Как найти отрезок соединяющий боковые стороны трапеции - AvtoShod.ru

Трапеция и ее свойства

Т. А. Унегова

Определения:

Трапеция — это называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — не параллельны.

Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а непараллельные — боковыми сторонами трапеции.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований трапеции к прямой, содержащей другое основание.

Трапеция называется вписанной в окружность, если каждая ее вершина принадлежит окружности.

Трапеция называется описанной вокруг окружности, если каждая ее сторона касается окружности.

Трапеция называется равнобедренной (равнобокой, равнобочной), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Теоремы о средней линии и диагоналях трапеции

Теорема 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: $m=displaystyle frac{a+b}{2}$ .

Теорема 2. Диагонали трапеции делят среднюю линию трапеции на три отрезка. Средний из них равен полуразности оснований, а два крайних равны между собой: $EF=GH, ; FG=displaystyle frac{a-b}{2}$ .

Теорема 3. Средняя линия треугольника, составленного из диагоналей и суммы оснований трапеции, равна средней линии трапеции: PQ=MN .

Теорема 4. Четыре точки: середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений ее боковых сторон — лежат на одной прямой.

Эта теорема называется также «Замечательное свойство трапеции».

Теорема 5. Диагонали трапеции делят ее на четыре треугольника. Два из них, содержащие боковые стороны, равновелики (имеют равные площади), а два других, содержащие основания, подобны.

Теоремы о площади трапеции

Теорема 6. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: $S=displaystyle frac{a+b}{2}cdot h$ .

Теорема 7. Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту: S=mh .

Теорема 8. Площадь трапеции (как и всякого выпуклого четырехугольника) равна половине произведения ее диагоналей на синус угла между ними: $S=displaystyle frac{1}{2}d_1d_2{sin alpha }$ , где d_1=AC, d_2=BD, (Вместо можно брать

Теорема 9. Если в трапецию можно вписать окружность, то (как и для всякого описанного многоугольника) площадь трапеции равна произведению ее полупериметра на радиус вписанной окружности: S=pr . Таким образом, $S=displaystyle frac{a+b+c+d}{2}cdot r$ .

Теорема 10. Площадь трапеции равна площади треугольника, составленного из диагоналей и суммы оснований этой трапеции. (Сравни эту теорему и теорему 3.)

Теоремы о вписанных и описанных трапециях

Теорема 11. Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. И наоборот, если трапеция равнобедренная, то около нее можно описать окружность.

Теорема 12. Если трапеция описана около окружности, то сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон.

Задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Трапеция

Задача 1.

Найдите высоту трапеции ABCD, опущенную из вершины B, если стороны квадратных клеток равны sqrt{2} .

Решение:

Высота трапеции— это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Проведем высоту из вершины . Так как сторона квадратной клетки равна sqrt{2} , то по теореме Пифагора получаем, что h=2 .

Ответ: 2.

Задача 2.

Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол ${150}^{{}^circ }$ . Найдите площадь трапеции.

Решение:

Углы angle ABC и angle BAH — односторонние, их сумма равна ${180}^{{}^circ }$ , и тогда angle BAH $=30{}^circ .$

Из ABH найдем высоту BH. Катет, лежащий против угла в ${30}^{{}^circ }$ , равен половине гипотенузы. Получаем, что BH = 3,5.

Площадь трапеции равна $S=displaystyle frac{6+18}{2}cdot 3,5=42$ .

Ответ: 42.

Задача 3.

Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции ее диагональ.

Решение:

Что можно увидеть на чертеже? Можно сказать, что изображена трапеция ABCD, и в ней проведена средняя линия. А можно увидеть и другое — два треугольника, ABC и ACD, в которых проведены средние линии.

Напомним, что средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна половине этой стороны. Из ACD находим, что x=5.

Ответ: 5.

Задача 4.

Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

Решение:

Проведем PQ — среднюю линию трапеции, PQ = 2,5 и . Отсюда получаем, что середина отрезка AC, то есть PM — средняя линия треугольника ABC и PM = 1. Аналогично, NQ = 1.

Ответ: 0,5.

Задача 5.

Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, равного 4, отсекает треугольник, периметр которого равен 15. Найдите периметр трапеции.

Решение:

Периметр треугольника равен сумме его сторон, то есть

Периметр трапеции равен

Ответ: 23.

Задача 6.

В равнобедренной трапеции ABCD диагональ AC является биссектрисой острого угла трапеции и образует со стороной CD угол $63{}^circ$ . Найдите углы трапеции.

Решение:

Пусть angle CAD =alpha , тогда angle CAB =alpha и angle BAD =2alpha , так как трапеция равнобедренная.

Сумма углов $vartriangle ACD=3alpha +63{}^circ =180{}^circ$ , откуда
$alpha =39{}^circ .$
Итак, $angle D=78{}^circ$ , а $angle BCD=180{}^circ -78{}^circ =102{}^circ$ .

Ответ: $78{}^circ , 102{}^circ$ .

Задача 7.

В равнобедренной трапеции основания равны 10 м и 24 м, боковая сторона 25 м. Найдите высоту трапеции.

Решение:

В равнобедренной трапеции проведем высоты. Получим прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Тогда основание каждого треугольника равно 7 и $h^2={25}^2-7^2=left(25-7right)left(25+7right)=18cdot 32.$ Отсюда,

Ответ: 24.

Задача 8.

Тупой угол равнобедренной трапеции равен ${135}^circ$ , а высота, проведенная из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Проведем две высоты. Они разделят трапецию на три части: прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника с острым углом $45{}^circ$ .

Каждый треугольник равнобедренный, поэтому h = 1,4.

Нетрудно видеть, что верхнее основание трапеции равно 2, а нижнее — 4,8. Отсюда площадь трапеции равна $displaystyle frac{2+4,8}{2}cdot 1,4=4,76$ .

Ответ: 4,76.

Задача 9.

Площадь трапеции равна 60м ^2, а основания 8 м и 12 м. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Так как площадь трапеции $S=displaystyle frac{a+b}{2}cdot h$ , то $60=displaystyle frac{8+12}{2}cdot h$ , откуда h = 6.

Ответ: 6.

Задача 10.

В равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны и равны Найдите площадь трапеции.

Решение:

Проведем CE BD и DE — продолжение AD.

Так как BCDE — параллелограмм, то CE = a.

По теореме 10 получим, что $S_{ABCD}=S_{ACE}=displaystyle frac{1}{2}a^2$ .

Ответ: $displaystyle frac{1}{2}a^2$

Задач 11.

В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ AC перпендикулярна к боковой стороне CD и является биссектрисой угла A.

Найдите AD, если периметр трапеции равен 20, а угол D равен $60{}^circ$ .

Решение:

По условию задачи в прямоугольном ACD

angle D $=60{}^circ$ , следовательно, angle CAD $=30{}^circ$ .

Так как AC — биссектриса, то angle CAB $=30{}^circ$ , откуда angle DAB $=60{}^circ$ , то есть, трапеция равнобедренная. angle BCA =angle CAD $=30{}^circ$ как накрест лежащие, поэтому ABC — равнобедренный.

Обозначим длины боковых сторон ABC буквой x.

Тогда AB = BC = CD = x, и AD = 2x, так как в прямоугольном ACD против угла в $30{}^circ$ лежит катет, равный половине гипотенузы.

Таким образом, периметр трапеции, равный 20, составляет 5x, отсюда

x = 4 и AD = 8.

Ответ: 8.

Задача 12.

В равнобедренной трапеции ABCD с острым углом $60{}^circ$ меньшее основание BC равно 2, а боковая сторона AB равна 10. Продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке M. Во сколько раз площадь трапеции больше площади треугольника BCM?

Решение:

Нетрудно видеть, что BCM равносторонний и BM = 2, тогда AM = 12 и BCM подобен ADM c коэффициентом .

Пусть $S_{BCM}$ =S_1 , $S_{ADM}=S_2$ , тогда

$S_2=k^2cdot S_1=36{cdot S}_1.$

Площадь трапеции будет равна

$S_{ABCD}=S_2-S_1=36 S_1-S_1=35 S_1=35 S_{BCM}.$

Ответ: 35.

Задача 13.

Сумма углов при одном из оснований трапеции равна $90{}^circ$ . Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований, если основания равны 6 и 10.

Решение:

Продолжим боковые стороны до пересечения в точке E и отметим точки F и G — середины оснований трапеции.

Так как сумма углов при основании трапеции равна $90{}^circ$ , то $angle BEC=90{}^circ$ , поэтому EF и EG — медианы в прямоугольных треугольниках BEC и AED соответственно.

Известно, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине, значит

Ответ: 2.

Задача 14.

Найдите радиус окружности, вписанной в равнобочную трапецию, если средняя линия трапеции равна 10, а ее площадь 24.

Решение:

Так как площадь трапеции равна S=mh , а высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, то есть h=2r, то , откуда r=1,2 .

Ответ: 1,2.

Задача 15.

Периметр прямоугольной трапеции равен 32, а большая боковая сторона равна 10. Найдите радиус r вписанной в трапецию окружности.

Решение:

По свойствам описанной трапеции сумма ее боковых сторон равна сумме оснований, поэтому

откуда

Сторона AB равна диаметру окружности, поэтому r=3 .

Ответ: 3.

Задача 16.

Около окружности описана трапеция, сумма боковых сторон которой равна 40. Найдите длину ее средней линии.

Решение:

Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований. Если трапеция описана вокруг окружности, то в ней сумма оснований равна сумме боковых сторон, поэтому

$m=displaystyle frac{a+b}{2}=displaystyle frac{c+d}{2}=displaystyle frac{40}{2}=20.$

Ответ: 20.

Задача 17.

В окружность вписана трапеция так, что диаметр окружности служит основанием трапеции, а вершины другого основания делят полуокружность на три равные части. Найдите тупые углы трапеции. Ответ выразите в градусах.

Решение:

Так как AD — диаметр окружности, то дуга ABCD равна $180{}^circ$ . Она делится на три равные части по $60{}^circ .$

Вписанный угол D опирается на дугу ABC, которая равна $120{}^circ$ , отсюда $angle ADC=60{}^circ$ и, стало быть, $angle C=120{}^circ =angle B.$

Ответ: 120.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Трапеция и ее свойства» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

Основы трапеции — параллельные стороны
Боковые стороны — две другие стороны
Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d ₁ 2 + d ₂ 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a — h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a — c· cos α — d· cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =	sin γ ·	d ₁ d ₂	=	sin δ ·	d ₁ d ₂
a + b	a + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =	sin γ ·	d ₁ d ₂	=	sin δ ·	d ₁ d ₂
2 m	2 m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

d ₁ = √ a 2 + d 2 — 2 ad· cos β

d ₂ = √ a 2 + c 2 — 2 ac· cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d ₁ =	√	d 2 + ab —	a ( d 2 — c 2 )
a — b

d ₂ =	√	c 2 + ab —	a ( c 2 — d 2 )
a — b

d ₁ = √ h 2 + ( a — h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d ₂ = √ h 2 + ( a — h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d ₁ = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d ₂ 2

d ₂ = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d ₁ 2

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =	d ₁ d ₂	· sin γ	=	d ₁ d ₂	· sin δ
2	2

4. Формула площади через четыре стороны:

S =	a + b	√	c 2 —	(	( a — b ) 2 + c 2 — d 2	)	2
2	2( a — b )

5. Формула Герона для трапеции

S =	a + b	√ ( p — a )( p — b )( p — a — c )( p — a — d )
\| a — b \|

где

p =	a + b + c + d	— полупериметр трапеции.
2

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =	a·c·d ₁
4√ p ( p — a )( p — c )( p — d ₁)

где

a — большее основание

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =	b	KN = ML =	a	TO = OQ =	a · b
2	2	a + b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то

Площадь

или где – средняя линия

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Как найти боковые стороны трапеции вписанную окружность

Формулы трапеции

Для расчёта всех основных параметров трапеции воспользуйтесь калькулятором.

Виды трапеции

Произвольная трапеция – это четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна)
Равнобедренная трапеция – это такая трапеция, у которой боковые стороны равны
Прямоугольная трапеция – это такая трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне

Свойства трапеции

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны (∠ADC = ∠DCB и ∠DAB = ∠ABC)
В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны (AC = BD)
Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная
Около равнобедренной трапеции можно описать окружность
Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований

Формулы площади произвольной трапеции

Площадь трапеции через основания и высоту

Площадь трапеции через среднюю линию и высоту

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

Площадь трапеции через четыре стороны

Формулы площади равнобедренной трапеции

Площадь трапеции через стороны

Площадь трапеции через стороны и угол

$$ S = AD * sin(∠ADC) * (DC — AD * cos(∠ADC)) $$ $$ S = AD * sin(∠ADC) * (AB + AD * cos(∠ADC)) $$

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

Площадь трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

$$ S = FE * AD * sin(∠ADC) = FE * AD * sin(∠DAB) $$

Площадь трапеции если в нее вписана окружность

Формулы сторон произвольной трапеции

Основание через другое основание и среднюю линию

$$ AB = 2 * FE — DC $$ $$ DC = 2 * FE — AB $$

Основание через другое основание, диагонали и угол между ними

$$ DC = AB + AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD)) $$ $$ AB = DC — AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD)) $$ $$ DC = AB + AD * cos(∠ADC) + BC * cos(∠BCD) $$ $$ AB = DC — AD * cos(∠ADC) — BC * cos(∠BCD) $$ $$ AD = $$ $$ BC = $$

Формулы сторон равнобедренной трапеции

Длина основания через диагональ, боковую сторону и другое основание

Длина боковой стороны через диагональ и основания

Длина основания через высоту, другое основание, диагонали и угол между ними

Длина основания через высоту, другое основание и площадь трапеции

Длина боковой стороны через площадь трапеции, среднюю линию и угол при основании

Длина боковой стороны через площадь трапеции, основания и угол при основании

Формулы сторон прямоугольной трапеции

$$ DC = AB + BC * cos(∠BCD) = AB + AD * ctg(∠BCD) $$ $$ AB = DC — BC * cos(∠BCD) = DC — AD * ctg(∠BCD) $$ $$ DC = AB + sqrt $$ $$ AB = DC — sqrt $$

Длина основания через боковую сторону, другое основание, диагонали и угол между ними

Длина основания через площадь трапеции, другое основание и высоту

Высота в прямоугольной трапеции равна стороне, которая перпендикулярна основаниям (AD = AG) $$ DC = — AB $$ $$ AB = — DC $$

Формулы диагоналей произвольной трапеции

Длина диагоналей через четыре стороны

Длина диагоналей по теореме косинусов

Длина диагоналей через высоту

Длина диагоналей через стороны и другую диагональ

Длина диагоналей через высоту, основания, другую диагональ и угол между диагоналей

Длина диагоналей через площадь трапеции, другую диагональ и угол между диагоналей

Длина диагоналей через среднюю линию, высоту, другую диагональ и угол между диагоналей

Формулы диагоналей равнобедренной трапеции

Длина диагоналей через стороны

Длина диагоналей по теореме косинусов

Длина диагоналей через высоту основание и угол при основании

Длина диагоналей через сторону и высоту

Формулы диагоналей прямоугольной трапеции

Формулы средней линии произвольной трапеции

Длина средней линии через основания

Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями

Длина средней линии через площадь и высоту

Формулы средней линии равнобедренной трапеции

Длина средней линии через основания

Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

$$ FE = DC — AG * ctg(∠ADC) = AB + AG * ctg(∠ADC) $$

Длина средней линии через основания, боковую сторону и высоту

Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями

Длина средней линии через площадь и боковую сторону

Формулы средней линии прямоугольной трапеции

Длина средней линии через основания, высоту и угол при нижнем основании

Длина средней линии через основания, боковую сторону и угол при нижнем основании

Длина средней линии через основания и боковые стороны

Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями

Формулы высоты произвольной трапеции

Длина высоты через четыре стороны

Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию

$$ AG = AD * sin(∠ADC) = BC * sin(∠BCD) $$

Длина высоты через диагонали и углы между ними

Длина высоты через среднюю линию, диагонали и углы между ними

Длина высоты через площадь и основания

Длина высоты через площадь и среднюю линию

Формулы высоты равнобедренной трапеции

Длина высоты через по сторонам

Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию

Длина высоты через основания и прилегающий угол к основанию

Длина высоты через диагонали и углы между ними

Длина высоты через площадь и основания

Длина высоты через площадь и среднюю линию

Формулы боковых сторон прямоугольной трапеции

Сторона AD в прямоугольной трапеции равна высоте, поэтому все формулы высоты произвольной трапеции актуальны для стороны AD прямоугольной трапеции.

Сторона BC по трём сторонам

Сторона BC через основания и угол ∠BCD

Сторона BC через Сторону AD

Сторона BC через площадь, среднюю линию и угол ∠BCD

Сторона BC через площадь, основания и угол ∠BCD

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Основы трапеции — параллельные стороны
Боковые стороны — две другие стороны
Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d ₁ 2 + d ₂ 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a — h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a — c· cos α — d· cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =	sin γ ·	d ₁ d ₂	=	sin δ ·	d ₁ d ₂
a + b	a + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =	sin γ ·	d ₁ d ₂	=	sin δ ·	d ₁ d ₂
2 m	2 m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

d ₁ = √ a 2 + d 2 — 2 ad· cos β

d ₂ = √ a 2 + c 2 — 2 ac· cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d ₁ =	√	d 2 + ab —	a ( d 2 — c 2 )
a — b

d ₂ =	√	c 2 + ab —	a ( c 2 — d 2 )
a — b

d ₁ = √ h 2 + ( a — h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d ₂ = √ h 2 + ( a — h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d ₁ = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d ₂ 2

d ₂ = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d ₁ 2

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =	d ₁ d ₂	· sin γ	=	d ₁ d ₂	· sin δ
2	2

4. Формула площади через четыре стороны:

S =	a + b	√	c 2 —	(	( a — b ) 2 + c 2 — d 2	)	2
2	2( a — b )

5. Формула Герона для трапеции

S =	a + b	√ ( p — a )( p — b )( p — a — c )( p — a — d )
\| a — b \|

p =	a + b + c + d	— полупериметр трапеции.
2

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =	a·c·d ₁
4√ p ( p — a )( p — c )( p — d ₁)

a — большее основание

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =	b	KN = ML =	a	TO = OQ =	a · b
2	2	a + b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная окружность

Площадь

или где – средняя линия

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

источники:

Трапеция. Свойства трапеции

http://b4.cooksy.ru/articles/kak-nayti-bokovye-storony-trapetsii-vpisannuyu-okruzhnost

Источник

25
Июл 2013

Категория: Справочные материалы

Трапеция. Свойства трапеции

2013-07-25
2016-06-15

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – $k=frac{AD}{BC}.$

Отношение площадей этих треугольников есть .

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная окружность

Площадь

$S=frac{a+b}{2}cdot h$ или где – средняя линия

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Смотрите также площадь трапеции.

Автор: egeMax |

комментарий 431

Печать страницы

Источник

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Определение.

Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Элементы трапеции:

Основы трапеции — параллельные стороны
Боковые стороны — две другие стороны
Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Виды трапеций:

Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам

Основные свойства трапеции

1. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

AB + CD = BC + AD

2. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основы, так же делит диагонали пополам:

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

4. Точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований лежат на одной прямой.

5. В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

6. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

7. Диагонали трапеции d₁ и d₂ связаны со сторонами соотношением:

d₁² + d₂² = 2ab + c² + d²

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

1. Формула длины оснований трапеции через среднюю линию и другую основу:

a = 2m — b

b = 2m — a

2. Формулы длины основ через высоту и углы при нижнем основании:

a = b + h · (ctg α + ctg β)

b = a — h · (ctg α + ctg β)

3. Формулы длины основ через боковые стороны и углы при нижнем основании:

a = b + c·cos α + d·cos β

b = a — c·cos α — d·cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

Средняя линия трапеции

Определение.

Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

1. Формула высоты через сторону и прилегающий угол при основании:

h = c·sin α = d·sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =	sin γ ·	d₁ d₂	=	sin δ ·	d₁ d₂
a + b	a + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =	sin γ ·	d₁ d₂	=	sin δ ·	d₁ d₂
2m	2m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

1. Формулы диагоналей по теореме косинусов:

d₁ = √a² + d² — 2ad·cos β

d₂ = √a² + c² — 2ac·cos α

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d₁ =	√	d ² + ab —	a(d ² — c²)
a — b

d₂ =	√	c² + ab —	a(c² — d ²)
a — b

3. Формула длины диагоналей через высоту:

d₁ = √h² + (a — h · ctg β)² = √h² + (b + h · ctg α)²

d₂ = √h² + (a — h · ctg α)² = √h² + (b + h · ctg β)²

4. Формулы длины диагонали через сумму квадратов диагоналей:

d₁ = √c² + d ² + 2ab — d₂²

d₂ = √c² + d ² + 2ab — d₁²

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

2. Формула площади через среднюю линию и высоту:

S = m · h

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =	d₁d₂	· sin γ	=	d₁d₂	· sin δ
2	2

4. Формула площади через четыре стороны:

S =	a + b	√	c² —	(	(a — b)² + c² — d ²	)	²
2	2(a — b)

5. Формула Герона для трапеции

S =	a + b	√(p — a)(p — b)(p — a — c)(p — a — d)
\|a — b\|

где

p =	a + b + c + d	— полупериметр трапеции.
2

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

P = a + b + c + d

Окружность описанная вокруг трапеции

Окружность можно описать только вокруг равнобедренной трапеции!!!

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =	a·c·d₁
4√p(p — a)(p — c)(p — d₁)

где

a — большее основание

Окружность вписанная в трапецию

В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

a + b = c + d

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =	b	KN = ML =	a	TO = OQ =	a · b
2	2	a + b

Источник

Трапеция, ее свойства, формулы площади, высоты, сторон.

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна.

Трапеция (понятие, определение)

Видеоурок “Трапеция”

Виды трапеций

Элементы трапеции: основания, боковые стороны, средняя линия и высота

Свойства трапеции

Свойства равнобедренной трапеции

Формулы трапеции

Трапеция (понятие, определение):

Трапеция (от др.-греч. τραπέζιον – «столик» от τράπεζα – «стол») – это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а другие две стороны не параллельны.

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна.

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, и стороны не равны между собой.

Рис. 1. Трапеция

Выпуклым четырёхугольником называется четырёхугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

@ https://youtu.be/Q4EpXexoMrM

Виды трапеций:

Равнобедренная трапеция или равнобокая трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Рис. 2. Равнобедренная трапеция

Прямоугольная трапеция – это трапеция, один из углов при боковой стороне которой прямой.

Прямоугольная трапеция – это трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне.

Рис. 3. Прямоугольная трапеция

Элементы трапеции: основания, боковые стороны, средняя линия и высота:

Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции, а две другие – непараллельные – боковыми сторонами.

Рис. 4. Трапеция

AD и BC – основания трапеции, AB и CD – боковые стороны трапеции.

AD – большее основание трапеции, BC – меньшее основание трапеции.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средняя линия.

Рис. 5. Трапеция и срединная линия

Расстояние между основаниями трапеции называется высотой трапеции.

Рис. 6. Трапеция

Высота трапеции (h) определяется формулой:

где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, c и d – боковые стороны трапеции.

Свойства трапеции:

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Рис. 7. Трапеция и срединная линия

MN || BC, MN || AD,

l = (a + b) / 2

2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.

Рис. 8. Трапеция

MN = (b – a) / 2

3. Сумма внутренних углов трапеции (и любого другого четырёхугольника) равна 360° .

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180° .

Рис. 9. Трапеция

4. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Рис. 9. Трапеция

5. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

Рис. 10. Трапеция

AB = BK

6. Если сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Рис. 11. Трапеция

∠BAD + ∠CDA = 90°, MN = (AD – DC) / 2

7. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.

Рис. 12. Трапеция

AB + CD = AD + BC

В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.

Рис. 13. Трапеция

Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).

Рис. 14. Трапеция

MN = (AB + CD) / 2,

MN = (AD + BC) / 2

8. Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника.

Два из них, прилежащие к основаниям, подобны.

Два других, прилежащие к боковым сторонам, имеют одинаковую площадь.

Рис. 15. Трапеция

Треугольники BCO и AOD подобны. Коэффициент подобия треугольников (k) находится как отношение оснований трапеции. k = AD / BC. Отношение площадей этих подобных треугольников есть k².

Треугольники ABO и CDO имеют одинаковую площадь.

9. Каждая диагональ в точке пересечения делится на две части с таким соотношением длины, как соотношение между основаниями.

Рис. 16. Трапеция

BC : AD = OC : AO = OB : DO

10. Диагонали трапеции d₁ и d₂ связаны со сторонами соотношением:

d₁² + d₂² = 2ab + c² + d²

где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, c и d – боковые стороны трапеции.

11. Средняя линия трапеции разделяет пополам любой отрезок, который соединяет основания трапеции, так же делит диагонали пополам.

Рис. 17. Трапеция

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD,

KL – средняя линия

Рис. 17. Трапеция

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD,

KL – средняя линия, UV – отрезок, который соединяет основания трапеции

12. Средняя линия разбивает трапецию на две трапеции, площади которых соотносятся как:

где b – большее основание трапеции, a – меньшее основание трапеции, S₁ и S₂ – площади образованных трапеций, в результате разделения средней линией.

Рис. 18. Трапеция

S₁ – площадь трапеции MBCN,

S₂ – площадь трапеции AMND

Свойства равнобедренной трапеции:

1. Прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям, тем самым, является осью симметрии равнобедренной трапеции.

2. Высота, опущенная из вершины на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, а другой — полуразности оснований.

3. Углы при любом основании равнобедренной трапеции равны.

4. Сумма противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180°.

5. Длины диагоналей равнобедренной трапеции равны.

6. Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.

7. При перпендикулярности диагоналей в равнобедренной трапеции ее высота равна полусумме оснований.

Формулы трапеции:

Пусть a – большее основание трапеции, b – меньшее основание трапеции, c – левая сторона трапеции, d – правая сторона трапеции, α и β – углы при нижнем основании трапеции, d₁ и d₂– диагонали трапеции, m – средняя линия трапеции, h – высота трапеции, γ и δ – углы между диагоналями трапеции, S – площадь трапеции, P – периметр трапеции.