,50 мкФ. Найти индуктивность
контура и напряжение на конденсаторе в момент t = 0.

Решение:
I = I_msinω₀t (*)
I_m = 9·10⁻³ А
ω₀ = 4,5·10⁴ с⁻¹
С = 0,5·10⁻⁶ Ф
L − ?
U(0) − ?
1). Собственная частота ω₀ колебательного контура

, отсюда

          1
L = ––––– .                                            (1)

ω₀²C
2). Закон сохранения энергии в колебательном контуре:
LI²/2 + CU²/2 = LI_m²/2
или, с учётом (*),
L(I_msinω₀t)²/2 + CU²/2 = LI_m²/2.
Отсюда при t = 0 (т.к. sinω₀0 = 0) получим напряжение U(0) = U_m на конденсаторе
в момент времени t = 0 (

U_m − максимальное напряжение):
CU²(0) = LI_m²
и, подставляя сюда L из (1), получим

I_m²
CU²(0) = ––––– или

ω₀²C

I_m
U(0) = U_m = –––– .                                  (2)

ω₀C
Вычисления по формулам (1) и (2 ):

1
L = –––––––––––––––– = 0,001 Гн = 1 мГн.

(4,5·10⁴)²·0,5·10⁻⁶

9·10⁻³
U(0) = Um = –––––––––––––– = 0,4 В.

4,5·10⁴·0,5·10⁻⁶

_______________________________________________________________________________________________

4.3. Упругие волны. Акустика.

4.3-1.
По шнуру слева направо бежит со скоростью v
незатухающая гармоническая волна. При этом поперечное смещение точки О шнура
изменяется по закону y = Acos(ωt). Как зависит от времени смещение точки шнура,
находящейся правее точки О на расстоянии x от
нее?

Решение:
y = Acos( ω(t — x/v) ).
Ответ: y = Acos( ω(t – x/v) ).

4.3-2.
Уравнение плоской звуковой волны имеет вид ξ = 60cos(1800t — 5,3x). где ξ – в мкм, t – в секундах, х – в метрах.
Найти:
а) отношение амплитуды смещения частиц среды к длине волны;
б) амплитуду
колебаний скорости частиц среды и ее отношение к скорости распространения
волны;
в) амплитуду колебаний относительной деформации среды и её связь с амплитудой колебаний скорости частиц среды.

Решение:
ξ = 60·10⁻⁶cos(1800t – 5,3x)
(1)
a) A/λ – ?
б) V_m – ? V_m/v – ?

в) (∂ξ/∂x)_m– ? (∂ξ/∂x)_m= f(V_m) – ?

а) Уравнение плоской синусоидальной волны
ξ = Acos(ωt – kx).
(2)
Из (1) и (2) следует
A = 60·10⁻⁶ м – амплитуда колебаний частиц среды,
ω = 1800 1/с – циклическая частота,
k = 5,3 1/м – волновое число.
k = 2π/λ, отсюда λ = 2π/k. Тогда
A/λ = A/(2π/k) или
A/λ = Ak/(2π).
A/λ =
60·10⁻⁶·5,3/(2·3,14) = 5,1·10⁻⁵.

б)

Амплитуда
колебаний скорости частиц среды
V_m = Aω. (*)
V_m =
60·10⁻⁶·1800 = 0,11 м/с. = 11 см/с.
Скорость
распространения волны
v = ω/k. (3)
Тогда ( см. (*) )
V_m/v = Aω/(ω/k) = Ak.
V_m/v = Ak.
V_m/v = 60·10⁻⁶·5,3 = 3,2·10⁻⁴.в) Относительную деформацию среды найдём дифференцируя (2) по х:
∂ξ/∂x = ( Acos(ωt – kx) )_xʹ = — Aksin(ωt – kx).

Отсюда амплитуда колебаний относительной деформации среды:
(∂ξ/∂x)_m= Ak. (**)
(∂ξ/∂x)_m= 60·10⁻⁶·5,3 = 3,2·10⁻⁴.
Связь между амплитудой колебаний относительной деформации среды (dξ/dx)_mи амплитудой колебаний скорости частиц среды V_m найдем по (*) и (**). Имеем
(dξ/dx)_m= Ak = (V_m/ω)k = V_mk/ω = ( с учётом (3) ) = V_m/v. Получили
(dξ/dx)_m= V_m/v или
V_m = v·(dξ/dx)_m,

где v = ω/k = 1800/5,3 = 340 м/с – скорость волны.

Ответ: a) A/λ = 5,1·10⁻⁵;
б) V_m = 0,11 м/с, V_m/v = 3,2·10⁻⁴;
в) (∂ξ/∂x)_m= 3,2·10⁻⁴, V_m = v·(dξ/dx)_m, где v = 340 м/с – скорость волны.

4.3-3.
Что такое амплитуда колебаний скорости частиц среды?

Решение:
Объясню
на простом примере. В озере на воде поплавок. Бросьте в воду камешек,
от него во все стороны пойдут волны. Поплавок колеблется на волнах.
Скорость колебаний поплавка − это скорость колебаний частиц среды (воды). Максимальная скорость колебаний поплавка − это амплитуда колебаний скорости частиц среды.
Амплитуда
колебаний скорости частиц среды
V_m = Aω (A —
амплитуда, ω —
циклическая частота).
Скорость распространения волны
v = ω/k (k —
волновое число).
A, ω, k
определяют из общего вида уравнения бегущей плоской синусоидальной волны
ξ = Acos(ωt – kx).

4.3-4.
Точечный изотропный источник испускает звуковые колебания с частотой ν = 1,45
кГц. На расстоянии r₁ = 5 м от источника амплитуда смещения частиц среды А₁ =
50 мкм, а в точке А, находящейся на расстоянии r₂ = 10 м от источника,
амплитуда смещения в η = 3 раза меньше А₁. Найти:
а) коэффициент затухания волны γ;
б) амплитуду колебаний скорости частиц среды в точке А.

Решение:
ν = 1450 Гц
r₁ = 5 м
А₁ = 50·10⁻⁶ м
r₂ = 10 м
А₂ = А₁/η (η = 3) (*)
а) γ − ?
б) V_m − ? (в точке А)
От данного точечного источника распространяются сферические волны. Для
однородной поглощающей среды уравнение сферической волны:

(1)
где ξ − смещение частиц среды; ω = 2πν − циклическая частота; k − волновое
число.

а). Из (1) выпишем амплитуду A смещения частиц среды (множитель перед
косинусом):

A =
(A₀/r)·e⁻ᵞʳ.

Отсюда для r = r₁ и r = r₂ получаем амплитуды смещения частиц среды A₁ и A₂
соответственно
A₁ = (A₀/r₁)·e⁻ᵞ^r₁ , (**)
A₂ = (A₀/r₂)·e⁻ᵞ^r₂ . (***)
Делим (**) на (***) и, с учётом (*), получаем:

·η = (r₂/r₁)·eᵞ⁽^r₂⁻^r₁⁾ отсюда ηr₁/r₂ = eᵞ⁽^r₂⁻^r₁⁾ , отсюда, по определению логарифма, имеем

ln(ηr₁/r₂) = γ(r₂ — r₁), отсюда

γ = ln(3·5/10)/(10 — 5) ≈
0,08 м⁻¹.

б). Для нахождения скорости смещения частиц среды V найдём частную производную
по времени t от (1):

V = ∂ξ/∂t = (A₀/r)·e⁻ᵞʳ·( — ωsin(ωt—kr) ).
С учётом ω = 2πν, имеем
V =
— (2πνA₀/r)·e⁻ᵞʳ·sin(ωt-kr).
Отсюда амплитуда колебаний скорости частиц среды V_m (множитель перед синусом):

Отсюда в точке А (r = r₂) амплитуда колебаний скорости частиц среды
V_m = (2πνA₀/r₂)·e⁻ᵞ^r₂
и, с учётом (***), получим V_m = 2πνA₂. Тогда, учтя (*), окончательно получим:
V_m = 2πνA₁/η.
V_m = 2·3,14·1450·50·10⁻⁶/3 ≈ 0,15 м.

4.3-5. Плоская
звуковая волна, частота которой 100 Гц и амплитуда 5 мкм, распространяется со
скоростью 300 мс в воздухе, плотность которого равна 1,2 кгм³.
Определить интенсивность волны.Решение:
ν = 100 Гц
а = 5·10⁻⁶ м
V = 300
мс
ρ = 1,2
кгм³
I − ?
Интенсивность I
звуковой волны
I = ρа²ω²V/2 и
т.к. ω = 2πν, то
I = ρа²(2πν)²V/2.
I =
1,2·(5·10⁻⁶)²·(2·3,14·100)²·300/2 = 1,77·10⁻³ Вт/м².
Ответ: I = 1,77·10⁻³ Вт/м².

4.3-6.
Стальная струна длины l = 100 см и диаметра d = 0,50 мм даёт основной тон
частоты ν = 256 Гц. Найти силу её натяжения.

Решение:
l = 1 м
d = 0,5·10⁻³ м
ν = 256 Гц
ρ = 7800 кг/м³ (плотность стали)
F − ?
В закреплённой с обоих концов натянутой струне при возбуждении поперечных
колебаний устанавливаются стоячие волны. Основной тон частоты ν колебаний
струны:
ν = V/2l, отсюда
V = 2lν, (1)
где

− фазовая скорость поперечных волн в струне.
Отсюда

F = V²ρ₁ , (2)
где ρ₁ = m/l − линейная плотность струны, m = ρV₀ − масса струны, V₀ = (πd²/4)l
= πd²l/4 − объём струны.
Имеем: ρ₁ = ρV₀/l = ρ(πd²l/4)/l = ρπd²/4. Получили
ρ₁ = ρπd²/4. (3)
Подставляя в (2) V из (1) и ρ₁ из (3), получим силу натяжения F струны
F = (2lν)²ρπd²/4, или
F = πρ(lνd)².
F = 3,14·7800· (1·256·0,5·10⁻³)² ≈ 401,3 Н.
Ответ: F = πρ(lνd)² ≈ 401,3 Н.

_______________________________________________________________________________________________

4.4. Электромагнитные волны. Излучение.

4.4-1.
Электромагнитная волна с частотой 6·10¹⁴ Гц распространяется в
стекле, показатель преломления которого 1,5. Какова скорость волны в стекле и
значение волнового числа?

Решение:
ν = 6·10¹⁴
Гц
n = 1,5
c = 3·10⁸
м/с (скорость света в вакууме)
V – ? k – ?
Скорость V волны
в стекле:
V = c/n .    (1)
Длина волны в стекле:
λ = V/ν = c/(nν).    (*)
Волновое число k:
k = 2π/λ или с
учётом (*)
k = 2πnν/с.
(2)
Вычисления по (1), (2)
V = 3·10⁸/1,5
= 2·10⁸ м/с.
k = 2·3,14·1,5·6·10¹⁴/(3·10⁸) =
1,88·10⁷ (1/м).
Ответ: V = 2·10⁸
м/с;    k =
1,88·10⁷ (1/м).

4.4-2. Определить
показатель преломления призмы из парафина , если его диэлектрическая
проницаемость Ԑ = 2 и магнитная проницаемость μ = 1.

Решение:

Ԑ = 2
μ = 1
n – ?
Показатель преломления среды
n = C/V. (1)
С – скорость света в вакууме.
Скорость света в среде
V = C/√(Ԑμ). (2)

Из (1) и (2) имеем
n = √(Ԑμ).
n =
√(2·1) = 1,41.
Ответ: n = 1,41.
___________________________________________________________________________________

Источник

Механические колебания.

Гармонические колебания.

Уравнение гармонических колебаний.

Пружинный маятник.

Математический маятник.

Свободные и вынужденные колебания.

Не пропустите также: