Производная положительна только тогда, когда функция возрастает. То есть, нам необходимо найти точки, в которых функция растет. Смотрим на график нашей функции: функция растет на промежутках: от (x=-7) до (x=0) и от (x = 6) до (x=12).
Так как по условию нам нужны только ЦЕЛЫЕ точки, в которых производная положительна, то это будут: (x=—6); (x=-5), (x=-4), (x=-3), (x=-2), (x=-1), (x=7), (x=8), (x=9), (x=10), (x=11). Всего точек получилось (11). Я отметил их зеленым цветом.
Обратите внимание, что точки (x=-7), (x=0), (x=6), (x=12) мы не считаем, так как в этих точках у нас будут минимумы и максимумы функции, а в них производная равна нулю, то есть не положительна.
Ответ: (11.)
Пример 2
На рисунке 6 изображен график функции, определенной на промежутке ((-10;12)). Найдите количество точек, в которых производная функции равна нулю.
Версия для печати и копирования в MS Word
1
На рисунке изображен график функции определенной на интервале
Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
2
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−1; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
3
Задания Д2 № 6423
На рисунке изображен график функции определенной на интервале
Определите количество целых точек, в которых производная функции
отрицательна.
4
Задания Д2 № 6871
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
5
Задания Д2 № 6873
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
6
Задания Д2 № 6875
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
7
Задания Д2 № 6881
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
8
Задания Д2 № 6897
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
9
Задания Д2 № 6899
На рисунке изображен график функции определенной на интервале
Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
10
Задания Д2 № 6903
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
11
Задания Д2 № 6907
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
12
Задания Д2 № 6909
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
13
Задания Д2 № 6919
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
14
Задания Д2 № 6927
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
15
Задания Д2 № 6931
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
16
Задания Д2 № 6933
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
17
Задания Д2 № 6937
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
18
Задания Д2 № 6939
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
19
Задания Д2 № 6943
На рисунке изображен график функции определенной на интервале
Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
20
Задания Д2 № 6949
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
21
Задания Д2 № 6955
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
22
Задания Д2 № 6957
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
23
Задания Д2 № 6959
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
24
Задания Д2 № 6963
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
25
Задания Д2 № 6967
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
26
Задания Д2 № 6969
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
27
Задания Д2 № 6973
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
28
Задания Д2 № 6977
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
29
Задания Д2 № 6983
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
30
Задания Д2 № 6989
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
31
Задания Д2 № 6991
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
32
Задания Д2 № 6993
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
33
Задания Д2 № 6995
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
34
Задания Д2 № 7003
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
35
Задания Д2 № 7005
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
36
Задания Д2 № 7011
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
37
Задания Д2 № 7017
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
38
Задания Д2 № 7019
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
39
Задания Д2 № 7021
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
40
Задания Д2 № 7025
На рисунке изображен график функции определенной на интервале
Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
41
Задания Д2 № 7029
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
42
Задания Д2 № 7031
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
43
Задания Д2 № 7037
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
44
Задания Д2 № 7039
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
45
Задания Д2 № 7041
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
46
Задания Д2 № 7043
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
47
Задания Д2 № 7047
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
48
Задания Д2 № 7049
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
49
Задания Д2 № 7059
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
50
Задания Д2 № 7061
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
51
Задания Д2 № 7063
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
52
Задания Д2 № 7067
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
53
Задания Д2 № 7073
На рисунке изображен график функции
определенной на интервале
Определите количество целых точек,
в которых производная функции
отрицательна.
На этой странице вы узнаете
- Где проходит граница между теплом и холодом?
- Почему успех фильма не всегда зависит от наличия экшн-сцен?
- Чем кофе похож на функцию, ее первообразную и производную?
Многие из нас чем-то похожи на родителей. Не являясь их точной копией, мы перенимаем определенные черты. То же самое происходит и с графиками. О том, какие особенности “наследуют” друг у друга графики функции, производной и первообразной, поговорим в статье.
Связь графика функции и производной
Подготовим карандаши и линейки, мы начинаем погружение в мир графиков. Почему графики — это круто? Они дают нам наглядное представление о функции. Мы можем проанализировать ее, не прибегая к сложным формулам и трудоемким вычислениям.
Воспринимать визуальную информацию всегда легче. А графики — это как раз визуальное описание функции.
Возьмем график произвольной функции.
Прежде чем приступать к дальнейшему изучению материала, рекомендуем ознакомиться с «Определением и графиком функции», а также «Производной».
Мы точно видим, на каких промежутках график будет возрастать, а на каких убывать. Если представить, что мы пойдем по направлению оси х, то график будет возрастать на подъемах в горку и убывать на спусках с нее. Отметим промежутки возрастания зеленым фоном, а промежутки убывания красным.
В зеленых промежутках производная будет положительна, а в красных отрицательна. Пока что просто запомним этот факт.
Обратим внимание на границы между зелеными и красными зонами. В этих точках функция будет менять свой знак с положительного на отрицательный или обратно. Такие точки называются точками экстремума.
Экстремум — это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции на заданном отрезке.
Точки экстремума — точки, в которых достигается экстремум.
В точках экстремума производная равна 0.
Теперь попробуем построить примерный график производной. Для начала опустим точки экстремума. Где они будут лежать на графике производной? На оси х.
Вспомним, что в точках экстремума производная функции будет равна 0. Пусть график будет задан
y = f'(x), тогда в точках экстремума получаем y = 0. Это и есть ось х.
Так мы получили целых 9 точек, через которые пройдет производная. Осталось провести через них примерный график.
Вспомним, что:
- производная положительна на промежутках возрастания функции;
- производная отрицательна на промежутках убывания функции.
Как понять, что все точки на графике производной будут положительны или отрицательны? Достаточно посмотреть на то, с какой стороны от оси х они располагаются.
Положительные значения всегда будут лежать выше оси х. Это связано со значением y: значения функции будут положительны при положительных значениях у, и отрицательны при отрицательных значениях у.
Можно представить, что ось х — это полюс, который разделяет тропики и льды. Над осью х всегда будет светить солнце, а температура будет положительной. А вот под осью х всегда будут льды и снега, и температура — отрицательной.
Следовательно, знак производной на ее графике будет совпадать со знаком температуры в тропиках или льдах.
Итак, как нам нарисовать график производной? На зеленых участках ее график будет лежать над осью х, а на красных участках — под ней.
Подведем итоги:
- В точках экстремума функции график производной будет проходить через ось х.
- На промежутках возрастания функции график производной будет лежать выше оси х.
- На промежутках убывания функции график производной будет лежать ниже оси х.
Эти зависимости можно отследить на любых графиках функции и ее производной.
Если провести обратные рассуждения, то по графику производной можно восстановить примерный график функции. В этом случае:
- В точках, где график производной пересекает ось х, будут лежать точки экстремума. При этом если в точке производная меняет значение с положительного на отрицательное, то это точка максимума, а если с отрицательного на положительное, то это точка минимума.
- На промежутках, где график производной будет лежать выше оси х, функция будет возрастать.
- На промежутках, где график производной будет лежать ниже оси х, функция будет убывать.
Разберем несколько примеров, где можно применить эти знания.
Пример 1. На рисунке изображен график функции f(x) и отмечены пять точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?
Решение. Производная отрицательна на промежутках убывания функции. Отметим такие промежутки.
В точках, которые попали в эти промежутки, производная отрицательная. Всего таких точек 2.
Ответ: 2
Пример 2. На рисунке изображен график функции y = f'(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-5; 3). Найдите точку максимума функции f(x).
Решение. Точки экстремума на графике производной лежат на оси х. На данном графике таких точки две: x = -2, x = 2.
Точка максимума — это точка, в которой производная меняет знак с положительного на отрицательный. По графику определяем, что это точка x = -2.
Ответ: -2
Представим, что мы составили графики “Заинтересованность зрителей фильмом” и “Наличие в фильме экшн-сцен”. Совпадут ли эти графики? Скорее всего, нет.
Экшн-сцены могут вызывать интерес у зрителей, равно как и романтические сцены или смешные повороты сюжета. Получается, что наличие экшн-сцен и заинтересованность фильмом — это разные величины в кинематографе, хотя и связаны между собой.
Также и графики производной и функции: они зависят друг от друга, но иллюстрируют совсем разные свойства функции, поэтому сильно отличаются.
Связь графика функции и первообразной
Мы разобрались, как связаны графики функции и ее производной. Есть ли связь между графиком функции и «Первообразной»?
Вспомним один важный факт: если взять производную от первообразной, то получим функцию.
F'(x) = f(x)
Похоже на функцию и ее производную, верно? На самом деле, ситуации ничем не отличаются.
В этом случае изначальной функцией будет первообразная, а ее производной — функция. Для наглядности составим таблицу.
Было | Взяли производную | Стало | |
Функция и производная | f(x) | f'(x) | f'(x) |
Функция и первообразная | F(x) | F'(x) | f(x) |
Получается, для функции и первообразной будут действовать почти те же правила, что и для функции и ее производной.
При решении заданий с графиками первообразной достаточно проанализировать уравнение F'(x) = f(x). Рассмотрим несколько примеров.
Пример 3. На рисунке изображен график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x) и отмечены шесть точек на оси абсцисс x1, x2, x3, x4, x5, x6. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна?
Решение. Поскольку F'(x) = f(x), то функция f(x) будет отрицательна в тех же точках, в которых будет отрицательна F'(x).
Поскольку на графике изображена функция y = F(x), то ее производная будет отрицательна на промежутках убывания функции. Отметим их красным.
В эти промежутки попадают 3 из 6 точек.
Ответ: 3.
Пример 4. На рисунке изображен график функции y = F(x) — одной из первообразных функции f(x), определенной на интервале (-6; 7). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [-5; 4].
Решение. Вспомним, что F'(x) = f(x). Тогда если f(x) = 0, то и F'(x) = 0. Следовательно, на заданном промежутке нужно найти точки экстремума.
Отметим заданный промежуток красными линиями. На промежутке всего 9 точек экстремума, значит, в 9 точках f(x) будет равна 0.
Ответ: 9
Представим, что в качестве функции у нас выступают кофейные зерна. Тогда производная — то, что мы получаем в результате их переработки — это вкусный напиток.
Из чего получаются сами кофейные зерна? Их собирают с кофейного дерева. То есть зерна будут производной от кофейного дерева, а кофейное дерево — это первообразная.
Так мы можем отследить следующую цепочку: кофейное дерево → кофейные зерна → кофе. И эта цепочка наглядно иллюстрирует связь первообразной, функции и ее производной.
Фактчек
- Графики функции, производной и первообразной связаны между собой.
- В точках экстремума функции график производной будет проходить через ось х.
- На промежутках возрастания функции график производной будет лежать выше оси х.
- На промежутках убывания функции график производной будет лежать ниже оси х.
- Для решения задач с первообразной необходимо вспомнить, что F'(x) = f(x). Любой график можно проанализировать с помощью этого уравнения также, как анализируются графики функции и ее производной.
Проверь себя
Задание 1.
На каких промежутках будет производная функции будет положительна?
- На промежутках убывания функции.
- На промежутках возрастания функции.
- В точках экстремума.
- Невозможно определить по графику.
Задание 2.
На каких промежутках производная функции будет отрицательна?
- На промежутках возрастания функции.
- На промежутках убывания функции.
- В точках экстремума.
- Невозможно определить по графику.
Задание 3.
На рисунке изображен график производной функции f(x), на котором отмечена точка. Чем будет являться эта точка для функции f(x)?
- Точка максимума функции.
- Точка минимума функции.
- Любая произвольная точка на функции.
- Невозможно определить по графику.
Задание 4.
Выберите верный вариант:
- F(x) = f'(x)
- F(x) = f(x)
- F'(x) = f'(x)
- F'(x) = f(x)
Ответы: 1. — 2 2. — 2 3. — 1 4. — 4
Рассмотрим задания из №6 ЕГЭ, в которых по графику функции требуется определить точки, в которых производная положительна либо отрицательна.
№1
На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2 ,x3, x4, … , x8. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f(x) положительна. В ответе укажите количество найденных точек.
Решение:
Производная функции f'(x) положительна там, где функция y=f(x) возрастает:
f'(x)>0, если f(x) возрастает.
Выделяем промежутки возрастания функции y=f(x) и определяем количество точек, принадлежащих этим промежуткам.
Промежуткам возрастания функции y=f(x) принадлежат три точки: x2, x5 и x6.
Значит, производная функции в этих трёх точках положительна:
f'(x2)>0,
f'(x5)>0,
f'(x6)>0.
Ответ: 3.
№2
На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены девять точек на оси абсцисс: x1, x2 ,x3, x4 …x8, x9. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?
Решение:
Производная функции f'(x) отрицательна там, где функция y=f(x) убывает:
f'(x)<0, если f(x) убывает.
Выделяем промежутки убывания функции y=f(x) и определяем количество точек, принадлежащих этим промежуткам.
Промежуткам убывания функции y=f(x) принадлежат четыре точки: x3, x4, x7 и x8. Значит, производная в этих четырёх точках отрицательна:
f'(x3)<0, f'(x4)<0, f'(x7)<0, f'(x8)<0.
Ответ: 4.
№3
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−6; 12). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Решение:
Производная функции f'(x) положительна там, где функция y=f(x) возрастает.
Выделяем промежутки возрастания.
Целые точки, входящие в промежутки возрастания: -5; -4; -3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.
Всего девять точек.
Ответ: 9.
Продолжение задач на производные для первой части ЕГЭ.
Геометрический смысл производной и ее применения для исследования функций.
Первая часть о производных.
Геометрический смысл производной
Про геометрический смысл написано много теории. Не буду вдаваться в вывод приращения функции, напомню основное для выполнения заданий:
Производная в точке x равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке, то есть это тангенс угла наклона к оси Х.
Возьмем сразу задание из ЕГЭ и начнем в нем разбираться:
Задание №1. На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.Кто очень торопится и не хочет разбираться в объяснениях: стройте до любого такого треугольника (как показано ниже) и делите стоячую сторону (вертикальную) на лежащую (горизонтальную) и будет вам счастье, если про знак не забудите (если прямая убывает(→↓), то ответ должен быть с минусом, если прямая возрастает(→↑), то ответ должен быть положительный!)
Найти нужно угол между касательной и осью Х, назовем его α: проведем параллельную оси Х прямую в любом месте через касательную к графику, получим тот же угол.
Лучше не брать точку х0, т.к. понадобится большая лупа для определения точных координат.
Взяв любой прямоугольный треугольник (на рисунке предложено 3 варианта), найдем tgα (углы, то равны, как соответственные), т.е. получим производную функции f(x) в точке x0. Почему же так?
Если мы проведем касательные в других точках x2, x1 и т.д. касательные будут другие.
Вернемся к 7 классу, чтобы построить прямую!
Уравнение прямой задается уравнением y = kx + b, где
k — наклон относительно оси Х.
b — расстояние между точкой пересечения с осью Y и началом координат.
Производная прямой, всегда одна и та же: y’ = k.
В какой бы точке на прямой мы не взяли производную, она будет неизменна.
Поэтому, осталось только найти tgα (как было сказано выше: делим стоячую сторону на лежачую). Делим противолежащий катет на прилежащий, получаем, что k = 0,5. Однако, если график убывает, коэффициент отрицательный: k = −0,5.
Советую себя проверять вторым способом:
По двум точкам можно задать прямую. Найдем координаты двух любых точек. Например, (-2;-2) и (2;-4):
Подставим в уравнение y = kx + b вместо y и х координаты точек:
−2 = −2k + b
−4 = 2k + b
Решив эту систему, получим b = −3, k = −0,5
Вывод: Второй способ дольше, но в нем вы не забудете про знак.
Ответ: −0,5
Задание №2. На рисунке изображён график производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, …, x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x) ?
Если график функции убывает — производная отрицательна (верно и наоборот).
Если график функции возрастает — производная положительна (верно и наоборот).
Эти две фразы помогут вам решить большую часть задач.
Внимательно смотрите, рисунок производной вам дан или функции, а дальше выбирайте одну из двух фраз.
Построим схематично график функции. Т.к. нам дан график производной, то там, где она отрицательна, график функции убывает, где положительна — возрастает!
Получается, что 3 точки лежат на участках возрастания: x4; x5; x6.
Ответ: 3
Задание №3. Функция f(x) определена на промежутке (-6; 4). На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция принимает наибольшее значение.
Советую всегда строить, как идет график функции, такими стрелочками или схематично со знаками (как в №4 и №5):
Очевидно, если график возрастает до −2, то максимальная точка и есть −2.
Ответ: −2
Задача №4. На рисунке изображён график функции f(x) и двенадцать точек на оси абсцисс: x1, x2, …, x12. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?
Задача обратная, дан график функции, нужно схематично построить, как будет выглядеть график производной функции, и посчитать, сколько точек будет лежать в отрицательном диапазоне.
Положительные: x1, x6, x7, x12.
Отрицательные: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.
Ноль: x8.
Ответ: 7
Еще один вид заданий, когда спрашивается про какие-то страшные «экстремумы»? Что это такое вам найти не составит труда, я же поясню для графиков.
Задача №5. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-16; 6). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [-11; 5].
Отметим промежуток от -11 до 5!
Обратим свои светлые очи на табличку: дан график производной функции => тогда экстремумы это точки пересечения с осью X.
Ответ: 3
Задача №6. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-13; 9). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [-12; 5].
Отметим промежуток от -12 до 5!
Можно одним глазом взглянуть в табличку, точка максимума — это экстремум, такой, что до него производная положительна (функция возрастает), а после него производная отрицательна (функция убывает). Такие точки обведены в кружочек.
Стрелочками показано, как ведет себя график функции
Ответ: 3
Задача №7. На рисунке изображен график функции f(x),определенной на интервале (-7; 5). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Можно посмотреть на выше приведенную табличку (производная равна нулю, значит это точки экстремума). А в даной задаче дан график функции, значит требуется найти количество точек перегиба!
А можно, как обычно: строим схематический график производной.
Производная равна нулю, когда график функций меняет свое направление (с возрастания на убывание и наоборот)
Ответ: 8
Задача №8. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-2; 10). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Построим схематично график функции:
Там, где он возрастает, получаем 4 целые точки: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.
Ответ: 22
Задача №9. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-6; 6). Найдите количество точек f(x), в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 2x + 13 или совпадает с ней.
Нам дан график производной! Значит, и нашу касательную нужно «перевести» в производную.
Производная касательной: y’ = 2.
А теперь построим обе производные:
Касательные пересекаются в трех точках, значит, наш ответ 3.
Ответ: 3
Задача №10. На рисунке изображен график функции f(x), и отмечены точки -2, 1, 2, 3. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Задание чем-то похоже на первое: чтобы найти значение производной, нужно построить касательную к этому графику в точке и найти коэффициент k.
Если прямая убывает, k < 0.
Если прямая возрастает, k > 0.
Подумаем, как значение коэффициента отразится на наклоне прямой:
При k = 1 или k = −1 график будет посередине между осями Х и У.
Чем ближе прямая к оси Х, тем ближе коэффициент k нулю.
Чем ближе прямая к оси Y, тем ближе коэффициент k к бесконечности.
В точке -2 и 1 k<0, однако в точке 1 прямая убывает «быстрее» больше похоже на ось Y => именно там и будет наименьшее значение производной
Ответ: 1
Задание №11. Прямая является касательной y = 3x + 9 к графику функции y = x³ + x² + 2x + 8. Найдите абсциссу точки касания.
Прямая будет касательной к графику, когда графики имеют общую точку, как и их производные. Приравняем уравнения графиков и их производные:
Решив второе уравнение, получаем 2 точки. Чтобы проверить, какая из них подходит, подставляем в первое уравнение каждый из иксов. Подойдет только один.
Кубическое уравнение совсем решать не хочется, а квадратное за милую душу.
Вот только, что записывать в ответ, если получится два «нормальных» ответа?
При подстановке икса (х) в первоначальные графики y = 3x + 9 и y = x³ + x² + 2x + 8 должен получиться один и тот же Y
y= 3×1+9=12
y= 1³+1²+2×1+8=12
Верно! Значит x=1 и будет ответом
Ответ: 1
Задание №12. Прямая y = − 5x − 6 является касательной к графику функции ax² + 5x − 5. Найдите a.
Аналогично приравняем функции и их проивзодные:
Решим эту систему относительно переменных a и x:
Ответ: 25
Задание с производными считается одним из самых сложных в первой части ЕГЭ, однако, при небольшой доли внимательности и понимания вопроса у вас все получится, и вы поднимете процент выполнения этого задания!
Тест для закрепления
Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.
Большинство заданий взято с сайтов ФИПИ и РЕШУ ЕГЭ.