Как найти периметр трапеции решение задач - AvtoShod.ru

Как найти периметр трапеции

Содержание:

Основные свойства трапеции
Способы нахождений периметра
- По всем сторонам
- По сторонам равнобедренной трапеции
- Через среднюю линию
Примеры решения задач

Определения

Трапеция — это четырехугольник, у которого лишь одна пара противолежащих сторон параллельна.

Периметр трапеции — это сумма длин всех его сторон.

Основные свойства трапеции

средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, а также равна половине их суммы;

Свойство 1

биссектриса любого угла данного четырехугольника отсекает на его основании отрезок, равный боковой стороне;

Свойство 2

треугольники ABO и DCO (на картинке), образованные диагоналями фигуры и ее основаниями, подобны;

Свойство 3

треугольники OAB и OCD, образованные диагоналями трапеции и ее боковыми сторонами, имеют одинаковую площадь;

Свойство 4

если сумма длин оснований четырехугольника равна сумме его боковых ребер, то в фигуру можно вписать окружность;

Свойство 5

точки M и N середины диагоналей лежат на одной прямой со средней линией фигуры. Также отрезок MN равен полуразность оснований четырехугольника;

Свойство 6

середины оснований фигуры, точка пересечения ее диагоналей, а также точка пересечения продолжений ее боковых сторон лежат на одной прямой;

Свойство 7

Свойства равнобедренной трапеции

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

в равнобедренной трапеции углы при обоих ее основаниях одинаковы;
диагонали равны;
равнобедренную трапецию всегда можно вписать в окружность или описать окружность вокруг;
если диагонали перпендикулярны, то высота фигуры равна полусумме ее оснований.

Способы нахождений периметра

Рассмотрим способы, с помощью которых можно найти сумму длин всех сторон данного четырехугольника.

По всем сторонам

Периметр по всем сторон

Формула для нахождения периметра выглядит так:

P=a+b+c+d

где a, b, c, d — стороны трапеции.

По сторонам равнобедренной трапеции

Периметр по сторон 2

Если нам известны ребра этого четырехугольника с одинаковыми боковыми сторонами, то находить ее P можно по следующей формуле:

(P=2times a+b+c)

или

(P=2times c+a+b)

Через среднюю линию

Так как средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований, то формулу P можно выразить так:

(P=2times l+AB+CD)

где l — средняя линия фигуры.

Примеры решения задач

Давайте рассмотрим наглядные примеры решения задач на нахождение суммы длин всех ребер этой фигуры.

Задача 1

Дана трапеция с боковыми сторонами 4 см и 5 см, а ее основания равны 7 см и 10 см. Найти периметр данного многоугольника.

Решение:

Нам пригодится самая первая формула для расчета:

P=a+b+c+d.

Подставляем значения и получаем:

P=4+7+5+10=26;см.

Ответ: 26 см.

Задача 2

Известно, что у трапеции две боковые стороны равны 7 см, а ее основания равны 5 см и 8 см. Нужно найти P четырехугольника.

Решение:

Так как трапеция равнобедренная, удобнее всего будет использовать формулу:

(P=2times a+b+c)

Таким образом, получается:

(P=2times 7+5+8=27) см.

Ответ: 27 см.

Задача 3

Средняя линия l трапеции равна 6 см, а боковые стороны 5 см и 9 см. Вычислить P фигуры.

Решение:

Считать будем по формуле

(P=2times l+a+c)

(P=2times 6+5+9=26) см.

Ответ: 26 см.

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 3.82 (Голосов: 11)

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Поиск по содержимому

Источник

Определение трапеции

Трапеция — это геометрическая фигура, четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны.

Эти параллельные стороны называют основаниями трапеции. Две другие стороны – это боковые стороны трапеции.

Онлайн-калькулятор периметра трапеции

Трапеции бывают равнобедренные, разносторонние и прямоугольные.
У трапеции есть так называемая средняя линия, которая показана на рисунке ниже. Она параллельна двум основаниям, а также равна их полусумме.

Формула периметра трапеции

Для нахождения периметра трапеции нужно сложить длины всех ее сторон.

Периметр трапеции

P=a+b+c+dP = a + b + c + d,

где a,b,c,da, b, c, d — стороны трапеции.

Рассмотрим задачи на нахождение периметра трапеции.

Задача 1

Найти периметр трапеции, стороны которой равны:

a=c=2a = c = 2 см,
d=5d = 5 см,
b=3b = 3 см.

Решение

Нам дана равнобедренная трапеция, так как две ее стороны одинаковой длины. Также известны все стороны фигуры. Воспользуемся формулой и подставим вместо aa, bb, cc, dd их численные значения:

P=2+3+2+5=12P = 2 + 3 + 2 + 5 = 12 (см).

Ответ: P=12P = 12 см.

Рассмотрим еще одну задачу на вычисление стороны равнобедренной трапеции.

Задача 2

У равнобедренной трапеции основания равны 5 см и 3 см, а ее периметр равен 16 см. Чему равны боковые стороны?

Решение

В данной задаче нам известен периметр равнобедренной трапеции и ее основания: P=16P = 16 см, d=5d = 5 см, b=3b = 3 см, но неизвестны боковые стороны.

Воспользуемся формулой нахождения периметра трапеции, обозначив боковую сторону буквой aa:

P=a+a+b+d=2a+b+dP = a + a + b + d = 2a + b + d

Далее выразим 2a2a и найдем длину боковой стороны:

2a=P−b−d2a = P — b — d

2a=16−3−5=16−8=82a = 16 — 3 — 5 = 16 — 8 = 8

a=82=4a = frac{8}{2} = 4 см.

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 4 см.

Ответ: 4 см.

Не знаете, где заказать контрольную работу онлайн? Наши эксперты помогут вам в выполнении работы!

Тест по теме “Периметр трапеции”

Источник

Периметр трапеции часто нужно определить в задачах по геометрии. Периметр трапеции определяется также как и периметр любой другой фигуры на плоскости:

Периметр плоской фигуры – есть сумма всех сторон фигуры.

Периметр трапеции

Периметр трапеции – есть сумма всех сторон трапеции.

Чему равен периметр равнобедренной трапеции – то же самое – сумме всех ее сторон.

Найти периметр трапеции в задачах ЕГЭ

В задачах ЕГЭ вы найдете периметр трапеции. Например,

Задача 1

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 60. Найдите длину ее средней линии.

Решение:

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противолежащих сторон равны:

АD+CD=DC+AB=P_ABCD /2,

Где P_ABCD – периметр трапеции. В самом деле P_ABCD=AD+CB+DC+AB=2(DC+AB), а значит, DC+AB=P_ABCD /2

Средняя линия трапеции – это полусумма ее оснований, то есть MN=(DC+AB)/2=(P_ABCD /2)/2=P_ABCD /4 = 60/4=15 .

Ответ: 15.

Задача 2

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 44. Найдите длину ее средней линии.

Решение. Рассуждаем аналогично и получаем MN=(DC+AB)/2=(P_ABCD /2)/2=P_ABCD /4 = 44/4=11.

Ответ: 11.

То есть мы сами с вами вывели лайфхак для решения этой задачи:

Лайфхак 1

Если в трапецию вписана окружность, и дан периметр трапеции, то для того чтобы найти среднюю линию трапеции, нужно периметр разделить на 4.

И обратный лайфхак:

Лайфхак 2

Если в трапецию можно вписать окружность, и дана средняя линия трапеции (l), то формула периметра трапеции P:

P=4l

Применим наш лайфхак 1 к решению следующей задачи?

Задача 3

Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 30. Найдите длину ее средней линии.

Вычисление

Делим периметр на 4 и получаем среднюю линию трапеции: 30/4=7,5.

Ответ: 7,5.

Задача 4

Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, ее большая боковая сторона равна 37, найдите радиус окружности.

Решение. Периметр трапеции равен: АD+DC+CB+AB=P_ABCD (1)

В трапецию можно вписать окружность, если суммы длин противоположных сторон равны. То есть, имеем: AD+CB=DC+AB (2)

С учетом (2) равенство (1) можно записать в виде: 2(АD+CB)=P_ABCD (3)

Теперь давайте посмотрим на вот такой рисунок:

Видно, что сторона AD=2R, где R – радиус окружности.

Тогда, AD+CB=2R+37, тогда равенство (3): 2(2R+37)=100.

Решаем уравнение, относительно R:

4R+74=100

4R=100-74

4R=26

R=26/4

R= 6,5

Ответ: 6,5

Задача 5

Из сборника ЕГЭ по математике профильный уровень 2020 год вариант 19 задание 6.
Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 28. Найдите длину ее средней линии.
Решение: пользуясь лайфхаком, который мы вывели выше, вычисляем длину средней линии трепеции: делим периметр трапеции на 4.
Получаем 28:4=7
Ответ: 7.

Источник

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно посчитать периметр трапеции и разберем примеры решения задач.

Формула вычисления периметра
Примеры задач

Формула вычисления периметра

Периметр (P) трапеции равняется сумме длин всех ее сторон.

P = a + b + c + d

b и d – основания трапеции;
a и с – ее боковые стороны.

Периметр равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны (a=c), из-за чего ее, также, называют равнобокой. Периметр считается так:

P = 2a + b + d или P = 2с + b + d

Периметр прямоугольной трапеции

Для расчета периметра используется такая же формула, что и для разносторонней трапеции.

P = a + b + c + d

Примеры задач

Задание 1
Найдите периметр трапеции, если ее основания равны 7 и 10 см, а боковые стороны – 4 и 5 см.

Решение:
Используем стандартную формулу, подставив в нее известные нам длины сторон: P = 7 см + 10 см + 4 см + 5 см = 26 см.

Задание 2
Периметр равнобедренной трапеции равняется 22 см. Найдите длину боковой стороны, если основания фигуры равны 3 см и 9 см.

Решение:
Как мы знаем, периметр равнобедренной трапеции вычисляется по формуле: P = 2a + b + d, где а – боковая сторона.
Ее длина, умноженная на два равна: 2a = P – b – d = 22 см – 3 см – 9 см = 10 см.
Следовательно, длина боковой стороны составляет: a = 10 см / 2 = 5 см.

Источник

Загрузить PDF

Трапеция – это четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Чтобы найти периметр трапеции, нужно сложить длины всех четырех сторон. Зачастую в задачах длины некоторых сторон не даны, но известны другие величины, например, высота или угол трапеции. При помощи известных величин, а также геометрических и тригонометрических правил можно найти неизвестные стороны трапеции.

1

Запишите формулу для вычисления периметра трапеции. Формула: , где – периметр, – верхнее основание, – нижнее основание, – левая боковая сторона, – правая боковая сторона.^[1]
2
В формулу подставьте известные длины сторон. Не используйте этот метод, если не даны значения всех четырех сторон.
- Например, верхнее основание трапеции равно 2 см, нижнее основание равно 3 см, а каждая боковая сторона равна 1 см. В этом случае формула примет следующий вид:
3

Сложите длины сторон. Так вы найдете периметр трапеции.

Реклама

1
Разбейте трапецию на прямоугольник и два прямоугольных треугольника. Для этого из каждой вершины трапеции проведите высоту.
- Если одна сторона трапеции перпендикулярна основаниям, вы не сможете получить два прямоугольных треугольника. В этом случае боковая сторона, перпендикулярная основаниям, равна высоте, а трапеция разбивается на прямоугольник и один прямоугольный треугольник.
2
Обозначьте каждую высоту. Так как высоты являются противоположными сторонами прямоугольника, они равны.^[2]
- Например, высота трапеции равна 6 см. Из вершин трапеции проведите две высоты (к нижнему основанию). Возле каждой высоты напишите «6 см» (без кавычек).
3
Обозначьте среднюю часть нижнего основания (она является нижней стороной прямоугольника). Эта часть равна верхнему основанию (то есть верхней стороне прямоугольника), так как противоположные стороны прямоугольника равны.^[3] Не используйте этот метод, если не дано значение верхнего основания.
- Например, если верхнее основание трапеции равно 6 см, то средняя часть нижнего основания также равна 6 см.
4

Запишите теорему Пифагора для первого прямоугольного треугольника. Формула: $a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ , где – гипотенуза треугольника (сторона, противоположная прямому углу), – высота треугольника, – основание треугольника.^[4]
5
6

Возведите в квадрат известные значения. Затем при помощи вычитания обособьте переменную .
7

Извлеките квадратный корень, чтобы найти . (Чтобы получить информацию об упрощении квадратных корней, прочитайте эту статью.) Вы найдете основание первого прямоугольного треугольника. Напишите найденное значение под основанием соответствующего треугольника.
8

Найдите неизвестную сторону второго прямоугольного треугольника. Для этого запишите теорему Пифагора для второго треугольника и действуйте так, как описано выше. Если дана равнобедренная трапеция, у которой боковые стороны равны,^[5]то два прямоугольных треугольника являются равными, то есть любая сторона одного треугольника равна соответствующей стороне другого.
9

Сложите значения всех сторон трапеции. Периметр любого многоугольника равен сумме всех его сторон:. Нижнее основание трапеции равно сумме нижней стороны прямоугольника и оснований двух треугольников. В интернете поищите информацию о том, как складывать квадратные корни, или просто воспользуйтесь калькулятором, чтобы преобразовать квадратные корни в десятичные дроби.

Реклама

1
Разбейте трапецию на прямоугольник и два прямоугольных треугольника. Для этого из каждой вершины трапеции проведите высоту.
- Если одна сторона трапеции перпендикулярна основаниям, вы не сможете получить два прямоугольных треугольника. В этом случае боковая сторона, перпендикулярная основаниям, равна высоте, а трапеция разбивается на прямоугольник и один прямоугольный треугольник.
2
Обозначьте каждую высоту. Так как высоты являются противоположными сторонами прямоугольника, они равны.^[6]
- Например, высота трапеции равна 6 см. Из вершин трапеции проведите две высоты (к нижнему основанию). Возле каждой высоты напишите «6 см» (без кавычек).
3
Обозначьте среднюю часть нижнего основания (она является нижней стороной прямоугольника). Эта часть равна верхнему основанию (то есть верхней стороне прямоугольника), так как противоположные стороны прямоугольника равны.^[7]
- Например, если верхнее основание трапеции равно 6 см, то средняя часть нижнего основания также равна 6 см.
4
5
В формулу синуса подставьте известные величины. Вместо противоположной стороны подставьте высоту треугольника. Вы найдете гипотенузу, то есть боковую сторону трапеции.
- Например, если нижний угол трапеции равен 35 градусов, а высота треугольника равна 6 см, то формула запишется так:
  $sin(35)={frac {6}{H}}$
6
Найдите синус угла. Это делается при помощи научного калькулятора, а именно клавиши SIN. Найденное значение подставьте в формулу.
- При помощи калькулятора вы найдете, что синус угла в 35 градусов приблизительно равен 0,5738. Таким образом, формула примет следующий вид:
  $0,5738={frac {6}{H}}$
7

Найдите переменную H. Для этого каждую сторону уравнения (формулы) умножьте на Н, а затем каждую сторону уравнения разделите на синус угла. Или просто разделите высоту треугольника на синус угла.
8

Найдите гипотенузу второго прямоугольного треугольника. Напишите функцию (формулу) синуса угла второго прямоугольного треугольника: $sin theta ={frac {B}{H}}$ . Так вы найдете гипотенузу второго треугольника, которая является второй боковой стороной трапеции.
9

Запишите теорему Пифагора для первого прямоугольного треугольника. Формула: $a^{{2}}+b^{{2}}=c^{{2}}$ , где – гипотенуза треугольника (сторона, противоположная прямому углу), – высота треугольника.
10
11

Найдите . Вы получите основание первого прямоугольного треугольника, которое является первой неизвестной частью нижнего основания трапеции.
12
13
Сложите значения всех сторон трапеции. Периметр любого многоугольника равен сумме всех его сторон:. Нижнее основание трапеции равно сумме нижней стороны прямоугольника и оснований двух треугольников.
- В нашем примере:
  Таким образом, приблизительный периметр трапеции равен 45,5059 см.
Реклама

Советы

Для специальных прямоугольных треугольников (треугольник 30-60-90^[8] или треугольник 90-45-45^[9]) существуют формулы, при помощи которых можно найти неизвестные стороны без использования функции синуса или теоремы Пифагора.
Чтобы найти синус угла, воспользуйтесь научным калькулятором – введите угол, а затем нажмите клавишу SIN. Или используйте тригонометрические таблицы.^[10]

Что вам понадобится

Калькулятор
Карандаш
Бумага

Об этой статье

Эту страницу просматривали 119 038 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник