Как найти параметр экспоненциального распределения

Экспоненциально распределенная случайная величина

На странице Непрерывная случайная величина мы разобрали примеры решений для произвольно заданных законов распределения (многочлены, логарифмы и т.п.). Здесь же мы разберем примеры только для одного типа СВ — распределенных по показательному (или экспоненциальному) закону.

Плотность распределения величины $X$ с экспоненциальным законом распределения задается формулой:

$$
f(x)=
left{
begin{array}{l}
0, x lt 0\
lambda e^{-lambda x}, xge 0 \
end{array}
right.
$$

Функция распределения величины $X$:

$$
F(x)=
left{
begin{array}{l}
0, x lt 0\
1- e^{-lambda x}, xge 0 \
end{array}
right.
$$

Здесь $lambda$ — единственный параметр данного распределения, полностью определяющий его свойства. В частности, числовые характеристики выражаются через этот параметр: $M(X)=1/lambda$, $D(X)=1/lambda^2$.

Экспоненциальное распределение моделирует время между двумя последовательными свершениями события, а параметр $lambda$ описываетс среднее число наступлений события в единицу времени. Обычно с помощью этого закона описывают: продолжительность обслуживания покупателя, время жизни оборудования до отказа, промежуток времени между поломками и т.п.

В этом разделе мы приведем разные примеры задач с полным решением, где используются показательно распределенные случайные величины.

Примеры решений

Задача 1. Среднее время безотказной работы прибора равно 80 часов. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти:
а) выражение его плотности вероятности и функции распределения;
б) вероятность того, что в течение 100 часов прибор не выйдет из строя.

Задача 2. Известно, что время работы прибора до первого отказа подчиняется показательному распределению со средним значением 1 год. Какова вероятность, что до первого отказа пройдет не менее 2 лет?

Задача 3. Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина $X$, распределенная по показательному закону с параметром $lambda=1/3$ (1/день). Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 5 дней.

Задача 4. Время в годах безотказной работы прибора подчинено показательному закону, т.е. плотность распределения этой случайной величины такова: $f(t)=2e^{-2t}$ при $tge 0$ и $f(t)=0$ при $tlt 0$.
1) Найти формулу функции распределения этой случайной величины.
2) Определить вероятность того, что прибор проработает не более года.
3) Определить вероятность того, что прибор безотказно проработает 3 года.
4) Определить среднее ожидаемое время безотказной работы прибора.

Задача 5. Предполагая, что случайное время обслуживания абонента службой «09» распределено по показательному закону и средняя продолжительность обслуживания составляет 1,5 минуты, найдите вероятность того, что абонент будет обслужен более, чем за 2 минуты.

Задача 6. Длительность телефонного разговора подчиняется показательному закону. Найти среднюю длительность разговора, если вероятность того, что разговор продлится более 5 минут, равна 0,4.

Задача 7. Случайная величина задана плотностью распределения $p(x)=ce^{-3x}$ при $x gt 0$, и ноль в остальных случаях. Найти постоянную $c$, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Задача 8. Непрерывная случайная величина $xi$ распределена по показательному закону с параметром $lambda$, равному номеру варианта 9. Найти плотность распределения случайной величины $xi$, функцию распределения, построить графики этих функций. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины $xi$ и вероятность того, что $xi$ принимает значения, меньшие своего математического ожидания.

Задача 9. Случайная величина $xi$ распределена по показательному закону с параметром 2. Найти $M_{xi}$, $D_{xi}$ вероятность попадания $xi$ в интервал $(-1;2)$. Нарисовать графики плотности распределения и функции распределения $xi$.

Задача 10. Известно, что $Х$ распределено по экспоненциальному закону $Exp(lambda)$. Найдите вероятность события $|Х — МХ | lt 3sigma$ («правило $3sigma$» для показательного распределения).

Решебник по теории вероятности онлайн

Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:

Непрерывная
случайная величина X
называется распределенной по
показательному закону, если ее плотность
распределения вероятности задается
формулой:

где
λ — некоторое положительное число.

Функция
распределения имеет вид:

По
показательному закону распределены –
время безотказной работы элементов
различных приборов, время обслуживания
заявок в системе массового обслуживания,
случайные отрезки времени между
последовательными наступлениями редких
событий.

λ

— интенсивность потока событий (число
событий в единицу времени).

Задание
2.
Непрерывная случайная величина X
распределена по показательному закону
с параметром λ
= 0,5.
Постройте функцию и плотность
распределения вероятностей случайной
величины. Вычислите вероятность попадания
X

в интервал (2, 5).

1. Построение таблицы плотности и функции распределения показательного закона.

Таблица
показана на рис. 11.

В
ячейке A2
находится значение параметра λ
= 0,5.

В
столбце B2:B12
размещены значения переменной X.

В
ячейку C2
занесена формула ЭКСПРАСП(B2;
$A$2;
0).

Как
обратиться к библиотеке функций Excel,
занести формулу ЭКСПРАСП в ячейку и
заполнить поля ввода – известно.

Функция
ЭКСПРАСП вычисляет значения функции
распределения

или функция плотности f(x)
экспоненциального
(показательного) распределения,
соответствующие заданному значению
аргумента
x.

Функция
ЭКСПРАСП имеет следующий синтаксис:

ЭКСПРАСП(x;
лямбда; интегральная)

x
–
заданное значение аргумента, для которой
вычисляется функция распределения

или функция плотности f(x);

лямбда
– параметр показательного распределения
λ;

интегральная
– логическая переменная, принимающая
значения 0
или 1:

—
если логической переменной интегральная
задать значение 0
, то функция ЭКСПРАСП вычислят плотность
показательного распределения f(x);

—
если логической переменной задать
значение 1,
то
вычисляется
функция распределения F(x).

Формула
ЭКСПРАСП(B2;
$A$2;
0),
занесенная в ячейку C2,
размножена на ячейки всего столбца
C2:C12.

В
ячейку D2,
для получения значения функции
распределения F(x),
занесена формула ЭКСПРАСП(B2;
$A$2;
1)

Далее
формула ЭКСПРАСП(B2;
$A$2;
1),
находящаяся в ячейке D2,
размножена на весь столбец D2:D12.

Рис.
11. Таблица значений плотности
показательного распределения f(x)
и функции
распределения F(x)
для заданного значения параметра λ
= 0,5

2.
Построение графика плотности
распределения и графика функции
распределения вероятностей не должно
вызвать затруднений.

Рис.
12. Графики функции плотности
показательного распределения f(x)
и функции распределения F(x)

3.
Вычисление вероятности попадания
случайной величины в интервал (2, 5).

Составьте
программу вычислений как показано на
рис. 13.

Рис.
13. Вычислите вероятность попадания
случайная величина в интервал (2, 5),

λ
= 0,5
– параметр показательного распределения

x₁
= 2, x₂
= 5.

ЭКСПРАСП(C15;
A15;
1)- ЭКСПРАСП(B15;
A15;
1) = 0,28579

Проверьте
вычисления в Excel?
Используя аналитические вычисления:

Отчет
в Excel
должен содержать таблицы, показанные
в приложении 1.

Приложение
1

Приложение
2.

Отчет

Лабораторная
работа №4.
Законы
распределения непрерывных случайных
величин.

Группа
190-2.
Мельников Иван Л. Вариант №5.

Отчет
должен содержать тексты заданий, исходные
данные и распечатки вычислений в Excel
как показано в приложении 1.

Дата
сдачи работы:

Проверил:

Приложение
3

Варианты
лабораторной работы №4

Задание
1.
Непрерывная случайная величина X
распределена по нормальному закону
с параметрами m,
σ.
Построить функцию распределения и
плотность распределения вероятностей.
Вычислить вероятность попадания
случайная величина в интервал (a,
b).

Задание
2.
Непрерывная случайная величина X
распределена по показательному закону
с параметрами λ.
Построить функцию распределения и
плотность распределения вероятностей
случайная величина. Вычислить вероятность
попадания случайная величина X

в интервал (a,
b).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Not to be confused with the exponential family of probability distributions.

Probability density function
Cumulative distribution function
Parameters	rate, or inverse scale
Support
PDF
CDF
Quantile
Mean
Median
Mode
Variance
Skewness
Ex. kurtosis
Entropy
MGF
CF
Fisher information
Kullback-Leibler divergence
CVaR (ES)
bPOE

In probability theory and statistics, the exponential distribution or negative exponential distribution is the probability distribution of the time between events in a Poisson point process, i.e., a process in which events occur continuously and independently at a constant average rate. It is a particular case of the gamma distribution. It is the continuous analogue of the geometric distribution, and it has the key property of being memoryless. In addition to being used for the analysis of Poisson point processes it is found in various other contexts.

The exponential distribution is not the same as the class of exponential families of distributions. This is a large class of probability distributions that includes the exponential distribution as one of its members, but also includes many other distributions, like the normal, binomial, gamma, and Poisson distributions.

Definitions[edit]

Probability density function[edit]

The probability density function (pdf) of an exponential distribution is

Here λ > 0 is the parameter of the distribution, often called the rate parameter. The distribution is supported on the interval [0, ∞). If a random variable X has this distribution, we write X ~ Exp(λ).

The exponential distribution exhibits infinite divisibility.

Cumulative distribution function[edit]

The cumulative distribution function is given by

Alternative parametrization[edit]

The exponential distribution is sometimes parametrized in terms of the scale parameter β = 1/λ, which is also the mean:

Properties[edit]

Mean, variance, moments, and median[edit]

The mean or expected value of an exponentially distributed random variable X with rate parameter λ is given by

In light of the examples given below, this makes sense: if you receive phone calls at an average rate of 2 per hour, then you can expect to wait half an hour for every call.

The variance of X is given by

so the standard deviation is equal to the mean.

The moments of X, for are given by

The central moments of X, for are given by

where !n is the subfactorial of n

The median of X is given by

where ln refers to the natural logarithm. Thus the absolute difference between the mean and median is

in accordance with the median-mean inequality.

Memorylessness property of exponential random variable[edit]

An exponentially distributed random variable T obeys the relation

This can be seen by considering the complementary cumulative distribution function:

When T is interpreted as the waiting time for an event to occur relative to some initial time, this relation implies that, if T is conditioned on a failure to observe the event over some initial period of time s, the distribution of the remaining waiting time is the same as the original unconditional distribution. For example, if an event has not occurred after 30 seconds, the conditional probability that occurrence will take at least 10 more seconds is equal to the unconditional probability of observing the event more than 10 seconds after the initial time.

The exponential distribution and the geometric distribution are the only memoryless probability distributions.

The exponential distribution is consequently also necessarily the only continuous probability distribution that has a constant failure rate.

Quantiles[edit]

The quantile function (inverse cumulative distribution function) for Exp(λ) is

The quartiles are therefore:

• first quartile: ln(4/3)/λ
• median: ln(2)/λ
• third quartile: ln(4)/λ

And as a consequence the interquartile range is ln(3)/λ.

Conditional Value at Risk (Expected Shortfall)[edit]

The conditional value at risk (CVaR) also known as the expected shortfall or superquantile for Exp(λ) is derived as follows:^[1]

Buffered Probability of Exceedance (bPOE)[edit]

The buffered probability of exceedance is one minus the probability level at which the CVaR equals the threshold . It is derived as follows:^[1]

Kullback–Leibler divergence[edit]

The directed Kullback–Leibler divergence in nats of («approximating» distribution) from (‘true’ distribution) is given by

Maximum entropy distribution[edit]

Among all continuous probability distributions with support [0, ∞) and mean μ, the exponential distribution with λ = 1/μ has the largest differential entropy. In other words, it is the maximum entropy probability distribution for a random variate X which is greater than or equal to zero and for which E[X] is fixed.^[2]

Distribution of the minimum of exponential random variables[edit]

Let X₁, …, X_n be independent exponentially distributed random variables with rate parameters λ₁, …, λ_n. Then

is also exponentially distributed, with parameter

This can be seen by considering the complementary cumulative distribution function:

The index of the variable which achieves the minimum is distributed according to the categorical distribution

A proof can be seen by letting . Then,

Note that

is not exponentially distributed, if X₁, …, X_n do not all have parameter 0.^[3]

Joint moments of i.i.d. exponential order statistics[edit]

Let be independent and identically distributed exponential random variables with rate parameter λ.
Let denote the corresponding order statistics.
For , the joint moment of the order statistics and is given by

This can be seen by invoking the law of total expectation and the memoryless property:

The first equation follows from the law of total expectation.
The second equation exploits the fact that once we condition on , it must follow that . The third equation relies on the memoryless property to replace with .

Sum of two independent exponential random variables[edit]

The probability distribution function (PDF) of a sum of two independent random variables is the convolution of their individual PDFs. If and are independent exponential random variables with respective rate parameters and then the probability density of is given by

The entropy of this distribution is available in closed form: assuming (without loss of generality), then

where is the Euler-Mascheroni constant, and is the digamma function.^[4]

In the case of equal rate parameters, the result is an Erlang distribution with shape 2 and parameter which in turn is a special case of gamma distribution.

[edit]

• If X ~ Laplace(μ, β⁻¹), then |X − μ| ~ Exp(β).
• If X ~ Pareto(1, λ), then log(X) ~ Exp(λ).
• If X ~ SkewLogistic(θ), then .
• If X_i ~ U(0, 1) then

  

• The exponential distribution is a limit of a scaled beta distribution:

  

• Exponential distribution is a special case of type 3 Pearson distribution.
• If X ~ Exp(λ) and X_i ~ Exp(λ_i) then:
  • , closure under scaling by a positive factor.
  • 1 + X ~ BenktanderWeibull(λ, 1), which reduces to a truncated exponential distribution.
  • ke^X ~ Pareto(k, λ).
  • e^−X ~ Beta(λ, 1).
  • 1/ke^X ~ PowerLaw(k, λ)
  • , the Rayleigh distribution
  • , the Weibull distribution
  • 
  • μ − β log(λX) ∼ Gumbel(μ, β).
  • , a geometric distribution on 0,1,2,3,…
  • , a geometric distribution on 1,2,3,4,…
  • If also Y ~ Erlang(n, λ) or then
  • If also λ ~ Gamma(k, θ) (shape, scale parametrisation) then the marginal distribution of X is Lomax(k, 1/θ), the gamma mixture
  • λ₁X₁ − λ₂Y₂ ~ Laplace(0, 1).
  • min{X₁, …, X_n} ~ Exp(λ₁ + … + λ_n).
  • If also λ_i = λ then:
  • If also X_i are independent, then:
  • If also λ = 1:
  • If also λ = 1/2 then X ∼ χ²
    ₂; i.e., X has a chi-squared distribution with 2 degrees of freedom. Hence:

    

• If and ~ Poisson(X) then (geometric distribution)
• The Hoyt distribution can be obtained from exponential distribution and arcsine distribution
• The exponential distribution is a limit of the κ-exponential distribution in the case.
• Exponential distribution is a limit of the κ-Generalized Gamma distribution in the and cases:

  

Other related distributions:

• Hyper-exponential distribution – the distribution whose density is a weighted sum of exponential densities.
• Hypoexponential distribution – the distribution of a general sum of exponential random variables.
• exGaussian distribution – the sum of an exponential distribution and a normal distribution.

Statistical inference[edit]

Below, suppose random variable X is exponentially distributed with rate parameter λ, and are n independent samples from X, with sample mean .

Parameter estimation[edit]

The maximum likelihood estimator for λ is constructed as follows.

The likelihood function for λ, given an independent and identically distributed sample x = (x₁, …, x_n) drawn from the variable, is:

where:

is the sample mean.

The derivative of the likelihood function’s logarithm is:

Consequently, the maximum likelihood estimate for the rate parameter is:

This is not an unbiased estimator of although is an unbiased^[6] MLE^[7] estimator of and the distribution mean.

The bias of is equal to

which yields the bias-corrected maximum likelihood estimator

An approximate minimizer of mean squared error (see also: bias–variance tradeoff) can be found, assuming a sample size greater than two, with a correction factor to the MLE:

This is derived from the mean and variance of the inverse-gamma distribution, .^[8]

Fisher information[edit]

The Fisher information, denoted , for an estimator of the rate parameter is given as:

Plugging in the distribution and solving gives:

This determines the amount of information each independent sample of an exponential distribution carries about the unknown rate parameter .

Confidence intervals[edit]

The 100(1 − α)% confidence interval for the rate parameter of an exponential distribution is given by:^[9]

which is also equal to:

where χ²
_p,v is the 100(p) percentile of the chi squared distribution with v degrees of freedom, n is the number of observations of inter-arrival times in the sample, and x-bar is the sample average. A simple approximation to the exact interval endpoints can be derived using a normal approximation to the χ²
_p,v distribution. This approximation gives the following values for a 95% confidence interval:

This approximation may be acceptable for samples containing at least 15 to 20 elements.^[10]

Bayesian inference[edit]

The conjugate prior for the exponential distribution is the gamma distribution (of which the exponential distribution is a special case). The following parameterization of the gamma probability density function is useful:

The posterior distribution p can then be expressed in terms of the likelihood function defined above and a gamma prior:

Now the posterior density p has been specified up to a missing normalizing constant. Since it has the form of a gamma pdf, this can easily be filled in, and one obtains:

Here the hyperparameter α can be interpreted as the number of prior observations, and β as the sum of the prior observations.
The posterior mean here is:

Occurrence and applications[edit]

Occurrence of events[edit]

The exponential distribution occurs naturally when describing the lengths of the inter-arrival times in a homogeneous Poisson process.

The exponential distribution may be viewed as a continuous counterpart of the geometric distribution, which describes the number of Bernoulli trials necessary for a discrete process to change state. In contrast, the exponential distribution describes the time for a continuous process to change state.

In real-world scenarios, the assumption of a constant rate (or probability per unit time) is rarely satisfied. For example, the rate of incoming phone calls differs according to the time of day. But if we focus on a time interval during which the rate is roughly constant, such as from 2 to 4 p.m. during work days, the exponential distribution can be used as a good approximate model for the time until the next phone call arrives. Similar caveats apply to the following examples which yield approximately exponentially distributed variables:

• The time until a radioactive particle decays, or the time between clicks of a Geiger counter
• The time it takes before your next telephone call
• The time until default (on payment to company debt holders) in reduced-form credit risk modeling

Exponential variables can also be used to model situations where certain events occur with a constant probability per unit length, such as the distance between mutations on a DNA strand, or between roadkills on a given road.

In queuing theory, the service times of agents in a system (e.g. how long it takes for a bank teller etc. to serve a customer) are often modeled as exponentially distributed variables. (The arrival of customers for instance is also modeled by the Poisson distribution if the arrivals are independent and distributed identically.) The length of a process that can be thought of as a sequence of several independent tasks follows the Erlang distribution (which is the distribution of the sum of several independent exponentially distributed variables).
Reliability theory and reliability engineering also make extensive use of the exponential distribution. Because of the memoryless property of this distribution, it is well-suited to model the constant hazard rate portion of the bathtub curve used in reliability theory. It is also very convenient because it is so easy to add failure rates in a reliability model. The exponential distribution is however not appropriate to model the overall lifetime of organisms or technical devices, because the «failure rates» here are not constant: more failures occur for very young and for very old systems.

In physics, if you observe a gas at a fixed temperature and pressure in a uniform gravitational field, the heights of the various molecules also follow an approximate exponential distribution, known as the Barometric formula. This is a consequence of the entropy property mentioned below.

In hydrology, the exponential distribution is used to analyze extreme values of such variables as monthly and annual maximum values of daily rainfall and river discharge volumes.^[12]

The blue picture illustrates an example of fitting the exponential distribution to ranked annually maximum one-day rainfalls showing also the 90% confidence belt based on the binomial distribution. The rainfall data are represented by plotting positions as part of the cumulative frequency analysis.

In operating-rooms management, the distribution of surgery duration for a category of surgeries with no typical work-content (like in an emergency room, encompassing all types of surgeries).

Prediction[edit]

Having observed a sample of n data points from an unknown exponential distribution a common task is to use these samples to make predictions about future data from the same source. A common predictive distribution over future samples is the so-called plug-in distribution, formed by plugging a suitable estimate for the rate parameter λ into the exponential density function. A common choice of estimate is the one provided by the principle of maximum likelihood, and using this yields the predictive density over a future sample x_n+1, conditioned on the observed samples x = (x₁, …, x_n) given by

The Bayesian approach provides a predictive distribution which takes into account the uncertainty of the estimated parameter, although this may depend crucially on the choice of prior.

A predictive distribution free of the issues of choosing priors that arise under the subjective Bayesian approach is

which can be considered as

1. a frequentist confidence distribution, obtained from the distribution of the pivotal quantity ;^[13]
2. a profile predictive likelihood, obtained by eliminating the parameter λ from the joint likelihood of x_n+1 and λ by maximization;^[14]
3. an objective Bayesian predictive posterior distribution, obtained using the non-informative Jeffreys prior 1/λ;
4. the Conditional Normalized Maximum Likelihood (CNML) predictive distribution, from information theoretic considerations.^[15]

The accuracy of a predictive distribution may be measured using the distance or divergence between the true exponential distribution with rate parameter, λ₀, and the predictive distribution based on the sample x. The Kullback–Leibler divergence is a commonly used, parameterisation free measure of the difference between two distributions. Letting Δ(λ₀||p) denote the Kullback–Leibler divergence between an exponential with rate parameter λ₀ and a predictive distribution p it can be shown that

where the expectation is taken with respect to the exponential distribution with rate parameter λ₀ ∈ (0, ∞), and ψ( · ) is the digamma function. It is clear that the CNML predictive distribution is strictly superior to the maximum likelihood plug-in distribution in terms of average Kullback–Leibler divergence for all sample sizes n > 0.

Random variate generation[edit]

A conceptually very simple method for generating exponential variates is based on inverse transform sampling: Given a random variate U drawn from the uniform distribution on the unit interval (0, 1), the variate

has an exponential distribution, where F⁻¹ is the quantile function, defined by

Moreover, if U is uniform on (0, 1), then so is 1 − U. This means one can generate exponential variates as follows:

Other methods for generating exponential variates are discussed by Knuth^[16] and Devroye.^[17]

A fast method for generating a set of ready-ordered exponential variates without using a sorting routine is also available.^[17]

See also[edit]

• Dead time – an application of exponential distribution to particle detector analysis.
• Laplace distribution, or the «double exponential distribution».
• Relationships among probability distributions
• Marshall–Olkin exponential distribution

References[edit]

External links[edit]

• «Exponential distribution», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Online calculator of Exponential Distribution