Формула периода колебаний математического маятника
Формула периода колебаний математического маятника
Математический маятник
Определение
Математический маятник — это частный случай физического маятника, масса которого находится в одной точке.
Обычно математическим маятником считают маленький шарик (материальную точку), имеющий большую массу, подвешенный на длинной нерастяжимой нити (подвесе). Это идеализированная система, которая совершает колебания под воздействием силы тяжести. Только для углов порядка 50-100 математический маятник является гармоническим осциллятором, то есть совершает гармонические колебания.
Изучая качание паникадила на длинной цепи Галилей изучал свойства математического маятника. Он понял, что период колебаний данной системы не зависит от амплитуды при малых углах отклонения.
Формула для периода колебаний математического маятника
Пусть точка подвеса маятника неподвижна. Груз, подвешенный к нити маятника, движется по дуге окружности (рис.1(a)) с ускорением, на него действует некоторая возвращающая сила ($overline{F}$). Данная сила изменяется при движении груза. В результате чего расчет движения становится сложным. Введем некоторые упрощения. Пусть маятник совершает колебания не в плоскости, а описывает конус (рис.1 (b)). Груз в этом случае перемещается по окружности. Период интересующих нас колебаний будет совпадать с периодом конического движения груза. Период обращения конического маятника по окружности равен времени, которое тратит груз на один виток по окружности:
[T=frac{L}{v}=frac{2pi R}{v}left(1right),]
где $L$ — длина окружности; $v$ — скорость движения груза. Если углы отклонения нити от вертикали малые (небольшие амплитуды колебаний) то полагают, что возвращающая сила ($F_1$) направлена по радиусу окружности, которую описывает груз. Тогда эта сила равна центростремительной силе:
[F_1=frac{mv^2}{R}left(2right).]
Рассмотрим подобные треугольники: AOB и DBC (рис.1 (b)).
[F_1=mg{sin alpha =mgfrac{R}{l} }left(3right).]
Приравниваем правые части выражений (2) и (3), выражаем скорость движения груза:
[frac{mv^2}{R}=mgfrac{R}{l} to v=Rsqrt{frac{g}{l}}left(4right).]
Полученную скорость подставим в формулу (1), имеем:
[T=frac{2pi R}{Rsqrt{frac{g}{l}}}to ]
[T=2pi sqrt{frac{l}{g}}left(5right).]
Из формулы (5) мы видим, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения. Формулу (5) для периода математического маятника называют формулой Гюйгенса, она выполняется, когда точка подвеса маятника не движется.
Используя зависимость периода колебаний математического маятника от ускорения свободного падения, определяют величину данного ускорения. Для этого измеряют длину маятника, рассматривая большое количество колебаний, находят период $T$, затем вычисляют ускорение свободного падения.
Примеры задач с решением
Пример 1
Задание. Как известно, величина ускорения свободного падения зависит от широты. Каково ускорение свободного падения на широте Москвы, если период колебаний математического маятник длиной $l=2,485cdot {10}^{-1}$м равен T=1 c?textit{}
Решение. За основу решения задачи примем формулу периода математического маятника:
[T=2pi sqrt{frac{l}{g}}left(1.1right).]
Выразим из (1.1) ускорение свободного падения:
[g=lfrac{4{pi }^2}{T^2}.]
Вычислим искомое ускорение:
[g=0,2485cdot frac{4{pi }^2}{1^2}=9,81 (frac{м}{с^2}).]
Ответ. $g=9,81frac{м}{с^2}$
Пример 2
Задание. Каким будет период колебаний математического маятника, если точка его подвеса движется вертикально вниз 1) с постоянной скоростью? 2) с ускорением $a$? Длина нити этого маятника равна $l.$
Решение. Сделаем рисунок.
1) Период математического маятника, точка подвеса которого движется равномерно, равен периоду маятника с неподвижной точкой подвеса:
[T_1=2pi sqrt{frac{l}{g}}left(2.1right).]
2) Ускорение точки подвеса маятника можно рассматривать как появление дополнительной силы, равной $F=ma$, которая направлена против ускорения. То есть, если ускорение направлено вверх, то дополнительная сила направлена вниз, значит, она складывается с силой тяжести ($mg$). Если точка подвеса движется с ускорением, направленным вниз, то дополнительная сила вычитается из силы тяжести.
Период математического маятника, который совершает колебания и у которого точка подвеса движется с ускорением, найдем как:
[T_2=2pi sqrt{frac{l}{a_p}}left(2.2right),]
где:
[a_p=g-a left(2.3right),]
тогда:
[T_1=2pi sqrt{frac{l}{g-a}}.]
Ответ. 1) $T_1=2pi sqrt{frac{l}{g}}$; 2) $T_1=2pi sqrt{frac{l}{g-a}}$
Читать дальше: формула периода колебаний пружинного маятника.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Период математического маятника — период колебания математического маятника зависит от длины нити: с уменьшением длины нити период колебания уменьшается
Для математического маятника выполняются некоторые законы:
1 закон. Если, сохраняя одну и ту же длину маятника, подвешивать разные грузы (например 5кг и 100 кг), то период колебаний получится один и тот же, хотя массы грузов сильно различаются. Период математического маятника не зависит от массы груза.
2 закон. Если маятник отклонять на разные, но маленькие углы, то он будет колебаться с одним и тем же периодом, хотя и с разными амплитудами. Пока амплитуда маятника будут малы, колебания и по своей форме будут похожи на гармонические, и тогда период математического маятника не зависит от амплитуды колебаний. Это свойство приняло название изохронизмом..
Давайте выведем формулу периода математического маятника.
На груз m математического маятника действуют сила тяжести mg и сила упругости нити Fynp. Ось 0Х направим вдоль касательной к траектории движения вверх. Запишем второй закон Ньютона для данного случая:
С проецируем все на ось ОХ:
При малых углах 
Сделав замены и маленькие преобразования у нас получается, что уравнение имеет вид:
Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний у нас получается:
Из уравнения видно, что циклическая частота пружинного маятника будет иметь вид:
Тогда период математического маятника будет равен:
Период математического маятника зависит только от ускорения свободного падения g и от длины маятника l. Из полученной формулы следует, что период маятника не зависит от его массы и от амплитуды (при условии, что она достаточно мала). Так же мы установили количественную зависимость между периодом маятника, его длиной и ускорением свободного падения. Период математического маятника пропорционален корню квадратному из отношения длины маятника к ускорению свободного падения. Коэффициент пропорциональности равен 2p
Так же есть:
Период пружинного маятника 
Период физического маятника 
Период крутильного маятника 
В Формуле мы использовали :
— Период математического маятника
— Длина подвеса
— Ускорение свободного падения
— Циклическая частота пружинного маятника
— Сила упругости
— Длина дуги АВ
Период колебаний маятника это наименьший промежуток времени, за который он совершает одно полное колебание (то есть возвращается в то же состояние, в котором она находилась в первоначальный момент, выбранный произвольно).
.
Калькулятор расчета периода колебания маятника
Ускорение свободного падения (g, м/с2)
Период колебания (t, сек.)
Законы колебания простого маятника
Всякому известно, что, чем короче маятник, тем быстрее его колебания. Очевидно, период колебания уменьшается с уменьшением длины маятника. Но такое
знание имеет небольшое значение, пока мы не узнаем, насколько колебания становятся чаще при определенном уменьшении длины маятника. Другой фактор, который мог бы оказать влияние на период,— это масса маятника. Однако опытным путем было установлено, что мааса тут не причем.
Формула колебания маятника: 
где t — время в сек, l — длина маятника в м, a g — ускорение в м/сек2.
- Период (время полного колебания) не зависит от материала и массы маятника.
- Период не зависит от длины дуги (до 16°).
- Период пропорционален корню квадратному из длины маятника.
План урока:
Колебательное движение
Период и частота колебаний
Свободные колебания
Амплитуда колебаний
Колебательные системы
Гармонические колебания
Величины, характеризующие колебательное движение
Затухающие колебания
Вынужденные колебания
Колебательное движение
В самом широком смысле, колебательное движение – это любое движение, повторяющееся с течением времени. Например, птица, машущая крыльями вверх-вниз, совершает ими колебательные движения. Ребенок, качающийся на качелях, тоже совершает колебательные движения. Игла швейной машины при шитье – тоже.
Но как же так, ведь в названных примерах тела движутся абсолютно по-разному? Крылья птицы и игла швейной машины движутся вертикально вверх-вниз (прямолинейно), ребенок на качелях движется горизонтально и по дуге (криволинейно). Это все неважно. Главный признак колебательного движения – его повторяемость через определенный промежуток времени, то есть через период колебаний.
Период и частота колебаний
Период колебаний (T) – это время, за которое тело совершает полный цикл движения, т.е. совершает одно колебание.
В случае с движением крыльев птицы, если считать, что один взмах начинается с верхней точки, полным колебанием будет считаться, когда крылья пройдут от верхней точки через середину до нижней и вернутся от нижней точки через середину до верхней (рисунок 1).
Рисунок 1 – Взмах крыльев птицы как пример полного колебания
Период колебаний обозначается латинской буквой T. По определению период – это время, значит, единица измерения периода будет такой же, как и единица измерения времени. В СИ это секунда.
[T] = 1 с
Как же можно вычислить период колебаний?
Самый простой способ – это посчитать количество колебаний и секундомером измерить время, за которое эти колебания были совершены. Например, ребенок на качелях совершает N = 10 колебаний за t = 30 секунд. Нетрудно подсчитать, что время совершения одного полного колебания будет 30/10 = 3 с. Если обобщить, получится формула для нахождения периода колебаний:
где t – время, за которое совершено N колебаний.
Рассмотрим еще одну важную характеристику.
Частота колебаний (ν) – это количество колебаний, совершаемое телом за единицу времени.
Частота колебаний обозначается греческой буквой (читается как «ню»).
Если сравнить определение частоты колебаний с определением периода, можно заметить, что это обратные величины. То есть:
Гц – единица измерения, которую назвали в честь немецкого физика Генриха Герца. При решении задач одинаково часто употребляется и герц, и с-1. Можно употреблять и то, и другое – в зависимости от того, что удобнее при решении конкретной задачи.
Следует так же отметить, что иногда физики пользуются циклической частотой колебаний:
Свободные колебания
Положение равновесия при колебательном движении
Сравним две ситуации:
1. Родитель толкает качели, на которых сидит ребенок, а потом просто наблюдает, как качели качаются сами по себе.
2. Родитель толкает качели с ребенком, а потом при каждом цикле движения подталкивает качели, поддерживая качания.
Физики говорят, что в первом случае система (качели и ребенок) совершает свободные колебания, то есть колебания под действием только внутренних сил. После выведения системы из равновесия (то есть толчка родителя) к ней больше не прикладывают внешних сил. Во втором случае говорят, что система совершает вынужденные колебания – то есть колебания, под действием периодического внешнего воздействия.
Поговорим о свободных колебаниях. Для простоты рассмотрим систему, состоящую из маленького тяжелого шарика на длинной крепкой нити. Такая система называется нитяным маятником (рисунок 2).
Рис.2 – Нитяной маятник
Без воздействия внешних сил шарик будет находиться в положении 1. Такое состояние называется положением равновесия. Далее к шарику прикладывают силу, направленную влево и он начинает совершать колебания. Траектория шарика будет: 1-2-1-3-1 (см. рисунок 1).
Как при этом будет меняться скорость тела? Для того, чтобы рассмотреть подробно, нужно помнить определения потенциальной и кинетической энергии*, а также в чем заключается закон сохранения энергии (систему считаем замкнутой – потерь энергии не происходит, а, значит, закон сохранения энергии выполняется – энергия колебательной системы остается постоянной):
- при движении из точки 1 в 2 шарик постепенно замедляется (уменьшается его кинетическая энергия, а потенциальная увеличивается);
- в точке 2 он на мгновенье останавливается (кинетическая энергия равна нулю, потенциальная максимальна);
- далее он начинает движение с ускорением, но уже в обратном направлении (кинетическая энергия увеличивается, потенциальная уменьшается) — при движении из 2 в 1 тело будет ускоряться;
- когда шарик дойдет до точки 1 его кинетическая энергия будет максимальна, а потенциальная минимальна.
При движении от точки 1 в 3 будет происходить то же самое, что и при движении из 1 в 2 – предлагаем описать процесс изменения величин (скорости и энергии) самостоятельно.
Если обобщить все сказанное, можно сделать вывод: при колебаниях в положении равновесия кинетическая энергия тела максимальна, а потенциальная минимальна (или равна нулю, в зависимости от выбранной точки отсчета). В крайних положениях потенциальная энергия максимальна, а кинетическая равна нулю. То есть положение равновесия маятника – это такое положение, в котором его потенциальная энергия минимальна (или равна нулю, в зависимости от точки отсчета). При удалении маятника от положения равновесия кинетическая энергия будет уменьшаться, а потенциальная увеличиваться.
*Потенциальная энергия тела зависит от его положения в пространстве; кроме того, это относительная величина – она зависит от того, какая точка отсчета выбрана.
Кинетическая энергия зависит от модуля скорости тела.
Амплитуда колебаний
Помимо частоты и периода важной характеристикой колебаний является амплитуда.
Амплитуда колебаний – это модуль максимального смещения тела от положения равновесия. Другими словами, это расстояние между положением равновесия и крайней точкой траектории маятника. Рассмотрим рисунок 3. На нем изображен уже знакомый вам нитяной маятник. В идеальном случае амплитуду колебаний маятника нужно считать как длину дуги от положения равновесия до крайней точки. Но если мы считаем, что колебания малые – то есть длина нити маятника (l) гораздо больше смещения (S), можно считать, что длина дуги совпадает с длиной отрезка между проекциями положения равновесия и крайней точки на ось ОХ.
Рис.3 – Амплитуда колебаний нитяного маятника
Обычно амплитуда обозначается большой латинской буквой A.
Колебательные системы
Для того, чтобы рассмотреть колебательные движения подробнее, рассмотрим несколько колебательных систем, на примере которых будет рассматривать все закономерности.
1. Маятник
В общем случае маятник – это система, способная совершать колебания под действием каких-либо сил, например, сил трения, упругости, тяжести.
2. Пружинный маятник
Пружинный маятник – это система, состоящая из упругой пружины, один конец которой закреплен, а на другой прикреплен груз.
Такой маятник может быть вертикальным (рисунок 4а), тогда колебания будут совершаться под действием сил тяжести и упругости; и горизонтальным (рисунок 4б), тогда на груз будут действовать сил упругости и трения.
Рис.4 – Пружинный маятник
Для пружинного маятника справедливы формулы:
где T –период колебаний пружинного маятника; π ~ 3.14; m–масса груза;k–коэффициент жесткости пружины; — частота колебаний пружинного маятника.
*Ранее говорилось, что существует такая характеристика, как циклическая частота. Формула для ее нахождения будет выглядеть так:
3. Нитяной маятник
Этот вид маятника уже рассматривался ранее (см. рисунок 3), он состоит из длинной нити и тяжелого грузика, подвешенного на ней.
Для нитяного маятника справедливы формулы:
где T – период колебаний нитяного маятника; π ~ 3.14; l –длина нити; g – ускорение свободного падения (~9,8 м/с2), v — частота колебаний.
Интересно отметить, что период нитяного маятника и, следовательно, его частота не зависят от массы грузика, прикрепленного к нити.
*Следует отметить, что все приведенные формулы справедливы только для малых колебаний.
** Циклическая частота нитяного маятника:
Гармонические колебания
При решении задач часто используется не нитяной маятник, а его упрощенная модель – математический маятник. Это идеальная колебательная система, в которой нить считается очень длинной по сравнению с амплитудой колебаний и размерами грузика; сам груз достаточно тяжелым, чтобы пренебречь массой нити. Кроме того, считается, что не происходит потерь энергии.
Рассмотрим подробно, какие силы действуют на такую систему. В первую очередь, на грузик действует сила тяжести mg, направленная вниз (см. рисунок 5). Так же на него действует сила натяжения со стороны нити F, она направлена вдоль нити. Обозначим угол, на который смещается тело от положения равновесия.
Рис.5 – Силы, действующие на математический маятник
Запишем 2-й закон Ньютона:
Рисунок 6 – Силы, действующие на математический маятник при смещении на угол φ
В случае малых углов sinφ можно считать равным φ. Из геометрического определения синуса:
Тогда в крайней точке 2-й закон Ньютона в проекции на ось OX перепишется следующим образом:
То есть ускорение, с которым движется маятник прямо пропорционально его смещению от положения равновесия. Минус в данном выражении означает, что ускорении направлено в противоположную сторону от смещения.
Интересно заметить, что ускорение грузика, подвешенного к ниточке (а значит и самого маятника), не зависит от его массы. Период колебаний математического маятника тоже не зависит от массы грузика:
В случаях, когда колебания происходят под действием силы, пропорциональной смещению тела от положения равновесия, говорят, что тело совершает гармонические колебания.*
График зависимости смещения от времени при гармоническом колебательном движении представляет собой синусоиду или косинусоиду (см. рисунок 7).
Для лучшего понимания, почему график выглядит именно так, можно посмотреть урок в курсе алгебры «Тригонометрические функции»:
Рис. 7 – График зависимости смещения (x) от времени (t) при гармонических колебаниях
На графическом представлении колебаний (рисунок 7) удобно находить период и амплитуду гармонических колебаний.
*Могло сложиться впечатление, что гармонические колебания может совершать только математический маятник. Это не так. Любое тело может совершать колебания, близкие к гармоническим (нужно учитывать не идеальность систем). Например, можно говорить о гармонических колебаниях пружины, если она достаточно жесткая, чтобы она деформировалась упруго, а колебания совершаются с небольшой амплитудой.
Величины, характеризующие колебательное движение
Ранее рассматривались такие характеристики колебаний, как период, частота и амплитуда. Помимо этих величин, колебания характеризуются фазой колебаний.
Фаза колебаний
На рисунке 7 изображен график зависимости смещения от времени при гармонических колебаниях. Такой график называется синусоидой (косинусоидой). В общем случае уравнение зависимости координаты Х от времени t будет выглядеть так:
Разность фаз
Понятие «разность фаз» применяется, когда мы хотим сравнить движение двух маятников. Пусть маятник 1 и маятник 2 двигаются по законам соответственно:
Найдем разность фаз колебаний этих двух маятников.
Если взять конкретный момент времени , фаза гармонических колебаний каждого из маятников в этот момент времени будет:
— это начальные фазы колебания первого и второго маятников соответственно. Эти величины являются начальными условиями, и они не изменяются во время движения, следовательно, при одинаковой частоте колебаний маятников разность фаз остается постоянной.
Затухающие колебания
Во всех рассмотренных ранее случаях считалось, что на колеблющуюся систему не действуют силы извне. На самом деле, идеальных систем не существует, поэтому любой маятник во время движения будет преодолевать внешние силы сопротивления и терять энергию. Например, пружинный маятник (рисунок 
будет преодолевать силу трению о поверхность.
Рисунок 8 – Пружинный маятник на шероховатой поверхности
Колебания, энергия которых уменьшается с течением времени, называются затухающими.
Амплитуда затухающих колебаний уменьшается со временем. График таких колебаний изображен на рисунке 9.
Рисунок 9 – График зависимости координаты от времени при затухающих колебаниях
Вынужденные колебания
Собственная частота колебаний. Частота вынуждающей силы. Установившиеся вынужденные колебания
В реальных (неидеальных) системах колебания всегда нужно поддерживать внешним воздействием.
Под действием периодической внешней изменяющейся силы возникают вынужденные колебания.
Почему же обязательно сила должны быть периодически изменяющейся? Ответ на этот вопрос легко найти, представив себе качели. Если на них действовать с постоянной по модулю и направлению силой, они никогда не начнут качаться. А толчками (то есть периодической изменяющейся силой) раскачать их не составит труда.
Внешняя сила, заставляющая систему совершать колебания, называется вынуждающей силой.
Так как эта сила периодическая, необходимо ввести частоту вынуждающей силы. А чтобы не запутаться, частоту свободных колебаний называют собственной частотой системы. Как показывают эксперименты, даже если изначально собственная частота системы и частота вынуждающей силы отличались, через некоторое время система начинает колебаться с частотой вынуждающей силы. В таких случаях говорят об установившихся вынужденных колебаниях.
Если частота вынуждающей силы равна собственной частоте системы, возникает резонанс – резкое увеличение амплитуды колебаний.