Как найти периметры треугольников внутри треугольника

Докажите, что любой треугольник, лежащий внутри данного треугольника, имеет периметр, меньший, чем периметр данного треугольника.

Ваш ответ

Треугольник вписанный в окружность

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = frac<1><2>ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

Сторона треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

Средняя линия треугольника вписанного
в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Свойства

Центр вписанной в треугольник окружности
находится на пересечении биссектрис.
В треугольник, вписанный в окружность,
можно вписать окружность, причем только одну.
Для треугольника, вписанного в окружность,
справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
и Теорема Пифагора.
Центр описанной около треугольника окружности
находится на пересечении серединных перпендикуляров.
Все вершины треугольника, вписанного
в окружность, лежат на окружности.
Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

Проведем серединные
перпендикуляры — HO, FO, EO.
O — точка пересечения серединных
перпендикуляров равноудалена от
всех вершин треугольника.
Центр окружности — точка пересечения
серединных перпендикуляров — около
треугольника описана окружность — O,
от центра окружности к вершинам можно
провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Формулы определения периметра, площади и сторон треугольника

Треугольник — это элементарная геометрическая фигура, содержащая минимально возможное количество составляющих — три.

Точки соприкосновения сторон являются вершинами его углов, обозначаются заглавными латинскими символами A; B и C. Отрезки между вершинами являются сторонами или гранями треугольника и обозначаются названиями этих вершин: AB; BC; CA или прописной буквой противолежащего угла (вершины): AB=c; BC=a; CA=b.

Периметр равен длине всех сторон фигуры, у треугольника он равен сумме трех сторон:

Высота треугольника — это перпендикуляр от прямой, на которой лежит основание, до одноименной вершины, обозначается h.

Площадь составляет величину поверхности, заключенной внутри фигуры, обозначается S. Произведение основания на высоту дает значение площади. Ее можно определить и по формуле Герона:

Из этого видео вы узнаете, как найти площадь треугольника.

Классификация треугольников

Треугольник состоит из сторон и углов, сумма его углов всегда равна 180 градусов: A+B+C=180°.

Равноугольный: все вершины равны 60°, будет и равносторонним.
Равнобедренный: при равенстве двух граней углы на основании равны.
Разноугольный: все вершины разные, ребра у него тоже разные.
Прямоугольный: один угол равен 90°, примыкающие грани называются катеты, противолежащая — гипотенуза. Бывает равнобедренным (катеты равны) или разноугольным (катеты разные).
Тупоугольный: один угол больше 90°. Может быть равнобедренным или разноугольным.

Описание

Чтобы описать любой треугольник, достаточно указать:

Одну сторону и прилегающие к ней углы.
Две стороны и угол между ними.
Три стороны.

Данных из любого пункта достаточно для построения заданной фигуры и вычисления всех ее параметров, используя теорему косинусов:

Подставляя известные значения, получим уравнение, решив которое узнаем неизвестные величины.

Cos90°=0, поэтому для прямоугольного треугольника c*c=a*a+b*b, где a и b — катеты, c — гипотенуза, сторона, лежащая напротив прямого угла.

Примеры

Известно, что одна грань равна 9 см и прилегающие углы по 60 градусов. Тогда из того, что сумма углов всегда равна 180°, получаем: 180=60+60+x; x=180—120=60. Все три вершины по 60°, значит, все стороны равны. Периметр составляет P=9+9+9=27 см, полупериметр p=13,5 см. Чтобы найти высоту, нужно опустить перпендикуляр из вершины на основание, получим прямоугольный треугольник с гипотенузой 9 см, катетом 4,5 см и катетом неизвестной длины, равным искомой высоте: 9*9—4,5*4,5=60,75=h 2 .

Высота равна корню квадратному из 60,75 или 7,79422863406 см. Умножаем основание на высоту, делим пополам и получаем площадь: 7,79422863406*9/2=35,074028853 см 2 . Если находить площадь по формуле Герона через полупериметр и ребра, ответ будет одинаковый:

S=√(13,5·(13,5—9)·(13,5—9)·(13,5—9))=35,074028853 см 2 .

Следующий пример с разносторонним треугольником. Дано: AB=12 см, BC=10 см, CA=8 см. Требуется найти периметр и площадь фигуры. P=a+b+c=BC+CA+AB=10 см+8 см+12 см=30 см. Площадь находим по формуле Герона, подставляя в нее уже известные значения, учитывая, что p=0,5Р; p=15 см. S=√(p·(p—a)·(p—b)·(p—c))=√(15·(15—10)·(15—8)·(15—12))=√15·5·7·3=√1575=39,686269666 см 2 .

Рассмотрим пример, когда известны два катета прямоугольного треугольника. Допустим, они имеют значения два и четыре метра. Тогда гипотенуза будет равна корню квадратному из суммы квадратов катетов √2 2 +4 2 =4,472135955 м. Периметр 2+4+4,472135955=10,472135955. Площадь равна половине произведения катетов S=2·4=8м 2 .

Когда известны две стороны и угол между ними, остается найти только третью сторону по теореме косинусов. Пусть известные стороны составляют значения 16 и 28 метров, а угол между ними будет в 60 градусов, тогда третья сторона будет равна корню квадратному из этого выражения 16 2 +28 2 — 2·16·28·0,5, что составит значение в 24,3310501212 м. Периметр равен 16+28+24,3310501212=68,3310501212≈68,33 м. Полупериметр будет 34,165 м. Подставляя полученные значения в формулу Герона, найдем площадь S=√(34,165·(34,165—16)·(34,165—28)·(34,165—24,33))=193,982314238 м 2 .

Если известно три параметра любого треугольника — два угла и сторона или две стороны и угол между ними, то ничего особенно сложного в нахождении неизвестных параметров треугольника — периметра, площади или высоты — нет. Нужно только внимательно производить простые вычисления. Иногда можно проявить и смекалку, разбив фигуру на несколько более простых в вычислении, например, прямоугольных треугольников. В каждом конкретном случае все зависит от исходных данных. Все формулы и вычисления, приведенные выше, верны для плоских фигур; для расположенных на сферической поверхности ход вычислений будет иным.

Видео

Это видео поможет вам закрепить полученные знания.

источники:

http://colibrus.ru/treugolnik-vpisannyy-v-okruzhnost/

http://liveposts.ru/articles/education-articles/matematika/formuly-opredeleniya-perimetra-ploshhadi-i-storon-treugolnika

Источник

Выбирайте формулу в зависимости от известных величин.

1. Как найти периметр треугольника, зная три стороны

Просто посчитайте сумму всех сторон.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a, b, c — стороны треугольника.

2. Как найти периметр треугольника, зная его площадь и радиус вписанной окружности

Умножьте площадь треугольника на 2.

Разделите результат на радиус вписанной окружности.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
S — площадь треугольника;
r — радиус вписанной окружности.

3. Как вычислить периметр треугольника, зная две стороны и угол между ними

Сначала найдите неизвестную сторону треугольника с помощью теоремы косинусов:

Умножьте одну сторону на вторую, на косинус угла между ними и на 2.
Посчитайте сумму квадратов известных сторон и отнимите от неё число, полученное в предыдущем действии.
Найдите корень из результата.

Теперь прибавьте к найденной стороне две ранее известные стороны.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
b, c — известные стороны треугольника;
ɑ — угол между известными сторонами;
a — неизвестная сторона треугольника.

4. Как найти периметр равностороннего треугольника, зная одну сторону

Умножьте сторону на 3.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a — любая сторона треугольника (напомним, в равностороннем треугольнике все стороны равны).

5. Как вычислить периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и основание

Умножьте боковую сторону на 2.

Прибавьте к результату основание.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a — боковая сторона треугольника (в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны);
b — основание треугольника (это сторона, которая отличается длиной от остальных).

6. Как найти периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и высоту

Найдите квадраты боковой стороны и высоты.

Отнимите от первого числа второе.

Найдите корень из результата и умножьте его на 2.

Прибавьте к полученному числу две боковые стороны.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a — боковая сторона треугольника;
h — высота (перпендикуляр, опущенный на основание треугольника со стороны противоположной вершины; в равнобедренном треугольнике высота делит основание пополам).

7. Как вычислить периметр прямоугольного треугольника, зная катеты

Найдите квадраты катетов и посчитайте их сумму.

Извлеките корень из полученного числа.

Прибавьте к результату оба катета.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a, b — катеты треугольника (стороны, которые образуют прямой угол).

8. Как найти периметр прямоугольного треугольника, зная катет и гипотенузу

Посчитайте квадраты гипотенузы и катета.

Отнимите от первого числа второе.

Найдите корень из результата.

Прибавьте катет и гипотенузу.

Иллюстрация: Лайфхакер

P — искомый периметр;
a — любой катет прямоугольника;
c — гипотенуза (сторона, которая лежит напротив прямого угла).

Источник

Как найти периметр вписанного треугольника в треугольник?

Вопрос Как найти периметр вписанного треугольника в треугольник?, расположенный на этой странице сайта, относится к
категории Геометрия и соответствует программе для 10 — 11 классов. Если
ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска
похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему.
Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку,
расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей,
оставившими комментарии под вопросом.

Источник

Download Article

Finding the perimeter of a triangle means finding the distance around the triangle.^[1] The simplest way to find the perimeter of a triangle is to add up the length of all of its sides, but if you don’t know all of the side lengths you will need to calculate them first. This article will first teach you to find the perimeter of a triangle when you do know all three side lengths; this is the easiest and most common way. It will then teach you to find the perimeter of a right triangle when only two of the side lengths are known. Finally, it will teach you to find the perimeter of any triangle for which you know two side lengths and the angle measure between them (an «SAS Triangle»), using the Law of Cosines.

1
Remember the formula for finding the perimeter of a triangle. For a triangle with sides a, b and c, the perimeter P is defined as: P = a + b + c.^[2]
- What this formula means in simpler terms is that to find the perimeter of a triangle, you just add together the lengths of each of its 3 sides.
2
Look at your triangle and determine the lengths of the three sides. In this example, the length of side a = 5, the length of side b = 5, and the length of side c = 5.
- This particular example is called an equilateral triangle, because all three sides are of equal length. But remember that the perimeter formula is the same for any kind of triangle.
Advertisement
3
Add the three side lengths together to find the perimeter. In this example, 5 + 5 + 5 = 15. Therefore, P = 15.
- In another example, where a = 4, b = 3, and c=5, the perimeter would be: P = 3 + 4 + 5, or 12.
4
Remember to include the units in your final answer. If the sides of the triangle are measured in centimeters, then your answer should also be in centimeters. If the sides are measured in terms of a variable like x, your answer should also be in terms of x.^[3]
- In this example, the side lengths are each 5cm, so the correct value for the perimeter is 15cm.

1

Remember what a right triangle is. A right triangle is a triangle that has one right (90 degree) angle. The side of the triangle opposite the right angle is always the longest side, and it is called the hypotenuse. Right triangles show up frequently on math tests, and fortunately there is a very handy formula for finding the length of unknown sides!
2

Recall the Pythagorean Theorem. The Pythagorean Theorem tells us that for any right triangle with sides of length a and b, and hypotenuse of length c, a² + b² = c².^[4]
3

Look at your triangle, and label the sides «a,» «b,» and «c». Remember that the longest side of the triangle is called the hypotenuse. It will be opposite the right angle and must be labeled c. Label the two shorter sides a and b. It doesn’t really matter which is which, the math will turn out the same!
4
Enter the side lengths that you know into the Pythagorean Theorem. Remember that a² + b² = c². Substitute the side lengths in for the corresponding letters in the equation.^[5]
- If, for example, you know that side a = 3 and side b = 4, then plug those values into the formula as follows: 3² + 4² = c².
- If you know the length of side a = 6, and the hypotenuse c = 10, then you should set the equation up like so: 6² + b² = 10².
5
Solve the equation to find the missing side length. You will first need to square the known side lengths which means multiplying each value by itself (for example 3² = 3 * 3 = 9). If you are looking for the hypotenuse, simply add the two values together and find the square root of this number to find the length. If it is a side length you are missing, you must do a bit of easy subtraction, and then take the square root to get your side length.^[6]
- In the first example, square the values in 3² + 4² = c² and find that 25= c². Then calculate the square root of 25 to find that c = 5.
- In the second example, square the values in 6² + b² = 10² to find that 36 + b² = 100. Subtract 36 from each side to find that b² = 64, then take the square root of 64 to find that b = 8.
6
Add up the lengths of the three side lengths to find the perimeter. Recall that the perimeter P = a + b + c. Now that you know the lengths of sides a, b and c, you simply need to add the lengths together to find the perimeter.^[7]
- In our first example,P = 3 + 4 + 5, or 12.
- In our second example, P = 6 + 8 + 10, or 24.
Do you have the perimeter and are missing one side? Then you should subtract the sum of the two sides from the perimeter. This number equals the length of the missing side.

1

Learn the Law of Cosines. The Law of Cosines allows you to solve any triangle when you know two side lengths and measurement of the angle between them. It works on any triangle, and is a very useful formula. The Law of Cosines states that for any triangle with sides a, b, and c, with opposite angles A, B, and C: c² = a² + b² — 2ab cos(C).^[8]^[9]
2
Look at your triangle and assign variable letters to its components. The first side that you know should be labeled a, and the angle opposite it is A. The second side that you know should be labeled b; the angle opposite it is B. The angle that you know should be labeled C, and the third side, the one you need to solve in order to find the perimeter of the triangle, is side c.^[10]
- For example, imagine a triangle with side lengths 10 and 12, and an angle between them of 97°. We will assign variables as follows: a = 10, b = 12, C = 97°.
3
Plug your information into the equation and solve for side c. You will first need to find the squares of a and b, and add them together. Then find the cosine of C using the cos function on your calculator, or an online cosine calculator.^[11] Multiply cos(C) by 2ab and subtract the product from the sum of a² + b². The result is c². Find the square root of this value and you have the length of side c.^[12]Using our example triangle:
- c² = 10² + 12² — 2 × 10 × 12 × cos(97).
- c² = 100 + 144 – (240 × -0.12187) (Round the cosine to 5 decimal places.)
- c² = 244 – (-29.25)
- c² = 244 + 29.25 (Carry the minus symbol through when cos(C) is negative!)
- c² = 273.25
- c = 16.53
4
Use side length c to find the perimeter of the triangle. Recall that Perimeter P = a + b + c, so all you need to do is add the length you just calculated for side c to the values you already had for a and b.
- In our example: 10 + 12 + 16.53 = 38.53, the perimeter of our triangle!

Triangle Perimeter Calculator, Practice Problems, and Answers

Add New Question

Question

Can you find the perimeter if only one side is given?

This answer was written by one of our trained team of researchers who validated it for accuracy and comprehensiveness.

wikiHow Staff Editor

Staff Answer

If you know only 1 side but all 3 angles, you can use the rule of sines to find the remaining sides, then calculate the perimeter. If you know 1 side and 1 angle, you won’t be able to find the perimeter unless you’re dealing with a right triangle. For right triangles, you know that 1 angle is always 90°, so if you know another angle, you can use the sum of angles (180°) to figure out the third one. From there, you can use the laws of sine and cosine to figure out the other sides.
Question

How can you find the perimeter of a triangle if one side is missing?

This answer was written by one of our trained team of researchers who validated it for accuracy and comprehensiveness.

wikiHow Staff Editor

Staff Answer

If it’s a right triangle, you can use the Pythagorean theorem (a2 + b2 = c2) to find the length of the missing side. From there, you can easily calculate the perimeter. For other types of triangles, you can use the law of cosines to find the perimeter if you know 2 sides and at least 1 of the angles.
Question

How can you find the missing side of a triangle given the perimeter?

This answer was written by one of our trained team of researchers who validated it for accuracy and comprehensiveness.

wikiHow Staff Editor

Staff Answer

Since the perimeter is the sum of the lengths of all sides, you can solve for the missing side by subtracting the lengths of the other 2 sides from the perimeter.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

References

About This Article

Article SummaryX

To find the perimeter of a triangle, use the formula perimeter = a + b + c, where a, b, and c are the lengths of the sides of the triangle. For example, if the length of each side of the triangle is 5, you would just add 5 + 5 + 5 and get 15. Therefore, the perimeter of the triangle is 15. If you only know the length of 2 of the triangle’s sides, you can still find the perimeter if it’s a right triangle, which means the triangle has one 90-degree angle. Just use the Pythagorean theorem, which is a^2+ b^2 = c^2, where a and b are the lengths of the known sides and c is the length of the unknown hypotenuse. For example, if the length of the known sides are 3 and 4, you would just add 3^2+ 4^2, or 9 + 16, and get 25. Then, you would take the square root of 25 to find c, which is 5. Therefore, the length of the unknown side is 5. Finally, add all of the side lengths together to find the perimeter. In this case you would add 3 + 4 + 5 and get 12. Therefore, the perimeter of the triangle is 12. If you want to learn how to solve the perimeter of your triangle if you only know 2 sides and an angle, keep reading the article!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 1,731,122 times.

Reader Success Stories

«This was really helpful for me. It was easy to understand, and it gives a lot of information. I really appreciated…» more

Did this article help you?

Источник

По условию задачи нам известно, что все треугольники имеют одинаковые стороны. И это главное, что нам надо запомнить.

Есть один большой треугольник, внутри которого расположено много разных, маленьких. Нам надо вычислить периметр этого большого треугольника, а для этого будем узнавать величину его сторон.

Самый маленький треугольник имеет сторону, равную единице (1).

Помним, что все треугольники равносторонние.

Теперь давайте разбираться дальше.

Этих маленьких треугольников четыре штуки и они прилегают к одной стороне среднего по величине треугольника.

На чертеже видно, что сторона этого среднего треугольника равна двум сторонам маленького треугольника.

1 + 1 = 2

Значит у среднего треугольника сторона равна двум (2).

На нижней линии (стороне) самого большого треугольника расположились:

один самый маленький (со стороной 1) и два средних (со стороной 2).

1 + 2 + 2 = 5

Это значит, что сторона самого большого треугольника равна пяти (5).

Зная, что в каждом треугольнике все стороны равные, значит вычисляем периметр большого сложением трёх одинаковых сторон:

5 + 5 + 5 = 15. Это и есть правильный ответ под буквой (Б).

Источник

Докажите, что любой треугольник, лежащий внутри данного треугольника, имеет периметр, меньший, чем периметр данного треугольника.

Ваш ответ

Похожие вопросы

Треугольник вписанный в окружность

Определение

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

Радиус описанной окружности около треугольника

Площадь треугольника

Периметр треугольника

Сторона треугольника

Средняя линия треугольника

Высота треугольника

Свойства

Доказательство

Формулы определения периметра, площади и сторон треугольника

Классификация треугольников

Описание

Примеры

Видео

1. Как найти периметр треугольника, зная три стороны

2. Как найти периметр треугольника, зная его площадь и радиус вписанной окружности

3. Как вычислить периметр треугольника, зная две стороны и угол между ними

4. Как найти периметр равностороннего треугольника, зная одну сторону

5. Как вычислить периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и основание

6. Как найти периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и высоту

7. Как вычислить периметр прямоугольного треугольника, зная катеты

8. Как найти периметр прямоугольного треугольника, зная катет и гипотенузу

Triangle Perimeter Calculator, Practice Problems, and Answers

References

About This Article

Reader Success Stories

Did this article help you?

Не пропустите также: